IES Fco Ayala de Granada Junio de 2016 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. a g(x)

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1 IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio opción A, modelo Junio 06 ln( + ) - a sen() + cos(3) ['5 puntos] Sabiendo que lim es finito, calcula a y el valor del límite (ln 0 denota logaritmo neperiano) ln( + ) - a sen() + cos(3) Sabiendo que lim es finito, calcula a y el valor del límite (ln denota logaritmo 0 neperiano) ln( + ) - a sen() + cos(3) ln() - a sen(0) + 0 cos(0) lim 0/0 0 0 Le aplicamos la regla de L Hôpital (L H) (si f y g son funciones continuas en [a -δ, a + δ], derivables en f() 0 f '() (a -δ, a + δ), verificando que f g 0 y lim, entonces si eiste lim se verifica que a g() 0 a g '() f '() f() lim lim La regla es válida si tenemos /, y también si ), con lo cual tenemos a g '() a g() - a cos() + cos(3) + (-sen(3)) 3 ln( + ) - a sen() + cos(3) lim (0/0;L H) lim a cos() + cos(3) - 3 sen(3) - a cos(0) + cos(0) - 0 sen(0) lim a a 0 0 Como me dicen que el límite es finito, el numerador ha de ser cero, para poder seguir aplicándole la regla de L Hôpital puesto que el límite es un número, es decir - a 0, de donde a Volviéndole a aplicar la regla de L Hôpital, con a, tenemos: - cos() + cos(3) - 3 sen(3) lim + (0/0;L H) (-sen()) - sen(3) 3 - ( 3 sen(3) + 3 cos(3) 3 ) ( + ) lim (-sen(0)) - sen(0) 3 - ( 3 sen(0) + 0 cos(0) 3 ) () ( 0 + 0) -/ Resumiendo el valor de a es y el valor del límite es -/ Ejercicio opción A, modelo Junio 06 ['5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f en el punto de abscisa ( - ) sabiendo que f(0) 0 y f () para > - + Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f en el punto de abscisa sabiendo ( - ) que f(0) 0 y f () + para > - Sabemos por el Teorema Fundamental del Cálculo Integral que f() f ()d La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa es y f() f () ( ) ( - ) De f () +, tenemos f () ( - ) + 0 Nos falta determina f() para lo cual primero tenemos que calcular f() f ()d, con f(0) 0 ( - ) - + Empezamos: f() f ()d d d + + Observamos que es una integral racional con el numerador de grado mayor o igual que el denominador, por tanto antes hay re realizar la división entera

2 IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna La integral pedida es una integral racional, y como el grado del numerador y el denominador son iguales, efectuamos la división entera antes Resto Recordamos que f() Cociente + d divisor d + / ln + + K, donde ln es el logaritmo neperiano Como f(0) 0, tenemos 0 / ln K 0, es decir 0 + ln() + K 0, de donde K 0 La función es f() / ln +, y f() / 3() + 4 ln + -5/ + 4 ln() La recta tangente pedida es: y - (-5/ + 4 ln()) 0 ( ), es decir y -5/ + 4 ln() Ejercicio 3 opción A, modelo Junio Considera las matrices A 0 0 y B [ 75 puntos] Halla la matriz X que verifica AX + B A [0 75 puntos] Calcula B y B Considera las matrices A 0 0 y B Halla la matriz X que verifica AX + B A - Adjuntos Como det(a) A 0 0 segunda - fila (- +) 0, eiste la matriz inversa A - Adj(A t ) De AX + B A, tenemos AX A - B Multiplicando ambos miembros por la izquierda por A - tenemos: A - AX A - A - A - B I X I - A - B X I - A - B Calculamos A - t Adj(A ) A ; A t A ; Adj(A t ) 0 0, por tanto la matriz inversa es A - t Adj(A ) 0 0 A La matriz es X I - A - B Calcula B y B 06 A B B B B 06 (B ) 008 (I3) 008 I I 3

