Sistemas de Ecuaciones lineales.

Transcripción

1 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica Sistemas de Ecuacioes lieales Ídice de temas 1-Itroducció 11-Ecuació lieal de 1er grado e ua o más icógitas 3 1-Solució de ua ecuació lieal 4 13-Sistema de ua Ecuació co ua Icógita 4 -Resolució de Sistemas de ecuacioes co icógitas 4 1-Método de Leibitz- Cramer 4 -Resolució de Sistemas de Ecuacioes Lieales por iversió de matrices 6 Sitio web sugerido 7 3-Teorema de Rouchè Frobeius 8 31-Sistemas Icompatibles 8 3-Sistemas Compatibles 8 4-Resolució de sistemas de m ecuacioes co icógitas 9 Sitios web sugeridos 10 5-Sistema homogéeos Resolució de sistemas homogéeos 13 5-Sistemas Compatibles Determiados Sistemas Compatibles Idetermiados 13 6-Método de Gauss o de elimiació Resolució de sistemas lieales por el método de Gauss e forma matricial 15 6-Método de Gauss-Jorda 16 Presetació del material Estas otas de curso está destiadas a los alumos de primer año de las carreras de igeiería y cotiee material teórico y ejemplos que sirve de referecia para la resolució de los trabajos prácticos plateados por la cátedra Ambos materiales so complemetarios y se recomieda su utilizació e simultáeo 1

2 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica Sistemas de Ecuacioes lieales E el cetro del álgebra lieal, y e gra parte de la matemática aplicada, se halla el problema de la solució de sistemas de ecuacioes lieales Estudiaremos las técicas de resolució y el aálisis de los sistemas de ecuacioes lieales como herramietas fudametales para compreder los coceptos del álgebra lieal y platear muchos de los problemas que se preseta e igeiería y otras ciecias Por ejemplo: el aálisis de circuitos eléctricos, las estructuras de redes y sus posibles flujos e le área de trasporte, de comuicacioes, ecoómicas, las cargas que puede soportar distitas estructuras, el balaceo de reaccioes químicas, etc 1-Itroducció Comecemos viedo alguos ejemplos simples de aplicació: U comercio tiee 5 empleados, cada uo de ellos cobra la hora de trabajo a u valor diferete y trabaja distita catidad de horas semaales, segú se muestra e la siguiete tabla: Empleado Salario por hora Cat de horas por semaa Jua 5,60 1 Adrés 4,90 Martí 4,50 3 Mauricio 5,50 4 Ailé 5,0 5 El salario total semaal ( S) estará dado por: S= Esta es ua ecuació lieal e variables Platear y resolver el sistema de ecuacioes correspodiete al siguiete problema: Debe comprarse aradelas y torillos de modo que tega dos aradelas por cada torillo Si el precio de cada torillo es $ y el precio de cada aradela $1 y se posee $40 Cuátas torillos y aradelas puede comprarse? Icógitas: : úmero de torillos y: úmero de aradelas 1º ) + y = $40 º ) = y = y + = 40 4 = = 40 = 60 torillos 4 y = 10 aradelas Ejemplo de aplicació a la Geometría Hallar el puto de itersecció de estas líeas rectas: -y = 0 y +4y =8 Gráficamete:

