Francisco Cabo García Bonifacio Llamazares Rodríguez

Transcripción

1 ÁLGEBRA LINEAL CON DERIVE 5 Francisco Cabo García Bonifacio Llamazares Rodríguez María Teresa Peña García Dpto. de Economía Aplicada (Matemáticas) Universidad de Valladolid Página 1 de 34

2 Ventana de Álgebra Línea de Edición Página 2 de 34

3 Operadores Fundamentales (acento) / (3 2 ) = 36 (4 3) 2 = 144 Página 3 de 34

4 Operadores Fundamentales (acento) / (3 2 ) = 36 (4 3) 2 = 144 Teclado Ratón Definición sqrt(a) Ctrl+q a a a a! a! inf #e Ctrl+e ê ln(e) = 1 #i Ctrl+i î 1 pi Ctrl+p π π = #eˆa exp(a) Crtl+eˆa ln(a) log(a) ln(a) e a Página 3 de 34

5 Espacios Vectoriales. Matrices y Determinantes. Definición de vectores y matrices Operaciones con matrices Definir un vector a partir de una función Resolución de ecuaciones Dependencia e independencia lineales Base de un espacio vectorial Coordenadas de un vector en una base Teorema de Rouché-Frobenius Página 4 de 34

6 Definición de vectores y matrices Definir un vector Editar (Autor) Vector o el botón x := [x 1,..., x n ] Página 5 de 34

7 Definición de vectores y matrices Definir un vector Editar (Autor) Vector o el botón x := [x 1,..., x n ] Definir una matriz Editar (Autor) Matriz o el botón A := [a 11,..., a 1n ; a 21,..., a 2n ;... ; a m1,..., a mn ] A := [[a 1,..., a n ]]. Genera matrices con una única fila Página 5 de 34

8 Operaciones con matrices Suma matricial A + B Producto matricial A B AB Se recuerda que la división matricial no existe. Al escribir A/B, DERIVE calcula A B 1 Potencia n-ésima de una matriz Aˆn Página 6 de 34

9 Inversa de una matriz Sea A M n n (R). Se dice que A es inversible o regular si existe B M n n (R) de forma que AB = BA = I n. En este caso, B se llama matriz inversa de A y se denota por A 1 Aˆ 1 Determinante de una matriz El determinante es una aplicación det : M n n R A det A DET(A) Página 7 de 34 A es inversible si y sólo si det(a) 0

10 Traspuesta de una matriz A (acento grave) Traza de una matriz TRACE(A) Rango de una matriz Sea A M m n, se denomina rango de A por filas (columnas) al número máximo de vectores fila (columna) linealmente independientes El rango de A es el orden del mayor menor no nulo de A RANK(A) Matriz identidad de orden n IDENTITY MATRIX(n) Página 8 de 34

11 Definir un vector a partir de una función Crear un vector cuyos componentes son el resultado de evaluar una función de una variable que sigue una progresión aritmética: Cálculo Vector. Antes de usar esta opción, la función debe estar seleccionada en la Ventana de Álgebra VECTOR(f, k, m, n, s). En este comando f es la función, k la variables, m el valor inicial, n el valor final y s la razón de la progresión aritmética; es decir, k toma los valores: m, m + s, m + 2s,... n. Si m y/o s no aparecen, su valor por defecto es 1 Ejemplo: [1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100] VECTOR(kˆ2, k, 1, 10, 1) [16, 25, 36, 49, 64, 81, 100] VECTOR(kˆ2, k, 4, 10, 1) [16, 36, 64, 100] VECTOR(kˆ2, k, 4, 10, 2) Página 9 de 34

12 Una ecuación algebraica Resolución de ecuaciones Representación gráfica Raíces de forma aproximada Sea f una función, al menos de x. La ecuación f = 0 puede resolverse respecto de esta variable de las siguientes formas: Escribir la ecuación y Resolver Expresión o Algebraico Mediante fórmulas Cualquiera Todas las raíces de forma numérica Numérico Una raíz en un intervalo determinado Dominio Real Complejo Página 10 de 34

