Capı tulo 6 ESTIMACION Y CONTRASTE DE PARAMETROS

Transcripción

1 Caı ulo 6 ETIMACION Y CONTRATE DE PARAMETRO guedo co el roceo de vegacó ecoomérca, e eudará la forma e que lo arámero de ua varable e la oblacó e ema a arr de lo eadíco de dcha varable e la muera. e verá que la emacó uede er uual o or ervalo, ero ara ello e ecea eablecer el amaño de la muera, el úmero de udade de obervacó a er obeda del oal de elemeo que coforma la oblacó. E el caíulo aeror e eudaro la caraceríca de la meda mueral e ao eadíco úl ara emar la meda de la oblacó. E ée e eudará la roedade que debe cumlr lo eadíco ara er coderado bueo emadore de lo arámero de ua varable e la oblacó. Por úlmo, e verá cómo e uede evaluar, a ravé de corae de hóe, lo valore emado de lo arámero reeco de u valore aurale o eablecdo or el vegador de acuerdo a la hóe cale de u roblema a vegar. 6. Teoría eadíca Ua regua rácca e gra are de la vegacó ecoomérca ee que ver co la deermacó del amaño de la muera. La decó del amaño de la muera eá drecamee relacoada co el coo de la vegacó y or ao debe er jufcada. La caraceríca oblacoale de eré o lo arámero de la oblacó, e decr la meda, la varaza y la devacó eádar de la o la varable a eudar que coforma la caraceríca a aalzar obre la udade de obervacó e la abla de dao. Normalmee ea medda o decoocda y e deberá emar u valor, lo má aromadamee oble, omado ua muera de udade de obervacó a arr de lo elemeo de la oblacó. Del mmo modo que la varable e la oblacó ee u cojuo de caraceríca, la varable e cada muera ambé ee u cojuo de caraceríca. Ua de ella e el romedo o meda mueral que, or er ua caraceríca mueral, cambará e obuvera ua ueva muera. Ora caraceríca e la varaza de la varable e la muera,. Ea erá equeña la reuea de la muera o mlare y grade e ecuera dera. e la varaza de la varable e la muera que e ua ara emar la varaza de la varable e la oblacó.

2 84 Ejemlo. El eré eá cerado e coocer la meda o romedo de la varable greo de lo 57 clee de u baco que oee la arjea de crédo AA. La oblacó o lo 57 clee y lo dao e ordea e 8 ervalo de clae de acuerdo al greo que oea cada clee. Iervalo de clae Puo Frecueca medo de de clae la clae Abolua m f m f m m f m f De $50.00 a $ De $30.00 a $ De $50.00 a $ De $70.00 a $ De $00.00 a $ De $5.00 a $ De $50.00 a $ Má de $ uma Fgura 6.. Cálculo de la meda dede el ervalo de clae La medda romedo o lo greo de lo 57 clee del baco que oee la arjea AA, lo cual e deoma meda de la varable greo de la oblacó. N N m f f Calculada la meda de la varable greo e la oblacó, e ude calcular la varaza de la mma. Ea e la uma de la daca cuadráca romedo que eara el greo obervado ara cada clee reeco del greo romedo de la oblacó, ; eo e, de la meda de la varable greo. N m N f f 776,45 El devío eádar de la varable greo e la oblacó e la raíz cuadrada de la varaza 776, Ejemlo. e oma ua muera aleaora, de amaño 0, de lo clee del baco que oee la arjea de crédo AA. La dez eroa eleccoada y el greo reecvo e muera e la Fgura 6.. La meda de la varable e la muera e

3 85 La varaza de la varable e la muera El devío de la varable e la muera Fgura 6.. Cálculo de la meda dede la obervacoe muerale e ua emacó ego de la varaza de la varable e la oblacó orque cluye el érmo -. el amaño de la oblacó, deomado N, e equeño co relacó al amaño de la muera, debe er añaddo u facor de correccó de oblacó fa Dode e lo deoma fraccó de muereo. De modo que la varaza de la varable e la muera e N N N e má de 0 vece el amaño de la muera, el facor de correccó ee rara vez gfcado. Dede luego, oda la muera o geerará el mmo valor de ó. El uo de moraca e que varará de muera a muera.

4 86 La varaza de e medda or u error eádar: error eádar de / La varaza e erá má grade a medda que la varaza de la varable e la oblacó,, ea má grade. A medda que aumee el amaño de la muera, la varacó e dmurá. E el caíulo aeror e demoró que la meda de la varable e la muera,, ee ua drbucó de robabldad ormal co meda gual a y varaza gual a, cualquera ea la drbucó de robabldad de la varable e la oblacó; auque ea o e ormal e requerrá que la muera ea lo ufceemee grade de acuerdo al Teorema del Líme Ceral. Por coguee, ~ N, / De acuerdo a eo, ee u vel de cofaza de % de que caga dero de ±.96 errore eádar de la meda de la varable e la oblacó. La cadad,96 e el valor de la drbucó ormal eádar ara u 95% de robabldad. α/ -α0.95 α/ Fgura 6.3 Ejemlo. E el eudo de la varable greo de lo clee del baco que oee la arjea de crédo AA, e ha obedo 00 muera dferee de 0 dvduo, aromadamee el 95% de la meda muerale reulae eará dero de ±.96 errore eádar de la meda de la oblacó Tamaño de la muera Para deermar el amaño de la muera debe eecfcare

5 87 El amaño del error de la muera que e deea. El vel de cofaza, or ejemlo, del 95%. El error de la muera e e z de dode e deduce el amaño de la muera z e Ejemlo. ee la ecedad de ear u 95% eguro de que, al emar la meda de ua varable e la oblacó, el error mueral o eceda de 00 eo coocedo que la devacó eádar de la varable e la oblacó e ; el error mueral e e gual a 00 y ueo que el vel de cofaza e del 95%, z aume el valor.96. Por ao, el amaño de la muera debe er: El amaño de la muera e deedee del amaño de la oblacó y deedee de: Nvel de Cofaza Devacó eádar de la oblacó Error mueral > z > > > > e < Error, rego y amaño mueral Dado el emador θˆ que e drbuye ormal co arámero θ, y e egado del arámero θ ˆ θ ˆ θ N θ, θˆ E ˆ θ θ. El error de emacó e la dfereca ere el valor obedo e la emacó uual, y el valor del arámero, θ e ˆ θ 0 θˆ

6 88 e ˆ θ 0 θ Fgura 6.4 el error mámo aceable or el vegador e e, habrá u rego de comeer u error ueror a él. E decr, u rego de que θˆ θ > dfereca ere el arámero y u emador uere la cuaía de e. P θˆ θ > e rego de comeer u error ueror a e. e. El rego e la robabldad de que la Ejemlo. uoga que N500,30, 00, e > 6 y ˆ. e quere aber cuál e el rego de comeer u error de emacó de ueror a 6. z e e or lo ao 6 z ± 0,00 0, Fgura 6.5 La robabldad o ea, el rego de que al efecuar la emacó uual e comea u error e valor aboluo mayor a 6 e P z > P z rego Relacoe ere error, rego y a Rego e z - el rego e fucó vera de z. Cuado z crece el rego dmuye. - z deede del error, de y de la varaza oblacoal, or lo ao el rego, que e fucó de z, ambé deede de ello. - aumea el error e, aumea z, dmuye el rego - aumea, aumea z, dmuye el rego - aumea, dmuye z, aumea el rego b Error