3 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica El puto de itersecció debe satisfacer ambas ecuacioes simultáeamete Resolviedo el sistema por sustitució obteemos que la solució es = y y = 1, Ejemplo de aplicació a la Igeiería Idustrial Ua perfumería produce u perfume e dos fragacias: Opalie y Opalie Etra e grades lotes U lote de Opalie cotiee 1 To de esecia y 16 toeladas de alcohol, el lote de Opalie Etra cotiee To de esecia y 16 To de alcohol Se dispoe e eistecia: 1 To de esecia y 11 To de alcohol, se desea utilizar todas las eistecias Cuátos lotes de cada tipo de perfume se puede producir? Llamemos 1 al úmero de lotes de Opalie y el úmero de lotes de Opalie Etra Obsérvese que si las catidades de la eistecia fuera distitas podría o eistir ua solució co úmeros eteros Debería aplicarse otros métodos para determiar u programa de producció que utilizase la mayor parte del ivetario Ahora podrá resolver los ejercicios Nº 1 y Nº del trabajo práctico que se propoe para practicar la trasformació de euciados verbales e su represetació matemática como ecuacioes y sistemas de ecuacioes y de esta forma facilitar su resolució Estudiaremos : Sistemas de ecuacioes co icógitas Sistemas de ecuacioes co m icógitas Sistemas de ecuacioes lieales homogéeos 11-Ecuació lieal de 1er grado e ua o más icógitas Es aquella epresió algebraica que relacioa coeficietes literales o uméricos co ua o más icógitas, tal que las mismas esté todas elevadas a la 1ª potecia Se llama ecuació lieal e ua o más variables a todo poliomio de primer grado e dichas variables igualado a cero a a + a a + a 0 = 0 Si llamo k 1 = - a 0 a a + a a = k 1 Por lo tato: a a 1 + a a 1 =k 1 a a + a a =k a a 3 + a a 3 =k 3 : : : : a m1 1 + a m + a m a m =k m Sistema de m ecuacioes co icógitas 3

4 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica 1-Solució de ua ecuació lieal Se llama solució de ua ecuació lieal de orde al cojuto de valores: 1,, 3,, que satisface la ecuació Aálogamete El cojuto de valores 1,, 3,, que satisface simultáeamete todas las ecuacioes so solució del Sistema Lieal de Ecuacioes 13-Sistema de ua Ecuació co ua Icógita a 11 1 = k 1 a = k 1 /a 11 {Admite Solució Sistema Compatible Determiado Solució úica a 11 =0 k 1 =0 0 1 =0{Admite más de ua solució Sistema Compatible Idetermiado k =k 1 0 {No tiee solució Sistema Icompatible -Resolució de Sistemas de ecuacioes co icógitas Sistemas regulares Se dice que u sistema de ecuacioes lieales es regular si se trata de u sistema de ecuacioes co icógitas, y si la característica de la matriz del sistema es igual a Esto es: u sistema regular tiee igual úmero de ecuacioes que de icógitas y si Δ es el determiate de la matriz del sistema se verifica que Δ 0 1-Método de Leibitz- Cramer Este método se aplica eclusivamete a sistemas regulares de ecuacioes Sea : a + a + + a = b a + a + + a = b I M a + a + + a = b co: a11 a1 L a1 Δ= a1 a L a 0 a1 a L a Multiplicado la primera ecuació por A 11 (adjuto de a 11 ) la seguda ecuació por A 1 la última ecuació por A 1 y sumado miembro a miembro obteemos: ( + + L + ) ( L ) 1 a11 A11 a1 A1 a 1 A a1 A11+ a A1+ + A A1 + M ( L ) + a1 A11+ a A1+ + a A1 = b1 A11+ b A1+ L + b A1 () 1 Observemos que el coeficiete de 1 e esta ecuació es igual al determiate Δ (desarrollado por la primera columa) y que los coeficietes de las demás icógitas so todos ulos (suma de los elemetos de ua líea multiplicados por los adjutos de los elemetos de ua paralela) Por cosiguiete la ecuació (1) se reduce a: = 4

5 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica Δ L+ 0 = b1 A11 + b A1 + L + b A1 Si represetamos Δ 1 al determiate que se obtiee reemplazado la primera columa del determiate Δ por ( b 1, b,l b ) b a a b a a M M b a a =Δ 1 se verifica que Δ 1 = b 1 A 11 + b A b A 1 por cosiguiete (1) se puede escribir Δ L + 0 = Δ 1 Por lo tato: 1 1 = Δ Δ Aálogamete multiplicado la primera ecuació por A 1j, la seguda por A j, la última por A j y sumado, obteemos otra ecuació (j) que es cosecuecia del sistema dado (y esto vale para j = 1,, 3, ) Δ Δ = L = Δ Δ Podemos afirmar que el sistema regular dado es determiado y el valor de cada icógita se obtiee dividiedo por el determiate del sistema, el determiate formado sustituyedo e éste por los térmios idepedietes, la columa de los coeficietes de dicha icógita Ejemplo1: Sea el sistema de ecuacioes lieales formado por dos ecuacioes co dos icógitas: Ecotrar el valor de e y mediate la regla de Cramer Calculamos el determiate de A Luego calculamos las icógitas: Ejemplo: Resolver el siguiete sistema: = = O 53 = 1 = m = 3 Δ 0 es regular 5

