Integración de Funciones de Varias variables

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1 Cpítulo 1 Integrción de Funciones de Vris vribles 1. L σ-álgebr de orel 2. L medid de Lebesgue 3. Funciones medibles Un vez estudid l medid de Lebesgue en R n, vmos desrrollr hor l integrción de funciones medibles no negtivs. Comenzremos definiendo l integrl de cierts funciones elementles, ls funciones simples y después se hrá l extensión culquier función medible no negtiv medinte proximciones de ésts por funciones simples. Funciones simples En est sección trbjremos con funciones que tomn un número finito de vlores es decir con funciones de s : R n R tles Im s es un conjunto finito de números reles. Supongmos que s es un función de este tipo, que tom los vlores distintos b 1, b 2,..., b p y sen j = {x: s(x) = b j }. Se tiene entonces: Proposición 1.1 L función s es -medible si y sólo si cd j conjunto de orel. es un 1

2 2 Integrción de Funciones de Vris vribles 1.1 Demostrción. Por definición cd j = s 1 (b j ) es decir l nti-imgen por s de un conjunto de un cerrdo. Luego si s es medible j debe ser un conjunto de orel. Pr probr el recíproco sólo hy que tener en cuent que pr cd cd subconjunto A de R, s 1 (A) es el o l unión de lgunos j. Por lo que si los j son de orel entonces s 1 (A) es un conjunto de orel. Definición 1.2 Un función s : R n R se dice simple si tom tom un número finito de vlores y es medible. Ejemplo 1.3 De cuerdo con lo nterior es obvio que l función { 1 si x X (x) = si x c. es -medible si y sólo si es un conjunto de orel. En prticulr, si Q es el conjunto de los rcionles entonces l función X Q proporcion un ejemplo de un función medible y discontinu en todo punto. Definición 1.4 Con ls notciones nteriores, si s es un función simple definiremos l integrl de s como p s = b j m( j ). j=1 En l definición nterior, se supondrá que = i.e., b j =, m( j ) = b j m( j ) =. Propieddes reltivs l integrción de funciones simples: L primer propiedd que vmos ver es que, como cbí esperr, l integrl de un función simple no negtiv es l medid del conjunto comprendido entre l gráfic de l función y el eje X". Dd un función f : R n [, ] y R n, llmremos conjunto de ordends de f sobre l conjunto Ord f = {(x, y) R n [, ) : y < f(x)}. Observr que los puntos de l gráfic de f no están en Ord f. Cundo = R n se escribirá Ord f en lugr de Ord R n f. 1. Si s es un función simple entonces Ord s es un conjunto de orel y s = m(ord s).

3 1.4 Integrción de Funciones de Vris vribles 3 Demostrción. Si l función s tom los vlores b 1, b 2,..., b p sobre los conjuntos de orel 1, 2,..., p, es inmedito comprobr que Ord f = p i=1 i [, b i ). Puesto que el producto de conjuntos de orel es tmbién de orel y su medid de Lebesgue es l producto de l de los fctores, se tiene que m(ord f) = m( p i=1 i [, b i )) = b i m( i ) = s. Nótese que en el cálculo nterior se h tenido en cuent que los conjuntos i [, b i ) son disjuntos dos dos. 2. Si s t son funciones simples, entonces s t. Demostrción. Obvimente s t implic que Ord s Ord t. Luego de l propiedd nterior se deduce que s = m(ord s) m(ord t) = t. 3. Si s, t son funciones simples no negtivs entonces (s + t) = s + t. Demostrción. Sen b 1,..., b p los vlores de s, c 1,..., c q los vlores de t y i = s 1 (b i ), C j = t 1 (c j ). Obvimente l fmili finit { i C j } i,j es un prtición de R n y (s + t)(x) = b i + c j cundo x i C j. Es clro entonces que (s + t) = (b i + c j )m( i C j ) i,j = i = i b i m( i C j ) + j j b i m( i ) + j c j m(c j ) = c j m( i C j ) i s + t. 4. Si s es función simple no negtiv y medible y c un número rel no negtivo, entonces (cs) = c s. Demostrción. Si c = entonces cs =, luego (cs) = = m(r n ) = = = s. Si c > entonces cs es un función que tom el vlor cb i justmente donde s tom el vlor b i (en i ). Luego sc es simple y (cs) = (cb i )m( i ) = c b i m( i ) = c s.

4 4 Integrción de Funciones de Vris vribles 1.4 Es fácil ver que un función s : R n R es simple si y sólo existe un número finito de conjuntos de orel de R n (no necesrimente disjuntos), 1, 2,..., p y números reles b 1, b 2,..., b p tl que s = p i=1 b ix i (Ejercicio). 5. Si s = p i=1 b ix i y cd b i, entonces s = p i=1 b im( i ). Demostrción. Es consecuenci direct de l propiedd 3. Integrción de funciones medibles no negtivs A l hor de extender l definición de integrl sucede como ntes con l medid, si queremos que el operdor ïntegrl"teng buens propieddes, en prticulr l linelidd, debemos restringir el conjunto de funciones sobre el que opere l integrl. Medinte l proximción por funciones simples, vmos extender continución el concepto de integrl ls funciones medibles y veremos que l integrción de ests funciones tiene est grdble propiedd. Lem 1.5 Se f : R n R un función medible no negtiv y cotd. Entonces pr cd ε > existe un función simple s f y tl que f s ε. Demostrción. L demostrción de est implicción se bs en un técnic clásic de proximción uniforme: ddo ε > consideremos l función si f(x) ε ε s(x) = si ε < f(x) 2ε (p 1)ε si (p 1)ε < f(x) pε Es obvio entonces que pr cd x R n se tiene que f(x) s(x) ε. Como f es cotd, es evidente que prtir de lgún p no existen puntos x tles que (p 1)ε < f(x) pε, luego l función s tom un número finito de vlores. Teniendo en cuent por otr prte que esos vlores se tomn en los conjuntos {x : iε < f(x) (i + 1)ε}, que son conjuntos de orel (f medible), se deduce que s es un función simple. Corolrio 1.6 Si f es un función medible, no negtiv y cotd, entonces existe un existe un sucesión no decreciente de funciones simples no negtivs, que converge uniformemente hci f. Abrevidmente, s k f (uniformemente).