7 89 e z - aumea, dmuye el error. - aumea, aumea el error c Tamaño mueral z e - maeedo el mmo error y el mmo rego, aumea aumea. e uede calcular ara emar e cooce error, rego y oblacoal. Devacó eádar decoocda El rocedmeo que e acaba de morar uoe que la devacó eádar de la oblacó e coocda. Pero, e la mayor are de la uacoe rácca o e coocda y debe er emada a arr de - Uar ua devacó eádar de la muera obeda de ua ecuea aeror comarable o de ua ecuea loo. - Emar ubjevamee - Uar roorcoe. Lo do rmero cao e reuelve de la maera dearrollada. Para el ercer cao, el rocedmeo e uar ua roorcó de la muera ara emar ua roorcó decoocda de la oblacó, π. El error mueral uado roorcoe e de e z dode e el devío de la roorcó e la muera. Obervacó: E ua abla de dao ua varable cualava erea u elemeo de la oblacó o ua udad de la muera oee o o u deermado arbuo. Para oder rabajar e codfca, agádole el valor o 0 a cada udad de obervacó, egú oea o o el arbuo. ea el úmero de udade de obervacó eraída de ua oblacó de amaño N, e la que e oberva la varable eo. Ea e ua varable dcoómca: maculo y femeo o lo arbuo. uógae que la abla de dao ara ea uacó ea la de la fgura 6.6. eo M F

8 ! 0 0 Fgura 6.6. Tabla lógca ara la varable eo egú la formacó de la abla laeada, el -émo elemeo oee el arbuo femeo 0 el -émo elemeo oee el arbuo maculo E coecueca, el valor de la varable e covere e u cojuo de cero y uo. e defe el guee oal: " #$ De ea maera e el oal de dvduo de eo femeo e la muera. La roorcó de mujere e la muera e eoce: ' Dode e la roorcó de udade de obervacó que oee u arbuo e ee cao er de eo femeo e la muera. Por lo ao, e raa de u eadíco que ee la fucó de emar la verdadera roorcó de elemeo que oee u deermado arbuo e ee cao er de eo femeo e la oblacó o ea u arámero oblacoal, defdo como: Dode e el oal de dvduo de eo femeo e la oblacó. La roorcoe y ' o o má que romedo de ua varable dcoómca. A vece e mullca or 00, covrédoe e orceaje. La varaza del emador ' e uede obeer a arr de la fórmula de la varaza de la varable dcoómca, de la guee maera: * #$ * - * * #$ N - Por movo de oacó, lo reulado e reea e érmo de ua ereó lgeramee dferee, e dode el dvor e ua e lugar de. Ea covecó, de acuerdo a lo ereado or W. Cochra la ua quee efoca la eoría del muereo or medo del aál de la varaza. u veaja e que la mayoría de lo reulado oma ua forma lgeramee má mle. emre y cuado e ue coeemee la mma oacó, odo lo reulado o equvalee e amba oacoe.47. Pero, e ee cao #$ * - 0* 0 * * * 0 * Y ambé, Remlazado,

9 9 * * * #$ - * - / * 0 De dode, * / 0 E forma mlar, u emador de la varaza de e la muera erá: * /' '0 De la mma forma que la * era, or el eorema ceral del líme, gual a la /; la varaza de la roorcó mueral erá: ' * 4 5' * * / 0 Dode e ha edo e cuea el facor de correccó ara oblacoe fa. Ua emacó egada de la ', dervada de la muera, e * 4 * /' '0 /' '0 De lo aeror e ee que e muy grade e relacó a, de al maera que el facor de correccó ara oblacoe fa e muy equeño, ua emacó egada de la varaza de ' e: * ' ' 4 E alguo rabajo e ua la fórmula aeror dvdedo or e lugar de or ; ero eo e u error, ya que, aú e oblacoe fa, reula ua emacó egada de la verdadera varaza de '. e había eablecdo que: e z Por lo ao, e va de la obervacó aeror Al reolver ara e obee, * 6 * 97* 6 * : Para fe rácco, la correccó ara oblacoe fa e derecable, e ulza:

10 9 z π π e El eor de lo cao, e dode la varaza de la oblacó e máma, ocurre cuado la roorcó oblacoal e gual a 0.50 orque, co π 0.50, la varaza e π - π 0.5 y ee e el mámo valor de varaza que e uede eer e ua varable dcoómca. Debdo a que la roorcó oblacoal e decoocda, u rocedmeo comú coe e uoer el eor de lo cao. La fórmula ara el amaño de la muera e mlfca eoce a: z 0.5 e De ee modo, la roorcó de la oblacó debe er emada dero de u error, de 0.05 ó 5 % a u vel de cofaza de 0.95, el amaño ecearo de la muera e: uoedo que la oblacó, de dode e deea eraer la muera, cuea co 3000 elemeo, erá ecearo eer e cuea la correccó ara oblacoe fa ;'. E ee cao, el valor de 384 e coderado como ua rmera aromacó y, al alcar la fórmula geeral, el amaño mueral e reduce. 7 * 6 * 97* 6 * : / U rumeo de ecuea o u eermeo o e baa ólo e ua regua. Algua vece, uede ear volucrada ceo de ella, ero o erá ecearo aar or ee roceo e oda la regua. Geeralmee e oma lo errogae má rereeavo y e deerma el amaño de la muera a arr de ella. E el aál debe clure lo cueoameo má morae ara el eudo y que ega la varaza eerada má ala. e uede calcular la recó abolua al 95% obre la emacó de e fucó de la roorcó obervada ' y el amaño de la muera, como e muera e la fgura 6.7 ' ' >?6;!@!ó BC@DEFGB BE 95%,96 K8 L ' orceaje ;'co

11 ' M 4,7 5,88 7,00 7,84 8,49 8,98 9,35 9,60 9,75 9, ,0 4,6 4,95 5,54 6,00 6,35 6,6 6,79 6,89 6, ,47 3,39 4,04 4,53 4,90 5,9 5,40 5,54 5,63 5, ,4,94 3,50 3,9 4,4 4,49 4,67 4,80 4,88 4, ,9,63 3,3 3,5 3,80 4,0 4,8 4,9 4,36 4,38 500,74,40,86 3,0 3,46 3,67 3,8 3,9 3,98 4, ,6,,65,96 3, 3,39 3,53 3,63 3,69 3, ,5,08,47,77 3,00 3,8 3,3 3,39 3,45 3, ,4,96,33,6,83,99 3, 3,0 3,5 3, ,35,86,,48,68,84,96 3,04 3,08 3, ,0,5,8,0,9,3,4,48,5, ,96,3,56,75,90,0,09,5,8, ,85,8,40,57,70,80,87,9,95, ,78,07,8,43,55,64,7,75,78, ,7 0,99,8,33,43,5,58,6,65, ,68 0,93,,4,34,4,48,5,54, ,60 0,83 0,99,,0,7,3,36,38, ,43 0,59 0,70 0,78 0,85 0,90 0,93 0,96 0,98 0, orceaje Fgura 6.7. Cálculo de la recó abolua e oberva que la recó e ao mejor cuao el amaño de la muera crece, ero ambé, cuado la roorcó obervada e aleja del 50% el eor de lo cao. E efeco, e rereea la varacoe de ' ' e fucó de 0 ', e obee el gráfco que e muera e la fgura 6.8 Fgura 6.8. Varacoe -

12 94 Eoce ara cada ', ' ' $ O Por lo ao, el ervalo de cofaza al 95% má grade que e uede obeer ara la emacó de ua roorcó correode a la columa del 50% de la fgura 6.7 y e gual a ' ± $ 6.3 Emacó uual E la dcuó que gue el ema de eré e la emacó de arámero geeralmee u olo arámero de drbucoe de robabldad de forma coocda, or lo que la forma de la fucó de dedad f, θ ambé e coocda. Toda la emacoe e hace co bae e la formacó coeda e la muera. Ea muera edrá emre u amaño fjo; e decr, o e ee e cuea, e el aál de lo méodo de emacó, que el amaño de la muera e ambé ua varable aleaora que deede de lo mmo dao de lo arámero a medda que va aarecedo. Eo e uede errear como que, a medda que e obee la obervacoe, el amaño de la muera uede r ajuádoe ae ea aarcoe aleaora que alera el valor de la roorcoe. Pero eo e abadoa ya que el amaño de la muera e fja arorícamee de acuerdo al rocedmeo aalzado e el uo aeror; de al forma que la udade de obervacó a eleccoar queda fja y la abla de dao ee ua erucura coocda e cuao a la cadad de muera que erá eceara ara llevar adelae el roceo de vegacó. E la emacó uual e coruye ua ola fucó de lo dao de la muera ara emar el valor de u arámero oblacoal. Dada f,θ coocda, ee ua muera de amaño fjo roveee de ua oblacó co drbucó coocda. Lo emadore uuale ee la roedade de: egameo, varaza, coeca, efceca y ufceca y o requerdo cuado la mma emacó debe erare como u úmero e ua erucura maemáca má comleja, como e comú e la ecoomía modera.

