Solución de ecuaciones diferenciales por el método de elementos finitos

Transcripción

1 Solución de ecuaciones diferenciales por el método de elementos finitos Departamento de Matemáticas

2 Método de elemento finito Un problema del método de diferencias finitas es que al aplicarlo obtenemos la solución solamente en los nodos de nuestro mallado, por lo que para obtener soluciones en puntos distintos a los nodos debemos recurrir a interpolaciones. También cuando el contorno de nuestro problema no es una figura simétrica se puede dificultar su aplicación.

3 Método de elemento finito El método de elemento finito presenta ventajas sobre el método de diferencias finitas, ya que la solución que se obtiene es una función, y además puede aplicarse a cualquier dominio parametrizable que tengamos. Podemos dividir el método de elemento finitos en dos formulaciones: 1 Formulación débil 2 Formulación variacional

4 La formulación débil de una ecuación diferencial permite convertir un problema de cálculo diferencial formulado en término de ecuaciones diferenciales en términos de un problema de álgebra lineal planteado sobre un espacio de funciones, generalmente de dimensión no finita, pero que puede ser aproximado por un sistema finito de ecuaciones algebraicas.

5 Sea el problema de contorno u = f(x), x (0, 1) u(0) = u(1) = 0 Nótese que para que u sea solución debe existir su segunda derivada.

6 Sea Φ (llamada función test) una función suficientemente regular que verifique Φ(0) = Φ(1) = 0 Si a la ecuación diferencial u = f(x) la multiplicamos por Φ se obtiene Si se integra en [0, 1] 0 u Φ = f(x)φ u Φdx = 0 f(x)φdx

7 Sea Φ (llamada función test) una función suficientemente regular que verifique Φ(0) = Φ(1) = 0 Si a la ecuación diferencial u = f(x) la multiplicamos por Φ se obtiene Si se integra en [0, 1] 0 u Φ = f(x)φ u Φdx = 0 f(x)φdx

8 Sea Φ (llamada función test) una función suficientemente regular que verifique Φ(0) = Φ(1) = 0 Si a la ecuación diferencial u = f(x) la multiplicamos por Φ se obtiene Si se integra en [0, 1] 0 u Φ = f(x)φ u Φdx = 0 f(x)φdx

9 Al integrar por partes 0 u Φ dx [u (1)Φ(1) u (0)Φ(0)] = Como Φ verifica Φ(0) = Φ(1) = 0 entonces 0 u Φ dx = 0 f(x)φdx 0 f(x)φdx Esta ecuación integral es equivalente a nuestro problema de contorno, es más puede verse que solo necesitamos que u sea derivable para que las integrales existan, y antes necesitábamos que u fuera dos veces derivable, es decir que aquí le estamos exigiendo menos a nuestra solución por lo que a la expresión integral de arriba se le suele llamar formulación débil del problema de contorno.

10 Al integrar por partes 0 u Φ dx [u (1)Φ(1) u (0)Φ(0)] = Como Φ verifica Φ(0) = Φ(1) = 0 entonces 0 u Φ dx = 0 f(x)φdx 0 f(x)φdx Esta ecuación integral es equivalente a nuestro problema de contorno, es más puede verse que solo necesitamos que u sea derivable para que las integrales existan, y antes necesitábamos que u fuera dos veces derivable, es decir que aquí le estamos exigiendo menos a nuestra solución por lo que a la expresión integral de arriba se le suele llamar formulación débil del problema de contorno.

11 Al integrar por partes 0 u Φ dx [u (1)Φ(1) u (0)Φ(0)] = Como Φ verifica Φ(0) = Φ(1) = 0 entonces 0 u Φ dx = 0 f(x)φdx 0 f(x)φdx Esta ecuación integral es equivalente a nuestro problema de contorno, es más puede verse que solo necesitamos que u sea derivable para que las integrales existan, y antes necesitábamos que u fuera dos veces derivable, es decir que aquí le estamos exigiendo menos a nuestra solución por lo que a la expresión integral de arriba se le suele llamar formulación débil del problema de contorno.

