ELECTROTECNIA Circuitos de Corriente Alterna

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1 ELECTROTECNIA Circuitos de Corriente Alterna Juan Guillermo Valenzuela Hernández Universidad Tecnológica de Pereira Segundo Semestre de 2014 Juan Valenzuela 1

2 Elementos de circuitos 2

3 Capacitancia Eléctrica Generalidades La capacitancia eléctrica es la medida de la capacidad de mantener carga eléctrica a una diferencia de potencial, almacenando así una cantidad de energía en forma de campo eléctrico. q C V q : carga eléctrica C : capacitancia eléctrica V : voltaje o diferencia de potencial 3

4 Capacitancia Eléctrica Generalidades El fenómeno de la capacitancia eléctrica puede ser reproducido (repetido o visualizado) utilizando un elemento de circuito denominado condensador o capacitor eléctrico. C d A C : capacitancia eléctrica. A : Área paralela de las placas. d : Distancia entre placas. : Permitividad eléctrica del material entre las placas. 4

5 Capacitancia Eléctrica Modelado matemático La ecuación que modela el comportamiento del capacitor eléctrico ideal, es decir, la relación entre el voltaje y la corriente en dicho elemento es de la forma: i() t C d[ v( t)] dt C : capacitancia eléctrica. i(t) : corriente en la rama a la que pertenece el capacitor. V(t): diferencia de potencial entre las placas del capacitor. 5

6 Capacitancia Eléctrica Modelado matemático Del modelo matemático del comportamiento del condensador es posible derivar la expresión que relaciona el voltaje en términos de la corriente, de la siguiente manera: 1 t v( t) ic ( ) d C C t v( t) i ( ) d i ( ) 0 C d C C C : capacitancia eléctrica. i(ƭ) : corriente en la rama a la que pertenece el capacitor. V(t): diferencia de potencial entre las placas del capacitor. 6

7 Inducción Magnética Generalidades La inducción magnética es la medida de la capacidad de un dispositivo de almacenar energía en forma de campo magnético. Este campo es generado por un flujo de corriente por las espiras del solenoide. Li : flujo magnético L: inductancia magnética : corriente eléctrica 7

8 Inducción Magnética Generalidades El fenómeno de la inducción magnética puede ser reproducido (repetido o visualizado) utilizando un elemento de circuito denominado inductor o inductancia. L 2 2 N A R L: Inductancia. A: Área transversal al flujo. R: Radio del solenoide. : Permeabilidad magnética del material. N: Número de espiras. 8

9 Inducción Magnética Modelado matemático La ecuación que modela el comportamiento del inductor magnético ideal, es decir, la relación entre el voltaje y la corriente en dicho elemento es de la forma: v() t L d[ i( t)] dt L : Inductancia magnética. i(t) : corriente en la rama a la que pertenece el inductor. V(t): diferencia de potencial entre las placas del inductor. 9

10 Inducción Magnética Modelado matemático Del modelo matemático del comportamiento del inductores posible derivar la expresión que relaciona la corriente en términos del voltaje, de la siguiente manera: 1 t i( t) vl( ) d L L t i( t) v ( ) d v ( ) 0 L d L L L : inductancia magnética. i(t) : corriente en las espiras del inductor. v(ƭ): diferencia de potencial del inductor. 10

11 Circuitos de Corriente Alterna 11

12 Conceptos Básicos Circuito de Corriente Alterna Un circuito de corriente alterna es un circuito en el cual el flujo de electrones ocurre en ambos sentidos. Esto debido a la excitación resultante de una fuente de tensión y/o corriente de magnitud variable en el tiempo. Las magnitudes de tensión y corriente de un elemento de circuito pueden ser diferentes en dos instantes de tiempo. 12

13 Señales Sinusoidales Características Una señal sinusoidal es una señal cuya magnitud es variable en el tiempo y puede ser representada de forma general así: V(t) Vm* sen(wt ) Donde: Vm w t es la amplitud de la señal, es decir, el máximo valor que podrá tomar su magnitud. es la frecuencia angular de la señal periódica. es la variable temporal. es el desfase angular de la función sinusoidal. 13

