ALGEBRA LINEAL - 2do Cuatrimestre 2014 Práctica 2 - Espacios vectoriales

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1 Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 1 ALGEBRA LINEAL - 2do Cuatrimestre 2014 Práctica 2 - Espacios vectoriales Espacios vectoriales 1. Sea V un espacio vectorial sobre k, λ k, v V. Probar las siguientes afirmaciones: a) λ 0 V = 0 V, b) λ v = 0 V λ = 0 k ó v = 0 V, ( v) = v, d) 0 V = 0 V. 2. Sea V = R +, y consideremos la operación + definida sobre V por + : (u, v) V V uv V, donde uv es el producto usual calculado en R +, y la acción de R sobre V dada por : (λ, v) R V v λ V. Muestre que (V, +, ) es un R-espacio vectorial. 3. Encontrar un subconjunto no vacío de R 2 que sea cerrado para la suma y para la resta pero no para la multiplicación por escalares. 4. a) Sea X un conjunto no vacío. Sea k X = {f : X k} el conjunto de todas las funciones de X a k. Mostrar que las operaciones hacen de k X un espacio vectorial sobre k. (f + g)(x) = f(x) + g(x) (l f)(x) = lf(x) b) Bajo qué condiciones es k X de dimensión finita? Cuando estas condiciones se cumplan, encuentre una base. 5. Sea X un conjunto no vacío, V un espacio vectorial sobre k y consideremos el conjunto V X = {f : X V } de todas las funciones de X en V. a) Mostrar que es posible definir sobre V X, imitando lo hecho en el ejercicio 4, operaciones de suma y de producto por elementos de k de forma natural, de manera tal que V X resulte, con respecto a esas operaciones, un espacio vectorial sobre k. b) Si Y X es un subconjunto no vacío, puede verse a V Y como subespacio de V X? Si W V es un subespacio vectorial, puede verse a W X como subespacio de V X? 6. Mostrar que los siguientes son espacios vectoriales, verificando que son subespacios de espacios vectoriales conocidos. Explicitar la suma y el producto por escalares en cada caso. a) k n [X] := {p k[x] : p = 0 ó deg(p) n} b) {f C (R) : f (1) = f(2)} {f C (R) : f + 3f = 0} 1 d) {f C(R) : 0 f(x) dx = 0}

2 Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 2 e) k (N) := {(a i ) i N k N : n N tal que a i = 0, i n} 7. Mostrar que los siguientes conjuntos no son sub-r-espacios vectoriales de R 3 : a) {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 1}. b) {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1}. {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 2 < 0}. d) {(x, y, z) R 3 : xyz = 0}. 8. Decidir cuáles de los siguientes subconjuntos S son sub-k-espacios de V a) S = {v R 3 : v = a (1, 0, 0) + b (1, 1, 1), con a, b R}, V = R 3, k = R; b) S = {ai : a R}, V = C, k = R; S = {ai : a R}, V = C, k = C; d) S = {p k[x] : p = 0 deg p 2}, V = k[x]; e) S = {A k 4 4 : A t = A}, V = k 4 4 ; f ) S = {A k 4 4 : tr A = 0}, V = k 4 4, donde tr A = 4 i=1 A ii; 9. Sea A k n m y sea S = {x k m : Ax = 0} el conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo asociado a A. Muestre que S es un subespacio vectorial de k m. 10. Probar que S T es un subespacio de V S T ó T S. Conjuntos generadores 11. a) Encontrar al menos tres sistemas de generadores del subespacio b) (2, 1, 3, 5) está en S? Es S {x R 4 : x 1 x 2 x 3 = 0}? d) Es {x R 4 : x 1 x 2 x 3 = 0} S? S = (1, 1, 2, 1), (3, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 1) R Sea V un k-espacio vectorial y sean v, w V. Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas. a) v, w = v, w + 5v. b) v, w = v, aw + bv, a, b k. v, w = v, aw + bv, a k {0}, b k. d) v 1, v 2, w = v 3, v 4, w v 1, v 2 = v 3, v 4. e) v 1, v 2, w = v 1, v 2 w v 1, v Determine dos sistemas de generadores para cada uno de los siguientes espacios vectoriales: a) k n sobre k;