13 95 Proedade de lo emadore La roedade ara la meda arméca roducda e el caíulo aeror e uede geeralzar ara cualquer emador; e uede decr que ee u úmero fo de emadore del arámero decoocdo θ, ero olo alguo erá aceable, or lo que e ecea coar co crero que erma elegr ere ello. E geeral, erá de eré aquello emadore co ua ala robabldad de roorcoar emacoe que eé cerca del verdadero valor del arámero. Como lo emadore o varable aleaora, lo crero de eleccó e va a baar e la roedade de u fucó de drbucó. E rmer lugar, e eudará la roedade e muera fa que e cumle ara cualquer amaño de la muera, cluo ara la equeña; oerormee, la roedade aóca, que e aface cuado el amaño mueral ede a fo. Proedade e muera fa a Iegameo e dce que u emador θˆ e egado, í E θˆ θ. Cuado E θˆ θ, el emador e egado y e defe el ego como: ego ˆ θ E ˆ θ θ Ea rmera roedad fue aalzada cuado e dearrolló la drbucó mueral de la meda arméca de la muera, dode, emírcamee, e demoró que E edo arámero oblacoal la meda de la oblacó. Geeralzado, hay ua oblacó decra or la fucó de dedad f,θ coocda y el valor del arámero θ e decoocdo.,,,, dode f e ea K ua muera aleaora obeda de ea oblacó, el eadíco,, K, e u emador egado del arámero θ E θ ara odo y ara cualquer valor de θ. E cualquer oro cao θ e egado.

14 96 Ejemlo. Emadore egado a E, E ee, ao ua ola obervacó de la varable aleaora,, como u meda,, o emadore egado de. u varaza reecva o y. Por lo ao e referble a, emre y cuado >, ya que <. e ua obervacó mueral que uede aumr cualquera de lo N valore do de la oblacó. De dode N N N N P P P E K b y E E y E Eo e, la dfereca de la meda de do muera aleaora deedee e u emador egado de la dfereca de la meda e la oblacó. c E Dado ˆ [ ] { } ˆ E E E E [ ] [ ] { } E E E E dode, [ ] E E y [ ] E E Reemlazado ˆ E Por lo ao, ˆ e u emador egado de. Pero e egado ya que ˆ ˆ E E Por lo ao E b Efceca Oro elemeo que hay que eer e cuea e la varaza del emador, Vθˆ ; edo de eré lo emadore que ega la meor varaza.

15 97 Pero egur olamee ee crero uede llevar a eleccoe aburda. Ejemlo, θ e u ecalar, el emador θˆ 50, ee varaza cero y, embargo, o ee gua garaía de que eé rómo al verdadero valor del arámero. Por ello, e mucha ocaoe, la eleccó ere emadore e rerge a la clae de emadore egado. U emador θˆ e efcee dero de la clae de lo emadore egado del arámero θ, u varaza e la meor ere oda la varaza de lo emadore egado. Error cuadráco medo El crero de efceca rerge la eleccó de u emador a la clae de emadore egado. Puede ocurrr que de ea forma e gore emadore que o egado, ero que ee ua varaza meor que oro emadore egado. e debe elegr ere u emador θ ~ egado de varaza grade y oro emador θ * egado ero co varaza equeña, e oble que θ * roorcoe emacoe má cercaa al verdadero valor θ que θ ~. Para comarar eo emadore, e reco ulzar el crero del error cuadráco medo, que, e el cao arcular de que θ ea u ecalar, e defe como: ˆ θ E ˆ θ θ E ˆ θ θ E ˆ θ E ˆ θ ego ˆ θ V ˆ θ ECM El crero de elegr aquel emador de θ que mmce el error cuadráco medo, ee e cuea ao el ego como la varaza. e codera olo la clae de emadore egado, eoce ee crero e equvalee al crero de efceca. c Ivaraza θˆ e u emador de θ, e uede ear que θ e u emador de θ emador e varae cuado g θˆ e u emador de g θ. ˆ. Por lo ao u Ejemlo. o e u emador varae de ya que E Obervacó: e abe que V m E m E [ ]

16 98 De la mma maera, e lugar de la varable e ee la varable, eoce V E [ E ] Ahora be, egú el eorema del líme ceral, la meda y la varaza de, o y reecvamee, eoce E De ee modo E Por ede, o e u emador varae., d ufceca E u emador que ulza oda la formacó coeda e la muera, reeco del arámero a emar. Proedade aóca La roedade eudada haa ahora eá relacoada co la drbucó de u emador deedeemee del amaño de muera ulzado. E decr, cuado u emador e egado, lo e ao ara muera equeña como grade. E ocaoe e oberva que la drbucó de u emador camba ara do amaño muerale y, e oro cao, e laea roblema ecoomérco e lo que e muy dfícl, o moble, deermar la roedade de lo emadore e muera equeña. E ea uacoe, la eleccó de u emador e baa e u roedade aóca, e decr, la roedade que aface el emador coforme el amaño mueral T crece y ede a fo. a Coeca La roedad de coeca va a garazar que el emador geere, co ua robabldad ala, emacoe róma al verdadero valor del arámero la muera e lo ufceemee grade. ea θˆ, el emador de θ baado e ua muera de amaño T, e coee í y olo í

17 99 ε > { ˆ θ θ ε} 0 lm P e deoa como lm ˆ θ θ o mlemee, lm ˆ θ θ. Iuvamee, u emador e coee, a medda que el amaño de muera crece, e má robable que la emacoe eé cerca del verdadero valor del arámero. Ejemlo. e u emador coee de ya que dado E,., 0 or lo ao 0 y. b Iegadez aóca El emador θˆ de θ, e dce que e aócamee egado í y olo í: lm θ θ E ˆ La roedade de coeca e egadez aóca o mlca la ua a la ora; u emador coee o ee or qué er aócamee egado, y vcevera. a el emador θˆ e ua varable aleaora que o oee rmero momeo, uede que o ea aócamee egado, auque ea coee. Ejemlo. U emador θˆ que olo oma do valore y Q R co la guee robabldade: ˆ θ T P θ De forma que ε > 0: P P ˆ θ T T k y { ˆ } ˆ k θ θ > ε P θ T T Ee emador e coee orque: lm P{ ˆ θ } { ˆ θ ε lm P θ θ > ε} lm 0 T T T Y, embargo, e fácl comrobar que e egado e muera fa: E ˆ k k θ θ T T T θ θ T T Y o e aócamee egado ara valore de k : ˆ k lm E θ θ lm T θ