14 Señales Sinusoidales Características 14

15 Señales Sinusoidales Características Con el fin de comprender la existencia de desfases angulares, supongamos las siguientes señales de tensión: V 1(t) Vm* sen(wt ) V 2(t) Vm* sen(wt) 15

16 Señales Sinusoidales Características Con el fin de comprender la existencia de desfases angulares, supongamos las siguientes señales de tensión: V 1(t) Vm* sen(wt) V 2(t) Vm* sen(wt ) 16

17 Conceptos Básicos Circuitos de Corriente Alterna Observaciones: Es importante entonces, tener en cuenta cómo son las magnitudes, frecuencias y ángulos de fase de las señales analizadas. Cuando estás tienen la misma frecuencia podemos definir las siguientes relaciones entre ellas. Cuando el ángulo ø es cero, se dice que las señales están en fase. Cuando el ángulo ø es diferente de cero, las señales están desfasadas. Cuando el ángulo ø es 180, se dice que las señales están en contrafase. Esto resultará de gran utilidad en el análisis del flujo de potencia en un sistema eléctrico. 17

18 Conceptos Básicos Circuito de Corriente Alterna La determinación del adelanto o atraso de una señal respecto a otra, puede ser lograda mediante el análisis del ángulo de fase de las funciones, sin embargo, es necesario que ambas funciones estén expresadas en función de senos o cosenos. Lo anterior puede ser logrado mediante el uso de las siguientes expresiones: -sen(wt) sen(wt ± 180 ) -cos(wt) cos(wt ± 180 ) ±sen(wt) cos(wt 90 ) ±cos(wt) sen(wt ± 90 ) 18

19 Análisis Fasorial de Circuitos de Corriente Alterna

20 Análisis Fasorial Conceptos Básicos Un fasor es un vector que giratorio en el tiempo, que en adelante será utilizado para representar una señal sinusoidal. El fasor es representado mediante números complejos. Es importante recordar que los números complejos están compuestos por la combinación lineal de un número real y un número imaginario. Z=X+jY Donde X es la parte real, Y es la parte imaginaria y j es el operador imaginario 2 resultante de 1. 20

21 Análisis Fasorial Conceptos Básicos Un número complejo puede ser representado de diferentes formas según las necesidades del analista. Z X jy Z r * e j Z r Forma cartesiana Forma exponencial Forma polar 21

22 Análisis Fasorial Conceptos Básicos El cambio de formato en que está expresado el número complejo no requiere de más que el simple conocimiento de funciones trigonométricas, lográndose obtener las siguientes relaciones*: Para cambiar de coordenadas polares a cartesianas, se tiene que: Y r * sen( ) X r*cos( ) Para cambiar de coordenadas cartesianas a polares, se tiene que: r X Y Y tan X *Notar que los parámetros de la forma exponencial son similares a coordenadas polares. 22

23 Análisis Fasorial Operaciones de números complejos Al igual que con los números naturales, con los números complejos se pueden hacer operaciones fundamentales. Es importante resaltar, que la dificultad de realizar manualmente estas operaciones depende de la forma en que esté expresado el número. Suponga los dos números complejos Z 1 y Z 2 : Z X jy Z r Z X jy Z r Las operaciones matemáticas entre este par de números complejos obtendrán como resultado un nuevo número complejo. 23

24 Análisis Fasorial Suma y Resta de números complejos Para realizar la adicción o sustracción entre dos números complejos, es recomendable tenerlos expresados en coordenadas cartesianas, pues estas operaciones se realizan entre números reales y números imaginarios, de forma separada como se verá: Adición de dos números complejos: Z Z X X j Y Y Sustracción de dos números complejos: Z Z X X j Y Y

