MATEMÁTICAS 1º DE ESO

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1 MATEMÁTICAS 1º DE ESO LOMCE TEMA I : NÚMEROS NATURALES Sistema de numeración romano. Los números naturales. Números naturales como cardinales y ordinales. o Recta numérica. El sistema de numeración decimal. Los grandes órdenes de unidades: millones, millardos, billones. Operaciones con números naturales: o Suma, resta, multiplicación y división (exacta, entera, aproximada por defecto y por exceso). o Propiedad distributiva del producto en relación a la suma de números naturales. o Operaciones combinadas. Potencia. Definición y elementos que la forman. El cuadrado y el cubo. Los cuadrados perfectos. Potencias de base y exponente natural: resumen de operaciones. Raíz cuadrada. Raíces exactas. Cálculo de la raíz cuadrada entera de números de hasta 4 cifras. Ricardo Esteban Alonso Página 1

2 Sistema de numeración romano El sistema de numeración romano es un sistema aditivo. Utiliza los símbolos I, V, X, L, C, D y M. Para un repaso más profundo visita el siguiente enlace: I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 Los símbolos pueden unirse para determinar otros números: si un símbolo de valor menor se escribe a la derecha de otro, se suma y si se escribe a la izquierda, resta. A la izquierda de un símbolo mayor sólo se pueden poner las letras I, X y C. La letra I sólo puede ponerse delante de V y de X. Las letras I, X, C y M se pueden escribir hasta tres veces seguidas. Las letras V, L y D sólo una vez. Ejemplos: 2014: MMXIV 9: IX 44: XLIV 1949: MCMXLIX 499: CDXCIX Ricardo Esteban Alonso Página 2

3 Los números naturales. Números naturales como cardinales y ordinales. Recta numérica. Los números naturales son N = {0, 1, 2, 3,..., hasta el infinito (son ilimitados)} Se utilizan para expresar el número de elementos, es decir para contar: número cardinal, como 2, 5, Si expresa una posición, o sea nos sirven para ordenar : número ordinal, como primero, octavo, vigésimo... Cuando los usamos para identificar unos elementos de otros hablamos de números como códigos: prefijos telefónicos, códigos postales, DNI... A veces no interesa contar con precisión, pero queremos hacer una aproximación rápida de la solución a un problema: en este caso hablamos de estimar. Los números naturales son números ordenados: se pueden relacionar mediante los signos: < menor que > mayor que Se representan en una recta ordenados de menor a mayor: Ricardo Esteban Alonso Página 3

4 El sistema de numeración decimal. Los grandes órdenes de unidades: millones, millardos, billones. El sistema de numeración decimal o de base 10, nos permite representar cualquier cantidad mediante diez símbolos o cifras: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Cada 10 unidades de un orden se agrupan en una unidad de orden superior llamadas: 10 unidades 1 decena 10 decenas 1 centena 100 unidades 10 centenas 1 unidad de millar unidades 10 unidades de millar 1 decena de millar unidades centenas de millar 1 unidad de millón unidades centenas de millón 1 unidad de millardo unidades centenas de millardo 1 unidad de billón unidades Un número se puede expresar como la suma de los valores de sus cifras, y así decimos que está escrito en forma polinómica: = 1 x x x Ricardo Esteban Alonso Página 4

5 Operaciones con números naturales Operación Adición Sustracción Multiplicación División Términos Resultado sumandos suma minuendo y sustraendo resto o diferencia Signo + - factores (multiplicando y multiplicador) producto x,, * aspa, punto, asterisco dividendo y divisor cociente y resto : / ADICIÓN O SUMA: PROPIEDADES Siempre que se suman dos números naturales su resultado es otro número natural (se dice que es una operación interna): a + b = c donde a, b y c son números naturales. El número 0 no altera la suma con cualquier otro sumando ( se dice que el elemento neutro de la suma es el cero): a + 0 = a Asociativa: el resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos, es decir no cambia el resultado: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) Conmutativa: el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma: a + b = b + a Ricardo Esteban Alonso Página 5

6 SUSTRACCIÓN O RESTA La resta o sustracción de dos números naturales, llamados minuendo y sustraendo, es la operación que consiste en hallar un tercer número natural, llamado diferencia o resto, tal que la suma de la diferencia y el sustraendo sea igual al minuendo: m - s = d d + s = m La diferencia entre dos números naturales no siempre es otro número natural, y no se cumple la propiedad conmutativa. MULTIPLICACIÓN: PROPIEDADES El producto de dos números naturales siempre es otro número natural (operación interna): a x b = c donde a, b y c son naturales El número 1 se dice que es el elemento neutro de la multiplicación ya que al multiplicarlo por otro número natural cualquiera da como resultado el mismo número: a x 1 = a Asociativa: el producto de varios factores es independiente del modo en que estos se agrupen o asocien: a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c) Conmutativa: el orden de los factores no altera el resultado del producto: a x b = b x a Ricardo Esteban Alonso Página 6

