Tema 4: Leyes de la desintegración

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1 Tema 4: Leyes de la desintegración 1. Ley exponencial 1.1. Constante de desintegración y ley exponencial El proceso de la desintegración es de naturaleza estadística: Imposible predecir el momento de la desintegración. Hipótesis: constante de desintegración dp dt = λ [T 1 ] dp = λdt probabilidad de desintegración entre t y t + dt. λ es independiente de la edad y número de átomos: Muestra con N(t) átomos radiactivos: Número de átomos desintegrados entre t y t + dt: Ecuación diferencial para N(t): Solución: Ley exponencial: dn = N(t)λdt dn dt = λn(t) dn N(t) N = λdt = dn t N() N = λ dt = ln N(t) N() = λdt N(t) = N()e λt 1.2. Un modo de desintegración A B N A (t) = N A ()e λt N B (t) = N B () + N A () N A ()e λt Concentración asintótica: lím t N B (t) = N A () + N B (). 1

2 1.3. Dos modos de desintegración: X λa A X λ b B λ a, λ b = ctes. de desintegración parciales. Número de núcleos desintegrados del modo a = λ a Ndt Número de núcleos desintegrados del modo b = λ b Ndt Número total de núcleos desintegrados en dt: Ley de desintegración total: dn = λ a Ndt λ b Ndt = (λ a + λ b )Ndt = λndt N(t) = N()e λt, Una fracción λa se desintegra vía el modo a λ Una fracción λ b λ se desintegra vía el modo b = Número de núcleos hijos: λ = λ a + λ b N A (t) = N A () + λ a λ N() ( 1 e λt) N B (t) = N B () + λ b λ N() ( 1 e λt) Concentraciones asintóticas: lím N A(t) = N A () + λ a N() (1) t λ lím B(t) t = N B () + λ b N() λ (2) (3) 1.4. Periodo de semidesintegración o semivida (half-life), T, t 1/2 Tiempo en que N se reduce a la mitad: N(T ) = 1 2 N() = N()e λt = 1 2 N() e λt = 1 2 = λt = ln 2 T = ln 2 λ =,693 λ 2

3 1.5. Vida media (mean lifetime, mean life, lifetime), τ Tiempo medio que sobrevive un núcleo antes de desintegrarse (media aritmética): dn = λn()e λt dt = = número de núcleos desintegrados entre t y t + dt =número de núcleos con vida entre t y t + dt tdn = tiempos de vida de todos los núcleos con vida entre t y t + dt tdn = suma de los tiempos de vida de todos los núcleos Vida media: dividiendo por el número total de núcleos τ = 1 tdn = λ te λt dt N() te λt dt = 1 λ te λt + 1 λ e λt dt = 1 λ 2 e λt = 1 λ 2 τ = 1 λ Relación con el periodo: T = τ ln 2 =,693τ < τ 2. Actividad 2.1. Definición de actividad Número de desintegraciones por segundo dn A(t) = dt = λn(t) Actividad en t = : A() = λn() Ley de decaimiento exponencial para la actividad: Midiendo A(t) se puede determinar λ. Unidades: A(t) = λn()e λt = A()e λt Becquerel (SI): 1Bq = 1 desintegración/s Curio (histórico): 1 Ci = 3,7 1 1 Bq = Actividad de 1 gr de 226 Ra 3

4 Ejemplo Se tienen 3 MBq de 24 11Na (T = 15 h). Determinar la constante de desintegración λ y la actividad después de 2.5 d. Solución: λ = ln 2 T =, = 1,188 d 1 d 24 Actividad a los 2.5 días: A(2,5d) = A()e λt = 3 MBq e 1,188 2,5 = 3 MBq e 2,772 = 1,88 MBq La actividad NO proporciona información acerca de: El tipo de radiación emitida La energía de la radiación Los efectos de la radiación sobre los organismos biológicos. Sólo indica el número de desintegraciones por segundo 2.2. Medida de la actividad: Se determinar el número de desintegraciones N en un intervalo de tiempo corto t. N A(t) t La anterior aproximación se puede hacer cuando t T (la actividad no cambia apreciablemente en t) 2.3. Medida de la constante de desintegración Midiendo A(t) en función de t: pendiente de la recta = λ Casos extremos: A(t) = λn e λt ln A(t) = ln λn λt T muy grande ( 226 Ra, T = 16 a) T muy pequeño (< 1s) 4

