Deduce razonadamente en que casos los planos π 1 y π 2 son o no paralelos:

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1 GEOMETRÍA Junio 98 Deduce razonadamente en que casos los planos y son o no paralelos: a) : x + y + z = y : x + y z = 4 b) : x y + z = 4 y : x y + z = Obtén la distancia entre los planos y cuando sean paralelos. Junio 98 Halla el volumen de un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH sabiendo que A= (8, 0, 0), B = (0, 8, 0), C = (0, 0, 8) y E = (8, 8, 8). Obtén también las coordenadas de los restantes vértices. 3 Idea dos métodos diferentes que permitan decidir si la recta 4x+3y-8=0 es Junio 99 exterior, tangente o secante a la circunferencia ( x 6) + ( y 3) = 5. Razona la respuesta. 4 Junio 99 Sea r la recta que pasa por A(, 4, 0) y B(6,, 0) y sea r la recta que pasa por C(0, 0, 7) y D(3,, 0). Obtener razonadamente la distancia entre r y r. 5 Sep. 99 Obtener la distancia desde el punto (0, 0, 7) al plano que pasa por los puntos (0, 0, 0), (0,, 4) y (4, 0, ). Explica el método seguido. 6 Sep. 99 Encontrar el volumen de un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, sabiendo que A(, 0, 0), B(, 3, 0), C(4, 0, 5) y E(7, 6, 3). Encuentra las coordenadas de los restantes vértices. 7 Junio 00 Consideremos un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo A(,, ), B(,, ), C(, 4, ) y E(,, 7). Calcular el área de una de las bases, el volumen del paralelepípedo y la distancia entre las bases. 8 Junio 00 Calcular la distancia del punto (0, 0, 0) al plano que pasa por los puntos (0, 0, ), (4, 7) y (4, 0, 3). 9 y = 5 Sep. 00 Consideremos las rectas r : x = y = z y r ':. Comprobar que los z = 0 puntos O(0, 0, 0) y A(,, ) pertenecen a la recta r, y que los puntos B(0, 5, 0) y C(0, 5, 0) pertenecen a la recta r. Calcular la distancia entre las dos rectas. Explica la relación entre el producto mixto de los vectores 0 Sep. 00 Junio 0 Junio 0 3 Sep. 0 4 Sep. 0 OA = i + j + k = (,,), BC y OB, el producto vectorial de OA y BC y la distancia entre las rectas r y r. Hallar la distancia del punto (0, 0, 7) al plano determinado por los puntos (0, 0, 0), (0,, ) y (, 0, ). Obtener las ecuaciones de las rectas obtenidas al cortar cada uno de los planos : x + y + z = 3, : x z = 0 y 3 : y z = 0 con el plano 4 : z = 0. Hallar razonadamente las ecuaciones de los dos planos paralelos al plano : x + 3y 4z = 7 que distan 6 unidades de. Sea r la recta que pasa por los puntos A(0, 0, 0) y B(80, 0, 0) y sea r la recta que pasa por C(0, 0,0) y D(m, 0, 0). Obtener la distancia entre r y r. Justificar geométricamente que la distancia entre r y r es independiente de m. Los puntos (x, y) que verifican la ecuación x + y = 36 forman una curva. Explica la relación entre la ecuación x + y = 36 y alguna característica geométrica de esa curva.