3 Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 3 b) k n [X] = {p k[x] : p = 0 deg p n} sobre k; k[x] sobre k; d) C n, con k = R; e) {(x, y, z) R 3 : x + y z = 0, x y = 0}, con k = R; f ) {(x, y, z) R 3 : x + y z = 0, x y = 0}, con k arbitrario; g) {p k 4 [X] : p(1) = 0, p(2) = p(3)}, con k = Q; h) {f C (R) : f = 0}, con k = R. 14. Sea X un conjunto no vacío. a) Si X es finito, determine un sistema de generadores para k X. b) Sea k X 0 = {f k X : existe Y X finito tal que f X\Y es constante}, el conjunto de las funciones sobre X que son constantes fuera de un conjunto finito. Encuentre un sistema de generadores para k X 0. * Si X es finito, y V es un k-espacio vectorial, determine un sistema de generadores para V X. Dependencia lineal y bases 15. Decidir si los siguientes conjuntos son linealmente independientes sobre k. a) {(1 i, i), (2, 1 + i)} en C 2 para k = R y para k = C. b) {(1 X) 3, (1 X) 2, 1 X, 1} en k[x] {sen x, cos x, x cos x} en R R para k = R d) {e x, x, e x } en R R para k = R e) u = (1, 0, 1, 0, 1,... ), v = (0, 1, 0, 1, 0,... ), w = (1, 1, 0, 1, 1, 0,... ) en k N 16. Hallar todos los λ R para los cuales cada uno de los siguientes subconjuntos es linealmente independiente. a) {(1, 2, λ), (1, 1, 1), (0, 1, 1 λ)} R 3 b) {(λ, 1, 0), (3, 1, 2), (λ, 2, 2)} R 3 { ( ) ( ) ( ) 1 λ λ },, R λ Completar los siguientes conjuntos linealmente independientes a una base del k-espacio vectorial V indicado. a) {(1, 1, 1, 1), (0, 2, 1, 1)}, V = R 4, k = R b) {X 3 2X + 1, X 3 + 3X}, V = R 3 [X], k = R { ( ) ( ) ( ) i 0 2 },,, V = C i , k = C y k = R. 18. Extraer una base de los siguientes subespacios vectoriales, de cada uno de los sistemas de generadores dados.

4 Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 4 a) (1, 1, 2), (1, 3, 5), (1, 1, 4), (5, 1, 1) R 3, k = R b) X 2 + 2X + 1, X 2 + 3X + 1, X + 2 R[X], k = R ( ) ( ) ( ) ( ) i 0 i 1 1,,, C , k = C 19. Encuentre bases para los siguientes k-espacios vectoriales. a) V = {A R n n : A = A t }, k = R. b) V = {A C n n : A = Āt }, k = R, C. V = {A R n n / A = A t }, k = R. d) V = {A R n n / A ij = 0 si i > j}, k = R. e) V = {A R n n / A ij = 0 si i j}, k = R. f ) V = {A R n n / A ij = 0 si i j y A 11 = A 22 = = A nn }, k = R. g) V = {A C n n : tr A = 0}, k = R, C. h) V = {(a n ) n N0 R N 0 : n N 0, a n+1 = 2a n }, k = R. i) V = {(a n ) n N0 R N 0 : n N 0, a n+2 = a n+1 + a n }, k = R. j ) V = {p R n [X] : p(0) = p(1) = 0}, k = R. k) V = {p R n [X] : p(0) = p (1) = 0}, k = R. 20. Sean v 1,..., v r R n. Probar que {v 1,..., v r } es linealmente independiente sobre R {v 1,..., v r } es linealmente independiente sobre C. 21. * Sea v i = (a i1,..., a in ) R n si 1 i n, y supongamos que a ij 0 si i j, y que n j=1 a ij > 0. Mostrar que {v i } 1 i n es una base de R n. 22. Sea B = {f i } i N0 R[X] tal que deg f i = i si i N 0. Mostrar que B es una base de R[X]. 23. Sea α i k para 1 i n, y sea v i = (1, α i, α 2 i,..., α n 1 i ) k n. Determinar cuándo {v 1,..., v n } es linealmente independiente en k n. Suma e intersección 24. En cada uno de los siguientes casos caracterizar los subespacios S T y S+T de V. Determinar si la suma es directa. a) V = R 3, S = {(x, y, z) : 3x 2y + z = 0} y T = {(x, y, z) : x + z = 0} b) V = R 3, S = {(x, y, z) : 3x 2y + z = 0, x y = 0} y T = (1, 1, 0), (5, 7, 3) V = R 3, S = (1, 1, 3), (1, 3, 5), (6, 12, 24) y T = (1, 1, 0), (3, 2, 1) d) V = R[X], S = {f R[X] : f(1) = 0} y T = 1, X, X 2, X 3 + 2X 2 X, X 5 e) V = R[X], S = {f R[X] : f(0) = 0} y T = {f R[X] : f (0) = f (0) = 0} 25. En cada caso siguiente, probar que S y T son subespacios del K-espacio vectorial V que satisfacen S T = V.

5 Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 5 a) V = K K, S = {f K K : f(0) = 0} y T = {f K K : f es constante} b) V = K n n, S = {A K n n : A = A t } y T = {A K n n : A = A t } para K un cuerpo tal que 2 0 en K. 26. Para cada subespacio S V dado, hallar un subespacio T V tal que S T = V. a) S = (1, 2, 1, 3), (2, 3, 2, 1), (0, 1, 0, 7), V = R 4 b) S = {A R 3 3 : tr(a) = 0}, V = R 3 3 S = 3, 1 + X 2, V = R 4 [X] 27. Mostrar que si S, T son subespacios de R 3 tales que dim S = dim T = 2, entonces existe v 0 tal que v S T. 28. Sea V un k-espacio vectorial de dimensión n y sea T un hiperplano de V (i.e. un subespacio de dimensión n 1). a) Probar que v / T, T v = V. b) Si S es un subespacio de V tal que S T, probar que S + T = V. Calcular dim(s T ). Si S y T son dos hiperplanos distintos, deducir dim(s T ).

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