5. Repaso de matrices. ( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

Transcripción

1 . epso de trices he Mdoz, VEGP, Mdrid )

2 Mtrices Eleeto: ij Tño: Mtriz cudrd: orde ) Eleetos de l digol: Vector colu triz ) Vector fil triz ) )

3 8, B ) 8) B Su: ij k k k k k k k k k k k ) Multiplicció por u esclr:

4 Si, B, so trices, k y k so esclres: i) B B ii) B ) B) iii) k k ) k k ) iv) v) k B) k k B vi) k k ) k k

5 ) b) Not: E geerl, B B 8, B 8 8 ) 8 ) B, 8 B ) ) ) ) 8 ) 8 ) B Multiplicció:

6 Trspuest de u triz : T i) T ) T ii) B) T T B T iii) B) T B T T iv) k) T k T Not: B ) T T B T T B) T T B T T

7 ,, Mtriz cero ) iferior Trigulr superior Trigulr 8 8 Mtrices trigulres

8 8 Mtriz cudrd, i j, ij Mtriz digol: :, etoces I I Mtriz idetidd:

9 U tiz es siétric si T. T

10 b b b b b b Mtriz uetd socid, pr resolver el siste de ecucioes lieles. esolució de sistes de ecucioes lieles:

11 ,,

12 esolver edite el étodo de Guss-Jord Etoces: Hciedo t, teeos t, t.

13 esolver: 8 8!! No tiee solucioes.

14 Vectores fil: u ), u, ),, u ),,, v v v Vectores colu: El rgo de u triz, es el áio úero de vectores fil lielete idepedietes rg.

15 Siepre hy solucioes cosistete) Solució úic solució trivil) rg) Ifiits solucioes g) < r práetros

16 B, B osistete rg) rg B) Icosistete rg) < rg B) Solució úic rg) Ifiits solucioes rg) < r práetros

17 Deterites det det. det Epsió por cofctores lo lrgo de l prier fil.

18 det El cofctor de ij es ij ) i j M ij dode M ij se ll eor. det... O por l tercer fil: det Podeos epdir por fils o colus. 8

19 det ) ) ) ) ) )

20 )] [) )] [) )] [) ) ) ) det det ) ) ) ) det Más corto desrrolldo por l segud fil...

21 8 )] [) ) ) 8 ) ) ) 8 det 8

22 det T det det det T Si dos fils colus) de u triz de so idétics, etoces det. det

23 Si todos los eleetos de u fil colu) de u triz de so cero, etoces det. Si B es l triz obteid por itercbio de dos fils colus) de u triz, etoces: det B det det B det

24 Si B se obtiee de u triz ultiplicdo u fil colu) por u úero rel k, etoces: det B k det det B k i i k i i k k i i ii ii) epsió de det por cofctores lo lrgo de l i-ési fil i i k det ) 8

25 Si y B so trices, etoces det B det det B., B B det B, det 8, det B, det B det det B.

26 det det B. B Si B se obtiee coo cobicioes lieles de fils o colus de u triz, etoces: det B det

27 ). det ) )... det ) det.. triz digol triz trigulr iferior

28 Supogos que es u triz. Si i, i,, i so los eleetos de l i-ési fil y k, k,, k so los cofctores de l k-ési fil, etoces: i k i k i k, pr i k Igulete, si j, j,, j so los eleetos de l j-ési colu y k, k,, k so los cofctores de l k-ési colu, etoces: j k j k j k, pr j k 8

29 Deostrció Se B l triz que obteeos de l cbirle los eleetos de l i-ési fil por los de su k-ési fil: b i k, b i k,, b i k B tedrá etoces dos fils idétics de odo que det B, y: det B k i k k i k k k i k k k

30 8 ) ) )

31 Ivers de u triz Se u triz. Si eiste u triz B tl que B B I dode I es l triz idetidd, etoces se dice que es u triz o sigulr o ivertible. Y B es l triz ivers de. Si crece de ivers, se dice que es u triz sigulr. Se, B trices o sigulres. i) - ) - ii) B) - B - - iii) T ) - - ) T

32 Se u triz. L triz ford por l trspuest de l triz de cofctores correspodietes los eleetos de : se ll djut de y se deot por dj. T Mtriz djut

33 Ecotrr l triz ivers: Se u triz. Si det, etoces: Pr : dj ) det det det dj det

34

35

36 ) I

37 8 8

38 8 Sigulr

39 b b b,, b b b B B Si, y es o sigulr, etoces: - B

40 /,

41 8,,

42 c b b b c b b b c b b b b b b det det B - det det det k k k k k b b b egl de rer

43 U siste hoogéeo de ecucioes lieles, tiee solo l solució trivil ceros) si y solo si es o sigulr. U siste hoogéeo de ecucioes lieles, tiee u solució o trivil si y solo si es sigulr.