6 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica 1 3 Δ1 79 = = = 1 Δ 79 Δ 158 = = = Δ 79 Δ3 0 = = = 0 Δ 79 Solució (-1,,0) Ejemplo 3 Puede resolver el ejercicio Nº 3 del trabajo práctico -Resolució de Sistemas de Ecuacioes Lieales por iversió de matrices Dado: a a1 + + a1 = b1 a1 1 + a + + a = b I M a + a + + a = b 1 1 El sistema (I) puede escribirse e la forma matricial AX= B ( ) M ( K), A = a ij m Si m = y det (A) 0 etoces el sistema es compatible determiado E otació matricial: a 11 a1 L a b M M = b am1 am L am b A X = B 1 1 A A X = A B 1 X = A B Teiedo e cueta este resultado y que A 1 = ( ) Adj A T det( A ), 6

7 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica 1 A11 A1 A1 A1 A A 1 Se tiee = det( A) A 1 A A Ejemplo1: Resolver mediate Iversió de matrices: = = - b1 b = b Ejemplo : Sistema resuelto utilizado Iversió de matrices Ejemplo 3: Resolver el siguiete sistema utilizado Iversió de matrices : 6y = 3 3y+ z = y 3z = 1 Sitio web sugerido E la siguiete direcció ecotrarás videos eplicativos de los distitos métodos vistos: 7

8 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica Ya está e codicioes de resolver los ejercicios Nº y 7 del trabajo práctico 3-Teorema de Rouchè Frobeius La codició ecesaria y suficiete para que u sistema de m ecuacioes co icógitas de la forma (I) tega solució es que la característica de la matriz A sea igual a la característica de la matriz ampliada de A= (A ) Car A = Car A a a1 + + a1 = b1 a a + + a = b ( I ) M a m a m + + a m = bm a11 a1 a1 b1 a1 a a b co A = se llama am1 am am bm matriz ampliada de A pues se le agrega la columa de los térmios idepedietes 31-Sistemas Icompatibles So aquellos que o verifica el teorema aterior, es decir que la característica de la matriz A es distita de la característica da la matriz ampliada de A Car A CarA 3-Sistemas Compatibles Dado u sistema de m ecuacioes co icógitas, co Car A = h h= ( Compatible Determiado) Si Car A= Car A ( Sistema compatible) h < Compatible idetermiado Si Car A Car A ( Sistema icompatible) ) ( ) Si el sistema es compatible determiado las solucioes se calcula por Cramer o por iversió de matrices 8

9 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica Ejemplos: Discutir y resolver el siguiete sistema: Car A= CarA =3 CarA CarA No Sistema Icompatible No tiee Solució Car A= 3 CarA =3 CarA= CarA No Sistema Compatible Tiee Solució La solució es úica pues la catidad de icógitas tambié es 3 Puede resolver el ejercicio Nº 8 del trabajo práctico 4-Resolució de sistemas de m ecuacioes co icógitas Dado u sistema a L+ a1 h h + + a1 = b1 a = 11 L ah h a b M ah11 + L+ ahh h + + ah = bh am11 + L+ amh h + + amh = bm 1º Paso Por el teorema aterior, si la Car A= Car A = h habrá u determiate de orde h 0 etraído de A Δ = a` 11 a1 aih a1 a ah M M 0 ah1 ah ahh º Paso Se escribe las h ecuacioes cuyos coeficietes itegra el Δ 3º Paso Se deja e el primer miembro aquellas h icógitas cuyos coeficietes itegra el Δ 0 a L + a1 hh = b1 + a1 a1 1 + L + ah = b a h + M ah1 1 + L + ahhh = bh + ah y habrá -h icógitas arbitrarias que actúa como parámetro Ejemplo 1: Platear que tipo de sistema es utilizado el Teorema de Rouchè- Frobeius y luego resolver: = = = 1 9

