Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

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1 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente forma a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n = (a ij i=1,,n j=1,,m a m1 a m2 a m3 a mn donde a ij es el elemento de la i-ésima fila y j-ésima columna A las matrices se les nombran con letras mayúsculas: A, B, C, M, N, etc El número de filas y de columnas recibe el nombre de dimensión u orden de la matriz, y se designa por n m Al conjunto de matrices de dimensión n m se denota por M n m Ejemplo 11 ( = A π 8 0 = B 3 3 Definición 12 Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales Es decir, dadas dos matrices A y B, se tiene que A, B M n m A = B a ij = b ij i = 1,, n, j = 1,, m Ejemplo 13 Las matrices ( 3 b c A = a 1 8 y B = ( d e f son iguales si, y sólo si, d = 3, b = 7, c = 4, a = 2, e = 1 y f = 8 1

2 11 Tipos de matrices 111 Según su forma Matriz fila: su orden es 1 n ( a11 a 12 a 1n Matriz columna: su orden es m 1 a 11 a 21 a m1 Matriz cuadrada es aquella que tiene igual número de filas que de columnas, es cada contrario se llama rectangular ( El conjunto formado por los elementos de la forma a ii de una matriz cuadrada se llama diagonal principal El conjunto de los elementos a ij con i + j = n + 1 de una matriz cuadrada de orden n recibe el nombre de diagonal secundaria ( Matriz traspuesta: Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A, y se representa por A t, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por columnas ( A = su matriz traspuesta es A t = Matriz simétrica es aquella que cumple que es igual a su traspuesta Es decir, A es simétrica si, y sólo si A = A t A = Nota: si una matriz no es cuadrada, entonces nunca será una matriz simétrica Matriz antisimétrica Una matriz A es antisimétrica si A t = A A = Nota: En toda matriz antisimétrica su diagonal principal esta formada por ceros Dpto de Análisis Matemático 2 Curso 2012/13

3 112 Según sus elementos Matriz nula: Todos sus elementos son 0 La matriz nula se representa por Matriz diagonal: es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos salvo la diagonal principal Matriz escalar: es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales = Matriz identidad Id es una matriz escalar con los elementos de la diagonal igual a 1 ( Id 2 = Id = Matriz triangular superior (inferior: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima (por debajo de la diagonal principal son nulos Matriz triangular superior Matriz triangular inferior 12 Operaciones con matrices 121 Suma y diferencia de matrices Definición 14 La suma de dos matrices A = (a ij y B = (B ij de la misma dimensión, es otra matriz, representada por A + B, de la misma dimensión que los sumandos, compuesta de a suma de las dos matrices, elemento a elemento Es decir, A + B = (a ij + b ij Dpto de Análisis Matemático 3 Curso 2012/13

4 ( Ejemplo 15 Sea las matrices A = ( A + B = y B = La suma de matrices posee las siguientes propiedades: P1 Propiedad asociativa: (A + B + C = A + (B + C P2 Propiedad conmutativa: A + B = B + A P3 Existencia de elemento neutro: La matriz nula, A + 0 = A ( Entonces, P4 existencia de opuesto: La matriz A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta, ya que A + ( A = 0 Definición 16 La diferencia de las matrices A y B se representa por A B, y se define del siguiente modo: A B := A + ( B = (a ij b ij Ejemplo 17 En el ejemplo anterior, tenemos que ( A B = Notar que la suma y la diferencia de dos matrices no está definida si sus dimensiones son diferentes 122 Producto de matrices por un número Definición 18 El producto de una matriz A = (a ij por un número real α es otra matriz B = (b ij de la misma dimensión que A tal que cada elemento b ij de B se obtiene multiplicando a ij por α Así pues, α A := (α a ij Ejemplo = El producto de un número por una matriz verifica las siguientes propiedades: P1 Primera propiedad distributiva: α (A + B = α A + α B P2 Segunda propiedad distributiva: (α + β A = α A + β A P3 Propiedad asociativa mixta: α (β A = (α β A P4 Existencia de elemento neutro: 1 A = A Dpto de Análisis Matemático 4 Curso 2012/13

