8vo Grado Matemática. Raíces Numéricas y Radicales. Slide 1 / 178. Slide 2 / 178. Slide 3 / 178. Raíz Numérica y Radicales

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1 New Jersey enter for Teaching and Learning Slide 1 / 178 Iniciativa de Matemática Progresiva Este material está disponible gratuitamente en y está pensado para el uso no comercial de estudiantes y profesores. No puede ser utilizado para cualquier propósito comercial sin el consentimiento por escrito de sus propietarios. NJTL mantiene su sitio web por la convicción de profesores que desean hacer disponible su trabajo para otros profesores, participar en una comunidad de aprendizaje profesional virtual, y /o permitir a padres, estudiantes y otras personas el acceso a los materiales de los cursos. lick para ir al sitio web: 8vo Grado Matemática Slide 2 / 178 Raíces Numéricas y Radicales Raíz Numérica y Radicales uadrados, Raíz uadrada y uadrados Perfectos uadrados de Números Mayores que 20 lick para ir a esa sección Simplificar Expresiones Radicales de uadrados Perfectos proximar Raíces uadradas Números Racionales e Irracionales Expresiones Radicales que ontienen Variables Simplificar Radicandos uadrados Imperfectos Simplificar Raíces de Variables Propiedades de Exponentes Resolver Ecuaciones con Raíces uadradas & úbicas Perfectas Slide 3 / 178 Estándares de ommon ore: 8.NS.1-2; 8.EE.1-2

2 Slide 4 / 178 uadrados, Raíces uadradas y uadrados Perfectos Volver a la Tabla de ontenidos Área de un uadrado El área de una figura es el número de unidades cuadradas que se necesita para cubrir la figura. El área del cuadrado siguiente es de 16 unidades cuadradas por que el cuadrado necesita 16 unidades para ser UIERTO... Slide 5 / 178 Área de un uadrado Slide 6 / 178 El área () de un cuadrado se obtiene de calcular la longitud de los lados, como en el siguiente ejemplo: = s 2 = 4 2 = 4 4 = 16 unidades si la cuadradas respuesta lick para comprobar concuerda con la fórmula de área 4 unidades l área () de un cuadrado se la llama unidades cuadradas, o unidades 2, porque cubres la figura con cuadrados...

3 1 uál es el área de un cuadrado cuyos lados miden 5 pulgadas? 16 pulg 2 20 pulg 2 Slide 7 / pulg 2 30 pulg 2 s 2 uál es el área de un cuadrado cuyos lados miden 5 pulgadas? 16 pulg 2 20 pulg 2 24 pulg 2 36 pulg 2 Slide 8 / 178 s 3 Si un cuadrado tiene un área de 9 pies 2, cuál es la longitud de un lado? 2 pies 2.25 pies 3 pies 4.5 pies s Slide 9 / 178

4 4 uál es el área de un cuadrado cuyos lados miden 16 pulgadas? Slide 10 / 178 s 5 uál es la longitud de los lados de un cuadrado con un área de 196 pies cuadrados? Slide 11 / 178 s uando elevas un número al cuadrado lo multiplicas por si mismo. Slide 12 / = 5 5 = 25 por lo tanto el cuadrado de 5 es 25. Puedes indicar con un exponente de 2 cuando elevas un número al cuadrado, pediéndole al cuadrado de un número, o pediéndole a un número al cuadrado. uál es el cuadrado de siete? uál es nueve al cuadrado? 49 81

5 Haz una lista de números del 1-15 y luego calcula el cuadrado de cada uno. Slide 13 / 178 Tu hoja debería estar organizada así: Número uadrado (y así sigues) Número uadrado Los números de la columna derecha son los cuadrados de los números de la columna izquierda. Si quieres "deshacer" elevar al cuadrado un número, debes sacar la raíz cuadrada del número. Por lo tanto, los números de la columna izquierda son la raíz cuadrada de los números de la columna derecha. Slide 14 / 178 Raíz uadrada uadrado La raíz cuadrada de un número se calcula deshaciendo la acción de cuadrar un número. El símbolo de la raíz cuadrada se llama radical y es así: Utilizando nuestra lista, para encontrar la raíz cuadrada de un número, buscas el número de la columna de la mano derecha y miras hacia la izquierda. Entonces, la 81 = 9 uál es la 169? Slide 15 / 178

