GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL

Transcripción

1 GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema. Espacios Vectoriales ) LOS NÚMEROS El sistema de úmeros reales cosiste e u cojuto R de elemetos llamados úmeros reales y dos operacioes deomiadas: adició y multiplicació, que se deota co los símbolos + y, respectivamete. Si a y b so elemetos del cojuto R, etoces a+b deota la suma de a y b; tambié a b (ó ab) idica su producto. La operació de sustracció se defie mediate: a + ( b) a b, dode b represeta el egativo de b tal que, b + ( b). La operació de divisió se defie co la ecuació: a b a b ; b, dode b - represeta el recíproco de b, tal que b b. U úmero real puede ser egativo, positivo o cero. Cualquier úmero real se puede clasificar como racioal o irracioal. U úmero racioal Q es cualquier úmero que se puede expresar como la razó de dos eteros. Es decir, u úmero racioal es u úmero de la forma p/q dode p y q so eteros y q. Los úmeros racioales comprede a los siguietes: Los eteros Z: so úmeros racioales co deomiador igual a (p/q p/ p), puede ser positivos, egativos y cero:...,-5, -4, -, -, -,,,,, 4, 5,... Los aturales N: so úmeros eteros (todos positivos):,,, 4, 5, 6, 7,... Fraccioes positivas y egativas, tales como:..., 4 8,,, Los decimales comesurables positivos y egativos, tales como: 6 5.6,. 5 Los decimales icomesurables periódicos positivos y egativos, tales como: Los úmeros irracioales so decimales icomesurables y o periódicos, tales como:.7... π Los úmeros complejos C se expresa geeralmete e la forma a +bi, dode a y b so úmeros reales, i es la llamada uidad imagiaria, que se caracteriza por teer la propiedad de que i -. ) ESPCIO VECORIL Espacio vectorial es u cojuto costituido por u úmero ifiito de vectores, para los cuales se ha defiido las operacioes de adició y multiplicació por u escalar, y además está defiidos sobre u determiado campo k. Esquemáticamete puede represetarse como: El campo k puede referirse a alguo de los siguietes úmeros: Complejos Reales Racioales Irracioales Eteros Naturales Los vectores v, v,..., v puede teer distitas formas, por ejemplo: R : v ( x, y) vector e dos dimesioes. DIVISIÓN: CIENCIS ÁSICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM de 7 COORDINCIÓN: MEMÁICS Profra. Dra. Norma Patricia López costa

2 GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema. Espacios Vectoriales R : v ( x, y, z) vector e tres dimesioes. b M : v matriz cuadrada de. c d P: v ax + bx + c poliomio de grado meor o igual a dos. F: f ( x) v fució de cualquier forma. OSERVCIONES: Las operacioes de adició y multiplicació por u escalar para estos cojutos geeralmete o so las usuales. l resolver u problema, e cada axioma se debe escribir si se cumple o o se cumple; y al fial del problema, si el cojuto es o o u espacio vectorial. Para que u determiado cojuto sea u espacio vectorial, debe satisfacer los siguietes axiomas: Sea V u determiado cojuto; y vectores que V. u, v, w. Cerradura para la suma: u + v V. Propiedad comutativa de la suma: u + v v + u. Propiedad asociativa de la suma: u + ( v + w) ( u + v) + w 4. Existecia de vector eutro e : e + u u por la izquierda u + e u por la derecha 5. Existecia de iversos aditivos z : z + u e por la izquierda u + z e por la derecha 6. Cerradura para la multiplicació: u V 7. Propiedad distributiva de la multiplicació para la suma de vectores: u + v u + ( ) v 8. Propiedad distributiva de la multiplicació para la suma de escalares: ( + β) u u + βu 9. Propiedad asociativa de la multiplicació: ( βu) ( β)u. Existecia de uicidad: u u ) SUESPCIOS VECORILES Para que u subcojuto sea u subespacio vectorial de V, debe cumplirse las siguietes dos codicioes:. Cerradura para la suma: u+ v. Cerradura para la multiplicació: u es decir, que la suma etre vectores y el producto de u escalar por u vector de como resultado otro vector que tega la misma forma (perteezca) que los vectores del subcojuto. OSERVCIONES: Las operacioes de adició y multiplicació por u escalar, e este caso geeralmete so las usuales. El subcojuto { } es u subespacio vectorial. PROPIEDD IMPORNE DE LOS SUESPCIOS VECORILES La itersecció de dos subespacios vectoriales, tambié es u subespacio vectorial. DIVISIÓN: CIENCIS ÁSICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM de 7 COORDINCIÓN: MEMÁICS Profra. Dra. Norma Patricia López costa