3 IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Ejercicio 4 opción A, modelo Junio 06 y + z 0 Considera el punto P(,0,5) y la recta r dada por [ punto] Determina la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r (b) [ 5 puntos] Calcula la distancia de P a la recta r y el punto simétrico de P respecto a r y + z 0 Considera el punto P(,0,5) y la recta r dada por Determina la ecuación del plano π que pasa por P y es perpendicular a r Preparamos una figura para los dos apartados: Ponemos la recta r y + z 0 en paramétricas r y -a, con a R z a Un punto de la recta es el A(,0,0) y un vector director es u (0,-,) El plano π que pasa por el punto P(,0,5) y es perpendicular a la recta r, tiene por vector normal n, el vector director de la recta, el u n (0,-,) El plano π tiene de ecuación PX n 0, donde X(,y,z) es un punto genérico del plano y es el producto escalar de dos vectores: π PX n 0 ( -,y - 0,z - 5) (0,-,) -y + z - 5 -y + z (b) Calcula la distancia de P a la recta r y el punto simétrico de P respecto a r Empezamos calculando el simétrico P de P respecto de r Cuando calculemos el punto M proyección ortogonal de P sobre r, por definición la distancia de P a r será el módulo del vector PM Antes hemos puesto la recta r en paramétricas y -a, con a R z a Un punto genérico de la recta es X(,y,z) (,-a,a) En el apartado hemos calculado plano que pasa por P y es perpendicular a r La proyección M de P sobre r, se obtiene como el punto de corte M del plano π con la recta r Sustituyendo el punto genérico de la recta r en el plano π -y + z - 5 0, calculando el valor del parámetro a y sustituyendo de nuevo en la recta -(-a) a a 5/5 El punto M es M(,-(),()) M(,-,) (Recuerdo que teníamos punto P(,0,5)) La distancia de P a r será el módulo del vector PM ( -, - - 0, - 5) (0,-,-4) Luego d(p;r) PM ( ) u (0) u (5) u 3

4 IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna El punto simétrico P (,y,z) se calcula sabiendo que el punto M es el punto medio del segmento PP (,-,) ( (+)/,(y+0)/,(z+5)/), de donde: (+)/ - y/ y -4 (z+5)/ z -3 El simétrico P de P respecto a la recta r es P (,-4,-3) Opción B Ejercicio opción B, modelo Junio 06 Sea f: R R la función definida por f() + a) [0 75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de f b) [ 5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) c) [0 5 puntos] Esboza la gráfica de f Sea f: R R la función definida por f() + a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de f Como el denominador no se anula nunca, y tenemos un cociente de polinomios, f() no tiene asíntotas verticales Sabemos que en un cociente de polinomios si el grado del denominador es mayor que el del numerador tenemos una asíntota horizontal, y es la misma en ± De lim lim lim /+ 0, la recta y 0 es una asíntota horizontal ± + Como hay asíntota horizontal en ±, no hay asíntotas oblicuas en ± Como lim ( f() 0) 0 -, la gráfica de f está por debajo de la recta y 0 en - Como lim + ( f() 0) 0 +, la gráfica de f está por encima de la recta y 0 en + Veamos los corte de la gráfica de f con la recta y 0 Igualando 0, de donde 0, luego la gráfica de f corta a la asíntota horizontal y 0 en el + punto (0,f(0)) (0,0) b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de f Me piden la monotonía Estudio de f () f() + ; f () ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) De f () 0, tenemos + 0, es decir y las soluciones son ±, que serán los posibles etremos relativos -(-) + -3 Como f (-) < 0 < 0, f es estrictamente decreciente ( ց ) en (-,-) ((-) + ) Como f (0) (0 + ) Como f () > 0 < 0, f es estrictamente creciente ( ր ) en (-,) -() + -3 < 0 < 0, f es estrictamente decreciente ( ց ) en (,+ ) (() + ) 5 4

5 IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna - Por definición - es un mínimo relativo y vale f(-) (-) + -/ Por definición es un máimo relativo y vale f() () + / c) Esboza la gráfica de f Teniendo en cuenta lo anterior un esbozo de la gráfica es: Ejercicio opción B, modelo Junio 06 Sea f: (0,+ ) R la función dada por f() ln() (ln representa logaritmo neperiano) [0 5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa (b) [ puntos] Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de f, la recta y - y la recta 3 Calcula su área Sea f: (0,+ ) R la función dada por f() ln() (ln representa logaritmo neperiano) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa Recta tangente en es y - f() f ()) ( - ) f() ln(); luego f() ln() 0 f () /, luego f () / La recta tangente pedida es y - 0 ( - ), luego la recta tangente pedida es y - (b) Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de f, la recta y - y la recta 3 Calcula su área Sabemos que la gráfica de ln() es estrictamente creciente y que en 0 + es asíntota vertical, porque lim ln() ln(0 + ) -, y además lim ln() ln(+ ) También sabemos que ln() 0, ln(e) La recta y -, la dibujamos con dos puntos, el (0,-) y el (,0) La recta 3 es una recta vertical Teniendo en cuenta lo anterior un esbozo de las gráficas pedidas es: Lo relleno de color, es el área que piden Recordamos que ln()d ln() -, pues es una integral por partes ( u dv uv - v du ) ln()d { u ln() du d/; dv v d } ln() - d/ ln() - d ln() - Área 3 ( - - ln())d [ / - - ln() + ] 3 [ / - ln()] 3 [ (3 / - 3 ln(3)) ( / - ln())] 9/ / - 3 ln(3) 4-3 ln(3) u u Ejercicio 3 opción B, modelo Junio 06 5