6 Raíz uadrado uadrada Perfecto uando la raíz cuadrada de un número es un números entero, el número se llama cuadrado perfecto. Ya que todos los número de la columna derecha tienen números enteros para sus raíces cuadradas, esta es una lista de los 15 primer cuadrados perfectos. Slide 16 / 178 alcula lo siguiente. Quizás tengas que consultar a tu tabla si lo necesitas. Slide 17 / uál es? Slide 18 / 178 s

7 7 uál es? Slide 19 / 178 s 8 uál es el cuadrado de 15? Slide 20 / 178 s 9 uál es? Slide 21 / 178 s

8 10 uál es 13 2? Slide 22 / 178 s 11 uál es? Slide 23 / 178 s 12 uál es el cuadrado de 18? Slide 24 / 178 s

9 13 uál es 11 al cuadrado? Slide 25 / 178 s 14 uál es 20 al cuadrado? Slide 26 / 178 s Slide 27 / 178 uadrados de Números Mayores que 20 Volver a la Tabla de ontenidos

10 Piensa sobre esto... Slide 28 / 178 Qué sucede con los números mayores? ómo encuentras? Te ayuda saber el cuadrado de números más grandes como el múltiplo de las decenas. Slide 29 / = = = = = = = = = = s uál patrón notaste? Para números más grandes, determina en cual de los dos múltiplos de diez está situado el número. Slide 30 / = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 100 Luego, busca a los dígitos de 1 para determinar los dígitos de uno de tu raíz cuadrada.

11 Ejemplos: Slide 31 / 178 Se sitúa entre 2500 & 3600 (50 y 60) Termina en nueve por lo tanto su raíz cuadrada termina en 3 o 7 Trata 53 luego = 2809 Se sitúa entre 6400 y 8100 (80 y 90) Termina en 4 por lo tanto su raíz cuadrada termina en 2 o 8 Trata 82 luego = 6724 NO! 88 2 = 7744 Lista de uadrados 15 alcula. Slide 32 / 178 Lista de uadrados 16 alcula. Slide 33 / 178 Lista de uadrados

12 17 alcula. Slide 34 / 178 Lista de uadrados 18 alcula. Slide 35 / 178 Lista de uadrados 19 alcula. Slide 36 / 178 Lista de uadrados

13 20 alcula. Slide 37 / 178 Lista de uadrados 21 alcula. Slide 38 / 178 Lista de uadrados 22 alcula. Slide 39 / 178 Lista de uadrados

14 23 alcula. Slide 40 / 178 Lista de uadrados Slide 41 / 178 Simplificar Expresiones Radicales de uadrados Perfectos Volver a la Tabla de ontenidos Te acuerdas de los cuadrados perfectos del 1 al 400? Slide 42 / = 8 2 = 15 2 = 2 2 = 9 2 = 16 2 = 3 2 = 10 2 = 17 2 = 4 2 = 11 2 = 18 2 = 5 2 = 12 2 = 19 2 = 6 2 = 13 2 = 20 2 = 7 2 = 14 2 =

15 Raíz uadrada de un Número Slide 43 / 178 Recuerda: Si b 2 = a, entonces b es la raíz cuadrada de a. Ejemplo: Si 4 2 = 16, entonces 4 es la raíz cuadrada de 16 uál es la raíz cuadrada de 25? 64? 100? Raíz uadrada de un Número Slide 44 / 178 Las raíces cuadradas se escriben con un símbolo radical Raíz cuadrada positiva: = 4 Raíz cuadrada negativa: - = - 4 Raíces cuadradas Positivas&Negativas: = 4 Los Números Negativos no tienen raíz cuadrada no es una raíz real porque no hay un número real que, cuando se eleva al cuadrado, igualaría -16. Hay diferencia entre Slide 45 / 178 &? uál expresión no tiene una raíz real? alcula las expresiones:

16 alcula las Expresiones Slide 46 / 178 is not real 24 Slide 47 / ? Slide 48 / 178