18 00 b El cao coraro, u emador aócamee egado que o e coee. Ejemlo. El emador θˆ ~ θ N,, T E egado ara odo amaño mueral y, or lo ao, e aócamee egado. embargo, o e coee, ya que la robabldad { θ θ ε} P ˆ No decrece cuado aumea. El roblema e que al aumear el úmero de obervacoe o dmuye la varaza del emador, e decr, o roorcoa má formacó obre θ. Eo ejemlo, da ua dea de do codcoe ufcee ara que u emador ea coee:.. lm E ˆ θ lm V ˆ θ θ 0 E decr, u emador θˆ e aócamee egado y u varaza ede a cero coforme el amaño mueral ede a fo, eoce e coee. Ea codcoe o ufcee, ero o eceara. E oble que u emador ea coee que e cumla ea codcoe como e el ejemlo aeror, dode el emador o era aócamee egado orque u valor medo edía a fo al aumear el amaño mueral. Drbucó aóca Cuado o e uede dervar aalícamee la drbucó eaca de u emador o eadíco, ua olucó e eudar u drbucó de robabldad ara la muera que ede a fo., a medda que el amaño de muera va aumeado, la drbucó del emador e aroma cada vez má a ua drbucó eecífca coocda, eoce, ara amaño de muera grade, e uede uar ea drbucó del emador. Covergeca e Drbucó. Ua uceó de varable aleaora θˆ e dce que coverge e drbucó a θˆ, í la fucó de drbucó F T de θˆ coverge a la fucó de drbucó F de θˆ e odo lo uo de coudad de F. e deoa ˆ θ d ˆ θ y F e deoma drbucó aóca de θˆ. A vece ambé e d deoa θˆ F, o ambé ˆ θ ~ F. a

19 0 a Teorema de Ma-Wald ea ua marz de dmeó T K y u u vecor de dmeó T de varable aleaora déca e deedeemee drbuda, ale que: I ' 0, E uu E u I II ' u E 0,, L, k, dode e la éma columa de III ' lm Q T fa, mérca y defda ova Eoce e ee: a lm ' u T 0 k b T ' u / d N 0, Q k b Teorema de luzky lm ˆ θ θ y g θˆ e ua fucó coua de θˆ, eoce: lm g ˆ θ g lm ˆ θ g θ E decr, el líme e robabldad de ua fucó coua vee dado or la fucó evaluada e el líme de robabldad. c Teorema de Cramer ea Y, Z q, dode Z e ua fucó coua de marce aleaora y q e u vecor de varable aleaora. e aface que: I lm Z Z fa II lm q q fo III q a ~ N, M eoce:

20 0 I II III lm Z T Zq q T a ~ Z N q d Zq Zq Z, ZMZ ' 6.4. Crero de Emacó Dada ua ecueca de vecore de varable aleaora Z T Y. ;,..., T. la fucó de dedad de ea varable vee dada or fy,..., Y T,,..., T; θ Dode θ e u vecor de arámero decoocdo que caracerza ea fucó de dedad. uogáe que el objevo e realzar fereca de θ obre la bae de lo valore obervado de Y,..., Y T,,..., T. Ahora be, e Ecoomería erea la drbucó codcoada de u cojuo de varable aleaora dado oro cojuo de varable aleaora. Por ejemlo, aalzar el coumo de la oblacó ara ua rea dada. la roeó margal a coumr e el arámero de eré y e deerma deedeemee del roceo que ha geerado la rea, e uede laear la drbucó del coumo codcoado a la rea. La fucó de dedad cojua de ea muera e uede ecrbr como: f Y L, Y,, L, ; θ f Y, L, Y, L, ; β f, L, ; γ, T T T T T el vecor β recoge lo arámero de eré y o hay relacó ere β y γ e uede gorar f, L, ; γ a la hora de hacer fereca obre β. Y Y, erá el vecor de varable edógea o deedee., L, YT El vecor ', el vecor de varable eógea o deedee., L, T El vecor ' La fucó de drbucó de eré vedrá dada or fy, β y coderado la varable deedee de como fja o eocáca e muera reeda, e reducrá a fy, β.

21 03 Crero de máma veromlud El rco de emacó de máma veromlud e baa e la dea de que e má robable que la muera obervada haya do geerada or u modelo caracerzado or valore deermado de lo arámero y o or oro aleravo. La emacó or máma veromlud de u vecor de arámero β coe e elegr aquello valore arculare βˆ MV que co mayor robabldad caracerzaría el roceo que ha geerado la muera doble. La fucó de veromlud, ee la mma forma que la fucó de dedad cojua de la muera, ero, a dfereca de éa que e ua fucó de la varable aleaora Y T, T, la fucó de veromlud, e ua fucó de lo valore que ueda omar lo arámero, β, dada ua muera cocrea. Para eecfcar, or lo ao, la fucó de veromlud e ecearo uoer ua forma elíca ara la fucó de dedad cojua de la muera. ea f Y L, Y, L, ; β, la fucó de dedad que geera la muera dado u vecor β. Aálogamee, omado como dada la muera doble, la fucó de veromlud, e ua fucó de β: f β Y L, Y,,, f β Y, L β, L T E el cao de que Y,, Y T L, ea obervacoe deedee, e uede ecrbr la fucó de veromlud como: L T β f YT T ; β T El emador mámo-veroíml βˆ MV, e aquel valor de lo arámero que, dada la muera, mamza la fucó Lβ. E la rácca, e lugar de coderar Lβ, e codera el logarmo aural de Lβ, I Lβ, dado que el valor de β que mamza Lβ, e el mmo que mamza L β y e, aalícamee, má ecllo rabajar e logarmo. El emador mámo veroíml e u emador efcee. Para demorarlo e defe la marz de formacó que e la marz de la eeraza maemáca de la eguda dervada de la fucó de veromlud, co go egavo: I IL β E ' β β

22 04 y la vera de la marz de formacó [ I β ], e deoma coa de Cramer-Rao. [ ] β e cualquer emador egado de β, e uede demorar que V β I β ua marz emdefda ova., e Ee reulado mlca que, bajo cera codcoe de regulardad, el emador de eré, V βˆ, alcaza la coa de Cramer-Rao, eoce βˆ, e u emador egado y u varaza, βˆ, e u emador efcee, ya que o e oble que oro emador egado ega ua varaza meor. E ee mmo coeo e defe la efceca aóca. u emador βˆ e coee y la marz de covaraza de u drbucó aóca, IAβ, e al que: IA T β lm I β T Eoce βˆ e u emador aócamee efcee. Bajo cera codcoe de regulardad, el emador mámo-veroíml ee roedade aóca deeable: e aócamee egado, coee, aócamee efcee y u drbucó aóca e ua drbucó ormal. u úco coveee e que e reco uoer ua drbucó eecífca f Y, Y, L, ; β, L. Ua mala eecfcacó de ea fucó de drbucó mlca la érdda de ea buea roedade aóca. E geeral, la roedade aóca del emador mámo-veroíml, o muy aracva e cao e lo que e moble ecorar emadore co buea roedade ara muera fa, uacó ea que e roduce frecueemee e la rácca. El rocedmeo ara obeer lo emadore mamoveroímle coe e:. Defr la fucó de veromlud L θ, θ, K, θ. Tomar l de L: [ L θ, θ, K, θ ] l k k 3. Lo emadore de θ, θ, K, θk erá aquella ereoe ara la cuale la fucó L ea máma. Para eo e ecearo a dervar ll reeco a cada θ b gualar a cero

23 05 c reemlazar lo θ or lo emadore θˆ d reolver el ema de ecuacoe Ejemlo. Dada ua oblacó ormal de arámero,, la fucó de veromlud ara obeer bueo emadore ara la meda y ara la varaza, erá e f f π e defe la fucó de veromlud, π π e e L π e e oma l l l l, l π π L 3 e derva el, l L co reeco a y, y e guala a cero T U T V 0 l L 0 l L Ea o la dervada de rmer orde, a arr de la que e obee lo uo eremo e la omzacó. Para eo, cada dervada e guala a 0 y e reemlaza or y or ˆ, reulado u ema de do ecuacoe co do cóga: T U T V 0 ˆ 0 ˆ ˆ E e mullca ambo membro or ˆ y e reuelve el umaoro, de modo que 0 E e deeja ˆ y e obee:

24 06 ˆ 0 ˆ ˆ ˆ La meda mueral e u Emador Mámo Veroíml EMV de la meda oblacoal. El EMV de e ˆ que, or lo demorado aerormee, e u emador egado. Crero mímo-cuadráco e eecfca ua forma fucoal deermada ara el valor medo de la drbucó de eré fy, β EY, β h; β El crero mímo-cuadráco ara la obecó de u emador de β e baa e elegr aquel valor de β que, dada la muera doble: Y, Y, L, ; β fucó de daca ere Y y h; β ' β Y h ; β Y h ; β, L mmce la guee Y e u vecor T y e ua marz T K, ee crero e uede ecrbr como la uma de cuadrado de la devacoe ere Y y u valor medo h: T β Y h ; β Deededo de la fucó de daca elegda, e deermará u crero mímo-cuadráco dferee. la fucó e leal, EY T T, β T β, la fucó objevo e: T ' β Y β T y el crero mímo-cuadráco geeral recbe el ombre eecífco de mímo cuadrado ordaro MCO. or el coraro, e deea dar má eo a la obervacoe Y T meo alejada del valor medo EY T T, β, e uede eecfcar ua marz de eo W T T, que recoja da oderacoe ara da devacoe, edo or lo ao la fucó crero de la forma: ' β Y h ; β W Y h ; β El méodo de emacó que e baa e elegr lo valore de β que mmza la fucó crero aeror, e deoma mímo cuadrado geeralzado MCG.

25 Emacó or Iervalo E la emacó or ervalo, geeralmee, e coruye do fucoe baada e lo mmo dao muerale, dero de lo cuale, e u edo robablíco, el valor decoocdo del arámero ha de ecorare. Eo coe e obeer u cero ervalo aleaoro que coee el arámero a emar. Ee ervalo aleaoro e deoma ervalo de cofaza y e eablece u magud de la guee maera { θ } α P L L Dode: θ e el arámero a emar L líme feror del ervalo L líme ueror del ervalo α vel de cofaza, eo e la robabldad que de cada 00 vece que e realce la emacó α 00 vece, el arámero a emar va a caer dero de ee ervalo. E ua robabldad coocda. Lo líme de cofaza L y L o varable aleaora que deede de la obervacoe muerale y del vel de cofaza. α E la emacó uual e ema θ, uualmee, a ravé de θˆ co u rego α de comeer u error de emacó. E la emacó or ervalo e ema θ a ravé de u ervalo aleaoro que ee ua robabldad coocda de coeer el arámero. Para eeder aú má el coceo, uoga que el emador θˆ ~ N, o aócamee ormal, y que la amlud del ervalo ea ± ˆ. uoga, ademá, que e hace vara θ emacoe uuale ˆ θ θ θ. La robabldad de que ee ervalo coega al,ˆ,...,ˆ arámero e obee de la abla ormal y e 0,9544. e oberva que lo ervalo de cofaza coedo a arr de θˆ y θˆ 3 coee al arámero, o aí el corudo a arr de θˆ 4.

26 08 Por lo ao el 95,44% de la vece el ervalo de amlud ± ˆ θ coedrá al arámero y e el 4,56% o lo coedrá. la amlud del ervalo fuera ±.4 Y la robabldad ería 0,9836. Fgura 6.9 Elemeo de la emacó or ervalo θ ; arámero a emar,,, ; obervacoe muerale de ua oblacó cuya fucó de dedad e g/. 3 θˆ; u emador de y como al varable aleaora, θˆθˆ,,,. 4 KKθˆ,θ ; e u eadíco que or er fucó de θˆ e ua varable aleaora. Kθˆ,θ e elge de maera que ega ua fucó de robabldad coocda y abulada. 5 gk; e la fucó de dedad de la varable Kθˆ,θ. P{ K Kˆ, θ θ } 6 α K ; e el vel de cofaza. 7 K,K ; o lo coefcee de cofaza y e obee de la abla de la drbucó gk. u valor deede del vel de cofaza α. Lo coefcee de cofaza o fucoe de α, eo e, al fjar queda deermado K y K. α

27 09 8 L,L ; o líme del ervalo de cofaza ara emar. e obee al deejar e la degualdad K Kˆ, θ θ K, de al maera que L θ L. L,L o varable aleaora que deede de la obervacoe muerale y de lo coefcee de cofaza y o fucó del vel de cofaza y del amaño de la muera. Iervalo de cofaza cuado θˆ e drbuye ormal o aromadamee ormal uoga θˆ N θ, θˆ. El eadíco K ˆ, θ θ que e ulzará e Z N0, ˆ θ θ K ˆ, θ θ Z ˆ θ N0, La robabldad de que el eadíco e ecuere ere do valore coocdo -Z $ y Z * - e de [. ˆ θ θ P K K α ˆ θ E la degualdad del rmer membro, mullcado or ˆ θ : P K θ ˆ ˆ θ K ˆ α θ Luego umado θˆ y reordeado, queda P ˆ θ K θ ˆ ˆ θ K ˆ α θ θ θ lo líme de cofaza o L ˆ θ K ˆ θ ; K zα L ˆ θ K ˆ θ ; K zα

28 0 Dada la mería de la curva ormal, e odo lo cao e verfca que z α zα α α α k k Fgura 6.0 o ea que: L ˆ θ z α ˆ ˆ θ ; L θ zα ˆ θ Iervalo de cofaza ara emar Para emar el ervalo de cofaza ara la meda de la oblacó, hay que eer e cuea la varaza de la oblacó bajo eudo y el amaño de la muera. la oblacó e ormal de arámero,, e drbuye ormal co arámero, ; e decr, ~, ~ ^, ` _ El eadíco e K el cual e aoca a ua drbucó de robabldad, de acuerdo al coocmeo que e ega de la varaza e la oblacó y del amaño de la muera ulzado.

29 Por eo e que e ee 3 cao: devío coocdo, devío decoocdo ero muera grade y devío decoocdo co muera equeña. A couacó e dealla lo re cao. e coocda, el eadíco K N0, reolvedo, como e dcó aerormee, lo líme del ervalo e defe como L L z α ; zα e decoocda y la muera e grade El eadíco e drbuye como ua ormal K Z0, el devío decoocdo debe emare or Cuado la muera e grade defe como. Al reolver, lo líme del ervalo de cofaza e L L z α ; zα e decoocda y la muera e equeña El eadíco K e drbuye como ua K, Trabajado dede la obervacoe muerale, e la eadarza, eleva al cuadrado y uma ara defr ua varable Y Y

30 Dode a~b c$ * Mullcado y dvdedo or -: Y χ E coecueca, dada ua muera de amaño y edo 0, N Z e obee Y Z Eo gfca que El vel de cofaza e: α K K P Dode lo valore críco Z $ y Z * vee defdo or la drbucó ; ; α α K K or lo ao lo líme d $ y d * del ervalo de cofaza erá

31 3 L L ; α ; α E reume, la meda de la muera e uada ara emar la meda decoocda de la oblacó. Debdo a que varía de muera e muera, o e gual a la meda de la oblacó ; e decr, ee u error de la muera. Para reflejar el alcace de ee error mueral e úl ua emacó de ervalo e oro de. Tamaño del ervalo El amaño del ervalo deederá de la cofaza que e deee, de que coega a la meda de la oblacó verdadera y decoocda. Para eer ua cofaza de 0.95 de que la emacó del ervalo coega a la meda de la oblacó verdadera, la emacó de ervalo e: ± error de la muera e ± z emacó de ervalo de Ejemlo. E el eudo del greo romedo de lo clee de u baco que oee la arjea AA, e obuvo El ervalo e 53.0 ± ± ± e cluye la meda oblacoal verdadera Aromadamee el 95% de la muera geerará ua emacó de ervalo que clurá a la verdadera meda de la oblacó. El amaño de la emacó del ervalo deederá de cuaro facore. - vel de cofaza. - devacó eádar de la oblacó. - amaño de la muera. - coocmeo de la devacó eádar de la oblacó.