5 1.8 Integrción de Funciones de Vris vribles 5 Demostrción. Se s p l función simple del lem nterior pr ε = 1/2 p. Puesto que f(x) s p (x) ε p = 1/2 p, x, l sucesión {s p (x)} converge uniformemente hci f. Es fácil probr que l sucesión {s p } es creciente (comprobr como ejercicio que s 1 s 2 ). Este corolrio dmite un extensión pr funciones medibles, no necesrimente cotds, que será esencil pr estblecer ls propieddes de l integrción de dichs funciones. Proposición 1.7 Si f : R n [, ] es un función medible entonces existe un sucesión monóton creciente de funciones simples, no negtivs y medibles que converge puntulmente f. Abrevidmente, s k f. Definición 1.8 Si f : R n [, ] es un función medible, se define { f = sup } s : s f, s simple. Observr que hor tenemos dos definiciones pr l integrl de un función simple no negtiv. Hbremos de ver que mbs son equivlentes es decir: Ejercicio. Si t es un función simple, entonces { t = sup } s : s t, s simple Propieddes reltivs l integrción de funciones medibles no negtivs. De ls propieddes dds pr l integrción de funciones simples, se deduce: 1. Si f es un función no negtiv y medible entonces el conjunto Ord f es un conjunto de orel de R n+1 y f = m(ord f). Demostrción. Y sbemos que esto es cierto pr funciones simples. Se hor f : R n [, ] medible. Por l Proposición 1.7, sbemos que existe un sucesión monóton creciente {s p } de funciones simples, no negtivs,

6 6 Integrción de Funciones de Vris vribles 1.8 que converge puntulmente f. Es inmedito comprobr que, en ests condiciones, se tiene que Ord s 1 Ord s Ord f. Además, de l convergenci puntul de l sucesión l función f se deduce que Ord f = p=1 Ord s p. En efecto, si (x, y) Ord f, es decir y < f(x) = lím p s p (x) entonces prtir de un cierto término se tiene que y < s p (x) f(x), o se (x, y) Ord s p. De lo nterior result que Ord f es medible, por ser unión numerble de conjuntos medibles, y que { f = sup } s : s f = sup {m(ord s) : s f} m(ord f) = lím m(ord s p ) = lím s p p { } sup s : s f = f. p 2. Si f, g son funciones medibles y f g entonces f g. Demostrción. Idéntic que pr funciones simples. 3. (Teorem de l convergenci monóton) Se {f p } un sucesión creciente de funciones no negtivs y medibles y f(x) = lím f p (x), p entonces f es un función medible y f = lím p Demostrción. Que l función f es medible se deduce de l iguldd f p. {x : f(x) > α} = p {x : f p (x) > α}. Rzonndo como ntes en l propiedd 1, se deduce que Ord f = Ord f p, luego f = m(ord f) = lím m(ord f p ) = lím f p. p p

7 1.9 Integrción de Funciones de Vris vribles 7 4. Sen f, g funciones no negtivs y medibles. Entonces l función f + g es medible y se tiene que (f + g) = f + g. Demostrción. Sen f, g no negtivs y medibles y sen s p f, t p g, dos sucesiones no decrecientes de funciones simples, convergiendo f y g, respectivmente. Entonces s p +t p f +g, por lo que, plicndo el teorem de l convergenci monóton se deduce que f + g es medible y ( (f + g) = lím (s p + t p ) = lím p p s p + ) t p = f + g. Más generlmente, 5. Si {f p } es un sucesión de funciones no negtivs y medibles, entonces (1.1) fp = f p. Pr probrlo sólo hy que plicr el teorem de l convergenci monóton y l ditividd del operdor integrl l sucesión de funciones no negtivs p g p = f i. i=1 6. Si f es un función no negtiv y medible y c un número rel no negtivo, entonces (cf) = c f. Demostrción. Ejercicio. Definición 1.9 Se un conjunto de orel de R n y f un función definid (como poco) sobre. Se dice que f es medible sobre o que l restricción f es medible, si es medible l función fx (x) = { f(x) si x si x c. Si f es un función medible y no negtiv sobre, definiremos l integrl de f sobre como f = fx.

8 8 Integrción de Funciones de Vris vribles 1.9 Ejercicio. Probr que un función f es medible sobre el conjunto de orel si y sólo si pr cd número rel α el conjunto {x : f(x) > α} es de orel. Deducir tods ls propieddes de ls funciones medibles se conservn pr ls medibles sobre un conjunto. De cuerdo con l definición es obvio que si f es un función medible y no negtiv sobre entonces f = m(ord f), donde Ord f = {(x, y) [, ) : y < f(x)}. Como hemos venido hciendo, cundo = R n se escribirá f en lugr de R n f y simismo Ord f en lugr de Ord R n f. Consecuencis 1.1 Si f es un función medible y no negtiv, l función de conjunto µ() = f, es un medid sobre (R n ). Además est medid es bsolutmente continu respecto l medid m de Lebesgue i.e., si N es un conjunto de medid nul entonces N f =, culquier que se l función f. Demostrción. Si { p } es un sucesión de conjuntos medibles disjuntos dos dos, del resultdo nterior y l iguldd fx p = fx p, se deduce que µ( p ) = f = ( fx p = fx p = f = µ( p ). p p Pr probr que µ es bsolutmente continu respecto l medid de Lebesgue, supongmos en primer lugr que f es un función simple, luego se puede escribir f = b k X k con b k y k conjuntos de orel. Entonces N finit (bk f = X X k N) = bk X k N = b 1 m( 1 N) b p m( p N) = =. En generl, N f = fx N = sup { s : s fx N } =, y que si s fx N entonces s = sx N s = N s =. Aplicndo ls propieddes de tod medid l medid µ() = f, se deduce: 1. Si 1, 2 son conjuntos medibles 1 2, entonces 1 f 2 f.