5 Propiedades simplificativas: P1 A + C = B + C es equivalente a A = B; P2 α A = α B es equivalente a A = B si α 0; P3 α A = β A es equivalente a α = β si A Producto de dos matrices Dos matrices se pueden multiplicar si el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda matriz Definición 110 El producto de la matriz A m n = (a ij por la matriz B n q = (b jk es otra matriz C m p = (c ik tal que cada elemento c ik se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna k de la segunda matriz Matemáticamente, Ejemplo 111 ( ( a b ( c ik := ( = = n a ih b hk h=1 ( El producto de matrices verifican las siguientes propiedades: P1 Propiedad asociativa: A m n (B n p C p q = (A m n B n p C p q P2 El producto de matrices en general no es conmutativo, es decir A B B A ( ( ( = ( ( = ( P3 Existencia de elemento neutro: La matriz identidad Id Para cualquier matriz cuadrada A de orden n, se tiene que A Id n = Id n A = A P4 Dada una matriz A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A B = B A = Id n Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A, y se designa por A 1 (véase la siguiente subsección Dpto de Análisis Matemático 5 Curso 2012/13

6 P5 El producto de matrices es distributivo con respecto de la suma de matrices, es decir, Para no equivocarse: A (B + C = A B + A C A B = 0 no implica necesariamente que A = 0 o B = 0 A B = A C no implica necesariamente que B = C (A ± B 2 no es necesariamente igual a A 2 + B 2 ± 2 A B (A + B(A B no es necesariamente igual a A 2 B Matriz inversa La matriz inversa solo existe para algunas matrices cuadradas, no para todas (véase el teorema 210 Definición 112 Dada una matriz A de orden n, si existe otra matriz cuadrada B del mismo orden n tal que A B = B A = Id n, se dice que B es la matriz inversa de A, y se designa por A 1 Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es regular o inversible y si no tiene inversa se llama singular 13 Rango de una matriz Recordemos que el conjunto { v 1, v 2,, v k } es linealmente independiente si implica que λ 1 = λ 2 = = λ k = 0 λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k = 0 Definición 113 Dada una matriz A M n m, se define el rango de A como el número de filas (o de columnas linealmente independientes El rango de A se denotará por rg(a Proposición 114 Si A es una matriz de orden m n no nula se cumple que: 131 Cálculo del rango por Gauss En el cálculo del rango de una matriz: 1 rg(a mín{m, n} a Se pueden suprimir sin que varíe el rango: las filas (o columnas nulas las filas (o columnas proporcionales a otras las filas (o columnas dependientes de otras Dpto de Análisis Matemático 6 Curso 2012/13

7 b Se pueden realizar las siguientes operaciones sin que varíe el rango: Regla 1 Multiplicar una fila (o columna por un número distinto de cero Regla 2 Sumar o restar una fila (o columna a otra Aplicando estos procesos se puede llegar a una matriz escalonada que indica el número de filas (o columnas linealmente independientes Dada la matriz A = donde los asteriscos denotan números cualesquiera, si al aplicar el método de Gauss llegamos a ( 0 entonces rg(a = 4 entonces rg(a = entonces rg(a = 3 ( entonces rg(a = 1 Ejemplo 115 A = F 2 =F 2 F 1 F 3 =F 3 F F 3 =F 3 F ( ( F 2 =F 2 3F Entonces, rg(a = 2 Ejemplo 116 B = F 2 =F F 1 F 3 =F 3 F F 3 =F 3 8F 2 F 4 =F 4 4F F 4 =F F Entonces, rg(b = 3 Dpto de Análisis Matemático 7 Curso 2012/13

8 Ejemplo C = F 2 =F 2 2F 1 F 3 =F 3 5F 1 F 4 =F 4 F 1 F 5 =F 5 3F F 3 =F 3 F 2 F 4 =F 4 F ( Entonces, rg(b = 2 2 Determinantes Un determinante es un número que está asociado a una matriz cuadrada El determinante de una matriz A M n se denota por A o por det(a 21 Tipos de determinantes 211 Determinantes de orden 2 Dada la matriz cuadrada de segundo orden ( a11 a A = 12 a 21 a 22 se llama determinante de A al número real det(a = A := a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a Determinantes de orden 3 Dada la matriz cuadrada de tercer orden a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 se llama determinante de A al número real a 11 a 12 a 13 det(a = A := a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 23 a 12 a 31 + a 21 a 32 a 13 a 31 a 22 a 13 a 21 a 12 a 33 a 23 a 32 a 11 Es fácil recordar el desarrollo del determinante de orden 3 mediante la regla de Sarrus: Dpto de Análisis Matemático 8 Curso 2012/13