32 4 la devacó eádar de la oblacó o e coocda, e ecearo emarla co la devacó eádar de la muera,., ademá, el amaño de la muera e equeño, la emacó del ervalo de 0.95, ería: ± Dode, e reemlaza la drbucó ormal co la drbucó. el amaño de muera e grade, au cuado o e coozca el devío, e ema el ervalo co la drbucó ormal Ejemlo. E el eudo del greo romedo de lo clee de u baco que oee la arjea AA, e obuvo Eoce el ervalo e: ± ± ± A medda que e vuelva má grade, la drbucó de e aroma a la drbucó ormal. Por ejemlo, 0.09; Iervalo de cofaza ara la varaza de ua varable co drbucó oblacoal ormal El arámero a emar e ahora y u emador e El eadíco que e ulza e K χ

33 5 El vel de cofaza [ deerma lo valore críco Z $ y Z * ere lo que e ecuera el eadíco K P K α K ara deejar e debe egur lo guee ao:. e oma recíroca y e camba el edo de la degualdad ere llave, eo e: K K. e mullca lo membro de la degualdad or K K El ervalo de cofaza ara emar * co vel de cofaza [ erá P χ ;α χ ; α α K y K o valore arculare de χ que vee deermado or el vel de cofaza [ deeado y e ecuera e la abla K χ ; α K χ ;α Lo líme del ervalo e defe L χ ;α L χ ; α

34 6 Ejemlo. Por requermeo del Dearameo Técco de la emrea INTI A e deea emar u ervalo de cofaza ara la varaza del lleado de la boella de ua bebda gaeoa a u vel de cofaza de e cooce que el lleado de la boella e drbuye aromadamee ormal. e oma ua muera de 9 boella al azar co lo guee reulado. Σ 85.dc 3 Σ dc 3 El ervalo de cofaza ara la varaza, P χ ;α χ ; α α, e: El eucado del roblema o dca el valor de varable bajo eudo que erme u cálculo., ero ofrece alguo reulado ara la Reemlazado el reulado de la uma y de la uma de lo elemeo cuadráco La drbucó ch cuadrado co 8 grado de lberad, ara u vel de cofaza de 0.95, arroja lo guee eadíco: χ χ ; α χ8;0.05 ;α χ8; Reemlazado el valor de * y lo valore críco de la drbucó e * e el ervalo de cofaza 8* *96.70 P P El reulado dca que la varabldad e el lleado de la boella de ua bebda gaeoa e ecuera ere dc y.49 dc 3

35 7 Iervalo de cofaza ara la dfereca de meda El arámero a emar e la dfereca e la meda de do oblacoe,. Para realzar la emacó e cuea co muera roveee de amba oblacoe de la cuale e obee la reecva meda, y. e abe que la muera o deedee, y o deedee, eoce E E E V 3 V V N y, N, eoce, N ; Al gual que e el cao de ervalo ara la meda,, e debe coderar ervalo aleravo de acuerdo al coocmeo que e ega de la varaza e cada oblacó y al amaño de muera ulzado. A couacó e dealla cada uo de lo cao. Cao. y coocda, Cuado la varaza o coocda e amba oblacoe, e ulza u eadíco Z N0, Z Oerado de la mma maera que e lo cao aerore, lo líme ara emadore que e drbuye ormal ara la dfereca de do meda de oblacoe co varaza coocda e defe como P Z Z α Z Remlazado Z or u gual

36 8 α Z Z P Mullcado or f _ g h g _ h h h y umado $ *, e ee el ervalo de cofaza [ ara la dfereca de la meda de do oblacoe α α α Z Z P De modo que lo líme erá: Z L α Z L α Cao. y decoocda y muera grade. Lo emadore de la varaza oblacoale, y, ede a y, reecvamee, or lo que el eadíco K e drbuye como ua ormal fcada. Eoce: Z Teedo e cuea lo dearrollado aerormee, el ervalo de cofaza e laea α α α Z Z P De modo que lo líme vee deermado or

37 9 Z L α Z L α Cao 3. y decoocda ero guale y muera equeña. E ee cao e debe ulzar la drbucó de robabldad, que e el cocee ere ua ormal y la raíz cuadrada de ua ch cuadrada dvdda or u grado de lberad. Al eer do muera roveee de do oblacoe, el eadíco Z e defe como 0, Z La e * relacoa la varaza de la muera co la de la oblacó eedo e cuea que la uma de varable ch cuadrado da or reulado ora ch cuadrado. gl χ χ χ Ulzado el eadíco defdo e el cálculo del ervalo de cofaza ara la varaza, e ee que, la e * que reúe la do muera roveee de la do oblacoe e defe como: gl χ χ Eo gfca que 0, Z χ

38 0 mlfcado e la ereó aeror queda Luego, mullcado eremo or medo e obee el eadíco que erme hallar lo líme ; L α ; L α De modo que, la robabldad erá α α α ; ; P Cao 4. y decoocda y da e muera equeña. y o decoocda y da, la drbucó de

39 k Deede de y, e rco, K o uede ulzare ara el cálculo del ervalo; e u lugar ee dferee olucoe al roblema. Ua de ella e debe a Hu y coe e aromar la drbucó or ua co grado de lberad fjada e el mímo, obeédoe el ervalo α,,,, k k P Para cualquera de lo cao, e u recorrdo el ervalo de cofaza coee el cero, la oblacoe bajo eudo reea valore guale ara la meda de la varable e coderacó; y, cuado o lo coee, o da. Ejemlo. Para u deermado roduco de coumo oular, el romedo de vea e ua muera de 0 comerco fue de $34500 co u devío emado de $0000. Para u egudo roduco, el romedo de vea e ua muera de comerco fue de $35000 co u devío emado de $7500. e uoe que lo moo de la vea or eda ee ua drbucó ormal ara ambo roduco. La Cámara Emreara quere aber, a u vel de cofaza de 0.95, hay dfereca gfcava e el vel romedo de vea or comerco. La formacó brdada e el eucado uede ordeare de la guee maera Produco Produco Vea romedo Varabldad Tamaño de la muera 0 Dado que o e cooce el devío e la oblacó y la muera e equeña, debe alcare el ercer cao: α α α ; ; P La drbucó, al vel de cofaza de 0.95 y co 0 grado de lberad, ee lo guee eadíco:

40 ;α 0 ; ;0.975 ±.086 El error e gual a: e α ; ± * 0000 *7500 0* 0 ± ± Reemlazado e el ervalo de cofaza α P P 7500 P El ervalo de cofaza alcazado dca que el roduco ee u romedo de vea má elevado que el roduco. Iervalo de cofaza ara el cocee de varaza oblacoale Al gual que co la dfereca de meda, el cocee de varaza e ulza ara comarar do oblacoe. el ervalo de cofaza coee el e codera que la do oblacoe o guale y o lo coee, o da. El arámero a emar e y la oblacoe bajo eudo debe er ormale. E cada ua de la oblacoe e oma muera, de amaño y, co la cuale e emará el cocee de varaza muera y. a arr del cálculo de la varaza de cada E el ervalo de cofaza de la varaza el eadíco a ulzar e drbuye e * co - grado de lberad K χ E el cocee de varaza, e ee u cocee de e * que da or reulado el eadíco F

41 3 ; F El ervalo de cofaza ere do valore críco que garaza la robabldad [ e defe como α K K P de dode reula α K K P K y K e ecuera e la abla F y eá aocado a la cofaza [ ; ; α F K ; ; α F K lo líme del ervalo o ; ; F L α ; ; F L α De modo que la robabldad α α α ; ; ; ; F F P Ejemlo. e ulzará lo dao del ejemlo de ervalo de cofaza ara la dfereca de meda.

