ALGEBRA. 3.- Obtener las matrices A y B tales que cumplen las siguientes condiciones: (Sep ptos) A 1 = a

Transcripción

1 ALGEBRA Mtrices determinntes.- Se A un mtri cudrd se A l mtri que se obtiene de intercmbir en A ls fils primer segund. Es sbido que entonces se verific que det(a ) = - det(a). Justifíquese este resultdo. (Jun 996 ptos).- ) Hllr rondmente los vlores del prámetro p pr los que l mtri A tiene invers. p A = p b) Hllr l invers pr p =. (Jun 996 ptos) p.- Obtener ls mtrices A B tles que cumplen ls siguientes condiciones: 8 A + B = 5 A B = 6 (Sep 996 ptos).- Hllr el vlor del determinnte de orden cuo elemento del lugr i, j (fil i =,,, ; column j =,, ) vle (i+j) i+j. (Sep 9996 ptos) 5.- Obtener el determinnte de A en función de A, siendo: b b c c b c A = b b c c A = b c " b" b" c" c" " " b" c" (Jun 997 ptos) 6.- Sen A M ls mtrices siguientes: A = entre, b, c d pr que se cumpl AM = MA. b M =. Determinr ls relciones c d (Jun 997 ptos) 7.- Se considern ls mtrices : A =, B = rel. ) Encontrr ls vlores de pr los que AB es invertible. ( pto) b) Determinr los vlores de pr los que BA es invertible. ( pto) c) Ddos b números reles culesquier, puede ser el sistem A determindo?. ( pto) (Jun. 999, ptos) 8.- Hllr en función de el vlor del siguiente determinnte:, donde es culquier número b comptible R - MATCNSII

2 (Sep. 999, ptos) 9.- Pr un mtri cudrd se define su tr como l sum de los elementos de l digonl principl. En lo que sigue A B son mtrices cudrds. ) Comprobr que se verific Tr (A + B) = Tr (A) + Tr (B) (,5 ptos) b) Comprobr que Tr(AB) = Tr(BA) ( pto) c) Utilindo los resultdos nteriores, demostrr que es imposible tener AB BA = I, donde I denot l mtri identidd. ( pto) (Jun ptos) d) Encontrr dos mtrices A B pr ls que Tr(AB) Tr(A).Tr(B). (,5 ptos).- Se k un número nturl sen ls mtrices: A =, B, C ) Clculr A k. ( pto) b) Hllr l mtri X que verific l ecución A k X = BC. ( pto) (Jun., ptos) -.- Comprobr que ls siguientes mtrices tienen el mismo determinnte A = B b b b b ptos.- Se l mtri = ) Clculr A -. ( pto) b) Resolver el sistem: A. 5 ( pto).- Dd l mtri A = ) Comprobr que verific l iguldd A + I =. ( punto) b) Justificr que A tiene invers obtenerl. ( punto) c) Clculr A. ( punto) (Sep ) 5.- Se A un mtri cudrd que verific A + A = I, donde I es l mtri identidd. ) Demostrr que A es no singulr (deta ) epresr A - en función de A e I. ( pto) b) Clculr dos números p q tles que A = pi + qa. ( pto) c) Si A = cumple l relción de prtid, clculr el vlor de k. ( pto) k R - MATCNSII

3 5.- Sen ls mtrices A =, B = ) Clculr A -. ( pto) b) Resolver l ecución mtricil AX = BA. ( pto) 6.- Clculr el rngo de l mtri A según los vlores del prámetro rel : A = 5 (Junio ) 7.- Se A un mtri rel cudrd de orden n que verific l iguldd A = I, siendo I l mtri identidd de orden n. Se pide: ) ( pto) Epresr A - en términos de A. b) ( pto) Epresr A n en términos de A e I, pr culquier número nturl n. c) ( pto) Clculr pr que A = I, siendo A = (Sep ) 8.- Se M un mtri rel cudrd de orden n que verific l identidd M M = I, donde I denot l mtri identidd de orden n. Se pide: ) ( pto) Estudir si eiste l mtri invers de M. En cso firmtivo, epresr M - en términos de M e I. b) ( pto) Epresr M como combinción linel de M e I. b c) ( pto) Hllr tods ls mtrices de l form M = que verificn l identidd del b enuncido. (Muestr ) 9.- (Puntución máim ptos). Hll tods ls mtrices X tles que XA = AX, siendo A l mtri: A = (Muestr ).- ) ( punto) Sen A B dos mtrices invertibles que verificn l identidd A + B = AB. Comprobr que entonces se tiene l fórmul (I B) - = - B - A. b) ( punto) Dd l mtri A =, hllr l mtri B pr l cul se verific A + B = AB. (Septiembre ).- Dds ls mtrices A = B = 5 ) ( pto) Hllr A - b) ( pto) Hllr l mtri X, tl que: AXA t = B (junio ), se pide: R - MATCNSII

4 .- Dds ls mtrices A =, B = ) ( pto) Determinr l mtri invers de B b) ( pto) Determinr l mtri X tl que A = B.X (Sept ).- ) ( pto) Si A es un mtri tl que A = b) ( pto) Clculr un número k tl que.- Se l mtri A = ) ( pto) Comprobr que A A = b) ( pto) Hllr A n. (Mod 5) ( ptos) Colegio Interncionl Pinosierr, cuál es el vlor del determinnte de A? k. (Sept. ) 5.- Encontrr tods ls mtrices P tles que: P P = (Mod 5) ( ptos) 6.- Dd l mtri: M = (Mod 5, 6) ( ptos) ) (,5 ptos) Determinr el rngo de M según los diferentes vlores de b) (,5 ptos) Determinr pr qué vlores de eiste M -. Clculrl pr =. 7.- Hllr un mtri X tl que A - XA = B siendo A = (Jun 5) ( ptos), B = 8.- Dds l mtrices A = e I = (Sep 5) ) Hllr dos constntes α β tles que A = α A + βi ( pto) b) Clculr A 5 utilindo ls epresiones obtenids en el prtdo nterior ( pto) c)hllr tods ls mtrices X que stisfcen: (A X)(A + X) = A X ( pto) 9.- Dds ls mtrices A = k t k B = ) Hllr A. (pto) b) L mtri invers de B. (pto) c) En el cso prticulr de k =, hllr B. ( pto) k t k (Sep 5) R - MATCNSII

5 .- Dds l mtrices: A = ; I = ) ( pto) Hllr (A I). b) ( ptos) Clculr A A - hciendo uso del prtdo nterior. Colegio Interncionl Pinosierr, se pide: (Modelo 6).- Dd l mtri A = (Jun 6, ptos) encontrr tods ls mtrices P tles que AP = PA.- Dd l mtri: M = (Jun 6) ( ptos) ) (,5 ptos) Determinr el rngo de M según los diferentes vlores de b) (,5 ptos) Determinr pr qué vlores de eiste M -. Clculrl pr =..- Dds ls mtrices A =, I = (sep 6, ptos) 8 ) ( pto) Comprobr que det(a ) = (det(a)) que det(a + I) = det(a) + det(i) b) (,5 ptos) Se M un mtri cudrd de orden. Se puede segurr que se cumple det(m ) = (det(m))?. Ronr l respuest c) (,5 ptos) Encontrr tods ls mtrices cudrds M de orden, tles que det(m + I) = det(m) + det(i).- ) ( pto) Hllr tods ls mtrices A =, distints de l mtri nul de orden, tles que b A = A. b) ( pto) Pr culesquier de ls mtrices clculds en el prtdo nterior clculr M = A + A + A +..+ A. (sep 6, ptos) 5.- Estudir el rngo de l mtri A = (Junio 7, ptos) m m m m m( m ) m m según los vlores del prámetro M. 6.- Sen ls mtrices A = (Junio 7, ptos), B = Hllr un mtri X tl que XAX - = B. 7.- Dds ls mtrices A = 5 5, B = c b c, se pide: ) (,5 ptos) Encontrr ls condiciones que deben cumplir, b c pr que se verifique AB = BA. b) (,5 ptos) Pr = b = c =, clculr B. (Junio 7, ptos) R - MATCNSII 5

