UNIDAD VI.-OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS. Como podrás recordar, en fracciones numéricas,, para simplificarlas era muy sencillo, pues por

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1 UNIDAD VI.-OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Simplificación de Fracciones Algebraicas 8 Como podrás recordar, en fracciones numéricas,, para simplificarlas era mu sencillo, pues por 5 5 ejemplo para simplificar se tenía: 8 Es decir la simplificación de es (al mencionar mitad o tercera se refiere a ambas partes de la fracción, 8 numerador denominador), esto lo realizamos en general mu fácil, pero veamos la razón formal del porque se puede realizar así la simplificación. Si factorizamos a 8 tenemos: o sea Ahora si comencemos a simplificar una fracción algebraica. Ejemplo. Simplificar mitad 6 tercera 8 9 ()()() ( )()( ) 8 ()()() ()( )() OJO: El tipo de simplificación antes hecha es posible gracias a la propiedad fundamental de los números racionales, es decir, porque en el numerador (arriba) el denominador (abajo) ha productos (multiplicaciones). Recuerda que si no hubiera multiplicación, la simplificación no es posible: Diferente, o sea, no es lo mismo No es valida pues ha una suma Matemáticas IV.- Álgebra 89

2 Caso IV (diferencia de cuadrados) Es decir: Caso III ( T.C.P. ) Ejemplo. Simplificar Caso V Caso V Ejemplo. Simplificar a a a a 0 7a 0 a a Recuerda no se puede a que el numerador (a) si es un producto pero Siempre debe haber multiplicaciones arriba abajo. Esto a es un producto Factor común OJO: Esto a es un producto OBSERVACIÓN pero Ya que no es un producto. queda arriba 90 Prof. Jesús Calito Suárez

3 Ejercicios Simplificar las siguientes fracciones algebraicas: a) m n b) m n d) 8n e) 6 8n n n 6 f) Suma Resta de Fracciones Algebraicas Para empezar a sumar o restar fracciones algebraicas recordemos lo que se hacia en fracciones numéricas. Realizar:, como podrás estar de acuerdo en la suma resta de fracciones ha que tener el mismo 6 denominador (siempre es posible), en este caso ha que convertir a setos. Lo anterior también lo aplicamos a fracciones algebraicas. Ejemplos: a) = convertimos a setos los denominadores 5 5 b) En este caso es un poco más complicado tener el mismo denominador, sin embargo la regla o sugerencia para lograrlo será SIEMPRE, FACTORIZAR a los denominadores o sea Factorizando Para que ambas fracciones tengan el mismo denominador ha que multiplicar (arriba abajo) a la fracción por ( 5) Esto es permitido, pues su valor es uno. convertimos a setos () () 6 No realices la multiplicación pues regresarías a lo anterior que tenías Matemáticas IV.- Álgebra ( ) ( ) ( )( ) ( )() 5 6 () () ( 5)( 5)

4 7 6 Factorizando denominadores ( 5)( 5) Recuerda que una fracción se tiene que simplificar (factorizar arriba abajo) ( )( ) Como podrás observar el común denominador será ( )( ) 5( ) ( 5)( 5) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( 7) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Una vez que se obtiene el denominador común a no se hace ninguna operación con este salvo al final se podrá simplificar algún factor con un factor igual del numerador. ( ) ( ) ( 7) 9 7 ( )( ) ( )( ) OJO: NO queda ( ) ( ) Observa las siguientes simplificaciones: ; Ejercicios Realizar a) n b) m mn m 5 6 d) a a e) a 9a f) g) h) 0 6 i) j) a a a a a a Ojo son necesarios los paréntesis por el signo menos que aparece antes a ab ab b 9 Prof. Jesús Calito Suárez

