Qué es una ecuación. Solución de una ecuación

Transcripción

1 unidad 5 Ecuaciones Qué es una ecuación. Solución de una ecuación Página 1 Una ecuación es una igualdad en la que interviene alguna letra (incógnita) cuyo valor queremos conocer. Solución de la ecuación es el valor de la incógnita que hace cierta la igualdad. Veamos un ejemplo: 2x 2 10 x 3 es una ecuación. El valor 2 es solución, porque actividades 1 Comprueba, en cada caso, si cada uno de los dos valores es o no solución de la ecuación: a) 3x , 9 b) 5(x 3) 15 6, 6 c) 5x , 7 d) x , 4 e) 12 x x 2 1 4, 6 f) 2x , 10 g) x x , 1 h) x + 3 x 2 1 1, 6

2 unidad 5 Ecuaciones Qué es una ecuación. Solución de una ecuación Página 2 Resolver una ecuación es encontrar su solución (o sus soluciones) o averiguar que no tiene solución. Seguramente, conoces procedimientos para resolver metódicamente algunos tipos de ecuaciones. En esta unidad se repasan y amplían esos procedimientos. Pero si llegamos a la solución mediante cualquier otro camino, también es válida la resolución. Vamos a buscar, por tanteo, alguna solución de la ecuación x 2 5x + 6 0: Será 0 solución? ? 0 8 NO 1? ? 0 8 NO 2? SI actividades 2 Tanteando, halla alguna solución de cada una de las ecuaciones siguientes (todas ellas tienen solución entera): a) 5(x 2 + 1) 50 b) (x + 1) 2 9 c) x d) (x 5)(x + 2) 0 e) 3 x f) x Tanteando con ayuda de la calculadora, encuentra una solución (aproximada hasta las décimas) de cada una de las siguientes ecuaciones: a) x b) c) 8x 40 5

3 unidad 5 Ecuaciones El manejo de la calculadora para comprobar si un número es o no solución de una ecuación Página 3 En la página XIII del apéndice de tu libro de texto, encontrarás indicaciones para comprobar con la calculadora si un número es o no solución de una ecuación, tanto si tu calculadora es de pantalla sencilla como si lo es de pantalla descriptiva. actividades 1 Comprueba si alguno de los números 1,6 5,1 20 3,27 es solución de alguna de las siguientes ecuaciones: a) 2(x 4) + 5(x + 7) 4x + 36,81 b) 3x 4 5 c) 2x (x + 3) 3 3(x 15) 5 x 15 8,88 x 12

4 unidad 5 Ecuaciones Algunas peculiaridades de las raíces cuadradas de un número Página 4 Un número positivo tiene dos raíces cuadradas. Por ejemplo, las raíces cuadradas de 4 son 2 y 2, pues y (2) 2 4. Si ponemos 4, nos referimos a 2. Es decir, 4 2. Pero si x 2 4, entonces 2 o 2. El 0 solo tiene una raíz cuadrada: x Los números negativos no tienen ninguna raíz cuadrada. actividades 1 Resuelve las siguientes ecuaciones dando sus dos soluciones o diciendo que no tienen solución: a) x 2 25 b) x 2 16 c) x d) x

5 UNIDAD 5 Ecuaciones 2. Iniciación. Resuelve ecuaciones con denominadores muy sencillas Pág. 1 de 1 1 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a) 1 + x x 8 2 b) 1 + x c) 4 3x 2 + 3x d) x + 1 x e) 1 x f) 2x 1 x g) 4 3x + 2x h) 1 x + x 5 x i) ( x ) x x 4 x 9 j) (1 ) 3 ( 1 ) 8

6 UNIDAD 5 Ecuaciones 3. Ayuda al razonamiento. Obtención de la fórmula que resuelve la ecuación de segundo grado Pág. 1 de 1 PROCESO Vamos a resolver la ecuación general de segundo grado: ax 2 + bx + c 0 con a? 0. Pasa c al segundo miembro. ax 2 + bx + c 0 8 ax 2 + b Multiplica ambos miembros por 4a. x 2 + b c Suma b 2 a los dos miembros. 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac Observa que el primer miembro es el cuadrado de una suma y exprésalo como tal. Haz la raíz cuadrada de los dos miembros. (2ax + ) b 2 4ac 2ax + b ± Despeja x. ± b 2 4ac CONCLUSIÓN Las soluciones de la ecuación general de segundo grado ax 2 + bx + c 0 con a? 0 se obtienen aplicando la siguiente fórmula: b ± b 2 4ac 2a ACTIVIDADES Resuelve, paso a paso, la ecuación 3x 2 7x x 2 7x x x x 2 84x (6x ) 2 ± 8 6x 7 ± 8

