1 Isometrías vectoriales.

Transcripción

1 Eugenia Rosado ETSM Curso 9-. Isometrías vectoriales. Sea E un espacio vectorial euclídeo. De nición Una aplicación f : E! E se dice transformación ortogonal o isometría vectorial si conserva el producto escalar; esto es, si f(~x) f(~y) = ~x ~y; 8~x; ~y E:! E es una isometría vectorial entonces es una apli- Proposición Si f : E cación lineal. Demostración Veamos que para todo ~x; ~y E, f (~x + ~y) f (~x) f (~y) tiene norma cero y, por tanto, es el vector nulo. Se tiene: y (f (~x + ~y) f (~x) f (~y)) (f (~x + ~y) f (~x) f (~y)) = f (~x + ~y) f (~x + ~y) f (~x + ~y) f (~x) f (~x + ~y) f (~y) f (~x) f (~x + ~y) + f (~x) f (~x) + f (~x) f (~y) f (~y) f (~x + ~y) + f (~y) f (~x) + f (~y) f (~y) = f (~x + ~y) f (~x + ~y) f (~x + ~y) f (~x) f (~x + ~y) f (~y) +f (~x) f (~y) + f (~x) f (~x) + f (~y) f (~y) = (~x + ~y) (~x + ~y) (~x + ~y) ~x (~x + ~y) ~y +~x ~y + ~x ~x + ~y ~y = ~x ~x + ~x ~y + ~y ~y ~x ~x ~y ~x ~x ~y ~y ~y = +~x ~y + ~x ~x + ~y ~y (f (~x) f (~x)) (f (~x) f (~x)) = f (~x) f (~x) f (~x) f (~x) + f (~x) f (~x) = ~x ~x ~x ~x + ~x ~x = : Luego f es lineal. Sea kk : E! R, la norma de nida en el espacio euclídeo E, k~xk = p ~x ~x. Proposición La aplicación lineal f : E! E es una transformación ortogonal si y sólo si kf(~x)k = k~xk para todo ~x E.

2 Eugenia Rosado, ETSM Álgebra Lineal. 9-. Demostración Supongamos que f es una transformación ortogonal, entonces kf(~x)k = p f(~x) f(~x) = p ~x ~x = k~xk ; 8~x E: Supongamos ahora que kf(~x)k = k~xk para todo ~x E y veamos que f es ortogonal. Se tiene: por tanto, k~x ~yk = kf(~x ~y)k (~x ~y) (~x ~y) = f(~x ~y) f(~x ~y) = (f(~x) f(~y)) (f(~x) f(~y)) = f(~x) f(~x) f(~x) f(~y) f(~y) f(~x) f(~y) f(~y) = f(~x) f(~x) f(~x) f(~y) + f(~y) f(~y) = ~x ~x f(~x) f(~y) + ~y ~y; (~x ~y) (~x ~y) = ~x ~x ~x ~y + ~y ~y; por tanto, f(~x) f(~y) = ~x ~y. Proposición Sea f una transformación ortogonal de un espacio vectorial euclídeo E. Se cumple:. f es biyectiva.. Los autovalores reales de f son =.. Si ~u; ~v son autovectores asociados a autovalores diferentes entonces ~u; ~v son ortogonales. Demostración. Como f es un endomor smo para ver que es biyectiva basta ver que es inyectiva. Supongamos f(~u) = ~ entonces k~uk = kf(~u)k = ~ = =) ~u = ~: n o Luego ker(f) = ~ y f es biyectiva.. Sea ~u un autovector de f asociado a un autovalor real, entonces: por tanto =. ~u ~u = f(~u) f(~u) = ~u ~u = ~u ~u. Sean ~u; ~v autovectores asociados a autovalores ; diferentes entonces = y por tanto ~u ~v =. ~u ~v = f(~u) f(~v) = ~u ~v = ~u ~v