5 Multiplicación División de Fracciones Algebraicas Para multiplicar o dividir, fracciones algebraicas, es más sencillo que la suma resta, pues sólo ha que factorizar a todos los numeradores denominadores involucrados, aplicar la regla (multiplicación o división) simplificar los factores en común del numerador denominador del resultado. Ejemplo.Realizar Regla de la multiplicación a c ( a)( b d ( b)( d) a m a m a a m 5 m m m Observa: 0 (5)() 5 (5) Regla de la división En el ejemplo anterior no ha necesidad de factorizar a los numeradores denominadores, a que, a eran multiplicaciones. Ejemplo. Realizar Ahora sí, factoricemos a todos los numeradores denominadores m n mn n n m n Ejemplo. Realizar 0a 9m 5 m m n mn n m ( m) m ( m)( m) m n m n ( m n) n n( m n) ( m n)( m n) ( m n)( n ) n( m n)( m n)( m n) m n n mn n m n 5m 7n 0m an OJO: a c ( a)( d) b d ( b)( ( )( ) ( )( )( ) No se multiplica sólo se representa ( m n) (n ) n n ( m n) ( m n) ( m n) ( m n) Como tanto los numeradores como los denominadores involucrados a son productos (multiplicaciones), apliquemos la regla de la división. Matemáticas IV.- Álgebra 9

6 5m 7n 0 0 Ejemplo. Realizar 5 5 Observa que no se realiza (5)() = 70, sólo se epresa Ahora en este caso si ha que factorizar a todos los numeradores denominadores Ejercicios. Ya esta factorizado Se aplica la regla de la división epresando las multiplicaciones sin realizarlas a b a) b) 0 50 a b 0 a a a 5 a b d) e) a b f) a 50 a 5 g) 0m an (5)() a n m (7)(0) n m a 6a 5 a a 5a 56 a (5)() a n m (7)(0) n m 0 0 ( ) a n a n m m OJO: a 5 5a h) i) 6 56 a a a a j) k) a a a a 6 6 0( ) ( ) 5 ( ) ( ) 6 0( )( ) 5 ( )()( ) 0 (5)() 5( )() (5)()( )() a 8a 7 a a a 0 a a a a a Prof. Jesús Calito Suárez

7 OPERACIONES MIXTAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y FRACCIONES COMPLEJAS Ejercicios. Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas a) b) a ab b a a a b a b b d) a b e) a b a b f) Simplifica las siguientes fracciones complejas: a a) b) b d) a b a c e) b d f) g) a c b d Racionalización Cuando al dar un resultado en matemáticas éste es una fracción, en el denominador (parte de abajo) NO debe haber radicales, para lograr esto veamos lo siguiente: entonces g) en general ; 0 ( cero ó positivo), entonces si tenemos la epresión h) 5, como es una fracción podemos multiplicar al numerador al denominador por una misma cantidad sin que se altere, claramente como queremos que no haa radicales en el denominador la multiplicamos por Ahora consideremos una epresión un poco más complicada para racionalizarla, por ejemplo para lograr que no haa radicales en el denominador no es tan fácil sólo multiplicar por aún ha radicales en el denominador Recuerda: a a a a a a a a 9 m n n m m n mn 56 0 a no ha radicales a a a b 5 5, en este caso, a que tendríamos: Matemáticas IV.- Álgebra 95

8 Cuando en el denominador tenemos un binomio con radicales ( ), no se multiplica simplemente por la raíz que contiene, si no que se multiplica por el binomio conjugado que tenemos (del binomio su conjugado es ). Ejemplos:. Racionalizar multiplicamos arriba abajo por observa que lo importante de racionalizar es que no se tengan raíces en el denominador, no importando si las ha en el numerador.. Racionalizar Ejercicios: Racionalizar a) e) i) Recuerda: 5 5 es un producto de dos binomios conjugados el resultado es una diferencia de cuadrados, verifica el cuarto caso de factorización o el tercer caso de productos notables. b) f) j) g) d) h) 96 Prof. Jesús Calito Suárez