9 Otra forma, es usando la siguiente regla Versión vertical Versión horizontal 22 Propiedades P1 det(a = det(a t para todo A M n P2 Si una matriz cuadrada tiene una fila (o columna de ceros, entonces su determinante es igual a 0 Por ejemplo, det(0, F 2, F 3 = 0 P3 Si se permuta dos filas (o columnas, el determinante cambia de signo Por ejemplo, det(f 1, F 2, F 3 = det(f 2, F 1, F 3 P4 Si la matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas iguales, entonces su determinante es cero Por ejemplo, det(f 1, F 1, F 3 = 0 P5 Si todos los elementos de una fila (o columna de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa fila (o columna el primero y el segundo sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial Por ejemplo, det(f 1 + F 1, F 2, F 3 = det(f 1, F 2, F 3 + det(f 1, F 2, F 3 P6 Si se multiplican todos los elementos de una fila (o columna de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número Por ejemplo, det(α F 1, F 2, F 3 = α det(f 1, F 2, F 3 Dpto de Análisis Matemático 9 Curso 2012/13

10 P7 Si dos filas (o columnas son proporcionales, entonces el determinante es cero Por ejemplo, det(f 1, α F 1, F 3 = 0 P8 det(a B = det(a det(b para todo A, B M n P9 Si a una fila (o columna le sumamos una combinación lineal de las demás, su determinante no varía Por ejemplo, det(f 1 + α F 2 + β F 3, F 2, F 3 = det(f 1, F 2, F 3 P10 Si una fila (o columna es combinación lineal de las demás, entonces el determinante es cero Por ejemplo, det(f 1, F 2, α F 1 + β F 2 = 0 Ejemplo = [ Hacemos ] F 2 = F 2 F 1 F 3 = F 3 F 1 pues tiene dos filas (la segunda y la tercera proporcionales = = 0, Cálculo de determinantes de orden cualquiera 231 Menor complementario Dada la matriz A = (a ij M n m, el menor complementario de un elemento a ij, denotado por M ij, es el determinante de la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila i y la columna j Ejemplo 22 Sea A = El menor complementario de a 12 es M 12 = = Adjunto Definición 23 Dada la matriz A = (a ij M n m, el adjunto de un elemento a ij se define como el siguiente número real ij := ( 1 i+j M ij El signo ( 1 i+j en la definición anterior se suele recordar mediante la regla: Dpto de Análisis Matemático 10 Curso 2012/13

11 233 Determinante por recurrencia Teorema 24 El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila (o columna cualquiera multiplicada por sus adjuntos correspondientes Por ejemplo, si desarrollamos por la i-ésima fila, A = a i1 i1 + a i2 i2 + + a in in Se puede demostrar que el valor del determinante es independiente de la fila o columna elegida para su desarrollo Ejemplo = = = 1 ( ( 12 = 19 Para que resulte más fácil desarrollar un determinante de orden 4, podemos usar las propiedades de los determinantes y hacer ceros en una fila (o columna Ejemplo = Ejemplo = [ Hacemos ] C 3 = C 3 C 1 C 4 = C 4 2C 1 [ Hacemos ] C 2 = C 2 + C 1 C 4 = C 4 C = = = = = = Cálculo del rango usando determinantes Si A es cualquier matriz, entonces una submatriz de A es cualquier matriz S obtenida al eleminar de A algunas de sus filas y columnas Por ejemplo, la matriz A ij obtenida al suprimir la i-ésima fila y la j-ésima columna es una submatriz de A Nótese que aunque A no sea cuadrada contiene una gran cantidad de submatrices que sí lo són y a las que tiene por tanto sentido calcularles su determinante Teorema 28 El rango de una matriz cualquiera A coincide con el orde más grande que tengan las submatrices cuadradas de A con determinante no nulo Concretamente, el resultado anterior nos dice que rg(a = k si y sólo si: (a Existe una submatriz S de A de orden k con S 0, Dpto de Análisis Matemático 11 Curso 2012/13