5 log A(t) Pendiente= λ t Figura 1: Medida de la actividad T muy grande log A(t).5 1 t [horas] Figura 2: Actividad para T grande T muy pequeño log A(t).5 1 t [horas] Figura 3: Actividad para T pequeño 5

6 total 64 Cu log(a1(x)) log(a2(x)) log(a(x)) log A(t) 61 Cu t [horas] Mezclas Figura 4: Actividad de una mezcla En el caso de una mezcla de dos o más radioisótopos la actividad no sigue un comportamiento lineal. Ejemplo: { 6 mci de 61 Cu (T = 3,4 h) 3 mci de 64 Cu (T = 12,7 h) ln[a 1 (t) + A 2 (t)] no es una recta A 1 (t) = A 1 ()e λ 1t = ln A 1 (t) = ln A 1 () λ 1 t A 2 (t) = A 2 ()e λ 2t = ln A 2 (t) = ln A 2 () λ 2 t Es posible determinar λ del 64 Cu ajustando una recta para t alto Restándola a la actividad total se obtiene la recta del 61 Cu. Método aplicable a más de dos isótopos con periodos claramente diferentes Ejemplo. Una solución contiene.1 µci de 198 Au y.4 µci de 131 I.?En cuanto tiempo se reduce la actividad a la mitad? 6

7 A(t) [µci] total 198 Au I t [d] Figura 5: Actividad de una mezcla T ( 198 Au) = 2,7 d = λ 1 =,693 =,257 d 1 2,7 d T ( 131 I) = 8,5 d = λ 2 =,693 =,861 d 1 8,5 d Actividad en t = : A() = A 1 () + A 2 () =,1 +,4 =,14 µci Actividad en t: Ecuación trascendente: Solución numérica: t[d] A(t) [µci] A(t) = A 1 (t) + A 2 (t) = A 1 ()e λ 1t + A 2 ()e λ 2t =,7 µci,1e,257t +,4e,861t =,7 7

8 2.5. Actividad específica Actividad por unidad de masa de la muestra: A E = A M = λn M [ Bq g, ] Ci g Muestra pura: N o de átomos en un mol = N A = 6, Masa de 1 mol: M mol = P at (g) N o de átomos por gramo: Actividad específica: N M = N A 6,2 123 = M mol P at (g) A E = 6,2 123 λ P at (g) N A A (g) λ = N A ln 2 A (g)t (Es posible aproximar P at A con la precisión suficiente.) Ejemplo. Calcular la actividad específica del 226 Ra en Bq/g y Ci/g. Actividad específica: T = 16 a = 5, s A E = 6,2 123, g 5, s = 3,7 11 Bq/g = 1 Ci/g 2.6. Actividad específica en Ci/g A E ( 226 Ra) = Actividad de otro isótopo A X expresada en Ci/g: A E ( A X) = N A ln 2 A (g)t = 226 A N A ln g 16 a = 1 Ci/g 16 a T N A ln g 16 a A E ( A X) = a Ci/g A T 8

9 Ejemplo Calcular la actividad específica del 14 C. Datos: T = 573 a. A E = Ci/g = 4,51 Ci/g Series radiactivas 3.1. Caso de una cadena radiactiva Condición inicial: Núcleo padre: Núcleo hijo: A B C D N A () = N N B () = N C () = N D () = = dn A (t) = λ A N A (t)dt = N A (t) = N e λ At dn B = λ A N A dt λ B N B dt = dn B dt = λ A N A λ B N B dn B + λ B N B = λ A N e λ At dt Probamos una solucion: Queda la ecuación: N B = αe λat + βe λ Bt dn B dt = αλ A e λat βλ B e λ Bt αλ A e λ At βλ B e λ Bt + λ B αe λ At + λ B βe λ Bt = λ A N e λ At λ A α = N El valor de β se obtiene imponiendo N B () =. Solución: N B (t) = α( )e λ At = λ A N e λ At N B () = α + β = β = α λ ( A N e λ A t e ) λ Bt Actividad: A B (t) = λ B N B = λ Aλ B N ( e λ A t e λ Bt ) 9

