Tema 6.- Nociones preliminares: anillos, cuerpos. Anillos de polinomios

Transcripción

1 Tema 6.- Nociones preliminares: anillos, cuerpos. Anillos de polinomios 6.1 Anillos y cuerpos Definición Un anillo es una terna (A, +, ) formada por un conjunto A y dos operaciones binarias +, verificando: 1. El par (A, +) es un grupo abeliano, cuyo elemento neutro llamaremos normalmente cero (0). 2. La operación binaria es asociativa y tiene elemento neutro, que llamaremos normalmente uno (1). 3. La operación es distributiva a la derecha y a la izquierda respecto de la operación +, i.e. para todos x, y, z A, setiene(x + y) z = x z + y z, x (y + z) =x y + x z. Si además la operación es conmutativa, diremos que el anillo es conmutativo. Nota En general se usará la expresión sea A un anillo, sobreentendiendo las operaciones. La operación se notará normalmente por simple yuxtaposición. 2. En un anillo A se tiene 0 x = x 0= 0para todo x A. 3. Si en un anillo A se tiene 1 = 0, entonces A = {0}. 4. Para todo x, y A, esetienex( y) =( x)y = (xy). 5. Si A 1,...,A n son anillos, el producto cartesiano A 1 A n posee una estructura natural de anillo, donde las operaciones están definidas componente a componente. Ejemplo Z, Q, R, C son anillos conmutativos. La estructura de anillo de Z viene determinada por la de grupo aditivo: el producto de dos enteros xy coincide con el múltiplo de y con coeficiente x. Así pues, la estructura de anillo de Z no añade nada nuevo a la de grupo. Esto es falso para Q, R y C en los que, obviamente, la estructura multiplicativa no viene determinada por la aditiva. 2. El conjunto M(n) de las matrices n n sobre Q, R o C es un anillo, con respecto a la adición y la multiplicación ordinaria de matrices. No es conmutativo. 1

2 3. En el grupo (Z n, +) (ver ejemplo 9.1.3, 5) podemos definir un producto de la siguiente manera: (a, b) Z n Z n a b := resto de la división de ab entre n. De esta forma Z n es un anillo. Definición Sea A un anillo. Una unidad es un elemento que posee un simétrico multiplicativo (a la izquierda y a la derecha), que llamaremos inverso. El conjunto de las unidades de A es un grupo para el producto y se notará A. Un cuerpo es un anillo conmutativo tal que todo elemento distinto de cero es una unidad, i.e. A = A {0}. (En algunos textos también se llaman cuerpos aquellos anillos no necesariamente conmutativos tales que todos sus elementos no nulos son unidades. En otros textos a estos anillos se les llama anillos de división). Ejemplo Las unidades de Z son 1, 1. Los anillos Q, R, C son cuerpos. 2. El grupo de las unidades del anillo M(n, k) conk = Q, R ó C es GL(n, k). Definición Sea A un anillo. Un subanillo de A es un subconjunto B A que es un subgrupo de (A, +), que es estable para la operación ytal que 1 B. Si A es un cuerpo, diremos que B es un subcuerpo de A si es un subanillo y además x 1 B para todo x B {0}. Apartirdeahorasólotrabajaremos con anillos conmutativos. Así pues, la palabra anillo significará siempre anillo conmutativo. Definición Sea A un anillo. Un elemento x A se llamará undivisor de cero si y sólosiesdistintodeceroyexistey A, y 0,talquexy =0. Un anillo sin divisores de cero se llama un dominio de integridad. Unelemento x A se llamará nilpotente si es distinto de cero y existe un entero n>0tal que x n = 0. En un dominio de integridad se da la propiedad cancelativa por el producto de elementos no nulos: a 0,ab= ac b = c. Ejemplo Las unidades no son divisores de cero. Así, todo cuerpo es un dominio de integridad. 2. Z es un dominio de integridad. 3. El anillo Z 4 no es un dominio de integridad. El anillo Z 3 es un cuerpo. 2