6 8.- Clculr un mtri cudrd X sbiendo que verific XA + BA = A, siendo A = B = (sep 7, ptos) Sen ls mtrices: A = B = (modelo 8, ptos) 8 ) ( pto) Hllr un mtri X tl que AXA - = B b) ( pto) Clculr A. c) ( pto) Hllr tods ls mtrices M que stisfcen (A M)(A + M) = A M.- Dd l siguiente mtri de orden n:... A 9... (Jun 8, ptos) n Se pide: ) (,5 ptos) Clculr el determinnte de l mtri A. b) (,5 ptos) Clculr el determinnte de l mtri A. c) ( ptos) Clculr el determinnte de l mtri A 5..- Dd l mtri A =.., se pide: (Sep 8, ptos) ) (,5 ptos) Determinr el rngo de A según los vlores del prámetro. b) (,5 ptos) Decir cundo l mtri A es invertible. Clculr l invers pr =. Colegio Interncionl Pinosierr (.- Resolver l ecución: ( ) ) ( ) (Modelo 9, ptos).- Si A = (C, C, C ) es un mtri cudrd de orden con columns C, C, C, se sbe que Det(A) =, se pide: ) ( pto) Clculr Det(A ) Det(A) b) ( ptos) Clculr Det(B) Det(B - ), siendo B = (C, C - C, 5C ) l mtri cus columns son C, C - C, 5C (Modelo 9, ptos).- Dd l mtri A =, se pide: (Junio 9, ptos) ) ( pto) Estudir el rngo de l mtri A según los vlores del prámetro. b) ( pto) Obtener l mtri invers de A pr = -. R - MATCNSII 6

7 5.- Dd l mtri A = m m m, se pide: (Sep. 9, ptos) ) (,5 ptos) Determinr los vlores del prámetro m pr los cules l mtri A es invertible. b) (,5 ptos) Determinr los vlores de m pr los cules A 5 es invertible. c) (,5 ptos) Obtener l mtri invers de A pr m = -, si es posible. 6.- Dds ls mtrices: A =, B = verifique l ecución mtricil AXB = A + B.. Obtener un mtri X de orden que (Sep. 9, ptos) 7.- Obtener, pr todo número nturl n el vlor de: n n (Modelo ) R - MATCNSII 7

8 Sistems de ecuciones lineles.- Considérese el siguiente sistem de ecuciones lineles ( en él, b c son dtos; ls incógnits b c son, ): c b c b (Jun 996 ptos) Si, b c son no nulos, el sistem tiene solución únic. Hllr dich solución..- Se consider el siguiente sistem de ecuciones lineles: ) Encontrr los vlores de pr los que el rngo de l mtri de los coeficientes es igul. (,5 ptos) b) Resolver el sistem nterior pr =. (,5 ptos) (Jun.998, ptos).- Un lmcenist dispone de tres tipos de cfé: el A 98 pts/kg; el B 875 pts/kg; el C 95 pts/kg. Dese hcer un mecl con los tres tipos de cfé pr suministrr un pedido de 5 kg un precio de 9 pts/kg. Cuántos kg de cd tipo de cfé debe meclrse sbiendo que debe ponerse del tercer tipo el doble de lo que pong del primero del segundo juntos?. (Jun. 998, ptos).- ) Discutir el sistem de ecuciones 6 6 ptos) b) Resolverlo pr =. ( pto) (Jun. 999, ptos) t t según los vlores del prámetro. ( 5.- Un cjero utomático contiene 95 billetes de, 5 pts un totl de pts. Si el número de billetes de es el doble que el número de billetes de, verigur cuntos billetes h de cd tipo. (Sep 999, ptos) 6.- )Estudir según los diferentes vlores del prámetro el siguiente sistem de ecuciones ( ). (,5 ptos) b) Resolver el sistem en los csos en los que resulte ser comptible determindo. (,5 ptos) (Sep. 999, ptos) 7.- Se consider el sistem de ecuciones: ) ( ( ) ( ) ) Comprobr que es comptible pr todo vlor de. ( pto) b) Describir en términos geométricos el conjunto de soluciones pr = pr = -. (pto) c) Resolverlo pr = -. ( pto) (Jun ptos) ( ( )( ) ) R - MATCNSII 8

9 8.- Considerr el sistem de ecuciones: ( ) ( ) donde ) Discutirlo según los vlores del prámetro. ( pto) b) Resolverlo pr =. ( pto) c) Resolverlo pr =. ( pto) (Sep., ptos) 9.- )Discutir en función de los vlores de k resolver el sistem b)discutir en función de los vlores de 5.- Ddo el siguiente sistem de ecuciones Colegio Interncionl Pinosierr es un número rel. k 5 ( ptos) resolver en los csos de comptibilidd el sistem ( pto) (Sep., ptos) ) Discutirlo según los vlores del prámetro. ( pto) b) Resolverlo cundo tengn infinits soluciones. ( pto) (Jun., ptos).- Se consider el sistem de ecuciones: ) Discutirlo pr los diferentes vlores del prámetro rel. ( pto) b) Resolverlo pr = -. ( pto) c) Resolverlo pr =. ( pto) (Jun., ptos) 5.- )Discutir en función de los vlores de k resolver cundo teng más de un solución el sistem: b) Si el rngo de l mtri A = 6 k (,5 ptos) 5 6. k 9 es, determinr un combinción linel nul de los vectores F, F F ; sí como un combinción linel nul de los vectores column C, C, C, C. (,5 ptos).- Se el siguiente sistem de ecuciones lineles: R - MATCNSII 9

10 ) Discutir el sistem según los vlores del prámetro. ( pto) b) Resolver el sistem pr =. ( pto) c) Resolver el sistem pr =. ( pto) (Sep ).- Se l mtri A =. Pr cd número rel definimos l mtri B = A - I, donde I es l mtri identidd. ) Hllr los vlores de que hcen que el determinnte de B se nulo. (,5 ptos) b) Resolver el sistem B pr los diferentes vlores de. (,5 ptos) 5.- Clculr ls eddes ctules de un mdre sus dos hijos sbiendo que hce ños l edd de l mdre er 5 veces l sum de ls eddes de los hijos en quel momento, que dentro de ños l edd de l mdre será l sum de ls eddes que los hijos tendrán en ese momento que cundo el hijo mor teng l edd ctul de l mdre, el hijo menor tendrá ños. ( ptos) (Junio ) 6.- Se consider el siguiente sistem linel de ecuciones:, se pide: ) (,5 ptos) Discutir el sistem según los diferentes vlores del prámetro b) (,5 ptos) Resolver el sistem pr = - (Junio ) c) ( pto) Resolver el sistem pr = 7.- Se consider el sistem linel ) (,5 ptos) Discutir el sistem según los diferentes vlores del prámetro. b) ( pto) Resolver el sistem en los csos en que se posible. c) (,5 ptos) En el cso =, indicr l posición reltiv de los tres plnos cus ecuciones formn el sistem. (Sep ) 8.- Pr cd vlor del prámetro rel k, se consider el sistem linel de ecuciones: k, se pide: 5 k ) ( pto) Discutir el sistem según los vlores de k. b) ( pto) Resolver el sistem en los csos en que se comptible. (Modelo ) 9.- Se consider el sistem: m 9 5 ) (,5 ptos) Determinr los vlores de m pr que el sistem teng solución únic b) (,5 ptos) Resolverlo pr m =. /Sep ) R - MATCNSII