3 GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema. Espacios Vectoriales Ejemplo, sea: a, d R S.E.V. d b a, b, d R S.E.V. d Etoces: CSO I.-l meos u escalar e la ecuació de depedecia lieal es diferete de cero. Cuado esto ocurre, el cojuto se deomia Liealmete Depediete (L.D.) CSO II.- odos los escalares e la ecuació de depedecia lieal so iguales a cero. Cuado esto ocurre, el cojuto se deomia Liealmete Idepediete (L.I.) d tambié es S.E.V. 6) CONJUNO GENERDOR Y SE DE UN ESPCIO VECORIL NO: itersecció es el cojuto costituido por todos aquellos vectores que se ecuetra tato e como e. 4) COMINCIÓN LINEL U vector w es ua combiació lieal de los vectores u, u,..., u, si puede ser expresado como: w u + u u dode,,..., so escalares y idica u úmero fiito de vectores. 5) DEPENDENCI LINEL Esta ecuació expresa al vector cero,, como ua combiació lieal de los vectores v, v,..., v : v + v v dode,,..., so escalares y idica u úmero fiito de vectores. E la ecuació de depedecia lieal se distigue dos casos: y sea { u, u, u } u subcojuto V defiido sobre u campo k. Se dice que es u cojuto geerador del espacio vectorial V, si para todo vector v V existe los escalares,,, que permita escribir: v Combiació lieal u + u + u Se observa que si se pasara el vector v del lado derecho de la expresió aterior, ésta e realidad costituiría la ecuació de depedecia lieal, e la que al meos u escalar es (el escalar que multiplica a v ). Por tato, u cojuto geerador es u cojuto liealmete depediete. Por el cotrario, u cojuto liealmete idepediete es ua base. E resume: DIVISIÓN: CIENCIS ÁSICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM de 7 COORDINCIÓN: MEMÁICS Profra. Dra. Norma Patricia López costa

4 GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema. Espacios Vectoriales a) Si V es Liealmete Depediete b) Si V es Liealmete Idepediete Es u cojuto geerador del espacio vectorial V Es ua base del espacio vectorial V partir de ua combiació lieal, es posible obteer el llamado vector de coordeadas de u vector v. Es decir, el vector de coordeadas está costituido por los escalares que iterviee e la combiació lieal referida a ua determiada base. OSERVCIONES: odas las bases de u espacio vectorial tiee el mismo úmero de vectores. La dimesió de u espacio vectorial es el úmero de vectores que tiee cualquier base de dicho espacio. El caso particular del cojuto { }, tiee dimesió cero: dim. 7) VECOR DE COORDENDS OSERVCIONES: El vector de coordeadas es u vector úico referido a ua base ordeada e particular. El orde e el que aparece los escalares e el vector de coordeadas, correspode al orde que tiee los vectores e la base. 8) MRIZ DE RNSICIÓN odo vector v V puede expresarse como combiació lieal de los vectores de las bases: Para la ase : v u + u + u dode ( v) [ ] es el vector de coordeadas de v e la ase. Para la ase : v β w + β w + β w β dode ( v) [ β β β] β es el vector β de coordeadas de v e la ase. Si se escribe los vectores de la ase como combiació lieal de los vectores de la ase : u ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] + + aw aw aw u a a a u bw + bw + bw u b b b u cw + cw + cw u c c c ase ase dode ( u ) ( u ), ( u ), so los vectores de coordeadas de u, u, u e la ase, respectivamete. DIVISIÓN: CIENCIS ÁSICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM 4 de 7 COORDINCIÓN: MEMÁICS Profra. Dra. Norma Patricia López costa

5 GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema. Espacios Vectoriales La matriz de trasició de la ase a la ase, M se forma co los vectores de coordeadas de las combiacioes lieales ateriores: M a a b b b c c c CRCERÍSICS DE L MRIZ DE RNSICIÓN: Sus columas so vectores de coordeadas obteidos a partir de la combiació lieal de ua base respecto a otra. So matrices cuadradas (por ser combiacioes lieales etre bases). Siempre tiee iversa (por ser matrices cuadradas y cumplir det ). La matriz de trasició permite el cambio de coordeadas de ua base a otra; por tato, co la matriz de trasició es posible calcular el vector de coordeadas: ( ) M ( v) v vector de coordeadas de v e la ase. O bie, el vector: ( ) M ( v) v vector de coordeadas de v e la ase. demás, puesto que la matriz de trasició siempre tiee iversa, es posible calcular M a partir de la matriz M, co ta solo determiar su iversa, es decir: M ( M ) 9) MRIZ EN FORM CNÓNIC ESCLOND partir de trasformacioes elemetales es posible llevar a ua matriz cualquiera a su forma caóica escaloada, que satisfaga las siguietes codicioes:. Debe ser, por supuesto, ua matriz escaloada.. El primer elemeto distito de cero de cada fila debe ser.. El resto de los elemetos de la columa dode se ecuetra el uo aterior, debe ser. Ejemplo: Obsérvese que los uos o debe estar ecesariamete e la diagoal pricipal. OSERVCIONES: Para ua matriz determiada, existe ua y sólo ua matriz e forma caóica escaloada. Los regloes de ua matriz e forma caóica escaloada, costituye la base caóica de su espacio vectorial. Esta propiedad es válida para ua matriz escaloada cualquiera; solo que e este caso, los regloes costituye ua base, pero o la caóica. ) ISOMORFISMO EOREM: Los espacios vectoriales de la misma dimesió so isomorfos. Es decir, todos los espacios vectoriales de la misma dimesió so, algebraicamete DIVISIÓN: CIENCIS ÁSICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM 5 de 7 COORDINCIÓN: MEMÁICS Profra. Dra. Norma Patricia López costa