3 Eugenia Rosado, ETSM Álgebra Lineal. 9-. Proposición Sea la matriz asociada a un endomor smo f en una base B ortonormal. Entonces, f es ortogonal () es una matriz ortogonal ( t = I). Ejemplo Sea E un espacio vectorial euclídeo referido a la base ortonormal B = f~e ; ~e ; ~e g. Se considera el endomor smo f de E determinado por: f(~e ) = (~e + ~e + ~e ) ; f(~e ) = ( ~e + ~e + ~e ) ; f(~e ) = (~e ~e + ~e ) : Es f una transformación ortogonal? Es f biyectiva? Hallar f. La matriz asociada a f en la base B es: Como la matriz es ortogonal ( = t ) f es una transformación ortogonal. Los autovalores de son: = ip +, = Nótese que: = y =. ip y =. Como f es una transformación ortogonal, f es biyectiva y la matriz asociada a f en la base B es: = t. Por tanto, x x f (x; y; z) y = y z x y z x + y + z x + y + z x y + z Con el MPLE: Para calcular la traspuesta de una matriz podemos utilizar el comando [>transpose( );

4 Eugenia Rosado, ETSM Álgebra Lineal Clasi cación de isometrías vectoriales Sea E un espacio vectorial euclídeo de dimensión n. Sea B una base ortonormal de E. Sea f : E! E una transformación ortogonal o isometría vectorial. Y sea la matriz asociada a f en la base B. Como es una matriz ortogonal se cumple: det() =. De nición Si det() =, se dice que f es una isometría directa. det() =, se dice que f es una isometría indirecta. Y si De nición Un subespacio U E es subespacio invariante de una isometría vectorial f si f(u) U. De nición Un vector ~x E se dice vector invariante de una isometía vectorial f si f(~x) = ~x; esto es, ~x es un autovector de f asociado al autovalor =. Observación El subespacio propio asociado al autovalor =, V (), es el subespacio de vectores invariantes de f. Proposición Sea f una isometría vectorial de E. Si U es un subespacio de E invariante por f entonces U? también es un subespacio invariante por f. Demostración Tenemos que demostrar que f(u? ) U? ; esto es, f(~v) U? para todo ~v U?. Sea ~u U (por tanto, f(~u) U) entonces = ~u ~v = f(~u) f(~v) f isometría por tanto, f(~v) es ortogonal a f(~u) U (por ser U invariante), luego f(~v) U?. Ejercicio Se considera el espacio vectorial euclídeo R y en él la base ortonormal canónica. Se considera una isometría vectorial indirecta f de R cuyo subespacio de vectores invariantes es V = L (f(; ; ) ; (; ; )g) (esto es, V = V ()). Hallar la expresión matricial de f. Solución Como el subespacio de vectores invarianes de f es V (), en este caso tenemos dim V () =. Como f es una isometría tenemos: det = y sabemos que = es un autovalor doble de. Si tuviera un autovalor complejo el conjugado también sería autovalor (los autovalores complejos siempre van de dos en dos), por tanto, el tercer autovalor de es = y dim V ( ) =. Como V = V (), se tiene f (; ; ) = (; ; ) y f (; ; ) = (; ; ). Hallamos V? : = (x; y; z) (; ; ) = y + z = (x; y; z) (; ; ) = x + z

5 Eugenia Rosado, ETSM Álgebra Lineal. 9-. luego V? = f(x; y; z) j = y + z; = x + zg = L (f( ; ; )g) y como los vectores en V ( ) son vectores ortogonales a V () se tiene: V ( ) = V?. Luego, la matriz asociada a la isometría @ Isometrías vectoriales en un espacio euclídeo de dimensión Sea E un espacio vectorial real euclídeo de dimensión y sea B = f~e ; ~e g una base ortonormal de E. Sea f una transformación ortogonal o isometría vectorial de E y sea = M B (F ), la matriz asociada a f en la base B. Como es una matriz ortogonal det() =. Puede suceder: a b = () det() = a + b = () f es directa b a a b = () det() = a b = () f es indirecta b a con a y b.. det() =, entonces la matriz es de la forma cos sin = sin cos En este caso la transformación es una rotación o giro de ángulo. Si =, se dice que f es una simetría respecto del origen y si = entonces f es la identidad.. det() =, entonces la matriz es de la forma cos sin = : sin cos l ser una matriz simétrica, es diagonalizable y como los autovalores de son, por ser una matriz ortogonal, la matriz diagonal de f en una base ortonormal de autovectores es: D = Se trata de una simetría axial respecto de la recta determinada por el autovector asociado al autovalor (nótese, que es la recta de vectores invariantes). La recta V ( ) es una recta invariante por f. :