11 .- Un morist de turismo vende l genci de vijes A, billetes destinos ncionles, destinos etrnjeros europeos comunitrios, destinos interncionles no comunitrios, cobrndo por todo ello. A un segund genci B le vende destinos ncionles, interncionles no comunitrios cobr. A un tercer genci C le vende destinos ncionles etrnjeros europeos comunitrios, cobrndo 7. Se pide: ) (,5 puntos) Hllr el precio de cd tipo de billete. b) (,5 puntos) Por rones de mercdo el morist se ve obligdo bjr un % el precio de los billetes ncionles. Hllr en qué porcentje debe incrementr el precio de los billetes etrnjeros europeos comunitrios (suponiendo que mntiene constnte el precio de los billetes interncionles no comunitrios) pr mntener constntes sus ingresos totles por vents ls tres gencis. (Sep ).- Discutir según los vlores de, resolver en los csos en que se posible el sistem: 6 5 ( ptos) (Modelo ).- Ddo el siguiente sistem de ecuciones lineles: ) ( ptos) Discutir el sistem según los vlores del prámetro. b) ( pto) Resolver el sistem cundo teng infinits soluciones. (Modelo ).- Ddo el sistem ( ) ( ) 5 6 (Junio ) ) (,5 ptos) Estudir l comptibilidd del sistem según los vlores de b) (,5 ptos) Resolver el sistem nterior cundo se comptible indetermindo.- ) ( pto) Ddo el sistem, escribir un tercer ecución de l form + b = c, distint de ls nteriores, de mner que el sistem de tres ecuciones con dos incógnits resultnte sig siendo comptible. b) ( pto) Ddo el sistem, escribir un tercer ecución de l form + b +c =, distint de ls nteriores, de mner que el sistem de tres ecuciones con tres incógnits resultnte se comptible indetermindo (Junio ) 5.- ) ( ptos) Discutir el sistem según los diferentes vlores de. (Sep, ptos) b) ( pto) Resolver el sistem nterior en le cso =. R - MATCNSII

12 6.- ) ( ptos) Discutir según los vlores del prámetro λ el sistem b) ( pto) Resolver el sistem nterior en los csos en los que se comptible. (Mod 5) 7.- Ddo el siguiente sistem de ecuciones lineles: ) ( pto) Discutir el sistem según los diferentes vlores de b) ( pto) Resolverlo pr =. (Mod 5) 8.- Ddo el sistem homogéneo: k ( k.averigu pr que vlores de k tiene ) soluciones distints de = = = =. Resolverlo en tles csos. ( ptos) (Mod 5) 9.- ( ptos) Ddo el sistem de ecuciones ( m m ) ( m ) ( m ) m ) (,5 ptos) Discutirlo según los distintos vlores de m b) (,5 ptos) Resolverlo cundo se comptible indetermindo (Junio 5).- ) ( punto). Resolver el sistem de ecuciones (Junio 5) b) ( punto) Hllr dos constntes α β de mner que l ñdir l sistem nterior un tercer ecución: α = β el sistem resultnte se comptible indetermindo..- Ddo el sistem de ecuciones: k k ) ( ptos) Discutirlo según los vlores de k. b) ( pto) Resolverlo cundo teng ms de un solución k (Modelo 6).- Ddo el sistem homogéneo: k ( k k ).Averigu pr que vlores de k tiene soluciones distints de = = = =. Resolverlo en tles csos. ( ptos) (junio 6).- ) Resolver el sistem de ecuciones: ( pto) 5 b) Hllr l solución del sistem nterior tl que l sum de los vlores correspondientes cd un de ls tres incógnits se igul. ( pto) (Sep 6) R - MATCNSII

13 k k.- Ddo el sistem de ecuciones: k k k ) Discutirlo según los diferentes vlores de k ( ptos) b) Resolverlo pr k = - ( pto) (modelo 7) k k k 5.- Ddo el sistem de ecuciones: k ( k ( k ) ) ) Discutirlo según los diferentes vlores de k ( ptos) b) Resolverlo cundo teng infinits soluciones ( pto) (sep 7) k 6.- Ddo el sistem de ecuciones (Sep 7) 5 ) ( punto) Hllr dos constntes b de mner que l ñdir l sistem nterior un tercer ecución: + + b = el sistem resultnte teng ls misms soluciones que el sistem originl. b) Clculr ls soluciones del sistem ddo tles que l sum de los vlores de ls incógnits se igul. k 7.- Ddo el sistem de ecuciones lineles: ( m ( m m ) ) m ( m (m ) ) ) ( ptos) Discutirlo según los vlores de m. (Modelo 8) b) ( pto) Resolverlo cundo teng infinits soluciones. m m. Se pide: 8.- Ddo el sistem de ecuciones lineles:, se pide: (Jun 8, ptos) ) ( puntos) Discutir el sistem según los vlores del prámetro. Resolverlo cundo l solución se únic. b) ( punto) Determinr pr qué vlor o vlores de el sistem tiene un solución en l que =. u 9.- Resolver el siguiente sistem: u 6u 8 (Sep 8, ptos).- El cjero utomático de un determind entidd bncri sólo dmite billetes de 5, euros. Los viernes depositn en el cjero 5 billetes por un importe totl de 7 euros. Averigur el número de billetes de cd vlor depositdo, sbiendo que l sum del número de billetes de 5 de euros, es el doble que el número de billetes de euros. (Sep 8, ptos) R - MATCNSII

14 .- Ddo el sistem de ecuciones: 5 ) ( pto) Discutirlo según los distintos vlores del prámetro k. b) ( pto) Resolverlo en los csos en los que se posible..- Ddo el sistem 9 k Colegio Interncionl Pinosierr k, se pide: (Modelo 9, ptos), se pide: (Junio 9) ) ( ptos) Discutir el sistem según los diferentes vlores del prámetro λ. b) ( pto) Resolver pr λ = -.- Ddo el sistem:, se pide: (Junio 9) ) (,5 ptos) Discutir el sistem según los diferentes vlores del prámetro λ. b) (,5 ptos) resolver el sistem cundo se posible..- Ddo el sistem:, se pide: (Sept 9, ptos) ) ( pto) Obtener los vlores del prámetro λ pr los cules el sistem tiene soluciones distints de : = = =. b) ( pto) Resolver el sistem pr λ = Discutir rondmente en función del prámetro k, el siguiente sistem de ecuciones lineles: k k k k 6.- Ddo el sistem: k ( k ) 5 (Modelo, ptos), se pide: (Modelo, ptos) ) ( pto) Discutir el sistem según los diferentes vlores del prámetro λ. b)( pto) Resolverlo cundo teng más de un solución c) ( pto) Resolverlo pr λ =- R - MATCNSII