9 1.12 Integrción de Funciones de Vris vribles 9 2. Si es un sucesión creciente de conjuntos medibles entonces f = lím f. p p p es un sucesión decreciente de conjuntos medibles y 1 f < entonces f = lím f. p p p En prticulr de l 2 de ls consecuencis nteriores se deduce lo siguiente: Corolrio 1.11 Se f un función de 1-vrible, no-negtiv y medible sobre el intervlo (, b), < b + y denotemos por b f(x)dx l integrl de f sobre el intervlo (, b) i.e. b f(t)dt (,b) f. Entonces, (1.2) b y y b f = lím f(t)dt = lím f(t)dt = lím f(t)dt. x + y b x y b x + x Demostrción. Demostremos por ejemplo que b f = lím y y b f(t)dt. Pr ello consideremos un sucesión y 1 < y 2 <... en (, b) tl que lím p y p = b. Puesto que (, b) = (, y p ) y (, y 1 ) (, y 2 )... se tiene que (1.3) b yp f = lím f(t)dt. p De esto es fácil deducir y que b f = lím y y b f(t)dt. Hgámolslo por ejemplo en el cso en que b < y tmbién b f <. De (1.3) se deduce que pr ε > existe un índice ν tl que b f(t)dt y ν f(t)dt ε. Se δ = b y ν y tomemos y < b tl que b y δ entonces y ν y < b y por tnto b f(t)dt y f(t)dt b f(t)dt y ν f(t)dt ε. Hcer l prueb en los demás csos como un ejercicio. 4. Integrción de Funciones Reles Abordremos hor l integrción de funciones medibles rbitrris es decir con vlores en R o más generlmente en R {+, }.

10 1 Integrción de Funciones de Vris vribles 1.12 Definición 1.12 i) Si f es un función definid en todo R n y medible se define f = f + f. ii) Si f es un función medible sobre el conjunto de orel se define f = fx. De est definición y lo y estudido sobre integrción de funciones medibles no negtivs se deduce fácilmente que f = fx = (fx ) + (fx ) = = f + f + X f = m(ord f + ) m(ord f ). f X L función f se dice integrble sobre cundo f es finit. Cundo f = se dice que no existe l integrl de f sobre. Conviene resltr en primer lugr lguns consecuencis útiles de est definición: Proposición 1.13 Si f es medible sobre los conjunto de orel disjuntos 1 y 2 entonces f es medible sobre 1 2 (y recíprocmente) y se stisfce l iguldd: (1.4) f = 1 2 f + 1 f. 2 Demostrción. f = f + f = f + + f + ( f + f ) = f + f, Importnte: L iguldd nterior tiene demás el sentido de que un miembro de l mism está bien definido si y sólo si el otro lo está. Esto no siempre ocurre, de hecho hy un ejemplo prticulrmente importnte, que d lugr

11 1.15 Integrción de Funciones de Vris vribles 11 lo que clásicmente se hn denomindo integrles impropis. En el Corolrio 1.11 veímos que pr funciones medibles de 1-vrible y no negtivs er ciert l iguldd b y f = lím f(t)dt. y b Pr funciones con signo vrible puede obtenerse l siguiente extensión de ese resultdo: Proposición 1.14 Se f un función que dmite integrl sobre el intervlo (, b) con, b R, es decir b f. Entonces, b f = lím y b y f(t)dt Demostrción. Puesto que el resultdo es cierto tnto pr f + como pr f, se tiene que b b b y y f = f + f = lím f + lím f = lím y b [ y f + y b y f ] = lím y b y b y f(t)dt Es nturl preguntr si l iguldd nterior es tmbién válid cundo b f =, en el sentido de si entonces tmbién el segundo término tom l form. L respuest es que no y el ejemplo típico lo proporcion l función f(t) = sen t t. Se puede probr (ver ) que sen t t dt = y sin embrgo (ver Apostol [1]) y sen x lím = π y x 2. Si f es un función como l del ejemplo nterior i.e., b f = pero existe lím y y b f(t)dt, l vlor de este límite es hbitul llmrlo integrl impropi, pudiéndonos encontrr veces con l notción b f = lím y y b f(t)dt. (Análogs definiciones pr b f, b f). Proposición 1.15 Si f es un función medible y N es de medid nul entonces N f =. Demostrción. N f = N f + N f = =. En prticulr si f es un función medible de 1-vrible entonces [,b] f = (,b) f b f(t)dt.

12 12 Integrción de Funciones de Vris vribles 1.15 El retículo vectoril L 1 () Definición 1.16 Si es un conjunto de orel, diremos que un función medible sobre pertenece L 1 (E) si f es finit e integrble sobre i.e si f(x) < pr todo x y < f <. Ls propieddes más utilizds de L 1 () son ls siguientes: 1. Si f es un función medible sobre, entonces f L 1 () si y sólo si f L 1 () y se stisfce l fórmul f f. Demostrción. Puesto f = f + + f, se tiene que (1.5) f = f + + f. Por tnto f es finit si y sólo f + y f son finits, es decir si y sólo si f es finit. Además, f = f + f f + + f = f. 2. Si f, g L 1 () y f g en entonces f g. Demostrción. Obvimente si f g en entonces f + X g + X y f X g X. Se tiene entonces: f + g+ f g f = f + f g + g = g. Ejercicio. Probr que si f L 1 () y C es un conjunto de orel tl que C entonces f L 1 (C), pero en generl C f f. 3. L 1 () es un espcio vectoril, siendo l integrl un operdor linel sobre él i.e., si α, β R y f, g L 1 () entonces E (αf + βg) = α E f + β E g.