2 5 Junio 0 6 Junio 0 7 Sep. 0 8 Sep. 0 9 Junio 03 0 Junio 03 Dados los puntos A = (, -, 3) y B = (0,, ), se pide: a) La ecuación paramétrica de la recta que pasa por ambos puntos. (, puntos) b) La ecuación del plano p que está a igual distancia de A y de B. (, puntos) c) La distancia al origen de la recta intersección del plano y - z = 0 con el plano p del apartado b). (, puntos) a) Hallar la distancia del punto P(3, -, 4) a la recta r intersección de los planos: (,8 p.) : x + y z + 5 = 0 : 4x + 4y z + 9 = 0 b) Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta r y el punto P. (,5 p.) Consideremos los planos: : x + y 6 = 0 : x + 4y + λ z + = 0 donde λ es un parámetro real. Se pide: a) Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los dos planos y cuando λ = 4. (,5 puntos) b) Calcular razonadamente λ para que los planos y se corten formando un ángulo de 45º. (,8 puntos) Si tenemos un plano dado por p: 8x-4y+z = 3, encontrar: a) La ecuación de la recta perpendicular al plano p que pasa por el punto P(, -3, 7) expresada como intersección de dos planos. (p). b) La distancia del punto P al plano p. (,5p). c) Las ecuaciones de los planos que distan 3 unidades del plano p. (,5p). Sean r la recta y el plano de R 3, determinados del siguiente modo: r pasa por los puntos (,,4) y (-,, ) y pasa por los puntos (,0,), (, -, 0) y (3, 0, 0). Se pide: a) Probar que la recta r no es paralela a (p) b) Calcular los puntos S y T de la recta r que cumplen que su distancia a es 4. (,3p). Sean r y r las rectas del espacio R 3, determinadas del modo siguiente: r pasa por los puntos A =(3, 6,7) y B =(7,8,3) y r es la recta intersección de los planos de ecuaciones: x-4y-z = -0 y 3x-4y+z = -. Se pide: a) Calcular de cada una de las rectas r y r una ecuación paramètrica y determinar la posición relativa de ambas. (p) b) Calcular la distancia d entre las rectas r y r. (,3p) c) Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C un punto cualquiera de la recta r (p).

3 Sep 03 Sep 03 3 Juny 04 Tenim que i ' són els plans de l espai R 3, determinats de la manera següent: El pla passa pels punts (0,,), (3, -, ) i (, -, 5), i el pla ' passa pels punts (3,0,), (,,) i (5,4,-). Calculeu: a) Una equació paramètrica de la recta r intersecció dels plans i, (,3 punts). b) L'angle α que formen els plans i ' (0,7 punts). e) L'equació del pla que conté la recta r i forma un angle de 90 graus amb el pla (,3 punts). En l espai R 3 considerem el punt P = (3,,3) i la recta r intersecció dels plans d equacions: x+3y-4z=0 i x+y-z=.calculeu: a) La distància d del punt P fins a la recta r (,3 punts). b) Els punts M i N de la recta r que complisquen que la seua distància al punt P és 5 d (,3 punts). c) L àrea del triangle amb vèrtexs P, M i N (0,7 punts). Donats els plans : x + y + z = -5, : x-3y- z = 3 i la recta r: x y z = = : 3 a) Determineu raonadament la posició relativa de la recta r i la recta s intersecció dels plans (,7punts). b) Calculeu raonadament l equació del pla que conté la recta s anterior i és paral lela a r (, 6 punts). 4 Juny 04 5 Sep. 04 Tenim la recta r:(x,y,z) = (t+, t, 3t), el pla :x-y-z=0 i el punt P = (,,): a) Determineu l equació del pla que passa pel punt P i és paral lel al pla (0,9 punts). b) Determineu l equació del pla que conté la recta r i passa pel punt P (, punts). c) Calculeu l equació paramètrica de la recta intersecció dels plans anteriors, (, punts). a) Calculeu el pla que passa pel punt P(-,4,- 3) i és perpendicular a la recta r : (x, y, z) = (,,0) + t(l,-,l) ( punt). b) Calculeu la distància entre el punt P i la recta r (,3 punts). 6 Sep. 04 Considerem els punts A = (, 0, 0), B = (0,, 0), C = (0, 0, ) i D = (,,). Es demana que: a) Calculeu l'àrea del triangle de vèrtexs B, C i D (, punts). b) Calculeu el volum del tetraedre de vèrtexs A, B, C i D (, punts). c) Calculeu la distància del punt A al pla que passa pels punts B, C i D (, punts).