15 GEOMETRÍA Los elementos geométricos básicos son el punto, el vector, l rect el plno. Vector: AB B A L rect: Pr clculr l ecución de un rect necesitmos conocer un punto A(,, ) un vector dirección V (v, v, v ), o dos puntos por los que pse l rect, o dos plnos cu intersección se l rect. *Si nos dicen que r es prlel s, esto signific que V *Si nos dicen que r es perpendiculr l plno, esto signific que r V s V r n Ecuciones de l rect: *Ecución vectoril: (,, ) = (,, ) + (v, v, v ) R *Ecuciones prmétrics: λv λv λv R *Ecución continu: v v v p m *Ecuciones reducids:, se obtienen de l ecución continu igulndo el primer q n término l tercero el segundo l tercero. Desde ests ecuciones podemos psr ls ecuciones prmétrics sin ms que hcer =. El plno: Pr clculr l ecución de un plno necesitmos conocer un punto A(,, ) dos vectores dirección V (v, v, v ), U u, u, ), o un punto A(,, ) el vector norml n ( u ( n, n, n), o dos puntos un vector dirección, o tres puntos. *Si nos dicen que es perpendiculr r, esto signific que n V r. *Si nos dicen que r está incluid en s es prlel, esto signific que V r V s son vectores dirección de. *Si nos dicen que es perpendiculr es prlelo r, esto signific que n Vr son vectores dirección de. *Si nos dicen que es perpendiculr, esto signific que n n son vectores dirección de. Ecuciones del plno: *Ecución vectoril: (,, ) = (,, ) + (v, v, v ) + (u, u, u ) λv μu *Ecuciones prmétrics: λv λv μu μu R R R - MATCNSII 5

16 *Ecución generl: el vector norml del plno. u v u v u v = A + B +C + D =. El vector n ( A, B, C) es Condición de tres puntos linedos: Tres puntos, A, B, C, están linedos si verificn que AB es proporcionl AC Condición de cutro puntos coplnrios: Cutro puntos, A, B, C D son coplnrios si verificn AB que los vectores AB, AC AD son linelmente dependientes. Es decir si AC AD Posición reltiv de dos rects: Sen ls rects r P r, Vr s P s, Vs. Se pueden plnter ls siguientes situciones: *Si V r es proporcionl V s, entonces - Ls rects son prlels si Pr no verific l ecución de s - Ls rects son coincident es si Pr si verific l ecución de s *Si V r no es proporcionl V s, entonces Pr P Ls rects se cortn si Vr V - Ls rects se crun si s Pr P Vr V s s s Posición reltiv de dos plnos: Sen los plnos : A + B + C + D = : A + B + C + D =, pueden ocurrir los siguientes csos: A B C D *Si, los plnos son coincidentes A B C D A B C D *Si, los plnos son prlelos A B C D A B C *Si, los plnos se cortn en un rect A B C Posición reltiv de rect plno: Se l rect r P r, Vr el plno : A + B + C + D = pueden ocurrir los siguientes csos: *Si V r.n puden ocurrir dos coss - Si Pr verific l ecución de, l rect está contenid en el plno - Si Pr no verific l ecución de, l rect es prlel l plno *Si V r.n, l rect el plno se cortn en un punto R - MATCNSII 6

17 Posición reltiv de tres plnos: Sen los plnos : A + B + C + D = : A + B + C + D = : A + B + C + D =, formn un sistem de tres ecuciones con tres incógnits (en el que llmremos A l mtri de los coeficientes A * l mtri mplid). Se pueden presentr ls siguientes situciones: *Si Rng(A) = Rng(A * ) =, tenemos un sistem comptible determindo con un únic solución, por lo tnto son tres plnos que se cortn en un punto *Si Rng(A) = Rng(A * ) =, tenemos un sistem incomptible, por lo tnto son tres plnos que no tienen nigún punto en común. Anlindo los plnos de dos en dos llegmos ls siguientes situciones: cortn tringulr Dos plnos prlelos el tercero los cort Tres plnos que se formndo un prism *Si Rng(A) = Rng(A * ) =, tenemos un sistem comptible indetermindo, por lo tnto estos plnos tienen en común infinitos puntos, ectmente tienen en común un rect. Anlindo los plnos de dos en dos llegmos ls siguientes situciones: Tres plnos que se cortn en un rect el Dos plnos coincidentes tercero los cort *Si Rng(A) = Rng(A * ) =, tenemos un sistem incomptible, por lo tnto son tres plnos que no tienen ningún punto en común. Anlindo los plnos de dos en dos llegmos ls siguientes situciones: Tres plnos prlelos Dos plnos coincidentes el tercero prlelo *Si Rng(A) = Rng(A * ) =, tenemos un sistem comptible indetermindo, por lo tnto estos plnos tienen en común infinitos puntos, son tres plnos coincidentes. Producto esclr: El producto esclr de dos vectores es un número que se obtiene (en bses ortonormles) hciendo U. V = u v + u v + u v (ver propieddes) El producto esclr de dos vectores perpendiculres vle. Producto vectoril: El producto vectoril de dos vectores es un vector que tiene *Dirección perpendiculr los vectores U V *Sentido el que se obtiene l plicr l regl del sccorchos l llevr *Módulo U sobre V U V U. V.sen siendo el ángulo que formn los vectores U V. Geométricmente es el áre del prlelogrmo que se form con los vectores U V R - MATCNSII 7

18 En bses ortonormles ls coordends del vector U V se clculn del siguiente modo: u u u u u u U V =,, (ver propieddes) v v v v v v Producto mito: El producto mito de tres vectores es un número que se obtiene (en bses u u u ortonormles) hciendo: w U, V, W v v v (ver propieddes) Geométricmente es el volumen del prlelepípedo formdo por los vectores Condiciones de prlelismo perpendiculridd: Prlelismo Perpendiculridd w Dos rects son prlels si sus Dos plnos son prlelos si sus w Un rect es prlel un plno si V si V si n.n.v dirección del otro Un rect es perpendiculr un plno si V U, V W. vectores dirección son proporcionles Dos rects son perpendiculres si lo son sus r s vectores normles son proporcionles r es perpendiculr n. Es decir si,ó lo que es lo mismo, si el vector norml de uno es si el vector dirección de l rect es el vector norml del plno V r.n vectores dirección, es decir, Dos plnos son perpendiculres si lo son sus vectores normles, es decir, r vector es proporcionl n, es decir, Punto de corte de dos rects: Pr clculr el punto de corte de dos rects se escriben en prmétrics, se iguln se resuelve el sistem que formn v b u r v v b b pr clculr ls coordends del punto. u u s, un ve clculdo o se sustitue en l rect correspondiente Punto de corte de rect plno: Se escribe l rect en prmétrics se sustituen,, en l ecución del plno. Se clcul el vlor de se sustitue en l ecución de l rect pr clculr ls coordends del punto de corte. Ecuciones de un rect dd como intersección de dos plnos: Si tenemos un rect dd como intersección de dos plnos, pr obtener de ell un punto el vector norml tenemos dos posibiliddes: )Psrl prmétrics llmndo un de ls vribles resolviendo el sistem que qued. b)clculr un punto culquier hciendo o o igul cero resolviendo el sistem que qued clculr el vector dirección como producto vectoril de los vectores normles de los plnos, Vr n n = (A, B, C) (A, B, C ) R - MATCNSII 8

19 Distncis: Entre dos puntos: d(a, B) = AB = De un punto un plno: d(a, ) = A (b u ) (b ) (b ) A B B C C D u Colegio Interncionl Pinosierr De un punto un rect: d(a, r) = De un plno un rect: d(, r) = De un plno un plno: d(, ) = Ap r v r v r u Si se cortn, d( Si r contenid en Si r prlel Si se cortn, d( Si son prlelos,, r), d(, d( d(, r) Si son coincident es, d(, ),, r), ) d(p, ) r d(a ), ) De un rect un rect: d(r, s) = Si se cortn o son coincidentes d(r, s) Si son prlels d(r, s) Si se crun d(r, s) p p, v, v r d(p, s) v s r r r v s s d(p, r) s Ángulos: Ángulo que formn dos rects: Arc cos v. v v r r v s s Ángulo que formn dos plnos: Arc cos n. n n n Ángulo que formn rect plno: Arc sen v v r r. n n Áre del triángulo: El áre del triángulo formdo por los puntos A, B, C es A = AB AC u. Volumen del tetredro: El volumen del tetredro formdo por los puntos A, B, C, D es V = AB, AC, AD 6 R - MATCNSII 9