13 Resolución de ecuaciones Una ecuación algebraica Representación gráfica Raíces de forma aproximada Sea f una función, al menos de x. La ecuación f = 0 puede resolverse respecto de esta variable de las siguientes formas: Escribir la ecuación y Resolver Expresión o Algebraico Mediante fórmulas Cualquiera Todas las raíces de forma numérica Numérico Una raíz en un intervalo determinado Dominio Real Complejo SOLVE(f, x). Equivalente al método Algebraico y el dominio Complejo APPROX(SOLVE(f, x)). Equivalente al método Cualquiera y el dominio Complejo Página 10 de 34

14 Sistema de Ecuaciones: Sistema de Ecuaciones Lineales a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Sistema de Ecuaciones no Lineales g 1 (x 1, x 2,..., x n ) = b 1 g 2 (x 1, x 2,..., x n ) = b g m (x 1, x 2,..., x n ) = b m Página 11 de 34 Elegir tantas variables a despejar como ecuaciones tenga el sistema

15 Sistema de Ecuaciones Lineales Escribir el sistema de ecuaciones como: [a 11 x a 1n x n = b 1,..., a m1 x a mn x n = b m ] o a 11 x a 1n x n = b 1 and... and a m1 x a mn x n = b m o a 11 x a 1n x n = b 1... a m1 x a mn x n = b m hacer clic en el botón, seleccionar las m variables a despejar y el método Algebraico SOLVE(sistema, [x i1,..., x im ]). El 1 er argumento recoge el sistema de ecuaciones y el 2 o las m variables a despejar Página 12 de 34

16 Sistema de Ecuaciones Lineales Escribir el sistema de ecuaciones como: [a 11 x a 1n x n = b 1,..., a m1 x a mn x n = b m ] o a 11 x a 1n x n = b 1 and... and a m1 x a mn x n = b m o a 11 x a 1n x n = b 1... a m1 x a mn x n = b m hacer clic en el botón, seleccionar las m variables a despejar y el método Algebraico SOLVE(sistema, [x i1,..., x im ]). El 1 er argumento recoge el sistema de ecuaciones y el 2 o las m variables a despejar Las m ecuaciones no son independientes Sistema equivalente de menos ecuaciones. Todas independientes. Página 12 de 34

17 Sistema de Ecuaciones no Lineales Escribir el sistema de ecuaciones como: [g 1 (x 1,..., x n ) = b 1,..., g m (x 1,..., x n ) = b m ] o g 1 (x 1,..., x n ) = b 1 and... and g m (x 1,..., x n ) = b m o g 1 (x 1,..., x n ) = b 1 g m (x 1,..., x n ) = b m hacer clic en el botón, seleccionar las m variables a despejar y el método Cualquiera APPROX(SOLVE(sistema, [x i1,..., x im ])). El 1 er argumento recoge el sistema de ecuaciones y el 2 o las m variables a despejar Página 13 de 34

18 Dependencia e independencia lineales Dependencia lineal Sean U un espacio vectorial sobre R y u 1,..., u n U. Los vectores u 1,..., u n son linealmente dependientes si y sólo si existen escalares λ 1,..., λ n R no todos nulos, tales que λ 1 u λ n u n = 0 U Independencia lineal Sean U un espacio vectorial sobre R y u 1,..., u n U. Los vectores u 1,..., u n son linealmente independientes si y sólo si λ 1,..., λ n R λ 1 u 1 + +λ n u n = 0 U λ 1 = λ n = 0 Página 14 de 34

19 Base de un espacio vectorial Definición de base Sean U un espacio vectorial y u 1,..., u n U. {u 1,..., u n } es una base del espacio vectorial U si y sólo si: 1. Es un sistema libre 2. Es un sistema generador Página 15 de 34

20 Base de un espacio vectorial Definición de base Sean U un espacio vectorial y u 1,..., u n U. {u 1,..., u n } es una base del espacio vectorial U si y sólo si: 1. Es un sistema libre 2. Es un sistema generador Propiedades Si U es un espacio vectorial finitamente generado de dimensión n, entonces: 1. u 1,..., u n U l.i. {u 1,..., u n } base de U 2. {u 1,..., u n } SG de U {u 1,..., u n } base de U Página 15 de 34

21 Coordenadas de un vector en una base Sea U un espacio vectorial sobre R. Si B = {u 1,..., u n } es una base del espacio vectorial U, entonces cualquier vector de U se expresa, de forma única, como combinación lineal de los vectores de la base, es decir, n v U λ 1,..., λ n R únicos, tales que v = λ i u i v B = (λ 1,..., λ n ) es el vector de las componentes o coordenadas de v en la base U i=1 Página 16 de 34