3 4. El elemento 2 es nilpotente en Z 4. Definición Sea A un anillo. Un ideal de A es un subconjunto I de A que verifica: 1. I es un subgrupo del grupo aditivo de A. 2. Para todo a I,x A se tiene xa I. Nota Sea I A un ideal de A. Setiene: 1. Si I contiene una unidad, entonces I = A. 2. Si A es un cuerpo, sus únicos ideales son {0} y A. 3. El grupo cociente A/I admite una estructura canónica de anillo. En efecto, basta ver que la fórmula (a + I)(b + I) =ab + I define una operación en A/I. Sia+I = a +I y b+i = b +I es a a I, y b b I. Así ab a b = ab ab + ab a b = a(b b )+(a a )b I, lo que prueba nuestro aserto. 4. Los ideales de Z y los subgrupos son la misma cosa, pues la estructura multiplicativa viene determinada por la aditiva. Definición Sea I un ideal de A. Decimos que I es primo si xy I implica que x I obieny I. Proposición Sea A un anillo, I ideal de A. Entonces A/I es dominio de integridad si y solamente si I es un ideal primo. Definición Si A es un anillo y S A no vacío. El ideal generado o engendrado por S es el menor ideal en A quecontieneas. Lo notaremos por (S) obien S. Esfácil ver que S = {x 1 a x n a n x 1,...,x n A, a 1,...,a n S}. Si S = {a} el ideal de llama principal. Todo ideal de Z es principal. Definición Sean A, B anillos, f : A B una aplicación. Se dirá que f es un homomorfismo de anillos si verifica: 1. Para todos x, y A, esf(x + y) =f(x)+f(y). 2. Para todos x, y A, esf(xy) =f(x)f(y). 3. f(1) = 1. 3

4 Un homomorfismo biyectivo se llama un isomorfismo. Proposición Sea f : A B un homomorfismo de anillos. Se tienen las siguientes propiedades: 1. ker(f) :={a A f(a) =0} es un ideal de A, yf es inyectivo si y sólo si ker(f) ={0}. 2. Si u A es una unidad, entonces f(u) es una unidad en B. Enparticular cualquier homomorfismo (de anillos) entre cuerpos es inyectivo. 3. Im(f) ={b B a A, f(a) =b} es un subanillo de B. Proposición Primer teorema de isomorfía. Sea f : A B un morfismo de anillos. Entonces A/ ker(f) esisomorfoaim(f). Proposición Segundo teorema de isomorfía. Sea A un anillo, I A un ideal, y B A un subanillo. Entonces B + I es un subanillo de A, I es un ideal de B + I, B I es un ideal de B, y existe un isomorfismo de anillos (B + I)/I = B/(B I). Proposición Tercer teorema de isomorfía. Sea A un anillo y sean I,J ideales de A con i J. Entonces J/I es un ideal de A/I y A/J = (A/I)/(J/I). 6.2 Anillos de polinomios Sea Z + el conjunto de enteros no negativos. Si A es un anillo, llamamos A[X] al conjunto de funciones f : Z + A tales que f(n) = 0para todo n Z + salvo un número finito de ellos. Definimos las operaciones (f + g)(n) =f(n)+g(n) (fg)(n) = n m=0 f(m)g(n m). A[X] tiene estructura de anillo con ellas (ejercicio). A[X] sedenominaelani- llo de polinomios en la indeterminada X y coeficientes en A. Nótese que la indeterminada X no aparece en la definición de A[X]. Para ver que nuestra definición coincide con la que estamos acostumbrados, definimos X como una función sobre Z + de la forma { 1 si m =1 X(m) = 0si m 1 4

5 Entonces la función X n {}}{ = X... X verifica { X n 1 si m = n (m) = 0si m n n Entonces todo elemento f A[X] se puede escribir de manera única como f = n 0 f(n)x n donde la suma se refiere a un número finito de sumandos, donde no se anula f. Observemos que la función X 0 identifica la función 1 : Z + A definida por { 1 si m =0 1(m) = 0si m>0 Se tiene que a n X n b n X n = c n X n n 0 n 0 n 0 donde c n = n a m b n m. m=0 El grado de f(x) eselmayorn tal que a n es no nulo. Si grado(f(x)) = n escribiremos f(x) = n k=0 a kx k.elcoeficientea n se denomina coeficiente líder de f(x). Si es igual a 1, decimos que f(x) es un polinomio mónico. Asignamos grado(0) =, y por conveniencia en el manejo de fórmulas establecemos que <ny + n = para cualquier n Z +.S De forma completamente análoga se puede definir el anillo de polinomios en varias variables A[X 1,...,X n ]=A[X 1,...,X n 1 ][X n ], y todo elemento de este anillo se puede escribir f(x 1,...,X n )= a i1...i n X i1 1 Xin n. finita Definición Sea A un anillo y k un subcuerpo de A (i.e. k es un subanillo de A que es un cuerpo). Dado un polinomio f(x) =a d X d + + a 0 k[x] y dado α A definimos el valor de f(x) enα como: f(α) =a d α d + + a 0 A. Diremos que α es una raíz (o un cero) def(x) sif(α) =0. Proposición (Propiedad universal de los anillos de polinomios) Sea φ : A B un homomorfismo de anillos y b B. Entonces existe un único homomorfismo de anillos Φ : A[X] B tal que Φ(X) =b y Phi(a) =φ(a) para todo a A. 5