13 1.18 Integrción de Funciones de Vris vribles 13 Demostrción. Sen α, β R y f, g L 1 (). Se tiene entonces : αf + βg ( α f + β g ) = α f + β g <. Vmos probr l iguldd (f + g) = f + g (de form nálog se procederí pr probr que (λf) = λ f). Teniendo en cuent ls relciones f = f + f, g = g + g, f + g = (f + g) + (f + g), podemos escribir (f + g) + (f + g) = f + f + g + g, equivlentemente (f + g) + + f + g = (f + g) + f + + g +. por lo que, plicndo l ditividd del operdor integrl pr funciones medibles no negtivs, se tiene que (f + g) + + f + g = (f + g) + f + + g +. Como ls funciones f, g y f + g son integrbles, todos los sumndos nteriores son, luego (f + g) + (f + g) = f + f + g + g, es decir (f + g) = f + g. Proposición 1.17 Si f es un función medible y cotd sobre un conjunto de orel de medid finit, entonces f L 1 (). Demostrción. Si f(x) M pr todo x, entonces f X MX. Luego f = f X MX = Mm() <. Es decir f es integrble sobre. Corolrio 1.18 Tod función continu sobre un compcto es integrble sobre él. Demostrción. Si f es un función continu sobre el compcto K, entonces f está cotd en el conjunto de medid finit K, luego es integrble sobre K según el criterio nterior.

14 14 Integrción de Funciones de Vris vribles Primitivs e Integrles Todos sbemos de l relción entre primitivs e integrles pr funciones de 1-vrible. L formulción precis de est relción l d el teorem fundmentl del cálculo integrl. Nosotros sólo veremos quí l versión más clásic de este teorem que es pr funciones continus (ver [3] pr el cso generl). Definición 1.19 Se I un intervlo de R y f un función de I en R. Si F es un función tl que F (x) = f(x), pr cd x de I, se dice que F es un primitiv de l función f en I. Observemos en primer lugr que dos primitivs de un mism función en un intervlo se diferencin en un constnte. En efecto, si F = G en I entonces (F G) =, luego F G es constnte en I. Proposición 1.2 i) Tod función continu en un intervlo (de culquier tipo: bierto, cerrdo,..., cotdo, no cotdo,...) de R dmite un primitiv sobre él. ii) (Fórmul de rrow) Si f es continu en el intervlo I y G es un primitiv de f en I y el intervlo cerrdo [, b] I, entonces b f(t)dt = G(b) G(). Demostrción. i) Se c o I y definmos { x c F (x) = f(t)dt si c x c x f(t) si c > x, y vmos ver primero que F +(x ) = f(x ) culquier que se x I i.e., que F (x + h) F (x ) f(x ) h tiende cundo h +. Observr que tnto si x c como si x < c se

15 1F Integrción de Funciones de Vris vribles 15 tiene que pr h >, F (x + h) F (x ) = x +h x f(t)dt, y por tnto F (x + h) F (x ) f(x ) h = F (x + h) F (x ) hf(x ) h = 1 x +h x +h f(t)dt f(x h )dt x x = 1 x +h (f(t) f(x h ))dt 1 x +h f(t) f(x ) dt h x Teniendo en cuent que f es continu en x, ddo ε > existe δ > tl que si t x < δ entonces f(t) f(x ) ε. Por tnto de lo nterior se deduce que si < h < δ entonces: F (x + h) F (x ) h x f(x ) 1 h x +h x εdt = ε. ii) Si G es un primitiv de f en I, entonces G(x) = F (x) + k luego b c f c f si c < b G(b) G() = F (b) F () = b c f + b c f si < c b c b f + c = f. si < b < c. Ejercicios 1A Probr que si l función f : [, b] R es derivble entonces l función f, derivd de f, es un función medible. 1 Si f, g son funciones integrbles son integrbles ls funciones f g, f g, fg?. 1C Probr que l gráfic de un función medible f : R n R es un conjunto de medid nul. indicción. Gr (f) Ord (f + 1/p) \ Ord (f). 1D Sen f, g funciones medibles estrictmente positivs. Probr que f 1 + fg L 1 ínf ( f, 1 ) L 1. g 1E Demostrr que si f es un función integrble en R y existe lím x f(x) entonces este límite vle. Dr lgún ejemplo de un función integrble que no dmit límite en el infinito. 1F Se f L 1 (R) derivble en y tl que f() =. Probr que l función g(x) = f(x)/x es integrble en R.

16 16 Integrción de Funciones de Vris vribles 1G 1G Demostrr que si f es un función medible no negtiv que tom el vlor 1 en un conjunto de puntos de medid infinit, entonces f =. 1H Estudir l integrbilidd en el intervlo [, 1] de ls funciones f(x) = sen 1/x, g(x) = x 1 ln x. 1I Estudir l integrbilidd de ls funciones e 1/x sen x, x [, 1]; 1, x [e, ] x(ln x) 2 ln x x 2 ln x, ln x x(1 + x), x (, ) 1J Obtener un primitiv en todo R pr l función f(x) = e x y clculr R f.