7 DIVISIÓN Dividir dos números naturales, llamados dividendo y divisor, consiste en hallar un número llamado cociente, tal que el producto del divisor por el cociente sea igual al dividendo: D = d x c Una división es exacta cuando el resto es cero. En caso contrario se dice entera y se cumple: D = d x c + r El resultado de dividir dos números naturales no siempre es otro número natural. La división no es conmutativa. No se puede dividir entre cero. Si se puede dividir el cero entre otro número natural (distinto de cero), dando como resultado cero. División entera por defecto: es aquella cuyo cociente es el mayor número natural que, multiplicado por el divisor, da como resultado un producto menor que el dividendo: 41 : 7 = 5 y de resto 6 (división "habitual") r = D - d x c División entera por exceso: donde el cociente es el menor número natural que, multiplicado por el divisor, da como resultado un producto mayor que el dividendo: 41 : 7 = 6 y falta uno y así el cociente por exceso vale 6 r = d x c - D Ricardo Esteban Alonso Página 7

8 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos: a (b + c) = ab + ac 7 (3 + 5) = 7 x x 5 7 x 8 = = 56 OPERACIONES COMBINADAS. PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Efectuamos las operaciones contenidas entre paréntesis (corchetes y llaves si las hay y en este orden), y las sustituimos por el resultado. Realizamos las multiplicaciones y las divisiones. Por último las sumas y restas. Cuando las operaciones tienen la misma jerarquía, se empieza por la izquierda (6 : 2-1) = 5 + 4(3-1) = x 2 = = 13 Ricardo Esteban Alonso Página 8

9 POTENCIAS Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación de factores iguales: = 3 4 El factor (el número 3 en nuestro ejemplo) que se repite se llama base, y las veces que se repite (4 en el ejemplo), se llama exponente. En general: n = exponente a n = a a a a... a (n veces) a = base El cuadrado de un número es la potencia de exponente dos: a 2 y se lee cuadrado de a. La potencia a 2 expresa el número de cuadrados unitarios que caben o entran en un cuadrado de lado a, o sea expresa la superficie o área. El cubo es la potencia de exponente tres, y expresa el número de cubos unitarios que caben en un cubo de lado o arista a, es decir expresa el volumen: a 3 = a a a (arista al cubo = volumen) Un caso muy particular de potencias son las de base 10, cuyo cálculo es simple: toda potencia de base 10 es igual a la unidad (el 1) seguida de tantos ceros como tenga el exponente = = Ricardo Esteban Alonso Página 9

10 RESUMEN PARA POTENCIAS DE BASE Y EXPONENTE NATURAL 1) a n = a a a. a se repite n veces el número a 2) a 0 = 1 para cualquier número natural, excepto para a = 0 3) a 1 = 1 para cualquier número natural 4) (a b) n = a n b n potencia de un producto 5) (a : b) n = a n : b n potencia de un cociente 6) a m a n = a m + n producto de potencias de la misma base 7) a m : a n = a m - n cociente de potencias de la misma base 8) (a m ) n = a m n potencia de otra potencia Ricardo Esteban Alonso Página 10

11 RAÍCES CUADRADAS El hallar la raíz cuadrada de un número consiste en buscar otro número que multiplicado por sí mismo se obtenga el primer número: es decir, es la operación inversa a elevar al cuadrado un número. Así, si 8 x 8 = 64, la raíz cuadrada de 64 es 8 = valor de la raíz Por acuerdo, si en el signo radical no aparece ningún número en el índice se entiende que hay un 2, y por lo tanto se trata de una raíz cuadrada. La raíz cuadrada es exacta cuando encontramos un número que elevado al cuadrado es igual al radicando. Los llamados cuadrados perfectos (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,... ) poseen raíz cuadrada exacta. Se llama entera cuando la raíz no es exacta, y se siguen los pasos siguientes para su cálculo: Se separan de dos en dos de derecha a izquierda. Ricardo Esteban Alonso Página 11

12 El valor entero de la raíz tiene tantas cifras como grupos se han separado (dos en el ejemplo). Se busca un número (en nuestro ejemplo, el 4) que multiplicado por sí m smo nos de el primer grupo (19) o lo más cerca (nunca que se pase): nos da 16, que se pone debajo del 19 para restar. Hecha la resta (3) se baja el grupo siguiente (20). Se separa la última cifra (el 0), y se escribe el doble de lo que nos va dando: 4 x 2 = 8 Dividimos lo que nos queda al separar la última cifra, 32 entre el doble obtenido antes, 8 y nos da 4, que se coloca a su derecha, obteniendo el 84, que multiplicamos por el mismo: 336 que al ser mayor que el 320, no nos sirve y ponemos el 3 Ricardo Esteban Alonso Página 12

13 Colocamos el 3 a la derecha del 8, y el 83 se multiplica por 3, para obtener 249 que se pone debajo del 320 y nos da el resto, 71 Como ya no hay más grupos de cifras para bajar, el cálculo de la raíz ha terminado. Nos queda la comprobación: 43 x = 1920 El resto nunca puede ser mayor o igual que el doble de la raíz obtenida más uno: 71 < 43 x Ricardo Esteban Alonso Página 13