4 7 Juny 05 8 Juny 05 9 Sep Sep Juny 06 Es consideren el pla : y + z m = 0 (m paràmetre real) i les rectes: x = x = x = 3 u :, v :, w:. Siguen A, B i C els punts d intersecció y = z y = 3z y = 3z de amb u,v i w respectivament. a) Calculeu les coordenades de A, B i C en funció de m. b) Trobeu els valors de m per als quals l área del triangle ABC és u.a. Trobeu les equacions dels plans que passen pel punt (-7,, -3) i que les projeccions perpendiculars de l origen sobre els esmentats plans són punts de la recta (x, y, z)=(o,4,)+t(,0,0). Un paral lepípede rectangular (o ortoedre) té tres de les seues arestes sobre les rectes: l: x = 0, m: x y = 0 i n: x + y = 0 y = 0 z = 0 z = 0 (,,-). Es demana a) Trobar els vértexs restants. b) Calcular el seu volum.,i un dels seus vèrtexs és Donats els plans : 5 x y z = 0, σ : x + y z = 0 i el punt P(9, 4, -), determineu: a) L equació del pla que passa per P i és perpendicular a i a σ. b) El punt simétric de P respecte de la recta r, intersecció deis plans i σ. En l espai es consideren: - La recta r intersecció de dos plans d equacions implícites: x + y z = 5 i x + y z =. - I la recta s que passa pels punts P = (3, 0, 5) i Q = (5,, 6). Es demana: a) Calculeu les equacions paramètriques de la recta r (0,6 punts) i de la recta s (0,4 punts). b) Calculeu el punt H intersecció de r i s (0,6 punts) i l angle α que determinen r i s (0,4 punts). c) Calculeu els punts M i N de la recta r per als quals l área de cadascun dels triangles de vèrtexs PQM i PQN és 3 unitats d àrea (,3 punts).

5 3 Juny 06 Donats els punts: demana: A = (4, 4,9) L = (,,4) B = (,0,5) M = (0,,3) C = (4,,6) N = (3,0,5) a) Calculeu la distància d del punt C al punt mitjà del segment d extrems A, B (0,5 punts) i l àrea S del triangle de vèrtexs A, B, C ( punt). b) Calculeu les equacions implícites del pla que passa pels punts A, B, C (0,4 punts) i del pla ' que passa pels punts L,M,N (0,4 punts) c) Calculeu l equació paramètrica de la recta r intersecció dels plans i (0,6 punts) i l angle α que determinen els plans i (0,4 punts), es 33 Sep Sep Juny 07 En l espai es consideren: > La recta r intersecció dels plans d equacions implícites x - y z = 9 i 4x - y + z = 4. > I la recta s que passa pels punts (,3,-4) i (3,-5,-). Es demana: a) Calculeu les equacions paramètriques de la recta r (0,8 punts) i de la recta s (0,3 punts). b) Justifiqueu que les rectes r i s s encreuen (0,8 punts). c) Calculeu un vector direccional de la recta t, perpendicular comú a les rectes r i s, (0,4 punts) i calculeu el punt P d intersecció de les rectes s i t ( punt). En l espai es consideren: > El pla que passa pels punts (,, ), (5, 7, 5) i (7, -, -). > I la recta r intersecció dels plans d equacions implícites x + y + z = 5 i x -7y + z = 3. a) Calculeu l equació paramètrica de r (0,6 punts) i l equació implícita del pla (0,4 punts). b) Calculen el punt P intersecció de r i (0,8 punts) i l angle α que determinen r i (0,5 punts). c) Calculeu els punts M i N de la recta r la distància al pla dels quals és igual a 3 u.l. ( punt). Ateses les dues rectes r i s, que es tallen, d equacions x y z 3 x 3 y + 3 z r : = = i s : = = es demana que calculeu: a) El punt P de tall de les rectes r i s. (, punts). b) Un vector direccional de r i un altre de s (0,5 punts), i l angle α que formen les rectes r i s en el punt de tall P. (0,6 punts). c) L equació implícita ax + by + cz + d = 0 del pla que conté les rectes r i s (, punts).