6 Ejemplo Si en la definición anterior tomamos A = k[x] yα = X + a, con a k, el homomorfismo de sustitución f(x) k[x] f(x + a) k[x] es de hecho un automorfismo de anillos. Por ejemplo, sea k = Q; la sustitución de X por X 1 lleva al polinomio X 2 + X +1sobre (X 1) 2 +(X 1) + 1 = X 2 X +1, y la sustitución de X por X + 1 lleva a X 2 X +1sobre (X +1) 2 (X +1)+1=X 2 + X +1. Lema Sea A un anillo y f(x),g(x) A[X]. Entonces 1. grado(f(x)+g(x)) max{grado(f(x)), grado(g(x))}. 2. grado(f(x)g(x)) grado(f(x)) + grado(g(x)). 3. La igualdad se tiene en el caso anterior si los coeficientes líderes de f(x) y g(x) no son divisores de cero. En particular, cuando A es un dominio de integridad. Corolario Si A es un dominio de integridad, entonces 1. A[X] es un dominio de integridad. 2. Las unidades de A[X] son las unidades de A. Nota Sea f(x) =a 0 + a 1 X a n X n A[X] yg(x) =b 0 + b 1 X +...b m 1 X m 1 + X m un polinomio mónico, de grado m 1. Si n m, seaq 1 (X) =a n X n m. Entonces f 1 (X) =f(x) g(x)q 1 (X) tiene grado menor o igual que n 1. Si grado(f 1 (X)) m, repetimos el proceso con f 1 (X). Tras un número finito de pasos llegamos a un polinomio f s (X) de grado estrictamente menor que m. Si llamamos q(x) =q 1 (X)+...+ q s (X) y r(x) =f(x) q(x)g(x) obtenemos una ecuación f(x) =g(x)q(x)+r(x) donde grado(r(x)) < grado(g(x)). Este proceso no es más que la tradicional división de polinomios. Proposición Algoritmo de división. Sea A un anillo, f(x),g(x) A[X] cong(x)mónico. Entonces existen unos únicos q(x),r(x) A[X] con grado(r(x)) < grado(g(x)) tales que f(x) =g(x)q(x)+r(x). 6

7 Decimos que g(x) divide a f(x) si en lo anterior se obtiene r(x) =0. Corolario Sea A un anillo y a A. Entonces para cualquier f(x) A[X] existeq(x) A[X] talque f(x) =(X a)q(x)+f(a). Corolario Sea f(x) A[X] ya A. Entonces f(a) = 0siy solamente si X a divide a f(x). Corolario Sea A un dominio de integridad y f(x) 0 A[X] un polinomio de grado n. Entonces existen a lo más n raíces de f(x) ena. Corolario Sea A un dominio de integridad y f(x),g(x) A[X] de grado menor o igual que n. Sif(a) =g(a) paran + 1 valores distintos de a A, entonces f(x) =g(x). Definición Sea f(x) A[X] un polinomio no nulo y a A una raíz de f(x). Entonces X a divide a f(x) ena[x]. Al máximo entero s>0tal que (X a) s f(x) se le llama la multiplicidad de a como raíz de f(x). Se dirá que a es una raíz simple de f(x) sis = 1. En caso contrario se dirá quees múltiple. Definición Sea A un anillo y f(x) =X n + a 1 X n a n 1 X + a n A[X]. Se define la derivada por la regla formal f (X) = d dx f(x) =nxn 1 +(n 1)a 1 X n a n 1. De la misma forma que en Cálculo elemental, se prueban las siguientes propiedades de la derivación de polinomios: 1. (f(x)+g(x)) = f (X)+g (X). 2. Si a A, es(af(x)) = af (X). 3. (f(x)g(x)) = f (X)g(X)+f(X)g (X) Las derivadas de orden superior f (i) (X) se definen como las derivadas sucesivas de f(x). Proposición Sea k el cuerpo Q, R o C, f(x) k[x] un polinomio no nulo y α k una raíz de f(x). La multiplicidad de la raíz α de f(x) es el entero s tal que f (i) (α) = 0, para todo i =0, 1,...,s 1yf (s) (α) 0(por derivada de orden cero se entiende el polinomio). Definición Sea A un dominio de integridad. Diremos que A es un dominio euclídeo si existe una aplicación δ : A \{0} N tal que: 7

8 1. Si a, b A \{0} y a b, entonces δ(a) δ(b). 2. (División entera con resto respecto de δ) Dados D, d A, d 0,existen c, r A tales que D = dc + r y r =0obienδ(r) <δ(d). Por el comentario anterior es obvio que Z y k[x] son dominios euclídeos, para δ(a) = a en el primer caso, y δ(f) = grado(f) en el segundo. En la segunda propiedad de la definición no se exige que el cociente c yel resto r sean únicos. De hecho después veremos ejemplos en los que no se da esta unicidad. 8