12 Φ pertenece a un espacio de funciones, que por su naturaleza es de dimensión infinita. Definiremos un espacio de dimensión finita. V = {v, funciones continuas, tales que v(0) = v(1) = 0} donde V tiene dimensión n y una base de dicho espacio será {φ 1, φ 2, φ 3,..., φ n }

13 Para definir los φ i será necesaria una partición del intervalo [0, 1] en n + 1 partes x i+1 = x i + h

14 Los φ i se definen como: y sus traslaciones.

15 En general x x i 1, x [x i 1, x i ] h φ i (x) = x i+1 x, x [x i, x i+1 ] h 0, resto h = 1 n + 1

16 Supondremos que la solución u y la función Φ pertenecen al espacio V. Podemos escribir la solución como u = de igual forma para la función test Φ = n c i φ i, i=1 n a i φ i, i=1 Nótese que nuestro objetivo es determinar los c i

17 Si reemplazamos esta última aproximación en la formulación débil tendremos u Φ dx = 0 0 ( n ) u a i φ i dx = f(x)φdx f(x) 0 i=1 1 i=1 n n u a i φ idx = f(x) 0 i=1 0 i=1 i=1 0 i=1 0 n a i φ i dx a i φ i dx n n a i u φ idx = a i f(x)φ i dx

18 Si reemplazamos esta última aproximación en la formulación débil tendremos u Φ dx = 0 0 ( n ) u a i φ i dx = f(x)φdx f(x) 0 i=1 1 i=1 n n u a i φ idx = f(x) 0 i=1 0 i=1 i=1 0 i=1 0 n a i φ i dx a i φ i dx n n a i u φ idx = a i f(x)φ i dx

19 Si reemplazamos esta última aproximación en la formulación débil tendremos u Φ dx = 0 0 ( n ) u a i φ i dx = f(x)φdx f(x) 0 i=1 1 i=1 n n u a i φ idx = f(x) 0 i=1 0 i=1 i=1 0 i=1 0 n a i φ i dx a i φ i dx n n a i u φ idx = a i f(x)φ i dx

20 Si reemplazamos esta última aproximación en la formulación débil tendremos u Φ dx = 0 0 ( n ) u a i φ i dx = f(x)φdx f(x) 0 i=1 1 i=1 n n u a i φ idx = f(x) 0 i=1 0 i=1 i=1 0 i=1 0 n a i φ i dx a i φ i dx n n a i u φ idx = a i f(x)φ i dx

21 Comparando se tiene que Reemplazando la solución u φ jdx = 0 0 ( n ) c i φ i φ jdx = 0 i=1 0 n c i φ iφ jdx = i=1 0 0 f(x)φ j dx f(x)φ j dx f(x)φ j dx

22 Notemos la interacción entre los φ i

23 n Al desarrollar la suma c i φ iφ jdx = f(x)φ j dx i=0 0 0 para j = 1 x2 x2 x2 c 1 φ 1φ 1dx + c 2 φ 2φ 1dx = f(x)φ jdx x 0 x 1 x 0 para 2 j n 1 xj+1 xj+1 xj c j 1 φ j 1φ jdx+c j φ jφ jdx+c j+1 φ j+1φ jdx = x j 1 x j 1 x j para j = n c n 1 xn xn+1 φ n 1φ ndx + c n φ nφ ndx = x n 1 x n 1 xn+1 x n 1 xj+1 x j 1 f(x)φ ndx f(x)φ jdx

24 Se verifica que xj x j 1 φ j 1φ jdx = 1 h xj+1 x j 1 φ jφ jdx = 2 h xj+1 x j φ j+1φ jdx = 1 h Al usar la regla del trapecio tenemos xj+1 x j 1 f(x)φ j dx hf(x i )

25 Usando los resultados anteriores puede escribirse el sistema en forma matricial, c 1 c 2 c 3 c 4. c n = h 2 f 1 f 2 f 3 f 4. f n

26 El cálculo de variaciones es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable.

27 Uno de los problemas típicos en cálculo diferencial es el de encontrar el valor de x para el cual la función y(x) alcanza un valor extremo (máximo o mínimo). En el cálculo de variaciones el problema es encontrar una función y(x) para la cual un funcional I[y] alcance un valor extremo. El funcional I[y] está compuesto por una integral que depende de x, de la función y(x) y algunas de sus derivadas. I[y] = b a f(x, y, y )dx

28 Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. [ ] d dx y f(x, y, y ) = y f(x, y, y ) De lo anterior puede notarse que podemos pasar de un problema de máximos y mínimos de un funcional a resolver una ecuación diferencial parcial de segundo orden. Estamos interesados en hacer lo inverso es decir dada nuestra ecuación diferencial ordinaria pasar a un problema equivalente de resolver un problema de máximos y mínimos de un funcional.