25 Análisis Fasorial Multiplicación y División de números complejos Para realizar la multiplicación o división entre dos números complejos, es recomendable tenerlos expresados en coordenadas polares, pues estas operaciones podrían ser realizadas entre magnitudes y ángulos, de forma separada como se verá: Multiplicación de dos números complejos: Z * Z r * r ( ) División de dos números complejos: Z Z r r ( )

26 Análisis Fasorial Otras operaciones con números complejos Otras operaciones que pueden ser realizadas a los números complejos son obtener radicales y conjugados. Raíz cuadrada de números complejos: * 1 1 Z1 r1 ( ) Conjugado de un número complejo: * Z X jy X jy * Z r r * Observación: Resulta útil conocer que 1 j = j 26

27 Representación fasorial de función sinusoidal

28 Análisis Fasorial Representación fasorial de función sinusoidal Una función sinusoidal puede ser representada mediante el uso de fasores giratorios en el tiempo. Esta representación se basa en la identidad de Euler: j e cos( )+ jsen( ) A partir de esta identidad, podemos descomponer este número complejo en su parte real y su parte imaginaria de la siguiente forma: Re e j cos j Im e sen Componente Real Componente Imaginaria 28

29 Análisis Fasorial Representación fasorial de función sinusoidal A partir de la anterior descomposición del número complejo en sus componentes real e imaginaria, podemos expresa una señal sinusoidal de la forma v 1 t = Vm cos wt + como un fasor de la siguiente manera: Teniendo en cuenta que Re e jθ = cos (θ) y considerando que θ = wt +, tenemos que: Vm* cos wt Vm* Re e Vm* Re e j wt j j wt e Re Vm* e j jwt e Fasor Rotación 29

30 Análisis Fasorial Representación fasorial de función sinusoidal Gráficamente, tenemos que un fasor que gira en función del tiempo puede representar la forma de onda sinusoidal, así: 30

31 Análisis Fasorial Representación fasorial de función sinusoidal Teniendo representada la función sinusoidal utilizando fasores, resulta el siguiente interrogante: Es posible representar la derivada de dicha función sinusoidal utilizando fasores? d dt V t? *La derivada debe mantener la misma referencia bajo la cuál fue definida el fasor de la función original. 31

32 Análisis Fasorial Representación fasorial de función sinusoidal Inicialmente debemos tener en cuenta cuál fue la referencia que definimos para nuestro análisis, pues a partir de esta serán definidos todos los fasores. Consideremos como referencia la función cos(wt), para lo cual trataremos de obtener la derivada de una función de la forma: * f t fm cos wt Se procede a obtener la derivada de la función así: d dt d f t fm* cos wt dt 32

33 Análisis Fasorial Representación fasorial de función sinusoidal Al derivar la función sinusoidal, obtenemos lo siguiente: d dt fm* w* senwt f t Debido a que nuestra referencia es la función cos(wt), debemos llevar esta expresión a la misma referencia. Recordando que: ±sen(wt) cos(wt 90 ) Obtendremos que: d dt f t fm* w* cos wt 2 33

34 Análisis Fasorial Representación fasorial de función sinusoidal Utilizando la identidad de Euler tenemos que: * 2 Re * * j d f t fm w e wt dt Separando términos de la función exponencial, el resultado es expresado como: d j jwt j 2 f t Re fm* w* e e e dt Posteriormente, reorganizando términos tenemos que: d j 2 j jwt f t Re e * w* fm* e e dt 34

35 Análisis Fasorial Representación fasorial de función sinusoidal Aplicando la identidad de Euler al primer término del producto, tenemos que: 0 j 2 1 e cos j * sen 2 2 j 2 Finalmente tendremos la siguiente expresión: e j d dt Re * * * j jwt f t j w fm e e Fasor Original Rotación 35

36 Análisis Fasorial Representación fasorial de función sinusoidal Expresando una señal sinusoidal de manera fasorial, tenemos que: f t d dt f t jw De igual manera, se podría obtener la siguiente expresión para la integral de la misma función mencionada: f tdt jw 36

37 Gracias 37

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