6 GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema. Espacios Vectoriales hablado, iguales. De esta maera, al estudiar u espacio vectorial cualquiera V, de dimesió, se puede trabajar co vectores del espacio R y el resultado aplicarlo al espacio V. U espacio vectorial V es isomorfo co el espacio vectorial R si se establece ua fució biyectiva f : V R etre ambos tal que uv, V y R se cumple que: f ( u+ v) f ( u) + f ( v) f ( u) f ( u) Cuado se tiee matrices o poliomios, es posible aplicar el cocepto de isomorfismo si se requiere escribir estos vectores como los regloes de ua matriz (por ejemplo, para trasformar ua matriz a su forma caóica escaloada), o bie, e otros casos, se puede utilizar el isomorfismo para facilitar las operacioes algebraicas. E la siguiete tabla se proporcioa ejemplos de isomorfismos etre R y otros espacios vectoriales: a) Isomorfismo (*) Espacio de los poliomios de grado P R ax bx c b) Isomorfismo (*) Espacio de las matrices de M R 4 b c d Espacio R + + ( abc,, ) Espacio R ( abcd,,, ) (*) Para llevar a cabo el isomorfismo, los poliomios puede ser de cualquier grado y las matrices de cualquier dimesió m. ) ESPCIOS VECORILES SOCIDOS UN MRIZ partir de los elemetos que itegra ua matriz puede defiirse diversos espacios vectoriales. dos de ellos se les cooce como: Espacio Regló Espacio Columa Espacio Regló de, es el espacio vectorial geerado por los regloes de la matriz. Espacio Columa de, es el espacio vectorial geerado por las columas de la matriz. Cómo se obtiee el espacio regló de ua matriz dada?. Mediate trasformacioes elemetales debe llevarse a la matriz a su forma caóica escaloada.. Los regloes de la matriz e forma caóica escaloada, costituye los vectores de la base caóica del espacio vectorial buscado.. Si se escribe a esta base como ua combiació lieal, es posible obteer el vector geérico v (que represeta la forma geeral de todos los vectores del espacio vectorial buscado): v au+ bu u 4. El espacio regló está costituido por este vector geérico v. Por ejemplo, si v abc,, a, etoces: ( ) ( ) ( ) {,,,, } L r abc a abc R Es el espacio regló geerado a partir de la matriz. Cómo se obtiee el espacio columa de ua matriz dada? Puesto que ahora, el espacio vectorial es geerado por las columas de la matriz. Lo primero es obteer la traspuesta de dicha matriz. E la matriz traspuesta es posible realizar operacioes aálogas al caso e que se obtuvo el espacio regló; puesto que aquí las columas ya se trasformaro e regloes: DIVISIÓN: CIENCIS ÁSICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM 6 de 7 COORDINCIÓN: MEMÁICS Profra. Dra. Norma Patricia López costa

7 GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema. Espacios Vectoriales. Nuevamete se lleva a la matriz a su forma caóica escaloada.. Co los regloes se obtiee la base caóica del espacio vectorial.. partir de la combiació lieal de dicha base, se obtiee el vector geérico v que idica la forma del espacio columa L( c ) buscado. PROPIEDDES IMPORNES: El espacio regló geerado por ua matriz es distito del espacio columa geerado por la misma matriz : ( ) L( ) L r La dimesió del espacio regló geerado por ua matriz es igual a la dimesió del espacio columa geerado por la misma matriz : dim L r c ( ) dim L( ) El rago de la matriz es igual a la dimesió del espacio regló o igual a la dimesió del espacio columa de la matriz : ( ) dim ( ) dim ( ) R L r L c El rago R( ) de ua matriz se defie como el úmero máximo de regloes distitos de cero que cotiee esta matriz llevada a su forma escaloada. c ) WRONSKINO El cocepto del wroskiao se emplea cuado se quiere determiar si u cojuto de fucioes reales de variable real { f, f,..., f} es Liealmete Idepediete e u determiado itervalo (a,b). Co estos fies es posible establecer la ecuació de depedecia lieal para este cojuto e el itervalo (a,b) como: f ( x) + f ( x) f ( x) x ( ab, ) Si se deriva - veces la expresió aterior, se obtiee el sistema de ecuacioes lieales homogéeo: f'( x) + f'( x) + + f'( x) f''( x) + f''( x) + + f''( x) ( ) ( ) ( ) f ( x) + f ( x) + + f ( x) El wroskiao, W(x), del cojuto { f, f,..., f} e el itervalo (a,b), es el determiate de la matriz de coeficietes del sistema homogéeo aterior, es decir: W( x) ( ) ( ) ( ) f( x) f( x) f( x) f'( x) f'( x) f '( x) f ( x) f ( x) f ( x) Fialmete se dice que, si para algú valor x ( ab, ) el wroskiao es W( x ), etoces el cojuto es Liealmete Idepediete. DIVISIÓN: CIENCIS ÁSICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM 7 de 7 COORDINCIÓN: MEMÁICS Profra. Dra. Norma Patricia López costa