20 Problems prticulres: Punto simétrico (A ): *De un punto A respecto de un plno : -Se hce l ecución de l rect perpendiculr que ps por A. -Se clculn ls coordends del punto de corte de est rect con el plno (M). Este punto es el punto medio entre A A. -Se clcul A despejndo de l fórmul del punto medio A = M A. *De un punto A respecto de un rect r: -Se hce l ecución del plno perpendiculr r que ps por A -Se clculn ls coordends del punto de corte de este plno con l rect r (M). Este punto es el punto medio entre A A. -Se clcul A despejndo de l fórmul del punto medio A = M A. Proección ortogonl de un rect r sobre un plno : -Se clcul un plno perpendiculr l ddo que conteng l rect r -L rect r es l intersección del plno que nos hn ddo el que hemos clculdo. Clculr puntos de un rect r que cumpln determinds condiciones: -Se escribe l rect r en prmétrics se escribe el punto P r en form prmétric -Se oblig P r que cumpl ls condiciones impuests en el enuncido Ecución de un rect t que ps por un punto A cort ls rects r s: Se estudi l posición reltiv de ls rects r s )Si r s se cortn se clcul el punto de corte P. Con los puntos A P se hce l ecución de l rect t. b)si r s se crun -Como t cort r son coplnris. Clculmos un plno con A r -Como t cort s son coplnris. Clculmos un plno con A s -L rect t pedid es l intersección de los plnos. c)si r s son prlels o coincidentes el problem tiene infinits soluciones Ecución de l rect t perpendiculr ls rects r s que ls cort: -Como t es perpendiculr r s, se tiene que v -Se estudi l posición reltiv de ls rects r s )Si r s se cortn se clcul el punto de corte P. Con el punto P el vector v t se hce l ecución de l rect t. b)si r s se crun -Como t cort r son coplnris. Clculmos un plno con v t r -Como t cort s son coplnris. Clculmos un plno con v t s -L rect t pedid es l intersección de los plnos. c)si r s son prlels o coincidentes el problem tiene infinits soluciones t v r v s R - MATCNSII

21 EJERCICCIOS Vectores rects.- Ddos los vectores, b c tles que, b c b c, clculr l siguiente sum de productos esclres: b b c c (Jun 996 pts).- Señlr si ls siguientes firmciones son cierts o flss. En cso de ser cierts justifíquense; en cso contrrio póngse ejemplos que lo confirmen: ) El producto mito de tres vectores culesquier no nulos es siempre distinto de cero. b) Si, b c son tres vectores del espcio tridimensionl R no nulos que stisfcen l condición b c, entonces se verific que b c. (Jun 996 ptos).- Se ABC un triángulo isósceles, cuo ángulo desigul es A. Hllr el coseno del ángulo A sbiendo que ls medins trds desde los vértices B C son recíprocmente perpendiculres. (Sugerenci: tomr ejes coordendos XOY hciendo que el eje OX coincid con BC que el eje OY coincid con l ltur desde el vértice A BC). (Jun 996 ptos).- Es siempre cierto que b b b, (el" " represent l producto vectoril )?. En cso firmtivo, justifíquese. En cso contrrio, póngse un ejemplo que lo confirme. (Sep 996 ptos) 5.- Señlr si ls siguientes firmciones son verdders o flss ronndo ls respuests. ) Si los puntos A, B, C D pertenecen un mismo plno, entonces los vectores AB, AC AD son linelmente independientes. (Jun 997 ptos) b) Sen (A, v ) (A, v ) ls determinciones lineles de dos rects r r. Si los vectores AA, v v son linelmente dependientes, entonces ls rects r r son coplnris. 6.- Se considern dos vrills AB MN rígidmente unids perpendiculrmente en M, que es el punto medio de AB. Ls longitudes de ls vrills son AB MN. Se dibujn dos rects perpendiculres en el suelo (plno) se despln ls vrills sobre él de modo que A recorr un de dichs rects, B recorr l otr el etremo N quede distinto ldo de AB que el punto donde se cortn ls rects. Hllr el lugr geométrico que describe el etremo N. (Jun 997 ptos) 7.- De ls propieddes de l dependenci linel, decir cuál o cuáles son cierts, justificndo l respuest: ) Un conjunto de vectores con dos o más vectores igules no es linelmente dependiente. b) En R, si tres vectores son linelmente dependientes, entonces son coplnrios. c) Si en un conjunto de vectores está el vector, entonces el conjunto es linelmente dependiente. (Jun 9997 ptos) 8.- Dos vrills fijs AA BB, de espesor desprecible, están entrelds por un gom elástic del modo que se indic en l figur. L gom que está tens, puede deslir libremente por ls vrills. Se sbe que ls vrills ocupn ls posiciones (en ejes crtesinos rectngulres ): 5 AA BB (Sep 997 ptos) ) Qué posiciones reltivs tienen ls rects AA BB?. R - MATCNSII

22 b) Hllr l longitud totl de l gom elástic en su posición de equilibrio. A A Colegio Interncionl Pinosierr B B 9.- ) Comprobr que los vectores = (,, ); b = (-,, ); c = (,, 5) son linelmente independientes. ( pto) b) Encontrr l ecución del plno determindo por el punto Q (-,, ) los vectores b c del prtdo nterior. ( pto) (Jun. 998, ptos).- Encontrr los vectores unitrios de R que son perpendiculres v = (,, ) que formn un ángulo de 6º con w = (/, / /, /). (Jun. 998, ptos).- Ddos los puntos A(, -, ); B(,, ) C(,, -), se pide: ) Obtener l ecución del plno que los contiene. ( pto) b) Clculr l distnci del origen de coordends l plno. ( pto) c) Determinr el volumen del tetredro cuos vértices son A, B, C el origen de coordends. ( Pto) (Jun. 999, ptos).- ) Hllr el lugr geométrico de los puntos que equidistn de los plnos de ecución: + 5 = ; =. ( pto) b) Qué puntos del eje OY equidistn de mbos plnos?. ( pto) (Jun. 999, ptos).- Sen A, B C los puntos de l rects = ( + 6)/ = ( 6)/ que están en los plnos coordendos =, =, =, respectivmente. ) Determinr rondmente cuál de los tres puntos se encuentr entre los otros dos. ( pto) b) Siendo D un punto eterior l rect, indicr, rondmente, cuál de los triángulos DAB, DAC o DBC tiene mor áre. ( pto) (Jun. 999, ptos).- Sen l rect r el plno ddos por ls ecuciones: r = ) Clculr el seno del ángulo que formn l rect el plno. ( pto) b) Clculr l ecución de l rect proección ortogonl de r sobre. ( ptos) (Sep 999) 5.- Resolver l siguiente ecución vectoril (,, ) (,,5 ), sbiendo que 6, donde el símbolo signific producto vectoril. (Jun ptos) 6.- Sen los puntos P(8,, 8) Q(-, -, -8). Se consider el plno perpendiculr l segmento PQ por su punto medio. ) Obtener l ecución del plno. ( pto) b) Clculr l proección ortogonl del punto O(,, ) sobre el plno. ( pto) R - MATCNSII