29 Supongamos que queremos resolver la EDO y + q(x)y = f(x), y(a) = y 0, y(b) = y n El funcional asociado es I[u] = b a [ (du ) 2 Qu 2 + 2F u] dx dx

30 Supongamos que el valor que minimiza el funcional puede aproximarse como u = n c i φ i (x) donde los φ i (x) son funciones conocidas tales que se verifique i=1 u(a) = y 0, u(b) = y n para todo i (nótese que los φ i (x) no necesariamente deben de verificar las condiciones de contorno, la que debe verificarlas siempre es la función u). Las c i son constantes a determinar.

31 Si reemplazamos esta aproximación en el funcional, obtenemos I[u] = b a al simplificar I[u] = ( ( n 2 ( d n 2 c i φ i (x))) Q c i φ i (x)) + 2F dx b a i=1 i=1 ( n 2 ( n 2 c i φ i(x)) Q c i φ i (x)) + 2F i=1 i=1 n c i φ i (x) dx i=1 n c i φ i (x) dx i=1

32 Puesto que buscamos la función u que minimiza el funcional y que las únicas incógnitas son las c i, entonces para obtener un mínimo debe verificarse que Al calcular la derivada di[u] dc j = b Por lo que a di[u] dc j = 0, para toda j [ ( n ) ( n ) ] 2φ j(x) c i φ i(x) 2φ j (x)q c i φ i (x) + 2F φ j (x) dx i=1 i=1 b [ ( n ) ( n ) ] φ j(x) c iφ i(x) φ j(x)q c iφ i(x) + F φ j(x) dx = 0, a i=1 i=1 1 j n

33 Ecuación de Euler Lagrange Dado el funcional I[u] = Las ecuaciones de Euler Lagrange son S f(x, y, u, u x, u y )ds F u ( ) F ( ) F = 0 x u x y u y

34 Ecuación de Poisson EDP 2 φ = f(x, y) Funcional I[φ] = S [ ] 1 2 (φ2 x + φ 2 y) f(x, y)φ dxdy

35 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Solución de la ecuación de Laplaca (Potencial) Ilustraremos como resolver la ecuación de Laplace 2 V = 0, para encontrar la distribución de potencial V (x, y) en la región bidimensional mostrada en la siguiente figura

36 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Dividimos la región en un número finito de elementos triangulares.

37 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Si nombramos cada uno de los elementos y sus nodos Buscamos una aproximación del potencial V e dentro de un elemento e para luego relacionar las distribuciones de potencial en los diversos elementos de tal manera que el potencial sea continuo a uno y a otro lados de la frontera entre los elementos. La solución aproximada para toda la región es N V (x, y) V e (x, y), (1) e=1 donde N es el número de elementos triangulares en que se ha dividido la región.

38 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. La forma más común de aproximación para V e en un elemento triangular es una aproximación polinomial, es decir, V e (x, y) = a + bx + cy (2) Las constantes a, b y c deben determinarse. El potencial V e es en general distinto de cero dentro del elemento e, pero cero en el exterior de e. Nótese que el supuesto de variación lineal del potencial dentro del elemento triangular equivale a suponer que el campo eléctrico es uniforme dentro del elemento; es decir, E e = V e = bˆx cŷ

39 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Considérese el elemento triangular que aparece en la siguiente figura El potencial V e1, V e2, V e3 en los nodos 1,2 y 3 se calcula respectivamente con la ecuación (2), obteniéndose V e1 = a + bx 1 + cy 1 V e2 = a + bx 2 + cy 2 V e3 = a + bx 3 + cy 3