10 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica Sitios web sugeridos Recuerda que e siguiete direcció ecotrarás videos eplicativos Igresa a los siguietes elaces: 1 Primera radiografía de u SLH idetermiado 13 Seguda radiografía de u SLH idetermiado 14 Tercera radiografía de u SLH idetermiado 15 Primera radiografía de u SLNH idetermiado 16 Seguda radiografía de u SLNH idetermiado 17 Tercera radiografía de u SLNH idetermiado Puede resolver el ejercicio Nº 9 del trabajo práctico Veamos este ejemplo tomado de: Discute el siguiete sistema, segú los valores de a, y resuelve el sistema e cada caso: 10

11 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica Ejemplo : dado el sistema de ecuacioes lieales: discútelo para los distitos valores del parámetro y resuélvelo cuado sea compatible 11

12 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica 1

13 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica 5-Sistema homogéeos Se dice que u sistema de ecuacioes lieales es homogéeo si todos los térmios idepedietes so ulos Simbólicamete u sistema homogéeo de m ecuacioes por icógitas es de la forma: a111 + a a1 1 + a am1 1 + a 1 m + + a + + a a m = 0 = 0 M = 0 O bie a i1 1 + a i + +a i = 0 ( i=1,,3, m) Si represetamos el sistema aterior matricialmete será: a11 a1 a1 1 0 a 1 a a 0 0 am1 am am 0 AX= Ο 51-Resolució de sistemas homogéeos Para verificar la compatibilidad del sistema debemos aplicar el teorema de Rouchè- Frobeius a11 a1 a1 0 a a a 0 Siedo, e el caso de sistemas homogéeos la A = 1 am1 Si aalizamos la característica o rago vemos que siempre se va a verificar que: Car A = Car A = h Coclusió: U sistema homogéeo siempre tiee solució No eiste sistemas homogéeos icompatibles Vemos que ua solució del sistema es 1 = = 3 = = = 0 Debido a que u sistema homogéeo siempre tiee la solució trivial, aalizaremos cuales so las posibilidades: a m a m 0 5-Sistemas Compatibles Determiados Si la característica de la matriz A es igual a (úmero de icógitas) y meor o igual que m (úmero de ecuacioes), esto sigifica que va a haber h= ecuacioes Liealmete Idepedietes co icógitas CarA = h = m Sistema compatible determiado Admite como solució úica 1 = = 3 = = = 0 Se deomia solució trivial 53-Sistemas Compatibles Idetermiados Si e u sistema homogéeo, la Car A = h <, hay etoces ifiitas solucioes E efecto, se tedrá (-h) icógitas arbitrarias y h icógitas que será fució de las restates (-h) 13

14 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica Teorema La codició ecesaria y suficiete para que u sistema homogéeo, de m ecuacioes co icógitas, tega solució o ula es que la Car A sea meor que es decir que el determiate de la matriz A sea =0 Ejemplo: Sea el sistema: y + z = y + z = 0 + 3y = y + z = 0 Ejemplo de aplicació: Balace de ua ecuació química Durate el proceso de fotosítesis de las platas, co la presecia del sol covierte el bióido de carboo y el agua e glucosa y oígeo Simbólicamete el proceso puede ser represetado así: Bióido de carboo( CO ) + Agua( HO ) Glucosa( CH 6 1O6) + Oígeo( O ) Balacear la ecuació química de la reacció, determiado los valores eteros más pequeños para las variables, si deomiamos: = la proporció bióido de carboo presete, y = la proporció de agua presete, w = la proporció de glucosa producida, y z = la proporció de oígeo producido La ecuació de la reacció química puede ser represetada así: CO + y HO w CH 6 1O6 + zo Solució El úmero de átomos presete e u elemeto químico está idicado mediate u subídice Comparado la catidad de átomos de cada elemeto que hay e los reactates y los productos, obteemos el siguiete sistema; = 6w para balacear C + y = 6w + z para balacear O y = 1w para balacear H (1) - 6w = 0 () + y - 6w - z = 0 (3) y - 1 w = 0 El sistema siempre será compatible pues es homogéeo Resolviedo obteemos: (4) = y = z = 6w Luego la ecuació balaceada será: 6 CO + 6 HO CH 6 1O6 + 6 O 14

