2, 3 1, 3 1, 3 , 3 , 3

Transcripción

1 . Dd el et ( ) hll t en s mism dieión qe se niti. Cll tmién t et de módl de igl dieión qe sentid pest. Slión. En l pime pte del plem se pide ll el et niti de. n ± ± ± dieión sentid pest Igl ' dieión sentid Igl n n n En l segnd se pide ll n et qe mpl ' n. Cll el ángl qe fm el et ( ) n ls etes epesenttis de l se tnml. Slión. Teniend en ent qe ls mpnentes del et nmlid sn ls sens dietes del et qe ls sens dietes sn ls sens de ls ángls qe fm el et n ls ejes dends el plem se ede ll el et nmlid. N N γ γ β β º s 9º s º s. Rn pqe si sn tes etes del espi qe n están en n mism pln el et tiene l mism dieión qe el. (Repesentms p el pdt etil). Slión. P definiión el pdt etil de ds etes es t et pependil ms. L úni dieión pependil mún l et es l dieión del et.

2 . Cmp ls sigientes desiglddes i) (Sh) ii) (Minksk) Slión. i) s. P definiión de pdt esl s s Simplifind ls módls. s Desigldd qe se mple p lqie l de qe s [ ]. ii). P definiión de módl de n et. P qit ls íes se elen ls ds miems l dd Opend el pdt esl del miem de l iqied simplifind ls dds del miem de l deeh. Simplifind ls pdts esles psiles el Aplind l º miem l definiión de módl Aplind l pime miem l definiión de pdt esl. s Simplifind ls módls s Válid p lqie l de.

3 . Siend () tgnl ( ) ( ). Hll. Slión. Otgnl Pependil. Si ds etes sn pependiles s pdt esl es nl. ( ) ( ) ( ) ( ). Dd hll siend ( ls tes etes peteneen V ). Slión. ( ) ( ) ( ) Teniend en ent s 7 7. Áe del tiángl de A( ) B( ) C( ). Slión. Si A B C sn pnts n lineds del espi deteminn n tiángl áe pede llse m pliión del módl del pdt etil. S i ( ) ( ) ( A B C) k ( ) S ( A B C) ( ) ( ) 8. Áe del tiángl C siend ( ) ( ). Slión. Si A B C sn pnts n lineds del espi deteminn n tiángl áe pede llse m pliión del módl del pdt etil. j S ( A B C) i j k ( ) ( 7 ) S ( A B C) 7 ( ) 7

4 9. Vlmen del plelepíped de ists ( ) ( ) ( ). Slión. Si tes etes espiles sn linelmente independientes deteminn n plelepíped. h S(se) V s h h s s V V. Hll el peímet del tiángl de éties A() B() C(). Slión. El peímet del tiángl es l sm de ls lngitdes de ls lds qe se lln m ls módls de ls segments qe fmn ls lds. CA BC A C d C B d B A d P CA BC CA BC P. Áe del tiángl C siend B() C() s ient (). Slión. P ll el áe del tiángl neesitms ne ls dends de ss éties. Ls dends del étie A se lln pti de ls dends del ls ts ds éties ls del ient (pnt de te de ls medins). P el tiángl de éties C el ient es Identifind p mpnentes C B A Cnids ls éties se ll el áe.

5 C S k j i C B A S. Ennt ls etes nitis de R qe sn pependiles fmn n ángl de n Slión. Se sn etes del tip qe mpln ls sigientes ndiines Elend l dd p qit l í º ( ángl ente ls etes ). º s. El módl de le p se niti.. Simplifind l epesión Ls ndiines qe mplen ls etes qe se piden pemiten plnte n sistem de tes eines n tes inógnits. Sstitend l segnd eión en l tee se ll el l de Cn l pime segnd eión el l de se lln ls les de. ± ± Si Si

6 . De ls sigientes ppieddes de l dependeni linel dei ál áles sn iets jstifind l espest. Un njnt de etes n ds más etes igles n es linelmente dependiente.. En R si tes etes sn linelmente dependientes entnes sn plnis.. Si en n njnt de etes está el et entnes el njnt es linelmente dependiente. Slión.. ls. Si en n njnt de etes V {... n } ls etes i j sn igles ente eiste n minión linel n tiil (l mens n efiiente de l minión linel n es e) qe es igl e.... i j... n. P l tnt ls etes del njnt sn linelmente dependiente. ls. Si ente tes etes de R ds sn plels el t es pependil n sein plnis nqe ente ells eiste dependeni.. Vedde. Ente ells eiste n minión linel n tiil qe d el et nl n. Es siempe iet qe ( ) ( ) ( ) ( él epesent el pdt etil)? En s fimti jstifíqese. En s nti póngse n ejempl qe l nfime. Slión. Vedde. Teniend en ent El pdt etil de ds etes igles ppinles es nl ( ) El pdt etil es ntimmtti ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Señl si ls sigientes fimines sn eddes flss. En s de se iets jstifíqense; en s nti póngse ejempls qe l nfimen. ) El pdt mit de tes etes lesqie n nls es siempe distint de e. ) Si sn tes etes del espi tidimensinl R n nls qe stisfen l ndiión entnes se eifi qe. Slión. ) ls. Si ls etes sn linelmente dependientes el pdt mit es nl. Ejempl ( ) ( ) ( ). ) ls. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

7 7. Dds ls etes tles qe ll l sigiente sm de pdts esles Slión. L sm de etes es t et. Si Si ds etes sn igles tienen igl módl P definiión de módl (í dd psiti del pdt esl del et p si mism) Teniend en ent qe el mdl de es e Desllnd el pdt esl se tiene n epesión de l qe se pede despej ls dles pdts pedids Teniend en ent qe el pdt esl de n et p si mism es el módl del et eled l dd 7. En n étie de n se plin tes fes diigids según ls dignles de ls tes s qe psn p dih étie. Ls módls mgnitdes de ests fes sn. Hll el módl de l fe esltnte de qells tes. Slión Se pide ll l sm de tes etes de ls qe se ne s dieión s módl. L dieión ns l dn diiend qe están en ls dieines de ls dignles de n p l tnt si nstims n eje de dends se el étie mún se él n de ist ls etes de ls dignles de ls s qe fmn el étie tendán p mpnentes ; ; P ll ls mpnentes de ls etes del plem nmlims ls etes de dieión mltiplims p ss espetis módls.

8 8 Cnids ls mpnentes de d et se he l sm se ll el módl 8. Sen tes etes linelmente independientes. Indi l les de ls sigientes pdts mits len. En d n de ests ss h de nse l ntestión. ( ) ( ) ( ) Slión Se define el pdt mit de tes etes m el pdt esl del pime p el pdt etil de ls ts ds es dei [ ] El pdt mit de tes etes es nl sí ) Un de ls etes es el et nl ) Ls etes sn linelmente dependientes. Si sn tes etes linelmente independientes fmn n se de R p l tnt se pede epes ls tens de etes ppests en fnión de I) Se ; ; etes qe se peden epes m () ); ( (); g ; g g sn linelmente independientes s pdt mit es distint de e. II) Se ) ( () ; () ; g ; g g Linelmente independientes leg s pdt mit distint de e III) Se ) ( ) ; ( ) ; ( ; g g Linelmente dependientes s pdt mit es e.