9 Números complejos o imaginarios Hasta ahora conoces el conjunto de números llamado números reales que se denotan como R, sin embargo eisten más números que no se consideran reales, los cuales estudiaremos sólo en éste caso posteriormente sólo trabajaremos con números reales, a que el estudio completo de los números imaginarios o complejos forma parte de cursos estudiados a nivel Licenciatura. Los números complejos o imaginarios surgieron de intentar resolver la ecuación 0, pues si tú intentas resolver ésta ecuación, lo más seguro es que procederías de la siguiente manera: 0 pero no tiene un resultado real, pues no tenemos en los números reales un número que multiplicado por él mismo resulte -. Es decir no ha resultado real para, pero en la antigüedad por tener un resultado para se creó (imaginó) una solución para, que fue el número imaginario i, el cual entonces tiene que cumplir: i, o sea ii Por lo tanto tenemos relaciones importantes: pero por los conceptos que a tenemos i i i i e i Entonces ahora a podemos hablar de la raíz cuadrada de números negativos: i a que i i i pero i 9 i a que i i 9 i pero i 9 9 Si la raíz de un número no es eacta, sólo se deja epresada, por ejemplo: 5 5 i a que 5i 5i 5 5 i 5 5 Todos los números que contengan a la unidad imaginaria i solamente, se llaman números imaginarios puros. En general un número imaginario o complejo tiene la forma #real #real i, por ejemplo i, 5 i, 7 i,, i imaginario puro. i Recuerda: pues sacando raíz cuadrada en ambos lados Definición: Un número complejo o imaginario es un número que tiene la forma con e. A la parte a se le llama parte real del número complejo a la parte bi se le llama parte imaginaria. Matemáticas IV.- Álgebra 97

10 A los números complejos los denotamos con el símbolo C por la definición anterior podemos observar lo siguiente: i 5 i 5 pues 5 5 0i imaginario puro i pues i 0 i Si recordamos la clasificación de los números reales, ahora la situación queda de la siguiente manera: Operaciones con números complejos Para realizar operaciones con números complejos sólo basta considerar a la unidad imaginaria i como si fuera una o una proceder como si estuviéramos haciendo operaciones algebráicas. Suma resta de números complejos Consideremos a los números complejos i 5 6i, al sumarlos tenemos: i 5 6i 5 i 6i i como podrás observar, el resultado también es un número complejo con parte real parte imaginaria. Ahora consideremos a números complejos que denotaremos como Z i, Z i, Z 5i encontremos: Z Z, Z Z Z Z a) Z Z i i i i i b) Z Z 5i i 8 0i i 8 0i i 78i 98 Prof. Jesús Calito Suárez

11 Z Z i 5i i6 0i 6 i 0 i 9 i Multiplicación División de números complejos Sigamos considerando los números imaginarios anteriores Z i, Z a) Z Z 5 Z Z i i b) Z Z 5i 8i 0i 0 5i 8i 6 i 5 Z Z i i 5 i i 5i 5 5 i i i Z Z Z Z i 5i i 5i 5i i 0i 0 5i i 8 9i se multiplican como epresiones algebráicas OJO: i, Z 5i encontremos Finalmente realicemos las siguientes divisiones 6 i d) para realizar la división, recuerda que i, entonces, en la división anterior es como si i se tuviera: 6 i RECUERDA: en una fracción NO debe haber radicales en el denominador para lograr esto ha que racionalizar. Matemáticas IV.- Álgebra 99

12 e) entonces, cuando se dividen números complejos la sugerencia es multiplicar al numerador denominador por el conjugado del denominador. 6 i sólo se cambia el i i signo de en medio 6 i i 6 i i 6i 0 5i 0 5i 0 5i 5i i i i i i su conjugado i 6i i i 6i i i 6i i i i i i Ejercicios Realiza las siguientes operaciones con números complejos i i a) b) i i i i d) Si Z i, Z i Z i, encuentra el valor de la operación Z Z Z e) Si Z i Z i, encontrar Z Z f) g) h) su conjugado es 7 6 i i 7i i i i 7i 9i i i multiplicación de complejos i) 9 j) 6 5 k) diferencia de cuadrados Recuerda:, entonces 00 Prof. Jesús Calito Suárez