42 4 Vea romedo Varabldad Produco Produco Tamaño de la muera 0 Para calcular el ervalo de cofaza de la dfereca de varaza, e la vea romedo de do roduco, e ulza el ervalo P F α α ; ; ; ; F Lo eadíco de la drbucó F ara 9 grado de lberad e el umerador y grado de lberad e el deomador, ara u vel de cofaza de 0.95, o: F F F, ; α 9,;0.05 F,9;0.975, ; α F9,; α Reemlazado e el ervalo de cofaza 7500 P P Eo gfca que la varaza o guale 0.95 Iervalo de cofaza ara emar la roorcó de ocurreca de u eveo e la oblacó e ulza ara varable cualava y erme coocer la frecueca co la que e reea u eveo e la oblacó. El arámero θ π y el emador θˆ ; e decr, la frecueca co la que e reea e la oblacó y co la que e reea e la muera '. El eadíco k π k ee aocado ua fucó de dedad g k coocda de gual maera que co la emacó de la meda oblacoal k π

43 5 Geeralmee o e cooce el devío e la oblacó or lo que e ema a arr dell reulado de la muera El ervalo de cofaza [ ara el eadíco K e defe aocado lo valore críco Z $ y Z * ooruo P k π α k Reolvedo como e realzó aerormee P k π k α El ervalo de cofaza ara emar la ocurreca del eveo e la oblacó co ua robabldad [ e defe aí P π k k α e grade > 30 e equeña 30 k~ N 0, k ~ - Iervalo de cofaza ara la gualdad de roorcoe oblacoale El arámero θ π π π π 0 Emador θˆ Para cada ua de la muera edremo E π V

44 6 E π V Eo gfca que π π E E E V V V y o mayore que 30 ; ~ Π Π π N π La varable eadarzada erá k π π α π π k k P Bereo y Leve 993 defe la dfereca ere do modaldade de la mma varable. Para eo geera ua emacó oal de la roorcó de la oblacó combado la roorcoe muerale; defe el valor ' ' $ ' * $ * La varaza de ee valor ' e ' ' j $ * k Y el ervalo de cofaza > l' ± m8' ' j $ * k [

45 7 6.6 Prueba de hóe La rueba de hóe, ambé coocda como dócma o corae de hóe, roorcoa ua oorudad ara aalzar la formacó. Cuado u hallazgo emírco emerge del aál de formacó baado e ua muera, ua hóe eclla debe ocurrírele a odo vegador: Rereea el hallazgo emírco olo u accdee de muereo? Ua hóe eadíca e ua cojeura co reeco a uo o má arámero oblacoale y el méodo de corae e el que erme omar decoe e bae a dao muerale y rego coocdo. La rueba de hóe, o corae de hóe, coe e:. Formular hóe ula, H 0. Formular hóe alerava, H 3. Eablecer vel de cofaza ara H 0 4. Defr eadíco de corae 5. Alcar regla de decó La hóe ula dca que e la oblacó o e ha roducdo cambo y la hóe alerava e ua afrmacó que efrea lo eablecdo or la hóe ula. e fja u vel de cofaza α de que la hóe ula ea cera. Ee vel de cofaza fja lo uo críco dero de lo cuale e acea o e rechaza la hóe ula. To de dócma Puede laeare re uacoe: Dócma blaeral Dócma laeral zquerda Dócma laeral derecha

46 8 Dócma blaeral E la dócma blaeral, la hóe ula e laea co gualdade ere el arámero a docmar y u valor arcular que uede alcazar ee arámero. La hóe alerava coradce a la ula y emre e laea como degualdad. H 0 : θ θ 0 H : θ θ 0 Zoa de rechazo de Hóe Nula Zoa de Aceacó de Hóe Nula Zoa de rechazo de Hóe Nula Fgura 6. Lo eadíco de corae, K y K, o lo uo críco que defe la regó de aceacó y de rechazo de la o y e obee de la drbucó de robabldad aocada a la rueba al vel de cofaza α fjado. α e la robabldad de rechazar la H 0 edo cera. Eo e lo cooce como Error o I. e acea la H 0 edo fala e comee el Error o II y e lo cooce como β, eo e la Poeca de la rueba. De acuerdo al valor del eadíco emírco y a lo valore que delma la zoa de aceacó y la de rechazo e cocluye e acear la o o e rechazarla. La caraceríca de la dócma blaeral e la de cerar la robabldad de la zoa de aceacó, de modo que la zoa de rechazo quede dvdda e do are coeedo lo valore eremo. Dócma laeral La dócma laerale alea la hóe ula como degualdad y la alerava e ora degualdad que comlemea y ooe a la hóe ula. La zoa de aceacó o eá cerada y la zoa de rechazo e reúe e ua ola cola. Cuado e laeral zquerda: H H 0 : θ θ : θ < θ 0 0

47 9 Zoa de rechazo de Hóe Nula Zoa de Aceacó de Hóe Nula Fgura 6. Cuado e laeral derecha: H H 0 : θ θ : θ > θ 0 0 Zoa de Aceacó de Hóe Nula Zoa de rechazo de Hóe Nula Fgura 6.3 E la Fgura 6.4 e reúe la dferee uacoe de rueba de hóe, ara varable cuaava, co el eadíco a ulzar. Ejemlo. U gruo de vegadore eá ereado e coocer la coceracó de ua ezma e cera oblacó de ere humao. Toma ua muera de 0 dvduo de la oblacó bajo eudo y calcula que la meda mueral e de y la varaza mueral 45. e uoe que la muera rovee de ua oblacó que gue ua drbucó ormal co varaza decoocda. Lo vegadore abe que, habualmee, lo vele de coceracó de ea ezma e la oblacoe e de 5. Ua hóe a er vegada e que lo vele de coceracó de la ezma e ea oblacó e do de 5.. uoga, la Hóe Nula de que la coceracó de ezma e gual a 5 y que oda la eroa de la oblacó fuera coacada, e ecoraría que el vel de ezma e 5. H : 5 0

48 30 Dócma Eadíco Meda co oblacoal coocda ~ N0, Z Meda co decoocda, grade ~ N0, Z Meda co decoocda, equeña, robabldad Normal - ~ Proorcó Z π π π Dfereca de meda co coocda y de cualquer amaño ~ N0, Z Dfereca de meda co decoocda muera grade ~ N0, Z Dfereca de meda, decoocda ero guale y equeño ~ Dfereca de meda, decoocda y da, equeño, mímo ~ Igualdad de Proorcoe ~ N0, k π π de oblacó ormal - ~ χ W Igualdad de varaza F ~ ; Fgura 6.4. Eadíco ara la dócma

49 3. Oro argumeo, que erá deomado Hóe Alerava, e que la coceracó meda de la ezma de la oblacó e dferee de 5. E morae deacar que e eá defcado la hóe alerava co la cocluó a la que e quere llegar, de maera que, lo dao erme rechazar la hóe ula, la cocluó de lo vegadore edrá mayor eo, dado que la robabldad comlemeara de rechazar ua hóe ula verdadera e equeña. H : 5 Pero, qué a covcee e la evdeca? Deué de odo, olo e cooce lo reulado de ua muera de 0 eroa. La dfereca ere 5 el vel de coceracó de ezma coocdo, y el romedo de la muera, odría er ma be u cao de error de muereo que dfereca reale e la eeca de ezma e la oblacó. 3. Para evaluar la evdeca eadícamee, e eablece ua robabldad deomada vel de cofaza α de 0.95 ó 95% de que la hóe ula e verdadera; e decr que, el reulado e ólo ua oó arcal o ea u accdee de muereo. 4. A couacó, e debe defr u eadíco que erma coraar la hóe ula a u vel de cofaza de Dado que o e cooce el devío de la varable e la oblacó y que la úca formacó co que e cuea e la mueral y el amaño de muera e meor a 30, el eadíco a ulzar e: / 0 dode, e u eadíco co drbucó de ude y refleja, e udade fcada, e cuáo dfere la meda de la muera de la meda de la oblacó. El valor eórco obedo de ua abla de drbucó de ude ara 9 - grado de lberad y ara u valor α de 0.05, e.093 Luego, e comara el valor emírco de ee eadíco co el valor eórco 5. La regla de decó e, acee la hóe ula, al vel de cofaza eablecdo, el valor emírco de e, e valor aboluo, meor al valor eórco. Cao coraro e debe rechazar. Zoa de rechazo de Hóe Nula Zoa de Aceacó de Hóe Nula Zoa de rechazo de Hóe Nula Fgura 6.5 E ee cao, e debe acear la hóe ula, e decr que o baa la evdeca de la muera ara decr que la oblacó ee ua coceracó de ezma dferee a 5.