12 (b Si S es cualquier submatriz cuadrada de A de orden mayor que k, entonces S = 0 Como consecuencia del resultado anterior, tenemos que una matriz cuadrada de orden n tiene rango n si, y sólo si, el determinante de A es distinto de cero Es decir, dada A M n, tenemos que rg(a = n A 0 Ejemplo 29 Calcular el rango de la siguiente matriz A = Notar que A M 3 4 Luego, 0 rg(a mín{3, 4} = 3 Como 1 0, rg(a 1 Como = 5 8 = 3 0, entonces rg(a 2 Observar que y sin embargo Por tanto, rg(a = = (5 4 4 ( = = = Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Teorema 210 Una matriz cuadrada tiene inversa si, y sólo si, su determinante es distinto de cero A continuación mostraremos un método para hallar la matriz inversa de una matriz regular Para ello, necesitamos el siguiente concepto Definición 211 Sea A = (a ij M n Se llama matriz adjunta de A, y se denota por Adj(A, a la matriz que se obtiene de sustituir cada elemento a ij por su adjunto ij (véase la definición 23 Ejemplo 212 Dada la matriz A = Así pues, su matriz adjunta es , los adjuntos de cada elemento son 11 = 2 12 = 4 13 = 7 21 = 0 22 = 2 23 = 2 31 = 2 32 = 4 33 = 6 Adj(A = = Dpto de Análisis Matemático 12 Curso 2012/13

13 Teorema 213 La matriz inversa de una matriz regular es igual a la matriz traspuesta de su adjunta dividida por el determinante de la matriz dada Es decir, si A M n es una matriz con A 0, entonces A 1 = 1 A Adj(At Ejemplo 214 Sea A la matriz del ejemplo anterior Como A = 2 y Adj(A t = 4 2 4, entonces A 1 = = Conviene observar que: El primer paso para hallar la inversa de una matriz es calcular su determinante Si el determinante es cero, s termina el proceso: la matriz no tiene inversa 3 Sistemas de ecuaciones lineales 31 Definición donde Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 (S a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = b 3 a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = b m a ij son números reales dados, se llaman coeficientes del sistema b 1, b 2, b 3,, b m son números reales, y reciben el nombre de términos independientes x 1, x 2, x 3,, x n son las incógnitas del sistema Si todos los términos independientes son nulos, el sistema se llama homogéneo Definición 31 La solución del sistema (S es un conjunto ordenado de números reales (s 1, s 2, s 3,, s n tales que, al sustituir las incógnita x 1 por s 1, x 2 por s 2, x 3 por s 3,, x n por s n, se satisfacen a la vez las m ecuaciones Podemos clasificar los sistemas lineales según la existencia de soluciones: Dpto de Análisis Matemático 13 Curso 2012/13

14 Sistema compatible (SC: tiene al menos una solución SC Determinado: tiene una única solución SC Indeterminado: tiene infinitas soluciones Sistema incompatible (SI: no tiene ninguna solución Determinado Compatible Indeterminado Sistema Lineal Incompatible 32 Forma matricial de un sistema lineal El sistema (S se puede escribir en la siguiente forma matricial donde B = a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n A X = B, A = es la matriz asociada al sistema, a m1 a m2 a m3 a mn b 1 b 2 b 3 es la matriz columna de los términos independientes, X = b m x 1 x 2 x 3 x n es la matriz columna formada por las incógnitas La matriz ampliada A del sistema (S es de orden m (n + 1 y se obtiene a partir de la matriz A, añadiéndole la columna formada por los términos independientes B, es decir, a 11 a 12 a 13 a 1n b 1 ( a 21 a 22 a 23 a 2n b 2 A := A B = a 31 a 32 a 33 a 3n b 3 a m1 a m2 a m3 a mn b m Dpto de Análisis Matemático 14 Curso 2012/13

15 33 Sistemas equivalentes Definición 32 Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones Observar que si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, entonces tienen el mismo número de incógnitas, aunque no es necesario que tengan igual número de ecuaciones Teorema 33 (Transformaciones de Gauss Las siguientes transformaciones dan lugar a otro sistema equivalente: Cambiar de orden las ecuaciones o las incógnitas; Multiplicar los dos miembros de una misma ecuación por un número distinto de cero; Suprimir una ecuación que sea combinación lineal de otras ecuaciones del sistema; Sustituir una ecuación por la suma de ella y una combinación lineal de las restantes Una regla práctica: Antes de resolver un sistema conviene eliminar las ecuaciones dependientes, como: Ecuaciones nulas Ecuaciones iguales Ecuaciones proporcionales 34 Método de Gauss Consiste en trasformar un sistema en otro equivalente que sea escalonado usando para ello las trasformaciones de Gauss Dado la matriz ampliada de un sistema pretendemos obtener una matriz equivalente con la siguiente forma Pueden ocurrir tres casos: Dpto de Análisis Matemático 15 Curso 2012/13