7 UNIDAD 5 Ecuaciones 4. Ayuda para resolver ecuaciones de segundo grado Pág. 1 de 2 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 2 + 4x 5 0 a b c ± 2 8 ± b) 2x 2 7x a b c ± 2 8 ± c) x 2 + x a b c ± 2 8 ± d) 2x 2 7x 4 0 a b c ± 2 8 ± e) x 2 10x a b c ± 2 ± 8 f) x 2 x a b c 8 ± 2 ±

8 UNIDAD 5 Ecuaciones 4. Ayuda para resolver ecuaciones de segundo grado Pág. 2 de 2 2 Completa el siguiente cuadro: a b c TIENE SOLUCIÓN? x 1 x 2 5x x x 2 3x x 2 + x 3 0

9 UNIDAD 5 Ecuaciones 5. Refuerza la resolución de problemas mediante ecuaciones Pág. 1 de 2 1 Si a un número se le quita su mitad y luego su tercera parte se obtiene 9. Cuál es ese número? Ayuda: La mitad de un número desconocido es x y su tercera parte x La base de un rectángulo es igual al doble de la altura disminuida en 4 cm y su perímetro es 100 cm. Halla la longitud de sus lados. Ayuda: Si la altura es x la base es 2x 4. 3 Un padre de 37 años tiene dos hijos de 8 y 5 años. Cuántos años tienen que pasar para que la suma de las edades de los hijos sea igua a la edad del padre? Ayuda: Completa esta tabla para organizar los datos. PADRE HIJO 1 HIJO 2 EDAD HOY EDAD DENTRO DE X AÑOS 37 + x 8 + x 4 Una madre tiene 42 años y su hijo 15. Cuántos años hace que la edad de la madre era cuatro veces la del hijo? Ayuda: Completa esta tabla para organizar los datos. MADRE HIJO EDAD HOY EDAD HACE X AÑOS 42 x 5 Divide en tres partes de modo que la segunda parte supere a la primera en 100 y la tercera parte supere a la segunda en 200. Ayuda: Completa esta tabla para organizar los datos. PRIMERA PARTE SEGUNDA PARTE TERCERA PARTE x x x

10 UNIDAD 5 Ecuaciones 5. Refuerza la resolución de problemas mediante ecuaciones Pág. 2 de 2 6 Halla tres números enteros consecutivos tales que la diferencia entre el cuadrado del mayor y el del menor sea igual al producto del menor por el intermedio aumentado en cuatro unidades. Ayuda: x, x + 1, x + 2 son tres números enteros consecutivos. Primera solución: Segunda solución: 7 La tercera parte del cuadrado de un número entero, sumado a la quinta parte del mismo número, da como resultado 78. Halla dicho número. Ayuda: Si el cuadrado de un número es x 2, la tercera parte del cuadrado será. 3 x 2 8 La superficie de un rectángulo es 494 cm 2. Halla sus dimensiones sabiendo que una es 7 cm más larga que la otra. 9 Uno de los catetos de un triángulo rectángulo es 14 m más largo que el otro y la hipotenusa mide 26 m. Cuánto miden los catetos? 10 Tenemos dos tipos de pintura, cuyos precios son 5,2 /kg y 4,6 /kg, para obtener una mezcla cuyo precio sea 5 /kg. Si ponemos 15 kg de la pintura más cara, cuántos kilos habrá que poner del otro tipo de pintura? Ayuda: Completa esta tabla para organizar los datos: TIPO 1 TIPO 2 MEZCLA CANTIDAD 15 x 15 + x PRECIO ( /kg) 5,2 4,6 5 COSTE ( ) 15 5,2 x 4,6