17 Cpítulo 2 Cálculo Integrl 1. El Teorem de l Convergenci Domind Los dos teorems de convergenci básicos en l integrción son el teorem de l convergenci monóton (Lem 3), que vimos el cpítulo y el de l convergenci domind, que veremos hor. En mbos se estblecen condiciones sobre un sucesión de funciones medibles pr que se puedn permutr los símbolos y lím, es decir pr que (2.1) lím f k = lím f k. El de l convergenci monóton es pr funciones no negtivs y el de l convergenci domind pr funciones integrbles. Es fácil encontrr ejemplos de sucesiones de funciones integrbles sobre un conjunto que converjn puntulmente (e incluso uniformemente) un función, pero que ls sucesiones de integrles sen no convergentes o no converjn l integrl del límite: Ejemplos 2.1 (1) Consideremos l sucesión {f p } definids en en [, 1] por { p sen(px) si x π/p f p (x) = si x π/p. Es fácil ver que l sucesión converge puntulmente en [, 1] y que 1 f p = cos(px) ] π/p = 2, p. Luego lím 1 p f p 1 (lím f p). (2) Se hor { p 3 x sen p(1 p 2 x 2 ) si x 1/p f p (x) = si x 1/p. 17

18 18 Cálculo Integrl 2.1 De nuevo est sucesión converge puntulmente en [, 1], pero hor l sucesión de integrles no converge, pues 1 f p = 1/2 cos p(1 p 2 x 2 ) ] 1/p = 1/2(1 cos p). Antes de estblecer los resultdos de este tem, veremos otr buen propiedd de ls funciones medibles: Lem 2.2 Si {f p } es un sucesión de funciones medibles que converge en cd punto del conjunto medible l función f, entonces f es medible sobre. Demostrción. st tener en cuent si {f p (x)} f(x) pr cd x, entonces {x : f(x) > α} = r k p k {x : f p (x) > α + 1/r}. Teorem 2.3 Se {f p } un sucesión de funciones medibles sobre que converge puntulmente l función f y supongmos que existe un función F integrble sobre tl que f p F pr todo p, entonces () f es integrble sobre. (b) f = lím f p. Demostrción. De l condición f p F y l convergenci puntul de l sucesión {f p } hci l función f, se deduce trivilmente que f F en, lo que implic (por ser F integrble sobre ) que cd función f p y f son funciones de L 1 (). Consideremos l sucesión g p (x) = sup f k (x) f(x). k p Es fácil ver que {g p } es un sucesión decreciente de funciones medibles sobre que converge puntulmente en. Además ests funciones son integrbles sobre, y que g p 2F. Aplicndo entonces el teorem de l convergenci monóton l sucesión g 1 g 2 g 1 g 3... g 1, se tiene que g p. Finlmente, teniendo en cuent que f p f f p f g p, se deduce que lím p f p = f.

19 2.5 Cálculo Integrl 19 Como es bien conocido, en integrción Riemnn, l convergenci uniforme de un sucesión de funciones integrbles sobre un intervlo compcto es un condición suficiente pr l convergenci de l sucesión de integrles hci l integrl del límite de l sucesión. Este resultdo se extiende pr vris vribles (de hecho el mismo no es más que un cso prticulr del teorem de l convergenci domind). Proposición 2.4 Se un conjunto medible y de medid finit, y se {f p } un sucesión de funciones en L 1 (), que converge uniformemente sobre un función f, entonces f L 1 () y f = lím p f p. Demostrción. De l hipótesis se deduce que, ddo ε >, existe un índice ν tl que si p ν entonces f p (x) f(x) ε, pr todo x. Luego 1. f(x) f p (x) f(x) + f p (x) ε + f p (x) en f (ε + f p ) = εm() + f p <. Luego f L 1 (). 2. Si p ν, f p f f p f εm(). Es decir f = lím p f p. Not. El resultdo puede no ser cierto cundo se trbj en intervlos no compctos: Consideremos l sucesión {f p } de funciones definids en R por f p (x) = { 1/p si x p si x p. Es clro que l sucesión {f p } converge uniformemente en R, sin embrgo, l integrl del límite y el límite de ls integrles no coinciden, pues pr cd p, f p = 2, luego lím p fp = 2 mientrs que l integrl del límite es igul. Y hemos visto que l integrl de un serie de funciones medibles y nonegtivs coincide con l serie de ls integrles (propiedd 5 de l integrción de funciones medibles no-negtivs). Esto no es verdd, en generl, pr funciones integrbles. Sin embrgo, como consecuenci del teorem de l convergenci domind podremos obtener un importnte cso prticulr en el que sí es posible permutr l integrl con l sum. Corolrio 2.5 Se {f p } un sucesión de funciones medibles sobre un conjunto de orel, y supongmos que l serie f p es convergente, entonces:

20 2 Cálculo Integrl 2.5 ) L serie f p (x) es convergente pr csi todo x i.e. el conjunto {x : l serie f p (x) no converge} es de medid nul. b) fp = f p. Demostrción. Vmos probr primero b) dndo por válido ) y, más exctmente, que l serie f p (x) converge bsolutmente pr csi todo x, es decir que el conjunto (de orel) N = {x : f p (x) = } es de medid nul. De cuerdo con esto l función f(x) = f p (x) está definid en \N y m(n) =. Vmos plicr el teorem de l convergenci domind l sucesión g 1 = f 1 ; g 2 = f 1 + f 2 ;... de ls sums prciles de l serie fp. (convergente en \ N f). Como g p p j=1 f j j=1 f j = F, y F L 1 ( \ N): F = F = fj = f j <, \N se deduce de dicho teorem que i) f = f p L 1 ( \ N). ii) f = \N f = \N fp = \N f p = f p. Observemos que nos estmos refiriendo f pesr de que f sólo está definid en \ N. Cundo hcemos esto suponemos que l restricción de f N es culquier función medible sobre N (por ejemplo f(x) =, x N). Puesto que N f = es obvio que f = \N f. L prueb de ) es un consecuenci direct de plicr el lem siguiente l función integrble F. Lem 2.6 Si un función ϕ es integrble sobre el conjunto de orel, entonces el conjunto N = {x : ϕ(x) = } es un conjunto de orel de medid nul, con otrs plbrs ϕ es finit en csi todo punto de o csi siempre en (brevidmente en c.t.p de ó c.s. en ). Demostrción. Pr cd p = 1, 2,..., se N p = {x : ϕ(x) p}. Puesto que N = p=1 N p y los N p son conjuntos de orel, se deduce que N es tmbién de orel. Pr probr que m(n) = bst tener en cuent que N N p pr todo p y que m(n p ). En efecto, como ϕ <, se tiene que ϕ ϕ = ϕ X Np px Np = pm(n p ) N p m(n p ) 1/p ϕ.