15 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica Ya está e codicioes de resolver los ejercicios Nº del trabajo práctico 6-Método de Gauss o de elimiació Permite reducir u sistema de m ecuacioes co icógitas a u sistema equivalete escaloado a a1 + + a1 = b1 a a1 + + a1 = b1 a1 1 + a + + a = b 0 + a + + a = b I I M M am am + + am = bm am = bm El método cosiste e aplicar al sistema origial (I) las llamadas operacioes elemetales : 1) Itercambiar ecuacioes etre sí ) Multiplicar ua ecuació por ua costate o ula 3) Reemplazar ua ecuació por la que resulta de sumar a la misma otra multiplicada por ua costate Observació : Si e el proceso de las trasformacioes obteemos ua ecuació e la que los coeficietes de las icógitas so iguales a 0 mietras que el térmio idepediete es diferete de 0, etoces el sistema es icompatible Si o os ecotramos co tal ecuació el sistema será compatible Será compatible determiado si se puede reducir a ua forma triagular (úmero de ecuacioes igual al úmero de icógitas) ; e idetermiado si se puede reducir a ua forma trapezoidal (úmero de ecuacioes meor que el úmero de icógitas) 61-Resolució de sistemas lieales por el método de Gauss e forma matricial Cosiste e trasformar la matriz ampliada de A (A ) e ua matriz escaloada mediate operacioes elemetales etre filas a11 a1 a1 b1 a1 a a b am1 am am bm Ejemplos esquemáticos: Sistema Sistema m 0 Compatible determiado 0 Compatible Idetermiado 0 Icompatible Icompatible

16 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica 0 Compatible Idet Idetermiado Nota: las represeta valores uméricos distitos de cero Ejemplo Resolver el siguiete sistema: + y + 3z = y + 6z = y - z = 4 Compatible Idetermiado Comezaremos co la matriz del sistema, es decir, la matriz ampliada: Luego aplicamos operacioes elemetales etre filas para llegara a ua matriz equivalete escaloada (-4)R 1 + R R (-3)R 1 + R 3 R 3 (-(1 3))R R (-1)R 3 R 3 (-5)R + R 3 R 3 Co la matriz fial rearmamos al sistema de ecuacioes: Que equivale al sistema origial Despejado y sustituyedo obteemos la solució: = 4, y = -, z = 3 6-Método de Gauss-Jorda Cosiste e trasformar la A e ua matriz caóica o reducida por filas mediate operacioes elemetales etre filas Ejemplos esquemáticos: 16

17 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica Sistema Sistema m Compatible Determiado Compatible Idetermiado Icompatible Icompatible Compatible Idetermiado Compatible Idetermiado Ejemplo1: Sistema compatible determiado resuelto por el método de Gauss Ejercicio propuesto: resolver el siguiete sistema por el método de Gauss : + y z = y z = y+ z = 8 Ejemplo Sistema compatible idetermiado resuelto por el método de Gauss Ejemplo 3: 17

18 UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica Sistema compatible determiado resuelto por el método de Gauss Jorda y+ z= 11 y + z= 5 3+ y+ z= 4 Solució: = 4 y = 5 z = Ejercicio Propuesto: resolver por Gauss- Jorda y + z = y z = y 3z = 3 Más ejemplos resueltos co videos Ya está e codicioes de resolver el ejercicio Nº 13 del trabajo práctico utilizado el método de Gauss y de platear y resolver todos los ejercicios restates Si desea realizar ua autoevaluació de sus coocimietos, e la págia 9 de la guía de trabajos prácticos ecotrará los elaces a los sitios web sugeridos 18