40 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Estas ecuaciones pueden escribirse en forma matricial como V e1 V e2 = 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 a b V e3 1 x 3 y 3 c Los coeficientes a, b y c se determinan de la siguiente forma a b c = 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 V e1 V e2 V e3

41 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Al sustituir esta expresión en (2) resulta V e = [ 1 x y ] a b c = [ 1 x y ] 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 V e1 V e2 V e3 Se tiene que 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 = 1 2A (x 2y 3 x 3y 2) (x 3y 1 x 1y 3) (x 1y 2 x 2y 1) y 2 y 3 y 3 y 1 y 1 y 2 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1

42 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. donde A = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 A es el área del elemento e. = 1 2 [(x 2 x 1 )(y 3 y 1 ) (x 3 x 1 )(y 2 y 1 )]

43 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Al usar el hecho anterior se tiene que donde V e = 3 α i (x, y)v ei i=1 α 1 = 1 2A [(x 2y 3 x 3 y 2 ) + (y 2 y 3 )x + (x 3 x 2 )y] α 2 = 1 2A [(x 3y 1 x 1 y 3 ) + (y 3 y 1 )x + (x 1 x 3 )y] α 2 = 1 2A [(x 1y 2 x 2 y 1 ) + (y 1 y 2 )x + (x 2 x 1 )y]

44 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Los α i son funciones de interpolación lineal. Se les llama funciones de forma del elemento y poseen las siguientes propiedades. 1 α i (x i, y i ) = 2 3 α(x, y) = 1 i=1 { 1, i = j 0, 1 j

45 Base Método de elemento finito Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo.

46 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. La energía por unidad de longitud asociada con el elemento e está definida por W e = 1 ɛ E 2 ds = 1 ɛ V e 2 ds 2 2 Dado que V e = 3 α i (x, y)v ei i=1 V e = entonces 3 V ei α i (x, y) i=1 α 1 = 1 2A [(y 2 y 3 )ˆx + (x 3 x 2 )ŷ] α 2 = 1 2A [(y 3 y 1 )ˆx + (x 1 x 3 )ŷ] α 2 = 1 2A [(y 1 y 2 )ˆx + (x 2 x 1 )ŷ]

47 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Al reemplazar el valor de V e W e = 1 2 ɛ V e 2 ds = 1 3 ɛ V ei α i (x, y) 2 ds 2 i=1 = 1 ( 3 ) ( 3 ) ɛ V ei α i (x, y) V ei α i (x, y) ds 2 i=1 i=1 = ɛ V ei V ej α i (x, y) α j (x, y) ds 2 = 1 2 ɛ 3 i=1 j=1 i=1 j=1 3 [ V ei ] α i (x, y) α j (x, y)ds V ej

48 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Debido a que los vectores α i para i = 1, 2, 3 son constantes se define al término entre corchetes como Cij e = α i (x, y) α j (x, y)ds = α i (x, y) α j (x, y) ds = A α i α j Usando lo anterior W e = 1 2 ɛ V e1 V e2 V e3 T C (e) 11 C (e) 12 C (e) 13 C (e) 21 C (e) 22 C (e) 23 C (e) 31 C (e) 32 C (e) 33 V e1 V e2 V e3

49 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. La energía por unidad de longitud puede escribirse como W e = 1 2 ɛ[v e] T [C (e) ][V e ] con [V e ] T = [V e1, V e2, V e2 ]. Los valores de la matriz de coeficientes puedan calcularse, se obtiene que C (e) 11 = 1 4A [(y 2 y 3 ) 2 + (x 3 x 2 ) 2 ] C (e) 22 = 1 4A [(y 3 y 1 ) 2 + (x 1 x 3 ) 2 ] C (e) 22 = 1 4A [(y 1 y 2 ) 2 + (x 2 x 1 ) 2 ] C (e) 12 = 1 4A [(y 2 y 3 )(y 3 y 1 ) + (x 3 x 2 )(x 1 x 3 )] C (e) 13 = 1 4A [(y 2 y 3 )(y 1 y 2 ) + (x 3 x 2 )(x 2 x 1 )] C (e) 23 = 1 4A [(y 3 y 1 )(y 1 y 2 ) + (x 1 x 3 )(x 2 x 1 )].