22 Teorema de Rouché-Frobenius El sistema de ecuaciones lineales: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m puede escribirse de forma matricial como a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = a m1 a m2 a mn x 1 x 2 x n b 1 b 2 b m, o bien, Ax = b Se define la matriz ampliada o completa del sistema como la matriz que se obtiene de añadir a la matriz A la matriz columna b: Página 17 de 34

23 ( A b ) = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b m Página 18 de 34

24 ( A b ) = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b m Teorema de Rouché-Frobenius Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es: 1. Compatible si y sólo si rg(a) = rg ( A b ). Además, (a) Si rg(a) = n, entonces el sistema es determinado (b) Si rg(a) < n, entonces el sistema es indeterminado 2. Incompatible si y sólo si rg(a) < rg ( A b ) Página 18 de 34

25 Aplicaciones Lineales Matrices asociadas a una aplicación lineal Sean U, V espacios vectoriales sobre R, B = {u 1,..., u n } y B = {v 1,..., v m } bases de U y V, respectivamente, y f L (U, V). La matriz asociada a f en las bases B y B se denota por M (f, B, B ) y se obtiene como: M (f, B, B ) = (f(u 1 ) B f(u n ) B ) M m n (R) f(x) B = M (f, B, B ) x B. La aplicación L (U, V) Φ M m n (R) f M (f, B, B ) es un isomormismo Página 19 de 34

26 Aplicaciones Lineales Matrices asociadas a una aplicación lineal Sean U, V espacios vectoriales sobre R, B = {u 1,..., u n } y B = {v 1,..., v m } bases de U y V, respectivamente, y f L (U, V). La matriz asociada a f en las bases B y B se denota por M (f, B, B ) y se obtiene como: M (f, B, B ) = (f(u 1 ) B f(u n ) B ) M m n (R) f(x) B = M (f, B, B ) x B. La aplicación L (U, V) Φ M m n (R) f M (f, B, B ) creadas con DERIVE es un isomormismo Página 19 de 34

27 Sean U, V espacios vectoriales sobre R y B, B bases de U y V respectivamente. Si f : U V es una aplicación lineal, entonces: Se denomina imagen de f al conjunto: Imf = f (U) = {v V u U v = f(u)} Se denomina núcleo de f al conjunto: Kerf = f 1 (0 V ) = {u U f(u) = 0 V } dim U = dimkerf + dimimf. rgf = dim Imf = rgm (f, B, B ) Si dim U = n y dim V = m, entonces 1. f inyectiva rgf = n 2. f suprayectiva rgf = m 3. f isomorfismo rgf = n = m Página 20 de 34

28 Endomorfismos y matrices diagonalizables Sean U un espacio vectorial sobre R y f End (U). f es diagonalizable si y sólo si existe una base B = {u 1,..., u n } de U tal que M (f, B, B) es diagonal Sea A M n n (R). A es diagonalizable P, D M n n (R), P inversible y D diagonal tal que A = P DP 1 λ λ (f(u 1 ) B f(u n ) B ) = = D 0 λ n Página 21 de 34 f(u 1 ) B = (λ 1,..., 0) f(u n ) B = (0,..., λ n ) i 1,..., n f(u i ) = λ i u i

29 Sean U un espacio vectorial sobre R y f End (U) 1. u U, u 0 U es un vector propio o autovector de f si y sólo si existe λ R tal que f(u) = λu 2. λ R es un valor propio o autovalor de f si y sólo si existe u U, u 0 U tal que f(u) = λu Página 22 de 34

30 Sean U un espacio vectorial sobre R y f End (U) 1. u U, u 0 U es un vector propio o autovector de f si y sólo si existe λ R tal que f(u) = λu 2. λ R es un valor propio o autovalor de f si y sólo si existe u U, u 0 U tal que f(u) = λu f es diagonalizable existe alguna base de U formada por vectores propios de f Toda base B en la que M (f, B, B) sea diagonal está formada por vectores propios de f, y los valores propios son los elementos de la diagonal principal Página 22 de 34

31 U B > U B (id U, B, C R n) D P P 1 M (id U, C R n, B) A U CR n > U CR n M (f, C R n, C R n) P = M (id U, B, C R n) = ( (u 1 ) CR n (u 2) CR n (u n) CR n ) M (f, B, B) = M (id U, C R n, B) M (f, C R n, C R n) M (id U, B, C R n) D = P 1 A P Página 23 de 34