50 3 Ejemlo. El fabrcae de u medcameo afrma que el mmo e efecvo e el 90% de lo cao o má e que e alcó ara alvar ua alerga. E ua muera de 00 acee e ecoró que rodujo alvo e 60 cao. e jufca la afrmacó del fabrcae a u vel del %? Ee cao e correode co ua dócma laeral derecha dode: H H 0 : Π 90 : Π > 90 E la muera el emador e: 60 0, Dado que la muera e grade, 00, el eadíco a ulzar e ua Z N0,. Al vel de cofaza de 0.99, el valor críco de la drbucó ormal e.33. Ee dvde la zoa de aceacó de la zoa de rechazo de la hóe ula. Zoa de Aceacó de Hóe Nula Zoa de rechazo de Hóe Nula 0.99 Fgura 6.6 Para realzar el corae e debe calcular el valor emírco del eadíco Z. Z * π π π 0,80 0,90 0, ,90* 0, 0,0 00 El valor emírco cae e la zoa de aceacó de la hóe ula. Eo gfca que la efecvdad e meor a 0.90, or lo ao el fabrcae o ee razó. També e váldo calcular el ervalo de cofaza ara la hóe ula y ver a qué regó ereece el valor mueral. El cojuo de hóe e maee: H : Π 90 0 H : Π > 90 Debe calculare ahora el líme ueror del ervalo L Π Π Π Z 0,90,33* 0,0 0,949 El valor de 0.949, ara el líme ueror del ervalo, eara la zoa de aceacó de la zoa de rechazo de la hóe ula.

51 33 Zoa de Aceacó de Hóe Nula Zoa de rechazo de Hóe Nula Valor de rueba Valor críco Fgura 6.7 El valor emírco, o valor de rueba: 60 0,80 00 cae e la zoa de aceacó de la hóe ula. Ejemlo. Al agar ubdo federale ere da localdade, ua deermada cudad e clafcó como área de rea elevada. La auordade locale e moraro dcoforme y reearo rueba, baada e ua muera aleaora de 5 famla, de que la rea famlar meda de la cudad era de $745 y e ecoraba e vele mlare a la meda acoal. U eudo a ecala acoal dcó que la rea famlar meda era de $6500 y la devacó eádar $90. o coee lo reulado muerale reeado or la auordade locale co u afrmacó de que la cudad bajo aál o e má róera que la demá cudade mlare del aí?.. el arámero a docmar e, rereea la rea famlar romedo. la oblacó e ormal H : H : e cooce el devío de la varable e la oblacó, au cuado la muera e equeña, el eadíco e drbuye ormal K, Z

52 El vel de cofaza α 0, 95. Co ee vel de cofaza y la drbucó ormal, la zoa de aceacó de la hóe ula e ecuera ere lo valore críco.96 y.96 Zoa de rechazo de Hóe Nula 0.05 Zoa de Aceacó de Hóe Nula 0.95 Zoa de rechazo de Hóe Nula 0.05 Fgura El valor emírco del eadíco Z e Z 7. * * * Z e mayor a.96, e rechaza la H 0 y e cocluye que lo greo medo de ea cudad o dferee al de ora cudade mlare. També e váldo e el uo 6 calcular lo líme del ervalo de cofaza * ± Z 6500 ±.96* * * , El valor mueral 745 cae e la zoa de rechazo de la hóe ula or lo que la afrmacó de la auordade locale o e cera. Gomez Vllega 005 comea que Fher y el bomo Neyma y Ego Pearo fuero lo que corbuyero a la creacó y dearrollo de la emacó medae regoe de cofaza. Roald Fher acó el 7 de febrero de 890 e Ea Fchley Lodre, e 909 obuvo ua beca ara el Cau College de Cambrdge dode e dlomó e 93. Allí eudó maemáca, mecáca, bomería y geéca. E 9 ublcó el rmero de u 395 arículo e el que roduce u crero ara ajuar curva de frecueca, edo el germe del méodo de máma veromlud; aoyado e la fucó de veromlud, obee la drbucó fducal que couye u aore a la deermacó de la regoe de cofaza. U rabajo ublcado

53 35 e 95 obre la drbucó del coefcee de correlacó le do fama e la comudad ceífca y lo uo e coaco co ude. A la jublacó de Karl Pearo e 933, e ocua del Dearameo de Eugeea e el Uvery College. Fue caedráco de geéca e Cambrdge, ere 943 y 957, año e que e ralada a Adelada Aurala, dode muere e 96. E lo año 0 dearrolla el deño de eermeo y la eoría de la emacó eadíca. Eablecó la dcó ere muera y oblacó e rodujo lo coceo de ufceca y aclardad, defó la cadad de formacó que lleva u ombre, dearrolló el méodo de emacó de la máma veromlud y obuvo la roedade aóca del mmo. La abudae roduccó ceífca o le mdó arcar e vara ucoe eadíca; fue redee de la Royal acal ocey, de la ocedad de Bomería y redee del Iuo Ieracoal de Eadíca. Ademá de eo, uvo emo ara olemzar co alguo colega. Jerzy Neyma acó el 6 de abrl de 894 e Bedery, Rua, e el eo de ua famla de orge olaco. Durae la revolucó rua de 97 a 9 u vda corre elgro or lo que e ralada a Poloa dode obee u docorado e 93. E 94 obee ua beca ara rabajar e el Uvery College de Lodre bajo la dreccó de Karl Pearo, allí cocde co Fher y Ego Pearo, hjo de Karl. E colaboracó co Ego Pearo y Fher dearrolla la eoría de corae de hóe y de la emacó or regoe de cofaza haa que choca co ee úlmo. E 934, Ego Pearo le rooe u ueo de rofeor e el Uvery College que ocua haa 938 cuado e ralada a la Uverdad de Calfora e Berkeley, ara crear el Dearameo de Eadíca. Muere e Berkeley el 5 de agoo de 98. e ereó e eoría de la robabldad, fíca eadíca y roceo eocáco; quzá u corbucó eadíca má morae fue la creacó de lo e eadíco -e colaboracó co Ego Pearo- y la elaboracó de la modera eoría de muera. La ruura ere Fher y Neyma e roduce or la dfereca ere la aromacó fducal y la de regoe de cofaza. Neyma uca reodó a la críca, alvo e 96 cuado celebró la boda de laa de u ddeca co Fher. Ro 007 codera que el coceo de vel de gfcacó e debó orgaramee al eadíco glé Roald Fher, que formuló el coceo de hóe ula como aquella que uo ea deacredar. E alabra de Fher Puede decre que odo lo eermeo e deña ara oder agar ua robabldad al hecho de que lo reulado e ooga a la hóe ula. La dea de la hóe alerava e debe a lo rabajo cojuo del eadíco de orge olaco Jerzy Neyma y de u habual colaborador Ego Pearo Hjo de Karl. Fher o aceó la dea de eecfcar ua hóe alerava, coderado que e la mayoría de la alcacoe ceífca o era oble eecfcar la alerava; eo do orge a ua gra dua ere Fher, or u lado, y Neyma-Pearo, or el oro. Debdo ao al emerameo de Fher, al que o le guaba demaado elcar la coa, como al hecho de que ée ya maeía ua dcuó reva co Neyma obre lo beefco relavo de lo emadore or ervalo de cofaza, roueo or Neyma, free a lo emadore de cofaza fducaro hoy e deuo roueo or Fher, la dua e