6 Eugenia Rosado, ETSM Álgebra Lineal Observaciones. La composición de dos simetrías axiales f y g es un giro pues det(m(g f)) = det(m(g)m(f)) = det(m(g)) det(m(f)) = ( ) ( ) = :. La composición de un giro y una simetría axial es una simetría axial Ejemplo Sea f : R! R la isometría vectorial indirecta tal que f(; ) = (; ). Hallar la expresión analítica de f. Solución Tenemos V () = L(f(; )g) y V ( ) = V ()? = L(f( ; )g). En la base ortonormal B = f(; ); ( ; )g la matriz asociada a f es D = y, por tanto, = = 4 4 : La expresión analítica de f en la base canónica es: f(x; y) = x + 4 y; 4 x y : Isometrías vectoriales en un espacio euclídeo de dimensión Sea E un espacio vectorial real euclídeo de dimensión y sea B = f~e ; ~e ; ~e g una base ortonormal de E. Sea f una transformación ortogonal o isometría vectorial de E y sea = M B (F ), la matriz asociada a f en la base B. Como es una matriz ortogonal, se tiene: det() =. El polinomio característico de es de grado tres y por tanto, tiene alguna raíz real.. Si det() = entonces la matriz es de la forma: (a) = I, la isometría f es la identidad ( tiene el autovalor = triple). (b) tiene el autovalor = simple y = doble. Entonces f es una simetría axial respecto de la recta V (). El plano V ( ) es un subespacio invariante.

7 Eugenia Rosado, ETSM Álgebra Lineal (c) tiene el autovalor = simple y los otros dos autovalores son complejos. En este caso f es un giro de ángulo (tr = + cos ) alrededor del eje de vectores invariantes V (). Por ejemplo, si la matriz es de la ó cos sin sin ; cos sin sin ; cos sin sin cos entonces f es un giro alrededor del eje X (resp. eje Y ó eje Z).. Si det() =, entonces la matriz es de la forma: (a) La matriz tiene el autovalor = doble y = simple. Se trata de una simetría respecto del plano de vectores invariantes: V (). Por ejemplo, si la matriz es de la ; entonces f es una simetría respecto del plano z = (resp. plano y = ó plano x = ). (b) La matriz tiene el autovalor = triple. En este caso la isometría f es una simetría central (respecto del origen). (c) La matriz tiene el autovalor = simple y dos autovalores complejos conjugados. En este caso la isometría f es una composición de un giro de ángulo (tr = + cos ) y una simetría.. Ejercicios. Sea R con el producto escalar usual y sea f un endomor smo de R cuya matriz asociada en la base canónica de R es = 4= : 4= = Se pide: (a) Es f una isometría vectorial?

8 Eugenia Rosado, ETSM Álgebra Lineal (b) Hallar los autovalores de f y los subespacios invariantes de f. (c) Clasi car la isometría f. Solución. (a) Sí, porque = M BC (f) es una matriz ortogonal ( = t ). (b) Los autovalores de son = y = invariantes de f son: V () = L (f(; ; )g) ; V ()? = f(x; y; z) j x + y + z = g ip 6. Los subespacios (c) La isometría f es un giro respecto de la recta V () de ángulo cos = (tr() ) = = :. Sea R con el producto escalar usual y sea f un endomor smo de R cuya matriz asociada en la base B = f(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g es = 4= 4= = Se pide: (a) Es f una isometría vectorial? (b) Hallar la matriz asociada a f en la base canónica de R. (c) Hallar los autovalores de f. Solución. (a) Tenemos: f(; ; ) = (; ; ) (; ; ) = ; ; luego kf(; ; )k = 4 ; ; s 4 = ; ; = p 6 k(; ; )k = p (; ; ) (; ; ) = p B C 4 ; ; por tanto, como kf(; ; )k 6= k(; ; )k, se deduce que f no es una isometría vectorial.