6 36 Juny Sep Sep Juny Juny 08 4 Sep.08 Atesos el punt Q = (3,, 4) i la recta r d equació paramètrica r: x = + 3λ, y = λ, z = + 4λ, es demana el següent: a) Trobeu la distància del punt Q a la recta r. (, punts). b) Justifiqueu que la recta s que passa per Q i té (,, ) com a vector direccional no talla a r.(, punts). c) Calculeu la distància entre les rectes r i s. (, punts). Atès el pla : x +y + 3z - = 0 i el punt Q = (,,3), es demana que calculeu: a) La distància del punt Q al pla. (, punts). b) L àrea del triangle els vèrtexs del qual P, P i P 3 són els punts d intersecció del pla amb els eixos coordenats. (, punts). c) El volum del tetraedre de vèrtexs P, P, P 3 i Q. (, punts). Atesos els plans d equacions : x+y+z+3=0; :x+y-z-6=0, es demana el següent: a) Calculeu l angle α que formen els plans (, punts). b) Calculeu l equació paramètrica de la recta r, intersecció dels plans i (, punts). c) Comproveu que el pla d equació x + y - = 0 és el pla bisector de i, és a dir, forma un angle α / amb cadascun dels plans, on α és l angle obtingut en l apartat a). (, punts). Es donen els punts A = (,, ) i B = (, 0, ), i la recta r d equació z + r : x 5 = y =. Es demana que calculeu raonadament: a) El punt C de r que equidista de A i B. ( punts). b) L àrea del triangle ABC. (,3 punts). Ateses la recta r, intersecció dels plans y + z = 0 i x - y- = 0, i la recta s x d equació = y = z + 3, es demana el següent: a) Obteniu, raonadament, equacions paramètriques de r i s. (, punts). b) Expliqueu d un mode raonat quina és la posició relativa de les rectes r i s. (, punts). c) Calculeu la distància entre les rectes r i s. (, punts). Atesos els dos plans : x + y + z = 3 i : x + y α z = 0, es demana que calculeu raonadament: a) El valor de α perquè els plans siguen perpendiculars i, per a aquest valor de α, obteniu les equacions paramètriques de la recta intersecció d aquests dos plans. (,5 punts). b) El valor de α perquè els plans siguen paral lels, i per a aquest valor deα, obteniu la distància entre els dos plans (,8 punts).

7 4 Sep Juny Juny Sep Sep.09 Atesos el punt O = (0, 0, 0) i el pla : x + y +z = 6, es demana que calculeu raonadament: a) L equació de la recta r que passa per O i és perpendicular al pla. (, punts). b) Les coordenades del punt simètric de O respecte del pla. (, punís). c) L equació del pla que conté l eix X i la recta r. (, punts). Siguen A, B i C els punts d intersecció del pla d equació x + 4 y z 4 = 0 amb els tres eixos coordenats OX, OY i OZ, respectivament. Es demana calcular raonadament: a) L àrea del triangle ABC. (, punts). b) El perímetre del triangle ABC. (, punts). c) Els tres angles interiors del triangle ABC. (, punts). Donats els punts O (0,0,0), A = (4,4,0) i P = (0,0,), es demana obtindre raonadament: a) L equació de la recta que passa per A i és perpendicular al pla d equació z = 0. ( punt). b) L equació d un pla que complisca les dues condicions següents: - Passe per P i per un punt Q de la recta d equació x = y = 4 - Siga perpendicular a la recta que passa per O i Q. (,3 punts per trobar un dels dos plans solució). Atesos els punts P = (3, -, 4) i Q = (, 0, -), i el pla d equació : x y + z + 5 = 0, es demana que calculeu raonadament: a) L equació de la recta r que passa pel punt P i és perpendicular al pla. (,4punts). b) L equació dels plans que passen pel punt P i són perpendiculars al pla. ( punt). c) L equació del pla que passa pels punts P i Q i és perpendicular al pla. (0,9 punts). Siga el pla d equació : 3x + y + 4z - = 0. Calculeu raonadament: a) Les equacions dels dos plans paral lels a que disten 5 unitats de. (,punts). b) Els tres punts A, B i C, intersecció del pla amb cada un dels tres eixos coordenats. (0, 6punts). e) Els tres angles del triangle ABC. (,5punts).