17 26 =? Slide 49 / Slide 50 / Slide 51 / 178

18 29 =? Slide 52 / Sin raíz real 30 La expresión igual a Slide 53 / 178 es equivalente a un entero positivo cuando b es el epartamento de Educación del Estado de Nueva York. Oficina de Política de Evaluación, esarrollo y dministración. isponible en visto el 17 de Junio, 2011 Fracciones de Raíces uadradas Slide 54 / 178 a b = b = = 4 7

19 Trata de alcular Slide 55 / Slide 56 / 178 sin solución real 32 Slide 57 / 178 sin solución real

20 33 Slide 58 / 178 sin solución real 34 Slide 59 / 178 sin solución real 35 Slide 60 / 178 sin solución real

21 Raíz uadrada de ecimales Slide 61 / 178 Recuerda: Para calcular la raíz cuadrada de un decimal, convierte el decimal en fracción primero. Sigue los pasos para fracciones de raíces cuadradas. Slide 62 / 178 =.2 =.05 =.3 36 alcular Slide 63 / 178 Sin solución real

22 37 alcular Slide 64 / Sin solución real 38 alcular Slide 65 / Sin solución real 39 alcular Slide 66 / Sin Solución Real

23 40 alcular Slide 67 / 178 Sin Solución Real Slide 68 / 178 proximar Raíces uadradas Volver a la Tabla de ontenidos Slide 69 / 178 Todos los ejemplos vistos hasta ahora han sido de cuadrados perfectos. Qué significa ser un cuadrado perfecto? El cuadrado de un número entero es un cuadrado perfecto. Un cuadrado perfecto tiene una raíz cuadrada de un número entero.

24 Slide 70 / 178 Sabes cómo calcular la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto. Qué sucede si el número no es un cuadrado perfecto? Tiene una raíz cuadrada? ómo sería la raíz cuadrada? Raíz uadrado uadrada Perfecto Piensa en la raíz cuadrada de 50. ónde estaría en la tabla? Qué puedes decir de la raíz cuadrada de 50? 50 está entre los cuadrados perfectos 49 y 64 pero más cerca del 49. Entonces la raíz cuadrada de 50 está entre 7 y 8 pero más cerca de 7. Slide 71 / 178 Raíz uadrado uadrada Perfecto uando calculas la raíz cuadrada de los números, necesitas determinar: Entre cual de dos cuadrados perfecto se sitúa (y de esta manera cuál 2 raíces cuadradas). e cuál cuadrado perfecto está más cerca? (y de cuál raíz cuadrada). Ejemplo: Se sitúa entre 100 & 121, más cerca de 100. Entonces cerca de 10. está entre 10 & 11, más Slide 72 / 178

25 Raíz uadrado uadrada Perfecto alcula lo siguiente: Slide 73 / 178 proximar una Raíz uadrada Slide 74 / 178 proximar al número entero más cercano < < Identificar a cuadrados perfectos más cercanos a 38 6 < < 7 alcula la raíz cuadrada : Porque 38 está más cercano a 36 que a 49, está más cercano a 6 que a 7. Por lo tanto, al número entero más cercano, = 6 Slide 75 / 178 proximar al número entero más cercano < < < < Identificar cuadrados perfectos más cercanos a 70 alcula la raíz cuadrada Identificar al número entero más cercano

26 Slide 76 / 178 Otra forma de analizar esto es usando una recta numérica Ya que 8 está más cerca del 9 que del 4, 8 está más cerca del 3 que del 2, por lo tanto Ejemplo: Slide 77 / 178 proximar La raíz cuadrada de 40 entre cuáles dos cuadrados perfectos se sitúa? Slide 78 / y y y y 64

27 42 uál número entero es el más cercano a? Slide 79 / 178 < < < < Identificar cuadrados perfectos más cercanos a 40 alcular la raíz cuadrada Identificar el número entero más cercano 43 La raíz cuadrada de 110 entre cuáles dos cuadrados perfectos se sitúa? 36 y y y y 121 Slide 80 / alcular al número entero más cercano. Slide 81 / 178

28 45 alcular al número entero más cercano. Slide 82 / alcular al número entero más cercano. Slide 83 / uál es la raíz cuadrada de 400? Slide 84 / 178