21 2.8 Cálculo Integrl 21 Integrles dependientes de un prámetro Llmremos integrl dependiente de un prámetro tod expresión del tipo ϕ(t, x)dx, donde es un conjunto de orel de Rn, t (el prámetro) pertenece un intervlo J de R y ϕ(t, x) es un función rel e integrble respecto x culquier que se t J (i.e perteneciente L 1 ()). Tod integrl prmétric define por tnto un función de J en R, g(t) = ϕ(t, x)dx, t J. A continución estbleceremos condiciones pr que g se continu o derivble. Teorem 2.7 Con ls condiciones y notciones que se cbn de estblecer, se t un punto del intervlo J o bien un extremo de J (en cso de que J se no cotdo puede ser t = ± ). Si se stisfcen ls condiciones: i) existe lím t t ϕ(t, x), pr todo x ; ii) existe un función F L 1 () y un entorno J de t tl que ϕ(t, x) F (x), pr todo t J J, entonces lím t t g(t) existe y se tiene que lím g(t) = lím ϕ(t, x)dx. t t t t Demostrción. Pr probr esto bstrá con que pr cd sucesión {t p } de puntos de J J que tiend t exist lím t t {g(t p )} y su vlor se justmente lím t t ϕ(t, x)dx. Se pues {t p } t. Puesto que existe, por hipótesis, lím t t ϕ(t, x) pr todo x, se tiene que lím t t ϕ(t, x) = lím p ϕ(t p, x), o se que si denotemos f p (x) = ϕ(t p, x), f(x) = lím t t ϕ(t, x), entonces lím p f p (x) = f(x). Como demás f p (x) = ϕ(t p, x) F (x), podemos plicr l sucesión {f p } el teorem de l convergenci domind. Luego f L 1 () y lím p f p = f i.e. lím ϕ(t, x)dx = f = lím ϕ(t p, x)dx = lím g(t p ). t t p p

22 22 Cálculo Integrl 2.8 Teorem 2.8 Con ls condiciones y notciones del preámbulo y suponiendo que J es un intervlo bierto, si t es un punto de J pr el cul existe un entorno J J tl que: i) existe ϕ t (t, x), pr todo x y todo t J ; ii) existe un función G L 1 () tl que entonces g es derivble en t y ϕ t (t, x) G(x), x, t J g (t ) = ϕ t (t, x)dx. Demostrción. Pr t t denotemos h(t) = g(t) g(t ) t t, ψ(t, x) = ϕ(t, x) ϕ(t, x) t t. De l hipótesis i) y de que ϕ(t, x) es integrble sobre pr todo t J, se deduce que ψ(t, x) tmbién es integrble y que existe lím t t ψ(t, x) = ϕ t (t, x), luego, teniendo en cuent que h(t) = g(t) g(t ) t t = ϕ(t, x) ϕ(t, x) dx = ψ(t, x)dx, t t vmos probr que lím t t + h(t) = lím t t h(t) = lím t t ψ(t, x). Pr ello veremos que l función h stisfce ls hipótesis del teorem nterior en los intervlos (t, ) J y (, t ) J. En efecto, usndo l hipótesis ii) y el teorem del vlor medio en [t, t], t J se sigue que existe t x (t, t) tl que ψ(t, x) = ϕ(t, x) ϕ(t, x) t t ϕ t (t x, x) G(x), = ϕ t (t x, x), es decir ψ(t, x) G(x) si t (t, ) J. Por tnto lím t t + h(t) = lím t t ψ(t, x). Y nálogmente lím t t h(t) = lím t t ψ(t, x).

23 2D Cálculo Integrl 23 Corolrio 2.9 Si ϕ es función (con vlores en R) y clse C 1 en J, siendo J un intervlo bierto y un compcto de R n entonces l función g(t) = ϕ(t, x)dx, es de clse C1 sobre J y g (t) = ϕ (t, x)dx t Demostrción. L función x ϕ(t, x) es continu sobre que es compcto y por tnto es integrble sobre. Pr probr que g es derivble en cd punto t J plicremos el Teorem 2.8: Puesto que ϕ t es continu en J, es continu, en prticulr, en el compcto [t r, t + r] J (pr lgún r > ) y por lo tnto cotd i.e., existe lgun constnte M tl que ϕ t (t, x) M, t [t r, t + r] = J, x. Puesto que l función G(x) = M es integrble sobre ( es compcto), el corolrio se deriv y de dicho Teorem 2.8. Ejercicios 2A Estudir y clculr, cundo se posible, los siguientes límites lím k lím k k kx 2 + x, x x 3 + k cos 2 x, lím k lím k k (x + k) 2 + kx 2 sen 2 kx x 2 + k 2 sen 2 x 2 Demostrr que si f es un función integrble entonces lím m e m sen2 x f(x) =. 2C Se f(x) = 1 cos x p=1. Clculr π 2 p f y f. 2D Probr que 1 ln x dx = p=1 x p p = 1 p p=1 1 x p = 1.