23 c) Hllr el volumen del tetredro determindo por los puntos en los que el plno cort los ejes coordendos el origen de coordends. ( pto) (Jun ptos) 7.- Se considern los puntos A(,, ); B(,, -) C(, -, ). ) Comprobr que no están linedos culquier que se el vlor de. ( pto) b) Hllr el áre del triángulo que determinn los tres puntos. ( pto) (Sep., ptos) 8.- Sen l rect r, el plno k. m ) Clculr m k pr que l rect se perpendiculr l plno. ( pto) b) Clculr m k pr que l rect esté contenid en el plno. ( pto) (Sep., ptos) 9.- Ddos el plno + + =, l rect r (,, ) = (,, ) + (,,), el punto P(,, ), se pide: ) Hllr l ecución de un rect s que se perpendiculr r que pse por P. ( pto) b) Hllr el punto P simétrico de P respecto de r. ( pto) c) Hllr el punto P simétrico de P respecto de. ( pto) (Jun., ptos).- Sen ls rects: r k s ) Hllr k pr que r s sen coplnris. ( pto) b) Pr el vlor nterior de k, hllr l ecución del plno que contiene mbs rects. ( pto) c) Pr el vlor nterior de k, hllr l ecución de l rect perpendiculr común ls rects dds. (pto) (Jun., ptos).- Los vértices de un triángulo son A(-, -); B(7, 5) C(, ). ) Clculr el áre del triángulo que formn en función de e. ( pto) b) Encontrr el lugr geométrico de los puntos (, ) tles que el áre nterior es 6 u. ( pto).- Sen A, B C tres puntos del espcio tridimensionl que verificn l relción CB CA ) Clculr el vlor que tom k en l epresión AC k AB ( punto) b) Si A(,, -) B(, 6, 9), hllr ls coordends del punto C que cumple l relción de prtid. ( punto) (Sep ).- Se consider el tetredro cuos vértices son A(,, ), B(,, ), C(-,, ) D(,, ). ) Hllr el áre del triángulo ABC el volumen del tetredro ABCD. ( pto) b) Clculr l distnci de D l plno determindo por A, B C. ( pto) c) Hllr l distnci entre ls rects AC BD. ( pto) (Sep ).- Sen ls rects: r 6 s ) Determinr l posición reltiv de r s según los vlores de. ( pto) b) Clculr l distnci entre r s cundo = -. ( pto) 5.- Hllr un ecución crtesin del plno que contiene l rect r: = +t ; = - + t ; = t es perpendiculr l plno : + =. (ptos) (junio ) - R - MATCNSII

24 6.- Los puntos A(,, ); B(,, ); C(,, ) son tres vértices consecutivos de un prlelogrmo. Se pide: ) ( pto) Hllr ls coordends del curto vértice D el áre del prlelogrmo b) ( pto) Clsificr el prlelogrmo por sus ldos por sus ángulos. (Junio ) 7.- Se considern ls rects: r ; s ) ( pto) Clculr l distnci de r s. b) ( pto) Hllr uns ecuciones crtesins de l rect perpendiculr común r s, que cort mbs. c) ( pto) Hllr uns ecuciones crtesins de l rect que cort r s, que ps por el punto P(,, ). (Sep ) 8.- Pr cd vlor del prámetro rel, se considern los tres plnos siguientes: + + = - ; + + = - ; + + = ) (,5 ptos) Clculr los vlores de pr los cules los tres plnos nteriores contienen un rect común. b) (,5 ptos) Pr los vlores de clculdos, hllr uns ecuciones crtesins de dich rect común. (Sep ) 9.- Se considern el plno l rect r siguientes: + = 6 r ; se pide: ) (,5 ptos) Hllr el punto simétrico de M(,, ) respecto del plno. b) (,5 ptos) Hllr el punto simétrico de M(,, ) respecto de l rect r. (Modelo).- Ddos los puntos A(,, ) ; B(, -, ) ; C(-,, ) ; D(, -, -), se pide: ) ( pto) Clculr el volumen del tetredro de vértices A, B, C, D. b) ( pto) Clculr l distnci del punto D l plno determindo por los puntos A, B C. c) ( pto) Hllr ls ecuciones crtesins de l rect que ps por D es perpendiculr l plno determindo por A, B C. (Modelo ).- Ddos los puntos A(,, ) B(,, ), el plno. 7 =, determinr l ecución del plno que es perpendiculr l plno que ps por los puntos A B. ( ptos) (Sep ) k.-dds ls rects: r s ) (pto) Hllr el vlor de k pr que ls rects estén contenids en el mismo plno. b) ( pto) Pr el vlor de k obtenido en el prtdo nterior, determinr l ecución generl del plno que ls contiene. (Sep ).- Ddo el plno + + =, l rect r, se pide: ) ( pto) Clculr el punto Q en el que se cortn rect plno (Sep ) b) ( ptos) Encontrr un plno, prlelo, tl que el punto Q en el que se cortn el plno l rect r esté uniddes de distnci del punto Q hlldo en el prtdo nterior. R - MATCNSII

25 .- Ddo el plno = ls rects r Colegio Interncionl Pinosierr R - MATCNSII 5 t, r t t, r ) (,5 ptos) Clculr el vlor de pr que los puntos de corte del plno con ls rects r, r, r estén linedos. b) (,75 ptos) Clcul ls ecuciones de ls rects que psn por esos tres puntos. c) (,75 ptos) Clcul l distnci de dich rect l origen. (Modelo ) 5.-Dds ls rects: r, s m 6 ) ( pto) Hllr el vlor de m pr que r s sen prlels. b) ( pto) Pr el vlor de m obtenido en el prtdo nterior, determinr l ecución del plno que contiene r s. (Modelo ) 6.- Clculr ls ecuciones prmétrics de l rect que ps por el punto P(, -, ) cort perpendiculrmente l rect 7.- Se consider l rect los plnos siguientes: r r. ( ptos) (Modelo ) 5 t ; + = ; + + = se pide: ) (pto) Determinr l posición reltiv de l rect respecto de cd uno de los plnos. b) ( pto) Determinr l posición reltiv de los dos plnos. c) ( pto) Clculr l distnci de r (Junio ) 8.- ) ( ptos) Determinr l posición reltiv de los siguientes plnos, pr los distintos vlores del prámetro k: + + k = + k = - (Junio ) + = -k b) ( pto) En los csos en los que los tres plnos nteriores se corten lo lrgo de un rect común, hllr un vector dirección de dich rect. 9.- Se el plno + + = 6. ) ( pto) Hllr el punto simétrico del (,, ) respecto de. b) ( pto) Hllr el plno perpendiculr que contiene l eje OZ. c) ( pto) Hllr el volumen del tetredro cuos vértices son el origen los puntos de intersección de con los ejes coordendos. (Sept. ).- ) (,5 ptos) Hllr el conjunto formdo por los puntos del plno = que distn uniddes del plno de ecución + =. b) (,5 ptos) Describe dicho conjunto. (Sept. ).- El plno + = - determin un tetredro con los tres plnos coordendos. Se pide: ) (,5 ptos) Clculr l longitud de l ltur del tetredro que prte del origen. t t