9 Eugenia Rosado, ETSM Álgebra Lineal (b) La matriz asociada a f en la base canónica es: M Bc (f) = M BBC M BB = 4= = 6 4 que no es una matriz ortogonal. Por tanto, f no es una isometría. (c) Los autovalores de f son ;. El determinante de es.. Sea R con el producto escalar usual y se B = f~e ; ~e ; ~e g una base ortonormal. Se considera el endomor smo de R dado por: Se pide: f(~e + ~e ) = f(~e ) = ~e ~e ~e + 4 ~e ; ~e + ~e ; f(~e ) = ~e + ~e + ~e : (a) Probar que f es una isometría vectorial. (b) Calcular los subespacios invariantes de f. (c) Clasi car la isometría f. (d) Hallar la expresión analítica f. Solución. (a) Se tiene: Por tanto, f(~e ) = f(~e + ~e ) f(~e ) = ~e ~e + 4 ~e = ~e + ~e + ~e : M B (f) ~e ~e + ~e que sí es una matriz ortogonal, por tanto, f sí es una isometría y además es simétrica.

10 Eugenia Rosado, ETSM Álgebra Lineal. 9-. (b) Los autovalores de son = simple y = doble. Y los subespacios invariantes de f son: V () = L (f(; ; )g) ; V ( ) = L (f( ; ; ) ; ( ; ; )g) : (c) La isometría f es una simetría axial respecto de la recta V (). (d) Como = T = se tiene f (x; y; z) = f(x; y; z), esto es, x x + y y x y + z z x + y + z f (x; y; z) = x + y + z; x y + z; x + y + z : 4. Sea f la isometría indirecta tal que el plano generado los vectores (; ; ) y (; ; ) es el subespacio de vectores invariantes. Se pide: (a) Hallar los subespacios invariantes de f. (b) Dar la expresión analítica de f. (c) Clasi car dicha isometría. (d) Se considera el conjunto S = f~x j k~xk = g Es S un subespacio vectorial de R? Hallar f(s). (e) Hallar la expresión analítica de f. (f) Hallar la expresión analítica de f = f f. Es f una isometría vectorial? Solución. (a) Los subespacios invariantes de f son: = V () = L (f(; ; ); (; ; )g) = f(x; y; z) j x + y + z = g Las rectas contenidas en el plano? = L (f(; ; )g) = V ( ):

11 Eugenia Rosado, ETSM Álgebra Lineal. 9-. (b) La matriz asociada a f en la base B = f(; ; ); (; ; ); (; ; )g es: D por tanto, la matriz asociada a f en la base canónica La expresión analítica de f es: f(x; y; z) = x y z; x + y z; x y + z (c) La isometría f es una simetría respecto del plano. (d) El subconjunto S = f~x j k~xk = g no es un subespacio vectorial de R pues si tomo, por ejemplo ~x = p ; ; p ; ~y = p ; p ; ; se cumple ~x; ~y S y, sin embargo s k~x + ~yk = p ; p ; p p ; p ; p = 6= luego ~x +~y = S. Como f es una isometría vectorial kf(~x)k = k~xk = y como es un subespacio invariante f() =. Luego f(s) = S. (e) Como f es una isometría simetrica se tiene que su matriz asociada en la base canónica cumple: = t = y por tanto f = f. (f) La matriz asociada a f = f f en la base canónica Por tanto, f = id y sí es una isometría vectorial. En el espacio vectorial euclídeo R con el producto escalar usual se consideran las aplicaciones lineales g; f : R! R de nidas como sigue: se pide: f(~e p ~e ) = ~e ; g(~e ) = ~e ; f(~e ) = ~e ; g(~e ) = ~e ; f( p ~e + ~e ) = ~e ; g(~e ) = ~e ;

12 Eugenia Rosado, ETSM Álgebra Lineal. 9-. (a) Probar que f es una isometría vectorial y clasi carla. (b) Hallar los subespacios invariantes de f. (c) Probar que g es una isometría vectorial y clasi carla. (d) Hallar los subespacios invariantes de g. (e) Hallar f g. Es f g una isometría ortogonal? Clasi carla. (f) Hallar los subespacios invariantes de f g.