10 3.2. Ecuaciones de Bateman Caso general de una cadena X 1 X 2 X 3 Actividad del miembro n-ésimo de la cadena: n A n (t) = N c ni e λ it c ni = 3.3. Equilibrios = i=1 λ 1 λ 2 λ n (λ 1 λ i ) (λ i 1 λ i )(λ i+1 λ i ) (λ n λ i ) n λ k k=1 n k=1 (k i) (λ k λ i ) Estudiaremos la cadena A B C Equilibrio secular Caso λ A λ B (T A T B ): Ejemplo: 238 U 4,5 19 a 234 Th 24 d 234 Pa Actividad del hijo: Para t suficientemente grande e λ Bt = Equilibrio secular λ A λ ( B A B (t) = N e λ A t e ) λ Bt λ Aλ B N e ( λ At 1 e ) (λ B λ A )t λ B λ A N e ( λ At 1 e ) λ Bt = A A (t) ( 1 e λ Bt ) A B (t) A A (t) 1 = A B(t) A A (t) = λ B N B λ A N A 1

11 1.2 1 A A (t).8 Equilibrio secular A(t).6.4 A B (t).2 T t Figura 6: Equilibrio secular Concentración asintótica: N B N A λ A λ B Equilibrio secular aproximado Caso λ A λ B (T A T B ), pero > 1, apreciablemente λ B λ B λ A Ejemplo: 132 Te (78h) 132 I (2.28h) 132 Xe Equilibrio en 12h. A B (t) = A B (t) lím t A A (t) A B (t) = = λ A λ B N e [ λ At 1 e ] (λ B λ A )t λ B A A (t) [ 1 e ] (λ B λ A )t λ B > 1 = λ B A A (t) > A A (t) 11

12 Te A(t).8.6 Equilibrio secular aproximado I t [horas] Equilibrio transitorio Caso λ A < λ B (T A > T B ) Figura 7: Equilibrio secular aproximado Ejemplo: 234 U (2, a) 23 Th (8 1 4 a) A B (t) = = λ A λ [ B N e λ A t e ] λ Bt λ A λ B N e [ λ At 1 e ] (λ B λ A )t Inicialmente A B crece hasta un máximo en el tiempo da B dt = = λ A e λ At + λ B e λ Bt = = λ B λ A = e (λ B λ A )t = ln λ B λ A = ( )t = Actividad máxima en un tiempo t max = ln(λ B/λ A ) Valor maximo de A B : [ A B (t max ) = ] λ BA A (t max) λ B λ A 1 e ln(λ B /λ A ) ( ) 1 λ A λb = λ BA A (t max) λ B λ A = A A (t max ) 12

13 Total A(t) 234 U 23 Th t Figura 8: Equilibrio transitorio En el equilibrio: A B (t) A A (t) λ B 13

14 Ejemplo Se tienen 1 GBq de 9 Sr. Cuanto tiempo transcurre hasta que la actividad total es de 17.5 GBq? Equilibrio secular para t 64h. Actividad asintótica: 9 Sr 29,12a 9 Y 64h 9 Zr A(t) = A A (t) + A B (t) 2A A (t) 2 GBq se sobrepasa el valor que piden. A total = 17,5 GBq = A B = 7,5 GBq. Usando la expresión A B (t) = A A ( 1 e λ B t ) hay que resolver la ecuación 7,5 = 1 ( 1 e λ Bt ),75 = 1 e λ Bt e λ Bt =,25 = 1 4 λ B t = ln 4 = 2 ln 2 t = 2 ln 2 λ B = 2T B = 128 h 14