6 IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna (3 α - ) + y 5 - α Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales α + y, 3α + 3y α + 5 a) [ 5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro α b) [ punto] Resuélvelo para α y determina en dicho caso, si eiste alguna solución donde 4 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales a) Discútelo según los valores del parámetro α (3 α - ) + y 5 - α α + y, 3α + 3y α + 5 Observamos que es un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas 3 α - La matriz de los coeficientes del sistema es A α y la matriz ampliada 3α 3 3 α α * A α 3α 3 α + 5 La matriz cuadrada de 33 es la ampliada A* Si det(a*) A* 0, rango(a * ) 3 rango(a), pues como máimo rango(a) El sistema será incompatible 3 α α Adjuntos A* α primera 3α 3 α + 5 fila (3α-)(α+5-6) ()(α +5α-6α) + (5-α)(3α-3α) (3α-)(α-) () α (α-) + (5-α)(0) (α-) (3α--α) (α-) (α-) De A* 0, tenemos (α-) (α-) 0 y la solución es α (doble) Si α, det(a*) A* 0, rango(a * ) 3 rango(a), pues como máimo rango(a) El sistema será incompatible 3 α - En A α vemos que la segunda y tercera fila son proporcionales Podemos suprimir la tercera 3α 3 e intercambiamos segunda con primera 3 α - 3 α - F -3F - - A α α α 3α 3 F3-3F Observamos que si α, las dos filas son proporcionales y rango (A) Veamos el rango(a*) para α Si α, 4 F -F 0 0 0, luego rango (A*), pues tenemos una fila solamente con F -3F * A números distinto de cero 3 Resumiendo: Si α, det(a*) A* 0, rango(a * ) 3 rango(a), pues como máimo rango(a) El sistema será incompatible Si α, rango(a) rango(a * ) < nº de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones 6

7 IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna b) Resuélvelo para α y determina en dicho caso, si eiste alguna solución donde 4 Hemos visto en el apartado anterior que si α, rango(a) rango(a * ) < nº de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones Como el rango es, sólo necesitamos una ecuación Tomo la segunda: + y Tomo a R, de donde y a (Es la ecuación de una recta en el plano) (,y) (a, a) con a R Si tomamos 4 a, tenemos y 4 - (,y) (4,-) Ejercicio 4 opción B, modelo Junio 06 + λ Considera las rectas r y s dadas por: r y - λ y s + y - z - z [ 5 puntos] Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuación del plano que las contiene (b) [ punto] Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas r y s, calcula su área + λ Considera las rectas r y s dadas por: r y - λ y s + y - z - z Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuación del plano que las contiene Ponemos la recta s + y b en paramétricas s y b, con b R z - z - De la recta r tenemos el punto A(,,) y un vector director u (-,,0) De la recta s tenemos el punto B(-,0,-) y un vector director v (-,,0) Sabemos que dos rectas determinan un plano si son paralelas y distintas o bien si se cortan en un punto En nuestro caso vemos que los vectores u y v son iguales, por tanto son paralelas Para ver que son distintas vemos que el vector u no es proporcional al vector AB AB (-,-,-) Como -/- /-, u no es proporcional al vector AB y las rectas r y s son paralelas y distintas Me piden el plano π que determinan las rectas r y s De la recta r tomo el punto A(,,) y su vector director u (-,,0) El otro vector es el AB (-,-,-) - y- z- Adjuntos π det(ax,u,ab) 0-0 primera fila (-)(--0) - (y-)(4-0) + (z-)(+) y z y + 4z y + z + 0 (b) Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas r y s, calcula su área Si observamos la figura el lado del cuadrado es la distancia entre las rectas y su área es el lado al cuadrado 7

8 IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Como ya sabemos que las rectas son paralelas, vamos a calcular la distancia entre ellas como el área de un paralelogramo Es la altura del paralelogramo Nos sirve la figura anterior Dada la recta r conocemos el punto A(,,) y su vector director u (-,,0) De la recta s sólo tomamos el punto B(-,0,-) El área del paralelogramo determinado por los vectores u y AB es ABu base altura u h, pero la altura h es d(s,r) d(b;r), luego d(b;r) ( ABu ) / ( u ) i j k AB (-,-,-); uab u ( + +0 ) (5) Luego d(s,r) d(b;r) ( ACu ) / ( u ) 6/ (5) u El área del cuadrado es [6/ (5)] 36/5 u i(--0) - j(4-0) + k(+) (-,-4,4); uab ( ) (36) 6 8

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