26 b) (,5 ptos) Determinr ls ecuciones prmétrics de l rect que contiene dich ltur. c) ( pto) Clculr el áre de l cr del tetredro que está contenid en el plno. (Sept. ).- Ddos los puntos A(-,, ), B(, -, -) C(,, ), hllr ls coordends de un punto D perteneciente l rect r de mner que el tetredro ABCD teng de volumen u. (Mod 5) ( ptos) 5.- Se consider l rect r, l fmili de rects dependientes del prámetro 8 m m s (Mod 5) 7 m ) ( ptos) Determinr el vlor de m pr el que ls dos rects r s se cortn b) ( pto) Pr el cso m =, hllr l distnci entre ls rects r s.- Dds ls rects: r ; s (Modelo 5) ) ( pto) Hllr l ecución de l rect t que ps por el origen cort ls dos rects nteriores. b) ( pto) Hllr los puntos de intersección de t con r s c) ( pto) Clculr l mínim distnci entre r s. 5.- Ddo el punto P(,, -), se pide: (Junio 5) ) ( pto) Escribir l ecución que deben verificr los puntos X(,, ) cu distnci P se igul b) ( ptos). Clculr los puntos de l rect: r, λ R, cu distnci P es igul 6.- Dds ls rects r s (Junio 5) )(,5 ptos) Hllr l ecución de l rect t que cort ls dos es perpendiculr mbs. b) (,5 ptos) Clculr l mínim distnci entre r s 7.- ( ptos) Discutir según los vlores del prámetro rel λ l posición reltiv de los plnos: π : + = λ π : + (λ ) + (λ + ) = λ + (Sep 5) π : (λ + ) (λ + 6) = - λ 8.- Se considern ls rects r : s : (Sep 5) 7 ) (pto) Hllr l rect t perpendiculr r s que ps por el origen b) ( pto) Hllr ls coordends del punto de intersección de l rect s con l rect t obtenid en el prtdo ). 9.- Se consider l fmili de plnos m + (m ) + (m + ) + (m + ) = siendo m un prámetro rel. Se pide: (Sep 5) R - MATCNSII 6

27 ) ( pto) Determinr l rect común todos los plnos de l fmili. b) ( pto) Determinr el plno de est fmili que ps por el punto (,, ) c) ( pto) Determinr el plno de est fmili que es prlelo l rect r: 5.- ( ptos) Un punto de lu situdo en P(,,) proect l sombr de l rect = = - sobre el plno π: - =. Clculr ls coordends del punto de es proección que pertenece l plno =. (Modelo 6) 5.- ( ptos) Se considern ls rects: 5 r : 6 ; s :. Hllr l ecución de l rect que contiene l punto P(, -, ) cuo vector dirección es perpendiculr los vectores dirección de ls rects nteriores. (Modelo 6) 5.- ( ptos) Dds ls rects: r : ; s :. ) (,5 ptos) Hllr l ecución del plno que contiene r es prlelo s b) (,5 ptos) Clculr l distnci de s l plno nterior. (Modelo 6) 5.- Sen ls rects: r, s (Junio 6) ) (,5 ptos) Hllr l ecución de l rect t que ps por el origen cort ls dos rects nteriores. b) (,5 ptos) Hllr l rect perpendiculr común ls rects r s. 5.- Se r l rect que ps por el origen de coordends tiene como vector dirección v (,, ). Hllr un punto P contenido en dich rect, tl que si se llm Q su proección sobre el plno, el triángulo OPQ teng de áre u.(junio 6, ptos) 55.- Determinr l posición reltiv de ls rects (Junio 6, ptos) r 7, s Se considern los puntos A(,, ) B(,, ), se pide: (Septiembre 6) ) ( pto) Escribir l ecución que deben verificr los puntos X(,, ) que equidistn de A B. b) (,5 ptos) Determinr l ecución que verificn los puntos X(,, ) cu distnci A es l mism que l distnci de A B. c) (,5 ptos) Escribir ls ecuciones prmétrics de l rect formd por los puntos C(,, ) del plno + + =, tles que el triángulo ABC es rectángulo con ángulo recto en el vértice A Un plno π cort los ejes coordendos en los puntos A(,, ), B(, λ, ) C(,, ). Se pide: ) (,5 ptos) Hllr el vlor λ > de mner que el volumen del tetredro OABC, (donde O es el origen) se u. b) (,5 ptos) Pr el vlor de λ obtenido en el prtdo, clculr l longitud de l ltur del tetredro OABC correspondiente l vértice O. (Septiembre 6) R - MATCNSII 7

28 58.- Se considern l rect r el punto P(,, ). Ddo el punto Q(,, ) de r, hllr todos los puntos A contenidos en r tles que el triángulo de vértices A, P Q teng áre u. (Modelo 7, ptos) 59.- ) (,5 ptos) Clculr l ecución generl del plno π que contiene l rect r es perpendiculr l plno π : + =. (Modelo 7) b) (,5 ptos) Determinr ls ecuciones prmétrics de l rect intersección de los plnos π π. 6.- Se considern el punto P(,, ) l rect r el plno π: + + =, se pide: ) (,5 ptos) Obtener el punto P, simétrico de P respecto del plno π. b) (,5 ptos) Determinr l ecución de l rect s que contiene l punto P, cort l rect r es prlel l plno π. (Modelo 7) 6.- Ddos el punto A(, -, -), l rect r el plno π: =, se pide: ) (,5 ptos) L ecución del plno que ps por A, es prlelo r perpendiculr π. b) (, 5 ptos) Ecución de l rect que ps por A, cort r es prlel π. (Junio 7) 6.- Sen los puntos A(λ,, λ), B(, -λ, ), C(λ,, λ+). ) ( pto) Eiste lgún vlor de λ pr el que los puntos A, B C están linedos? b) ( pto) Comprobr que si A, B C no están linedos, el triángulo que formn es isósceles. c) ( pto) Clculr l ecución del plno que contiene l triángulo ABC pr λ = hllr l distnci de este plno l origen de coordends. (Junio 7) Hllr los puntos de l rect r, cu distnci l plno π: + + = es igul u. (Sep 7, ptos) 6.- Se considern ls rects: r, s. Hllr l ecución continu de 7 l rect que contiene l punto P(, -, ) cuo vector dirección es perpendiculr los vectores directores de ls rects nteriores. (Sep 7, ptos) Sen ls rects: r, s. (Sep 7) 8 ) (,5 ptos) Hllr l ecución del plno π que contiene r es prlelo s. b) (,5 ptos) Clculr l distnci entre el plno π l rect s Sen los puntos A(,, ) B(,, -) (Modelo 8) R - MATCNSII 8

29 ) ( pto) Determinr ls coordends de los puntos P Q que dividen el segmento AB en tres prtes igules. b) ( pto) Si P es el punto del prtdo nterior más próimo A, determinr l ecución del plno π que contiene P es perpendiculr l rect AB. c) ( pto) Determinr l posición reltiv del plno π l rect r 67.- Hllr los puntos de l rect r /u. (Modelo 8, ptos), cu distnci l plno π: + =, es igul 68.- Ddos los puntos A(,, -), B(, k+, k) C(k+,, ), se pide: (Modelo 8) ) ( pto) Determinr pr qué vlor de k el triángulo ABC es rectángulo en el vértice A. b) ( pto) Pr k = hllr el áre del triángulo ABC Dds ls rects r, s, se pide: (Junio 8) ) (,5 ptos) Discutir l posición reltiv de ests rects según los diferentes vlores de. b) (,5 ptos) Si = clculr l distnci mínim entre ls rects r s. 7.- Ddos los puntos A(,, ), B(,, -), C(,, -) D(,, ), se pide: ) (,5 ptos) Demostrr que los cutro puntos no son coplnrios. (Jun 8) b) ( pto) Hllr l ecución del plno π determindo por los puntos A, B, C. c) (,5 ptos) Hllr l distnci del punto D l plno π. 7.- Ddos el plno π: + + = el punto P(,, ), se pide: ) (,5 ptos) Hllr l ecución de l rect r perpendiculr π que ps por el punto P. b) (,5 ptos) Hllr el punto Q intersección de π r. (Jun 8) c) (,5 ptos) Hllr el punto R intersección de π con el eje OY. d) (,5 ptos) Hllr el áre del triángulo PQR. 7.- Ddos los puntos P(,, ), Q(,, ), se pide: (Sep 8) ) ( pto) Hllr todos los puntos R tles que l distnci de P R se igul l distnci entre Q R. Describir dicho conjunto de puntos. b) ( pto) Hllr todos los puntos S contenidos en l rect que ps por P Q, que verificn que d(p, S) = d(q, S). 7.- Dds ls rects: r, s, hllr l ecución de l rect t perpendiculr común mbs. (Sep. 8, ptos) 7.- Ddos el plno + + = l rect r, se pide: ) ( pto) Hllr el punto P determindo por l intersección de r con. b) ( ptos) Hllr un plno α, prlelo tl que el segmento de l rect r comprendido entre los plnos α, teng longitud 9 u. (Sep 8) R - MATCNSII 9