29 48 proximar al número entero más cercano Slide 85 / proximar al número entero más cercano Slide 86 / proximar al número entero más cercano Slide 87 / 178

30 Slide 88 / proximar al número entero más cercano Slide 89 / proximar al número entero más cercano 53 La expresión es un número entre Slide 90 / y 9 8 y 9 9 y y 47 el epartamento de Educación del Estado de Nueva York. Oficina de Política de Evaluación, esarrollo y dministración. isponible en visto el 17 de Junio, 2011

31 Slide 91 / 178 Números Racionales e Irracionales Volver a la Tabla de ontenidos Números Racionales & Irracionales Slide 92 / 178 es racional porque el radicando (el número debajo del radical) es un cuadrado perfecto Si un radicando no es un cuadrado perfecto, se dice que la raíz es irracional. Ej: Slide 93 / 178 lasifica por la raíz cuadrada si es racional o irracional.

32 54 Racional o Irracional? Slide 94 / 178 Racional Irracional 55 Racional o Irracional? Slide 95 / 178 Racional Irracional 56 Racional o Irracional? Slide 96 / 178 Racional Irracional

33 57 Racional o Irracional? Slide 97 / 178 Racional Irracional 58 Racional o Irracional? Slide 98 / 178 Racional Irracional 59 uál es el número racional? Slide 99 / 178 p el epartamento de Educación del Estado de Nueva York. Oficina de Política de Evaluación, esarrollo y dministración. isponible en visto el 17 de Junio, 2011

34 60 Según la siguiente afirmación: Si x es un número racional, entonces es irracional." uál valor de x hace que la afirmación sea falsa? Slide 100 / el epartamento de Educación del Estado de Nueva York. Oficina de Política de Evaluación, esarrollo y dministración. isponible en visto el 17 de Junio, 2011 Slide 101 / 178 Expresiones Radicales que ontienen Variables Volver a la Tabla de ontenidos Raíz uadrada de Variables Slide 102 / 178 Para calcular la raíz cuadrada de una variable vuelve a escribir su exponente como el cuadrado de su potencia. = (x 12 ) 2 = x 12 = (a 8 ) 2 = a 8

35 Raíz uadrada de Variables Si la raíz cuadrada de una variable elevada a la potencia de un número par tiene una variable elevada a una potencia impar para una respuesta, la respuesta debe tener un signo de valor absoluto. Esto asegura que la respuesta será positiva. Slide 103 / 178 Por efinición... Ejemplos Slide 104 / 178 Trata de alcular. Slide 105 / 178 = x 5 = x 13

36 uántas de estas expresiones necesitarán un signo de valor absoluto cuando la simplifican? Slide 106 / 178 si si no no si si 61 Simplificar Slide 107 / Simplificar Slide 108 / 178

37 63 Simplificar Slide 109 / Simplificar Slide 110 / Slide 111 / 178 sin solución real

38 Slide 112 / 178 Simplificar Radicandos uadrados Imperfectos Volver a la Tabla de ontenidos Qué sucede cuando el radicando no es un cuadrado perfecto? Slide 113 / 178 Volver a escribir el radicando como un producto de su factor cuadrado perfecto más grande. Simplifica la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto. uando la forma simplificada todavía contiene un radical, es irracional. Trata de alcular. Slide 114 / 178

39 Identificar el factor cuadrado perfecto mayor cuando simplificar los radicales resultará en la cantidad mínima de trabajo. Slide 115 / 178 Ej: Sin simplificar! ontinúa! alcular los resultados del factor de cuadrado perfecto mayor con el mínimo trabajo: Las respuestas son las mismas para los dos procesos de soluciones. 66 Simplifica r ya en forma simplificada Slide 116 / Simplificar Slide 117 / 178 ya en forma simplificada

40 68 Simplificar Slide 118 / 178 ya en forma simplificada 69 Simplificar Slide 119 / 178 ya en forma simplificada 70 Simplificar Slide 120 / 178 ya en forma simplificada