50 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Los cálculos de dichas constantes pueden facilitarse al definir P 1 = y 2 y 3 P 2 = y 3 y 1 P 3 = y 1 y 2 Q 1 = x 3 x 2 Q 2 = x 1 x 3 Q 3 = x 2 x 1. De lo anterior, los elementos de la matriz de coeficientes quedan determinados por C ij = 1 4A [P ip j + Q i Q j ] A = 1 2 [P 2Q 3 P 3 Q 2 ] Nótese que P 1 + P 2 + P 3 = 0 = Q 1 + Q 2 + Q 3 por lo que 3 C ij = 0 = esto implica que: Det([C (e) ]) = 0. 3 i=1 j=1 C ij

51 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Habiendo considerado un elemento, falta reunir todos los elementos en la región de solución. La energía asociada con la reunión de todos los elementos en la malla es W = N i 1 W e = N i ɛ[v i] T [C (i) ][V i ] = 1 2 ɛ[v ]T [C][V ] donde [V ] T = [V 1, V 2, V 2,, V n ], n es el número de nodos, N el número de elementos y [C] es la matriz de coeficientes global o general.

52 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Se busca una solución que minimice la energía W. Es preciso que o Esto conduce a que W = W = = W = 0 V 1 V 2 V n W V k = 0 para k = 0, 1,..., n n V i C ik = 0 i=1

53 Considérese Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. [V ] T = [V f, V p ] Donde V f son los nodos con potencial libre (desconocidos) y V p los nodos con potencial fijo (conocidos). W = 1 2 ɛ[v ]T [C][V ] = 1 [ ] [ ] 2 ɛ[v Cff C f, V p ] fp Vf C pf C pp V p De la condición o por lo que n V i C ik = 0 i=1 se tiene que C ff V f + C fp V p = 0 [C ff ][V f ] = [C fp ][V p ] [V f ] = [C ff ] 1 [C fp ][V p ]

54 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Resolver la ecuación de laplace 2 V = 0, 0 x 1, 0 y 1 Con V (x, 1) = 45x(1 x), La región se muestra en la figura V (x, 0) = 0 = V (0, y) = V (1, y).

55 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Los elementos, los nodos locales y globales se muestran en la siguiente imagen Nótese que las incógnitas con V 6, V 7, V 10, V 11.

56 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Las coordenadas de los nodos son nodo coord x y nodo coord x y

57 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Luego de un poco de trabajo se obtiene la matriz de coeficientes global

58 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Para nuestro ejercicio V 1 = V 2 = V 3 = V 4 = V 5 = V 8 = V 9 = V 12 = V 13 = V 16 = 0

59 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. Al eliminar los potenciales que son cero V 6 V 7 V 10 V 11 V 14 V 15 T De la condición del mínimo de energía (funcional) V 6 V 7 V 10 V 11 V 14 V 15 V 6 V 7 V 10 V 11 = [V f ] = [C ff ] 1 [C fp ][V p ] [ V14 V 15 ]

60 Discretizacion con elementos finitos Ecuaciones que rigen a los elementos Reunión de todos los elementos Resolución de las ecuaciones resultantes Método de la matriz en banda Ejemplo. V 6 V 7 V 10 V 11 = [ ] =

61 Sea el problema de contorno 2 V = f(x, y), (x, y) Ω = (0, 1) (0, 1) U = g(x, y), (x, y) Ω Nótese que para que u sea solución debe existir su segunda derivada. Sea φ (llamada función test) una función suficientemente regular que verifique φ(x, y) = 0 en Ω

62 Si a la ecuación diferencial 2 V = f(x, y) la multiplicamos por Φ se obtiene 2 V Φ = f(x, y)φ Si se integra en Ω Ω 2 V ΦdS = fφds Ω

63 Al usar la identidad de green (teorema de divergencia, fórmula de integración por partes) V ΦdS + Φ( g) ndl = fφds Ω Ω Ω Debido a la condición de Φ V ΦdS = Ω Ω fφds

64 lehyaric/ffcs/