30 Ddos el plno + - = l rect r el punto P(-,, ), perteneciente l plno, se pide: ) (,5 ptos) Determinr l posición reltiv de r. b) ( pto) Clculr l ecución de l rect t contenid en, que ps por el punto P que cort perpendiculrmente r. c) (,5 ptos) Se Q el punto de intersección de r t. Si s es l rect perpendiculr l plno que contiene P, R es un punto culquier de s, probr que l rect determind por R Q es perpendiculr r. (Modelo 9) 76.- Ddos el punto P(, -, ) el plno : + =, se pide: ) (,5 ptos) Determinr el punto Q de intersección del plno con l rect perpendiculr que ps por P. Hllr el punto R simétrico de P respecto del plno. b) (,5 ptos) Obtener l ecución del plno prlelo l plno que contiene l punto H que se encuentr 5 6 u del punto P en el sentido del vector PQ. (Modelo 9) 77.- Ddo el plno + + =, se pide: (Junio 9) ) ( pto) Clculr el punto simétrico P del punto O(,, ) respecto del plno b) ( pto) Clculr el coseno del ángulo que formn el plno el plno =. c) ( pto) Clculr el volumen del tetredro T determindo por el plno, los plnos =, =, = Dds ls rects: r ; s, se pide: ) ( pto) Hlr l ecución del plno que contiene r es prlelo s. b) ( pto) Determinr l distnci entre ls rects r s c) ( pto) Estudir si l rect t prlel r que ps por el origen de coordends, cort l rect s. (Junio 9) 79.- Dds ls rects r ; s, determinr los vlores de los b prámetros, b pr los cules ls rects r, se cortn perpendiculrmente. (Sep. 9) 8.- Ddo el plno : =, hllr ls ecuciones de los plnos prlelos que se encuentrn uniddes de. (Sep. 9) 8.- Dd l rect r el plno : =, hllr l ecución de l rect simétric de l rect r respecto del plno. (Sep. 9, ptos) Dds ls rects: r ; s, se pide: 6 ) (,5 ptos) Determinr l ecución de l rect t que cort r s, que contiene l origen de coordends. b) (,5 ptos) Determinr l mínim distnci entre r s. (Modelo ) 8.- ( ptos) Ddos los puntos A(,,) B(,-, ), hllr el punto o los puntos de l rect r que equidistn de A B. (Modelo ) R - MATCNSII

31 8.- ( ptos) Ddos el plno : = l rect r contenid en, obtener l rect s contenid en que es perpendiculr r, que ps por el origen de coordends. (Modelo ) R - MATCNSII

32 CIRCUNFERENCIA Y ESFERA.- En un circunferenci se trn dos cuerds AB CD, perpendiculres entre si que se cortn en un punto O; se sbe que OB 8 cm, OA cm, OC cm. Obtener l ecución de l circunferenci en los ejes, que, su juicio resulte más fácil de obtener..- ) Determinr el centro el rdio de l circunferenci C = + + =. ( pto) b) Obtener l ecución de l rect tngente C en el punto P(, ). ( pto) c) Encontrr l ecución de l circunferenci concéntric con C que es tngente l rect de ecución + =. ( pto).- Los puntos A(,, ) A (,,) son los etremos del diámetro de un esfer. ) Clculr ls coordends del centro rdio de l esfer. ( pto) b) Obtener su ecución crtesin. ( pto) c) Hllr l ecución del plno tngente l esfer en el punto P(,, ). ( pto).-) Determinr el centro el rdio de l esfer = ( pto) b) Determinr el centro el rdio de l circunferenci intersección de l esfer nterior con el plno =. ( pto) 5.- Se l superficie esféric de ecución =. ) Determinr su centro su rdio. (,5 ptos) b) Hllr l ecución de l rect que contiene el diámetro prlelo l eje OY. (,5 ptos) c) Obtener el centro el rdio de l circunferenci que result l cortr dich esfer con el plno =. ( pto) d) Hllr l ecución del plno tngente l esfer en su punto del eje OX. ( pto) 6.- Sen A(,) B(-, ) dos puntos del plno. ) Determinr ls ecuciones de tods ls circunferencis que psn por los puntos A B, ronndo donde están situdos sus centros. ( pto) b) De entre ls circunferencis del prtdo nterior hllr el centro el rdio de l que es tngente l rect =. ( pto) 7.- Determinr l ecución crtesin del lugr geométrico de los puntos del plno tles que l sum de los cudrdos de sus distncis los puntos (, ) (, ) es igul 9. Si se trt de un curv cerrd, clculr el áre que encierr. ( puntos) 8.- Se consider l vrill AB de longitud. El etremo A de est vrill recorre completmente l circunferenci de ecución + + =, l vrill se mntiene en todo momento tngente l circunferenci. ) Determinr el lugr geométrico descrito por el etremo B de l vrill. ( pto) b) Obtener l ecución crtesin de dicho lugr geométrico. ( pto) 9.- Se l circunferenci de ecución + + = ) Hllr su centro rdio dibujrl. ( pto) b) Hllr el punto de l curv, de bcis, ms lejdo del origen;: hllr tmbién l rect tngente l curv en ese punto. ( pto) c) Hllr ls ecuciones de ls tngentes, trds desde el punto P(, ) ronndo l respuest. ( pto) R - MATCNSII

33 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Definición : Se dice que l función f() es continu en = sí se verific: Colegio Interncionl Pinosierr ) L función está definid en =, es decir, f(). b) Eiste Lim f(). Pr ello es necesrio que Lim f() Lim f() mbos sen igules. c) El vlor del límite coincide con el vlor de l función en el punto, es decir, Lim f() f(). Por lo tnto, el vlor de un función en un punto debe ser el que le sign el límite en ese punto. De no ser sí se dice que l función f() es discontinu en el punto =. Un función f() es continu en el intervlo, b cundo lo es en todos los puntos del intervlo. Propieddes de ls funciones continus: Propiedd : L sum, rest producto de funciones continus es un función continu. El cociente de dos funciones continus es un función continu ecepto pr los vlores de que nuln l función del denomindor. Propiedd : Tod función continu en un intervlo cerrdo dmite un máimo bsoluto un mínimo bsoluto. Es decir, si f() es continu en, b eisten sendos números c d del intervlo pr los cules se cumple que f(c) f() f(d), pr todo, b. Propiedd (Teorem de Bolno): Si f() es continu en, b R signo f() signo f(b), entonces eiste un número c (, b) tl que f(c) =. (f() tiene lgun rí en el intervlo (, b)). Geométricmente, este teorem nos firm que l únic form continu que tiene un función pr psr de tomr vlores positivos tomr vlores negtivos (o vicevers), es cortndo l eje OX en lgún punto. f() c b f(b) Clsificción de ls discontinuiddes: Discontinuidd evitble en = : Est discontinuidd se tiene cundo Lim f(), pero no eiste f(). Geométricmente corresponde un gráfic que tiene un gujero en =. Pr hcer que l función se continu en este punto bst con definir f() Lim f(). Discontinuidd de ª especie en = : Est discontinuidd se tiene cundo Lim f() f(), Pero tomn vlores distintos. Gráficmente corresponde un gráfic donde el punto (, f()) está fuer de su lugr. R - MATCNSII