41 71 Simplificar Slide 121 / 178 ya en forma simplificada 72 uál de las siguientes no tiene una forma simplificada irracional? Slide 122 / 178 Slide 123 / 178 Nota - Si un radical comienza con un coeficiente antes de que el radicando sea simplificado, cualquier cuadrado perfecto que sea simplificado se multiplicará por el coeficiente existente. (multiplicar de afuera) 2

42 Slide 124 / 178 Expresa en la forma radical más simple. 73 Simplificar Slide 125 / Simplificar Slide 126 / 178

43 75 Simplificar Slide 127 / Simplificar Slide 128 / Simplificar Slide 129 / 178

44 78 uando es escrito en una forma radical más simple, el resultado es. uál es el valor de k? Slide 130 / el epartamento de Educación del Estado de Nueva York. Oficina de Política de Evaluación, esarrollo y dministración. isponible en visto el 17 de Junio, uando es expresado en la forma más simple uál es el valor de a? Slide 131 / el epartamento de Educación del Estado de Nueva York. Oficina de Política de Evaluación, esarrollo y dministración. isponible en visto el 17 de Junio, 2011 Slide 132 / 178 Simplificar Raíces de Variables Volver a la Tabla de ontenidos

45 Simplificar Raíces de Variables Slide 133 / 178 Recuerda, cuando trabajamos con raíces cuadradas, se necesita un signo de valor absoluto si: la potencia de la variable dada es par y la respuesta contiene una variable elevada a una potencia impar fuera del radicando Ejemplos de cuando se necesitan valores absolutos: Simplificar la Raíz de las Variables Slide 134 / 178 ivide el exponente por 2. La cantidad de veces que el 2 va en el exponente se convierte en la potencia de afuera del radicando y el resto es la potencia del radicando. Nota: Los signos de los valores absolutos no se necesitan porque el radicando tiene una potencia impar para comenzar. Ejemplo Slide 135 / 178

46 Simplificar Slide 136 / 178 Solo la y tiene una potencia impar por fuera del radical. La x tenía una potencia impar debajo del radical por lo tanto no se necesitan signos de valor absoluto. La potencia m con la que comienza es impar, por lo tanto no requiere signos de valor absoluto. 80 Simplificar Slide 137 / 178 Tire 81 Simplificar Slide 138 / 178

47 82 Simplificar Slide 139 / Simplificar Slide 140 / 178 Slide 141 / 178 Propiedades de Exponentes Volver a la Tabla de ontenidos

48 Slide 142 / 178 Reglas de Exponentes Materiales Tabla Exponencial de Preguntas.pdf Tabla Exponencial.pdf Revisión Tabla Exponencial.pdf Hay apuntes que se pueden usar a lo largo de esta sección. Se ubican debajo del encabezamiento en la página Exponencial de Álgebra PMI. Los documentos tienen vínculos. Haz click en el nombre arriba del documento. La Tabla Exponencial Slide 143 / 178 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x Pregunta 1 Slide 144 / 178 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x Por qué es 2 4 equivalente a 4 2? Escribe los valores afuera en forma expandida y explica por qué.

49 Pregunta 2 Slide 145 / 178 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x x 64 = x 4 3 = 4 5 Escribe las expresiones equivalentes en forma expandida. Trata de crear una regla para multiplicar exponentes con la misma base. Pregunta 3 Slide 146 / 178 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x x 27 = x 3 3 = 6 3 Escribe las expresiones equivalentes en forma expandida. Trata de crear una regla para multiplicar exponentes con la misma potencia. Pregunta 4 Slide 147 / 178 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x = = 5 2 Escribe las expresiones equivalentes en forma expandida. Trata de crear una regla para dividir exponentes con la misma base.

50 . 1. Explica por qué cada una de las siguientes expresiones son verdaderas. Slide 148 / x 2 2 = 2 5 (2 x 2 x 2) x (2 x 2) = (2 x 2 x 2 x 2 x 2). 3 4 x 3 3 = x 6 5 = 6 8 a m x a n = a m + n. 1. Explica por qué cada una de las siguientes expresiones son verdaderas. Slide 149 / x 3 3 = 6 3 (2 x 2 x 2) x (3 x 3 x 3) = (2 x 3)(2 x 3)(2 x 3). 5 3 x 6 3 = x 4 4 = 40 4 a m x b m = (ab) m. 1. Explica por qué las siguientes expresiones son verdaderas. Slide 150 / = (2 2 ) 2 = = (3 2 ) 2 = = (5 3 ) 2 = 5 6 (a m ) n = a mn