15 No equilibrio A(t) Total t Figura 9: No equilibrio No equilibrio Caso λ A > λ B (T A < T B ) La actividad del hijo crece hasta un máximo y luego se desintegra según su constante de desintegración. (λ B t < λ A t = e λ At < e λ Bt ) A B (t) = = = λ A λ ( B N e λ A t e ) λ Bt λ A λ ( B N e λ B t e ) λ At λ A λ B λ A λ B N e ( λ Bt 1 e ) (λ A λ B )t λ A λ B (λ A λ B )t 1 = A B (t) λ Aλ B λ A λ B N e λ Bt 15

16 Ejemplo Os (15.4 d) 191m 77 Ir (4.94s) Ir Se dispone de 1 mci de 191 Os. a) Cuántos gramos de 191 Os hay en t =? b) Cuántos mci de 191m Ir hay en t = 25d? c) Cuantos átomos de 191m Ir se desintegran entre t = 1s y t = 12s? d) Cuántos átomos de 191m Ir se desintegran entre t = 3s y t = 4d? Solución. a) Actividad específica del 191 Os. por tanto la masa de la muestra es A E = d Ci/g = 4, Ci/g ,4d M = 1 mci 4, Ci/g = 2, g b) T A T B = equilibrio secular en unos segundos. A B = Las actividades difieren en un 1 % cuando: = para t = 25d: e λ Bt λ [ B A ] A 1 e (λ B λ A )t [ 1 e ] λ Bt =,1 = e λbt = 1 = λ B t = ln 1 = t = 2 ln 1 2 ln 1 = λ B ln 2 T B = 6,64T B = 33 s A Ir = A Os = 1 mci exp (,693 ) 15,4 d 25 d Usando la fórmula exacta se obtiene el mismo resultado c) Sea D B (t 1, t 2 ) = n o desintegraciones de átomos de B entre t 1 y t 2. B B (t 1, t 2 ) = t2 t 1 A B (t)dt = t2 t 1 =,325 mci λ A λ B N ( e λ A t e λ Bt ) dt Para t = 1, 12s se ha alcanzado el equilibrio secular y la actividad del 191 Os no habrá disminuido apreciablemente: B B (t 1, t 2 ) t2 t2 A A (t)dt A A () dt t 1 t 1 = 1 mci 2 s = 3, = 7,4 1 7 desintegraciones 16

17 d) Entre t = 3d y t = 4d la actividad del Os no es constante, pero hay equilibrio secular: t2 t2 N B (t 1, t 2 ) = A A (t) dt = A A () e λat dt t 1 t 1 = A ( ) A() e λ A t 1 e λ At 2 λ A 1 mci ( = e,45 3 e,45 4),45 d 1 = 22,2 mcu d (,2592,1653) = 22, ,7 1 1 s s,939 = 6, desintegraciones 17

18 4. Propiedades estadísticas de la desintegración 4.1. Fluctuaciones estadísticas El número de átomos N es una variable discreta (valores enteros). Hemos supuesto que N 1 y las fluctuaciones estadisticas son poco importantes. = variación suave exponencial. Planteamiento: Muestra radiactiva con N átomos en t = Transcurre un tiempo t Queremos calcular P n (t) = Probabilidad de que se desintegren n átomos Hipótesis: todos los átomos son ideńticos e independientes Distribución binomial Procesos de Bernoulli Observación de los N átomos entre y t: proceso de Bernoulli 1. El experimento consiste en N pruebas (N átomos con cierta probabilidad de desintegrarse) 2. Resultado binario en cada prueba (desintegración sí o no). 3. Probabilidad de éxito constante. (probabilidad de desintegrarse igual para todos los átomos) 4. Las pruebas son independientes entre sí. (no relación entre desintegraciones de átomos) Probabilidad de desintegración individual Ley exponencial N(t) = N e λt Número relativo de átomos que quedan en el instante t: = Interpretación: Probabilidad de supervivencia Probabilidad de desintegración N(t) N = e λt < 1 q = e λt p = 1 q = 1 e λt 18