32 de matrices Polinomio característico de A CHARPOLY(A). Devuelve el polinomio característico de A en potencias de w Página 24 de 34

33 de matrices Polinomio característico de A CHARPOLY(A). Devuelve el polinomio característico de A en potencias de w Autovalores de A EIGENVALUES(A). Devuelve un vector con los diferentes autovalores de la matriz A pero sin especificar su multiplicidad. Para conocer la multiplicidad de cada autovalor, se calcula el polinomio característico y se factoriza mediante la opción Simplificar Factorizar. Para matrices de orden superior a 4, generalmente DERIVE no puede encontrar los autovalores en forma algebraica (valor exacto); en tal caso, se pueden obtener los autovalores de forma numérica (valor aproximado) utilizando el botón Página 24 de 34

34 Autovectores de A EXACT EIGENVECTOR(A, w). Este comando devuelve el subespacio propio asociado al autovalor w, expresándolo como un vector donde las diferentes variables vienen Debe utilizarse cuando el autovalor w se ha obtenido de forma algebraica (valor exacto). Para un autovalor obtenido de forma numérica (valor aproximado) devuelve el vector nulo APPROX EIGENVECTOR(A, w). Cuando un autovalor no se puede calcular de forma algebraica y se obtiene un valor aproximado, w, de forma numérica, es posible obtener una aproximación a uno de sus autovectores utilizando este comando. Si dicho comando se emplea con un autovalor que se puede obtener de forma algebraica (valor exacto), el resultado no tiene por qué ser un autovector Página 25 de 34

35 Formas Cuadráticas Clasificación de las Formas Cuadráticas Criterio de los valores propios Criterio de los menores principales Formas Cuadráticas restringidas Página 26 de 34

36 Clasificación de las Formas Cuadráticas Sea Q : R n R una forma cuadrática 1. Q es definida positiva (D + ) si y sólo si x R n x 0 Q (x) > 0 2. Q es definida negativa (D ) si y sólo si x R n x 0 Q (x) < 0 3. Q es semidefinida positiva (SD + ) si y sólo si x R n Q (x) 0 y x 0 R n, tal que Q (x 0 ) = 0 4. Q es semidefinida negativa (SD ) si y sólo si x R n Q (x) 0 y x 0 R n, tal que Q (x 0 ) = 0 5. Q es indefinida (I) si y sólo si x 1, x 2 R n Q (x 1 ) > 0 Q (x 2 ) < 0 Página 27 de 34

37 Criterio de los valores propios Si Q : R n R una forma cuadrática y λ 1, λ 2,..., λ n son los valores propios de M (Q, C R n), entonces: 1. Q es D + i {1,..., n} λ i > 0 2. Q es D i {1,..., n} λ i < 0 3. Q es SD + i {1,..., n} λ i 0 y j {1,..., n}, λ j = 0 4. Q es SD i {1,..., n} λ i 0 y j {1,..., n}, λ j = 0 5. Q es I i, j {1,..., n}, λ i > 0, λ j < 0 Página 28 de 34

38 Criterio de los valores propios Si Q : R n R una forma cuadrática y λ 1, λ 2,..., λ n son los valores propios de M (Q, C R n), entonces: 1. Q es D + i {1,..., n} λ i > 0 2. Q es D i {1,..., n} λ i < 0 3. Q es SD + i {1,..., n} λ i 0 y j {1,..., n}, λ j = 0 4. Q es SD i {1,..., n} λ i 0 y j {1,..., n}, λ j = 0 5. Q es I i, j {1,..., n}, λ i > 0, λ j < 0 La aplicación de este criterio con DERIVE requiere: Utilidad creada con DERIVE Página 28 de 34

39 Criterio de los valores propios Si Q : R n R una forma cuadrática y λ 1, λ 2,..., λ n son los valores propios de M (Q, C R n), entonces: 1. Q es D + i {1,..., n} λ i > 0 2. Q es D i {1,..., n} λ i < 0 3. Q es SD + i {1,..., n} λ i 0 y j {1,..., n}, λ j = 0 4. Q es SD i {1,..., n} λ i 0 y j {1,..., n}, λ j = 0 5. Q es I i, j {1,..., n}, λ i > 0, λ j < 0 La aplicación de este criterio con DERIVE requiere: Utilidad creada con DERIVE EIGENVALUES(A). Devuelve un vector con los diferentes autovalores de la matriz A Página 28 de 34