51 Slide 151 / Explica por qué cada una de las siguientes expresiones son verdaderas = = a m = 5 0 a n = a m-n Operar con Exponentes Slide 152 / 178 Ejemplos a m x a n = a m+n 3 2 x 3 4 = 3 6 a m x b m = (ab) m 5 2 x 3 2 = 15 2 (a m ) n = a mn (4 3 ) 2 = 4 6 a m a n = a m-n = 3 2 Slide 153 / Simplificar: 4 3 x

52 Slide 154 / Simplificar: Simplificar: Slide 155 / Simplificar Slide 156 / 178

53 88 Simplificar: Slide 157 / La expresión (x 2 z 3 )(xy 2 z) es equivalente a Slide 158 / 178 x 2 y 2 z 3 x 3 y 2 z 4 x 3 y 3 z 4 x 4 y 2 z 5 From the New York State Education epartment. Office of ssessment Policy, evelopment and dministration. Internet. vailable from accessed 17, June, Simplificar Slide 159 / 178

54 91 Simplificar Slide 160 / 178 simplificado 92 La expresión es equivalente a Slide 161 / 178 2w 5 2w 8 20w 5 20w 8 el epartamento de Educación del Estado de Nueva York. Oficina de Política de Evaluación, esarrollo y dministración. isponible en visto el 17 de Junio, Si x = - 4 y y = 3, cuál es el valor de x - 3y 2? Slide 162 / el epartamento de Educación del Estado de Nueva York. Oficina de Política de Evaluación, esarrollo y dministración. isponible en visto el 17 de Junio, 2011

55 94 uando -9 x 5 es dividido por -3x 3, x 0, el cociente es Slide 163 / 178 3x 2 3x 2 27x 15 27x 8 el epartamento de Educación del Estado de Nueva York. Oficina de Política de Evaluación, esarrollo y dministración. isponible en visto el 17 de Junio, Slide 164 / 178 Por definición: x -1 =, x 0 95 uál expresión es equivalente a x -4? Slide 165 / 178 x 4-4x 0 el epartamento de Educación del Estado de Nueva York. Oficina de Política de Evaluación, esarrollo y dministración. isponible en visto el 17 de Junio, 2011

56 96 uál es el valor de 2-3? Slide 166 / el epartamento de Educación del Estado de Nueva York. Oficina de Política de Evaluación, esarrollo y dministración. isponible en visto el 17 de Junio, uál expresión es equivalente a x -1 y 2? Slide 167 / 178 xy 2 xy -2 el epartamento de Educación del Estado de Nueva York. Oficina de Política de Evaluación, esarrollo y dministración. isponible en visto el 17 de Junio, 2011 Slide 168 / 178 Resolver Ecuaciones con Raíces uadradas y úbicas Perfectas Volver a la Tabla de ontenidos

57 El producto de dos factores iguales es el "cuadrado" de un número. Slide 169 / 178 El producto de tres factores iguales es el "cubo" del número. uando resolvemos ecuaciones, la solución requiere calcular la raíz cuadrada o cúbica de ambos lados de la ecuación. Slide 170 / 178 uando tu ecuación se simplifica a: x 2 = # debes calcular la raíz cuadrada de los dos lados para encontrar el valor de x. uando tu ecuación se simplifica a: x 3 = # debes encontrar la raíz cúbica de los dos lados para encontrar el valor de x. Ejemplo: Slide 171 / 178 Resolver. ivide cada lado por el coeficiente. Luego saca la raíz cuadrada de cada lado.

58 Ejemplo: Slide 172 / 178 Resolver. Multiplica cada lado por nueve, luego calcula la raíz cúbica de cada lado. Trata de resolver: Slide 173 / 178 ± 10 ±8 ±9 ±7 Trata de Resolver Slide 174 /

59 98 Resuelve. Slide 175 / Resuelve. Slide 176 / Resuelve. Slide 177 / 178

60 101 Resuelve. Slide 178 / 178