24 24 Cálculo Integrl 2E 2E Se f(x) = Probr que { sen x x si x 1 si x =. f(x) = x ( 1) p x 2p (2p + 1)! p= f(t)dt = ( 1) p x 2p+1 (2p + 1)(2p + 1)! p= 2F Demostrr que ( sen px 2 sen x + p 6 x 3 ) dx = sen px 2 sen x + p 6 x 3 dx. 2G 1. Obtener medinte un doble integrción por prtes l función g(t) = e x sen(tx)dx. 2. Probr que g se puede derivr en cd punto t R bjo el signo integrl y clculr entonces xe x cos(tx)dx. sen tx 2H Se ϕ(t, x) = con t R, x (, 1). x 1. Demostrr que pr todo t R, l función ϕ es integrble respecto x en (, 1) es decir, l integrl 1 sen tx x dx es finit pr todo t. 2. Se g(t) = 1 ϕ(t, x)dx. Probr que g es derivble en todo punto t R y clculr g (t). 2I Se g(t) = x+t x 3 +t dx. Comprobr que g está bien definid en (, ) y demás es continu en este intervlo. Cuánto vle lím t g(t)? Y lím t g(t). 2J Teniendo en cuent que t [tg(tx)] = clculr 1 pr t ( π/2, π/2). x cos 2 (tx), x cos 2 (tx) dx,

25 2.1 Cálculo Integrl El Teorem de Fubini-Tonelli Veremos continución que el cálculo de un integrl múltiple se reduce l de integrles simples. Concretmente se v probr que si f(x, y) es un función medible de n + k vribles, que no cmbi de signo o que es integrble, entonces ls integrles iterds ( (2.2) f(x, y) dy ) ( dx, f(x, y) dx ) dy existen y son igules, siendo su vlor precismente f. Por tnto repitiendo el proceso tnts veces como se necesrio, el cálculo de f se reducirá l de cierts integrles simples. El teorem de Tonelli El primer cso que vmos considerr en el que se d l iguldd entre l integrl de un función y sus integrles iterds, es el de funciones orel-medibles no negtivs. Teorem 2.1 Se f : R n R k [, + ] -medible. Entonces: 1. L función de l vrible y R k, f(x, ): y f(x, y), es [y]-medible pr x R n. 2. L función g(x) = f(x, y) dy, es [x]-medible. 3. l integrl de f y ls integrles iterds de f coinciden, es decir f(x, y) dx dy = g(x) dx = ( f(x, y) dy) dx. Demostrción. Denotemos por T l conjunto de ls funciones medibles y no negtivs que stisfcen ls tres condiciones del teorem de Tonelli. Obvimente, lo que se trt de probr es que culquier f y medible pertenece T. Pr ello observemos en primer lugr que el conjunto T tiene ls siguientes propieddes: i) Si ls funciones f, g T entonces f + bg T culesquier que sen los números reles positivos, b.(ejercicio) ii) Si {f p } es un sucesión monóton creciente de funciones de T, que converge puntulmente l función f ( f p f), entonces f T. L prueb de (ii) consiste en plicr sucesivmente el teorem de l convergenci monóton: l sucesión de funciones de y que se obtienen l fijr x (pr cd x R n ). Obvimente f p (x, ) f(x, ) y puesto que cd f p T, se trt de un sucesión de funciones [y]-medibles. Luego su límite f(x, ) es tmbién [y]-medible y f(x, y) dy = lím p fp (x, y) dy.

26 26 Cálculo Integrl 2.1 l sucesión de funciones de x, g p (x) = f p (x, y) dy ([x]-medibles y que f p T ). Como g p (x) g(x) = f(x, y) dy, se tiene que g(x) = f(x, y) dy es [x]-medible y ( f(x, y) dy ) dx = g(x) dx = lím g p (x) dx p ( = lím f p (x, y) dy ) dx. p A l sucesión de funciones {f p }, [x, y]-medibles por hipótesis. Entonces f(x, y) dx dy = límp fp (x, y) dx dy, siendo este límite igul ( lím p f p (x, y) dy ) dx (y que f p T ) y, según lo nterior, igul tmbién ( f(x, y) dy ) dx. Esto prueb que f T. Observemos entonces que, después de lo nterior, l demostrción de que cd función medible no negtiv stisfce el teorem de Tonelli, se reduce probr que esto es verdd pr ls funciones del tipo f = X, con un conjunto de orel. En efecto, si X T pr todo conjunto de orel, entonces por l propiedd i) de T tod función simple no negtiv s = p i=1 b ix i pertenece T. Finlmente si f es no negtiv y medible sbemos que existe un sucesión de funciones simples s p f, por lo que de l propiedd ii) de T se deduce que f T. Vemos pues si R n+k es un conjunto de orel entonces el teorem de Tonelli se stisfce pr l función X : 1. Fijemos x R n y denotemos por (x) = {y R k : (x, y) }. Es obvio que l función de y, X (x, ) es igul X (x) y, por tnto, será [y]-medible si y sólo si (x) es un conjunto orel. Pr demostrr esto bst observr que (x) = T 1 () siendo T l plicción continu de R k en R n R k definid por T (y) = (x, y). 2. Se g(x) = X (x, y)dy = X (x) dy = m((x)). Hemos de probr que g es [x]-medible culquier que se. Supongmos en primer lugr que es un semintervlo, es decir = I J con I un semintervlo de R n y J un semintervlo de R k. Entonces es clro que (x) = { J si x I si x I. = m((x)) = { m(j) si x I si x I. Luego g(x) = m((x)) = m(j)x I (x) que es un medible y que es simple. Supongmos hor que es un conjunto bierto. Escribiendo entonces como unión numerble de semicubos disjuntos, es decir = p C p, se tiene que (x) = p C p (x) siendo obvimente los conjuntos C p (x) intervlos disjuntos dos dos. Por tnto g(x) = m((x)) = m(c p (x)).