40 Criterio de los menores principales Si Q : R n R una forma cuadrática y 1, 2,..., n los menores principales de A = M (Q, C R n) 1. Q es D + 1 > 0, 2 > 0,..., n > 0 2. Q es D 1 < 0, 2 > 0,..., ( 1) n n > 0 3. Si n = deta 0 y no se cumple ninguna de las condiciones anteriores, entonces Q es I 4. Si n = deta = 0 y rga = p, reordenando, si es necesario, hasta conseguir que el menor principal de orden p sea distinto de cero, con 1,..., p los menores principales de la nueva matriz, entonces: 4.1. Q es SD + 1 > 0, 2 > 0,..., p > Q es SD 1 < 0, 2 > 0,..., ( 1) p p > En cualquier otro caso, Q es I Página 29 de 34

41 Criterio de los menores principales Si Q : R n R una forma cuadrática y 1, 2,..., n los menores principales de A = M (Q, C R n) 1. Q es D + 1 > 0, 2 > 0,..., n > 0 2. Q es D 1 < 0, 2 > 0,..., ( 1) n n > 0 3. Si n = deta 0 y no se cumple ninguna de las condiciones anteriores, entonces Q es I 4. Si n = deta = 0 y rga = p, reordenando, si es necesario, hasta conseguir que el menor principal de orden p sea distinto de cero, con 1,..., p los menores principales de la nueva matriz, entonces: 4.1. Q es SD + 1 > 0, 2 > 0,..., p > Q es SD 1 < 0, 2 > 0,..., ( 1) p p > En cualquier otro caso, Q es I Utilidad creada con DERIVE Página 29 de 34

42 Formas Cuadráticas restringidas Sean Q : R n R una forma cuadrática, A = M (Q, C R n) y el subespacio vectorial de R n V = { x R n Bx = 0 }, con B M m n (R) y rg(b)= m Al sustituir el sistema Bx = 0, se obtienen m variables en función de las n m restantes. Sustituyendo en Q(x), se transforma la forma cuadrática restringida Q V en una forma cuadrática sin restricciones con menor número de variables (n m) Página 30 de 34

43 creadas con DERIVE Cargar el fichero ALGEBRA.MTH, copiado con anterioridad en C:\DfW5\Users, mediante la opción Archivo Leer MAT CAN(f, [x 1,..., x n ]). Devuelve la matriz asociada a la aplicación lineal f respecto de las bases canónicas, siendo [x 1,..., x n ] el vector de variables MAT AS(f, [x 1,..., x n ], B, C). Devuelve la matriz asociada a la aplicación lineal f respecto de dos bases, siendo [x 1,..., x n ] el vector de variables, B la matriz cuyas filas son los vectores de la base del espacio de partida y C la matriz cuyas filas son los vectores de la base del espacio de llegada B = u 1 u 2 u n C = v 1 v 2 v m Página 31 de 34

44 APL CAN(A, [x 1,..., x n ]). Devuelve la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto de las bases canónicas es A, siendo [x 1,..., x n ] el vector de variables de dicha aplicación APL AS(A, [x 1,..., x n ], B, C). Devuelve la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto de dos bases es A, siendo [x 1,..., x n ] el vector de variables de dicha aplicación, B la matriz cuyas filas son los vectores de la base del espacio de partida y C la matriz cuyas filas son los vectores de la base del espacio de llegada Página 32 de 34

45 MAT SIM(Q, [x 1,..., x n ]). Devuelve la matriz simétrica asociada a la forma cuadrática Q, siendo [x 1,..., x n ] el vector de variables Página 33 de 34

46 MAT SIM(Q, [x 1,..., x n ]). Devuelve la matriz simétrica asociada a la forma cuadrática Q, siendo [x 1,..., x n ] el vector de variables MENORES PRINCIPALES(A). Devuelve un vector cuyos elementos son los menores principales de la matriz A MENORES PRINCIP REST(A, B). Devuelve un vector cuyos elementos son los n m últimos menores principales de la matriz orlada, siendo A M n n la matriz de la forma cuadrática y B M m n la matriz de restricciones Página 34 de 34