8 47 Juny 0 48 Juny 0 49 Sep Sep. 0 5 Juny Donades les rectes d equacions 5x + y z = 4 x y = 5 r = i s =, x y z = 5 z = 4 es demana: a) Justificar que les rectes r i s es creuen. (4 punts). b) Calcular raonadament la distància entre les rectes r i s. (3 punts). c) Determinar l equació del pla r que és paral lel i equidistant a les rectes r i s. (3 punts). Siga r la recta de vector director (, -, ) que passa pel punt P = (0,3,-). Es demana: a) Obtindre raonadament la distància del punt A = (0,,0) a la recta r. (4 punts). b) Calcular raonadament l angle que forma la recta que passa pels punts P i A amb la recta r en el punt P. (4 punts). c) Si Q és el punt on la recta r talla el pla d equació z = 0, comprovar que el triangle de vèrtexs APQ té angles iguals en els vèrtexs P i Q. ( punts). Es demana obtindre raonadament: a) L equació del pla que passa pels punts O = (0,0,0), A= (6, 3,0) i B = (3,0,). (3 punts). b) L equació de la recta r que passa pel punt P = (8,7, ) i és perpendicular al pla. (3 punts). c) El punt Q del pla, la distància al punt P del qual és menor que la distància de qualsevol altre punt del pla al punt P. (4punts). Donades les dues rectes r i s d equacions x 4 y 4 y z r : = = z 4 i s : x = = 3 3 es demana calcular raonadament: a) Les coordenades del punt P d intersecció de les rectes r i s. (3 punts). b) L angle que formen les rectes r i s. (3 punts). c) Equació implícita Ax + By + Cz + D = 0 del pla que conté les rectes r i s. (4 punts). x + z = x y = 3 En l espai es donen les rectes r : i s :. x y + z = 0 x y z = Obtingueu raonadament: a) Un punt i un vector director de cada recta. (3 punts). b) La posició relativa de les rectes r i s. (4 punts). c) L equació del pla que conté a r i és paral lela a s. (3 punts).

9 5 Juny En l espai es donen les rectes x = r : y = z = λ 3 λ i : { x = y = z 3} s. 53 Sep. Obtingueu raonadament: a) Un vector director de cada una de dites rectes r i s. ( punts). b) L equació del pla perpendicular a la recta r que passa pel punt (0,, 3). (3 punts). e) El punt d intersecció de les rectes r i s ( punts) i l equació del pla que conté aquestes rectes r i s. (3punts). En l espai es donen les rectes i. Obtingueu raonadament: a) El valor de α per al qual les rectes r i s estan contingudes en un pla. (4 punts) b) L equació del pla que conté les rectes r i s per al valor d obtingut en l apartat anterior. ( punts). c) L equació del pla perpendicular a la recta r que conté el punt (,, ). (4 punts). 54 Sep. Es dona la recta i el pla Obtingueu raonadament: dependent del paràmetre real α. a) L equació del pla que passa pel punt (,, 0). (3 punts) b) L equació del pla que és paral lel a la recta r. (4 punts). c) L equació del pla que és perpendicular a la recta r. (3 punts).

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