16 Caso 1 Sistema compatible determinado: siendo, números distintos a cero Caso 2 Sistema compatible indeterminado: siendo,, números distintos a cero ,, Caso 3 Sistema incompatible: , siendo un número distinto a cero Ejemplo 34 Sea (S x y 2z = 1 2x 3y + 4z = 4 5x y + 3z = 16 Aplicamos el método de Gauss para resolver dicho sistema F 2 =F 2 2F F 3 =F 3+4F 2 F =F 3 5F Obtenemos el siguiente sistema equivalente a (S: x y 2z = 1 (1 y + 8z = 6 (2 45z = 45 (3 De (3, obtenemos que z = 1 Sustituyendo en (2 y + 8 = 6 y = 2 Finalmente, sustituyendo ambos valores en (1, tenemos que x 2 2 = 1 x = 3 Por tanto, (S es un sistema compatible determinado cuya única solución es x = 3, y = 2 y z = 1 Dpto de Análisis Matemático 16 Curso 2012/13

17 Ejemplo 35 Sea (S x y + 3z = 4 2x y z = 6 3x 2y + 2z = 10 Aplicamos el método de Gauss para resolver dicho sistema F 2 =F 2 2F F 3 =F 3 F 2 F =F 3 3F Obtenemos el siguiente sistema equivalente a (S: { x y + 3z = 4 (1 7y 2z = 2 ( el cual es un sistema compatible indeterminado Calculemos su solución general Para ello, sea λ R Tomando z = λ, de (2, obtenemos que y 7λ = 2 y = 2 + 7λ Sustituyendo ambos valores en (1, tenemos que x ( 2 + 7λ + 3λ = 4 x = 2 + 4λ Por tanto, (S es un sistema compatible indeterminado cuya solución general viene dada por la siguiente expresión x = 2 + 4λ, y = 2 + 7λ, con λ R z = λ Ejemplo 36 Sea (S 2x y + 3z = 6 4x 2y + 6z = 9 x y + z = 3 Aplicamos el método de Gauss para resolver dicho sistema F 1 F F 2 =F 2 4F 1 F =F 3 2F F 3 =2F 3 F Se trata de una matriz ampliada asociada a un sistema incompatible Por tanto, el sistema (S es incompatible (no tiene solución Dpto de Análisis Matemático 17 Curso 2012/13

18 35 Teorema de Rouché-Fröbenius Teorema 37 (Teorema de Rouché-Fröbenius Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con la columna de los términos independientes Es decir, (S es compatible rg(a = rg(a En un sistema con n incógnitas, se tiene que r = n Sistema compatible determinado rg(a = rg(a = r r < n Sistema compatible indeterminado rg(a rg(a Sistema incompatible 36 Regla de Cramer Definición 38 Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de Cramer si cumple las siguientes dos condiciones: C1 Tiene n ecuaciones y n incógnitas C2 El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero Observar que un sistema de Cramer es por definición compatible determinado, ya que rg(a = rg(a = n Teorema 39 En un sistema de Cramer, el valor de cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante asociado a dicha incógnita por el determinante del sistema Es decir, x 1 = det(b, C 2, C 3,, C n det(c 1, C 2, C 3,, C n x 2 = det(c 1, B, C 3,, C n det(c 1, C 2, C 3,, C n x 3 = det(c 1, C 2, B,, C n det(c 1, C 2, C 3,, C n x n = det(c 1, C 2, C 3,, B det(c 1, C 2, C 3,, C n Ejemplo 310 Sea (S 2x + y + 3z = 7 x + 6z = 4 3x 2y + z = 2 Dpto de Análisis Matemático 18 Curso 2012/13

19 Como el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y A = = 4 0, obtenemos que (S es un sistema de Cramer Aplicando la regla de Cramer, deducimos que x = = = 1, y = = = 2, z = = 12 4 = 3 Por tanto, la solución del sistema (S es x = 1, y = 2 y z = 3 Dpto de Análisis Matemático 19 Curso 2012/13