27 2.1 Cálculo Integrl 27 Puesto que, l ser C p semintervlos, ls funciones g p (x) = m(c p (x)) son funciones medibles, se deduce que g es medible por ser un serie de funciones medibles. Ahor probremos que si es un conjunto de orel y U un bierto cotdo entonces l función g(x) = m(( U)(x)) es medible. Se A l fmili de conjuntos de orel con est propiedd. A es un σ-álgebr pues trivilmente y R n R k están en A y si p es un colección numerble de conjuntos de A disjuntos entonces tmbién son disjuntos los conjuntos ( p U)(x) luego m((( p ) U)(x)) = m( ( p U)(x)) = m(( p U)(x)). Se tiene pues que l función g(x) = m((( p ) U)(x)) es l sum de un serie de funciones medibles y por tnto tmbién medible. Luego p A. Vemos, por último, que A es cerrd respecto l pso complementrios: si A entonces m(( c U)(x)) = m((u \ U)(x)) = m(u(x) \ ( U)(x)) = m(u(x)) m(( U)(x)). (Observr que en lo nterior se h usdo el hecho de U es un conjunto cotdo). Luego l función g(x) = m(( c U)(x)) es medible por ser diferenci de dos funciones medibles. Result por tnto que A es un σ-álgebr que contiene los biertos, luego debe coincidir con l σ-álgebr de orel. Finlmente vemos que g(x) = m((x)) es medible pr cd conjunto de orel. Se U 1 U 2... un sucesión de biertos cotdos que recubrn R n R k. Entonces es clro que m((x)) = lím p m(( U p )(x)). Luego, de lo visto en l etp nterior, se deduce que l función g(x) = m((x)) es medible. 3. Sólo qued probr l fórmul ( X (x, y)dxdy = g(x) dx = X (x, y)dy ) dx ( = X (x) dy ) dx = m((x))dx. Puesto que X (x, y)dxdy = m(), bstrá probr que si definimos µ() = m((x))dx, entonces µ es un medid sobre l σ-álgebr de orel de R n R k que coincide con l de Lebesgue sobre los intervlos. En efecto, si { p } es un colección numerble de conjuntos de orel disjuntos, entonces tmbién son disjuntos los conjuntos de orel p (x) y ls funciones m( p (x)) son [x]-medibles, luego µ( p ) = m( p (x))dx = m(p (x))dx = m( p (x))dx = µ( p ). Si es el semintervlo I J, y sbemos (lo veímos más trás en el punto 2.) que g(x) = m((x)) = m(j)x I (x), luego µ() = m((x))dx = m(j)x I = m(j) m(i) = m(i J) = m().

28 28 Cálculo Integrl 2.11 El teorem de Fubini Como y señlmos l principio ls integrles iterds tmbién coinciden con l integrl de l función cundo ést es un función integrble. El enuncido preciso de este hecho lo constituye el teorem de Fubini: Teorem 2.11 Se f : R n R k R integrble. Entonces: (i) L función de l vrible y R k, f(x, ): y f(x, y), es [y]-integrble p.c.t. x R n i.e., el conjunto N = {x : f(x, ) no es [y]-integrble} es un conjunto de orel de medid nul. (ii) Si g es un función medible, definid en cd punto x N c como g(x) = f(x, y) dy, entonces g es [x]-integrble. (iii) g dx = f (es decir l integrl de f coincide con sus integrles iterds). Demostrción. Se f = f + f. Por hipótesis f + y f son integrbles y l ser tmbién no negtivs, stisfcen el teorem de Tonelli, es decir ( f + (x, y) dy ) dx = f + < +, ( f (x, y) dy ) dx = f < +, por tnto, si g 1 (x) = f + (x, y) dy, y g 2 (x) = f (x, y) dy, se tiene que g 1 y g 2 son funciones de x integrble y en consecuenci finits c.s.(ver Lem 2.6) i.e. el conjunto N de los x tles g 1 (x) = o g 2 (x) = es un orel de medid nul. Luego si x N c ls funciones de y, f + (x, ) y f (x, ) son integrbles y por lo tnto tmbién f(x, ) = f + (x, ) f (x, ). Si g está definid en cd x N c por g(x) = f(x, y)dy, entonces en N c, g(x) = g 1 (x) g 2 (x) luego g es integrble (lo es sobre N c y por tnto en R n y que m(n) = ). Por último, ( f = f + f = f + (x, y) dy ) ( dx f (x, y) dy ) dx ( = f + (x, y) dy f (x, y) dy ) dx N c ( = (f + (x, y) f (x, y)) dy ) dx N c = f(x, y) dy ) dx = g(x)dx. N c ( Not. Pr plicr el teorem de Fubini-Tonelli funciones cuyo dominio no es todo R n+k, bst tener en cuent l fórmul f = fx.

29 2N Cálculo Integrl 29 Por tnto, si f o integrble sobre el conjunto medible, se tiene que ( f = fx = f(x, y)dy ) ( dx = f(x, y)dy ) dx, (x) A (x) donde A = {x R n : m((x)) > }. Los conjuntos A y (x) son los límites de integrción, y el proceso descrito pr su obtención será el que se seguirá hbitulmente en l práctic. Ejercicios 2K Consideremos l función f(x, y) = y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2. Probr ls dos integrles iterds de f sobre el conjunto = [, 1] [, 1] existen pero son diferentes. 2L Se f un función medible. Probr que f es integrble si y sólo si lgun de ls integrles iterds de l función f es finit. 2M Determinr el recinto pr que f(x, y)dxdy = 1 ( x x 2 f(x, y)dy ) dx 2N () Probr que en ls condiciones de plicbilidd del teorem de Fubini- Tonelli, se tiene que b ( x f(x, y)dy ) dx = b ( b f(x, y)dx ) dy (b) Deducir que si f(x, y) = f(y, x) en el rectángulo = [, b] [, b] entonces el vlor común de ls integrles nteriores es 1 f(x, y)dxdy. 2 (c) En prticulr, demostrr que si > entonces ( x f(y) y dy) dx = y f(x)dx.

30 3 Cálculo Integrl 2P 2Ñ Clculr el áre limitd por ls gráfics de ls funciones f(x) = 1 x 1 x, g(x) = 1 x y l rect x = 1. 2O Hllr D yzdxdydz, donde D es el recinto limitdo por los plnos coordendos y los plnos x + y = 1 y z = 4. 2P Clculr sen(x + y)dxdy, donde = {(x, y): x y; y 1; x + y π/2}.

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