19 Caso específico N = 1 átomos de 42 K (T = 12,4h) se observan durante t = 3h. Probabilidad de que un átomo sobreviva sin desintegrarse: Probabilidad de desintegracion: q = e ln 2 12,4 h 3 h =, p = 1 q =, Probabilidad de que 3 atomos dados (ej. 1,3,8) se desintegren: P (1, 3, 8) = p 3 =,368 Esta probabilidad es independiente de lo que les ocurra a los otros 7 átomos. Probabilidad de que los otros 7 átomos sobrevivan: Q(2, 4, 5, 6, 7, 9, 1) = q 7 =, Probabilidad de que los tres átomos se desintegren y el resto sobreviva: P (1, 3, 8) Q(2, 4, 5, 6, 7, 9, 1) = p 3 q 7 =,11377 Probabilidad de que sólo 3 átomos se desintegren, no importa cual: ( ) 1 P 3 = p 3 q 7 =, Nota: Combinaciones sin repeticion de 1 átomos tomados de 3 en 3: ( ) 1 = 1! 3 3!7! = ! En efecto: hay 1 opciones de elegir el primero, 9 para el segundo y 8 para el tercero = posibilidades Como el orden en que se desintegran es irrelevante, se divide por el número de permutaciones 3! Probabilidad de que se desintegren n 1 átomos: ( ) 1 P n = p n q 1 n n Ejemplos: P 6 = P = ( ) 1 p 6 q 4 =,14542 =,14542 % 6 ( ) 1 p q 1 =, = 18, % 19

20 Caso general con N átomos: P n = ( N n ) p n q N n Suma de todas las probabilidades: Demostración: N n= P n = N n= ( N n ) N n= P n = 1 p n q N n = (p + q) N = 1 N = 1 Ejemplo: Si inicialmente hay 1 átomos de 42 K, la probabilidad de que ninguno se desintegre en 3h es ( ) 1 P = p q 1 = q 1 = 5, Mucho menor que la obtenida para N = 1. 2

21 Valor medio del número de desintegraciones Demostración: f(x) µ = n = N n= N n= np n = n ( N n ) p n q N n = N p = N ( 1 e λt ) = N N(t) P n x n = n ( N n ) p n q N n x n = (q + px) N N df dx = P n nx n 1 = df N n= dx (1) = np n = µ n= df dx = N p(q + px) N 1 = df dx (1) = N p(q + p) N 1 = N p Varianza y desviación típica: Parámetro que da información acerca de las fluctuaciones estadísticas del proceso de desintegración. σ 2 = σ = N (n µ) 2 P n = N pq n N pq 21

22 4.3. Distribución de Poisson Propiedades: P n = (N p) n e N p n! 1. Buena aproximación de la distribución binomial para N n y p 1 2. Normalización: p n = 1 3. Media: µ = np n = N p 4. (n Varianza: σ = µ)2 p n = µ Demostración: 1. Binomial: ( N n ( N n p n = ) q N n ( N n ) p n q N n = N (N 1) (N n + 1) n! N n n! = (1 p) N n = e (N n) ln(1 p) e N p (ln(1 + x) = x + O(x 2 )) ) p n q N n N n n! pn e Np = (N p) n n! e N p 2. Normalización: p n = n= n= µ n n! e µ = e µ e µ = 1 3. Media: Sea f(x) n p n x n = f(x) = (µx) n e µ = e µx e µ = e µ(x 1) n! f (x) = np n x n 1 = f (1) = np n = µe µ(x 1) x=1 = µ 22

23 4. Varianza: f (x) = n f (1) = n n(n 1)p n x n 2 = (n 2 n)p n = µ 2 e µ(x 1) x=1 = µ 2 σ 2 = n n 2 p n µ 2 = n np n = µ σ = µ 23

24 Aproximación a la distribución de Poisson con la fórmula de Stirling Aproximación de Stirling para n 1: n! 2π(n + 1) n+1/2 e (n+1) Ejemplo: 1! = 3, , ! = 1, , ! = 2, , ! = 1, , Distribución de Poison: P n = µ n! e µ µ n e µ 2πe (n+1) (n + 1) n+1/2 = ( ) µ n e n+1 µ n + 1 2π(n + 1) 24