44 Probles de utovlores DEFINIIÓN utovlores y utovectores Se u triz. U úero λ se dice que es u utovlor de si eiste u solució vector, distito de cero pr: λ El vector solució es el utovector correspodiete l utovlor λ. Los utovlores de u triz trigulr, iferior o superior, o de u triz digol so los eleetos de l digol.

45 Verific que es el utovector de l triz: Solució ) ) utovlor

46 Podeos escribir λ coo: λi) Que es lo iso que u siste de ecucioes lieles hoogéeo. Si quereos que se u solució distit de cero, deberí ocurrir que: det λi) Observ que det λi) os proporciorá u polioio de grdo, que llreos ecució crcterístic.

47 Ecuetr los utovlores y utovectores de: ) det λ λ λ λi λ λ λ λ λ ) λ ) λ,,. hor ecotrreos los utovectores pr cd utovlor. λi)

48 8 i) λ ) I, k k k k Todo k λ I)

49 ii) λ 8 8 ) I 8 k k, k k. Todo k : λ I)

50 iii) λ ) I k k, k /) k. Y todo k, λ I)

51 λ λ es u utovlor de ultiplicidd. prtir de I ), teeos: ) ) det λ λ λ λi k k k k Ecuetr los utovlores y utovectores de: Todo k, teeos k, y etoces

52 λ, λ λ 8 ultiplicidd ). 8) ) ) det λ λ λ λ λ λi Ecuetr los utovlores y utovectores de:

53 i) λ, por el étodo de Guss-Jord: ) I k k, k k. Si k, etoces:

54 ii) λ 8, ) 8 I, k k k. Podeos elegir dos de ellos de er rbitrri. Toeos k, k : Y k, k :

55 utovlores y utovectores coplejos Se u triz cudrd de eleetos reles. Si λ α iβ, β, es u utovlor coplejo de, etoces su cojugdo utovlor de. λ α es tbié u Si es u utovector correspodiete λ, etoces el utovector cojugdo es u utovector correspodiete λ. Deostrció: iβ λ, λ, λ

56 Ecuetr los utovlores y utovectores de: det λi) λ i λ λ λ i, λ λ i k λ λ i) k k i) k λ I) k i) k, todo k : i λ λ i, i

57 Potecis de u triz Se, u triz. Defiios l poteci -ési de coo: fctores

58 Teore de yley-hilto Ecució crcterístic: det λi) ) λ c λ c λ c U triz stisfce su propi ecució crcterístic: ) c c c I 8

59 oprobrlo co: λ λ. Y por el teore de yley- Hilto: I Observ que etoces: I y λ λ Y podeos escribir ls sucesivs potecis de coo: I ) I I) I I I... c c I... λ c λ c

60 O se que podeos escribir: c c I y λ c λ c λ λ ; λ, λ : ) c c c c ) ) c /[ ) ], c /[ ) ] [ ) ] [ [ ) ] [ ) ) ] ]

61 Y e geerl, pr u triz de orde : c I c c c λ c c λ c λ c λ dode los c k k,,, ), depede de.

62 lcul pr: Solució λ λ λ, λ,,. c I c c λ c c λ c λ o λ, λ, λ, obteeos: ) c c c c c c c c c c c c [ [ ) [ ) ], ) ], ]

63 Puesto que c I c c, teeos: ] ) [ ] ) [ ] ) [ ] ) [ ] ) [ ] ) [ Por ejeplo, pr

64 Por el teore de yley-hilto: I, I /) /), Multiplicdo bos ldos por podeos ecotrr l ivers: /) /)I

65 U triz es siétric si T Si es siétric co eleetos reles, etoces los utovlores de so reles. λ, λ, λ Trspoiedo y ultiplicdo por por l derech: T λ T λ λ) T T k k k ) λ λ λ es rel.

66 utovectores ortogoles l igul que defiios el producto esclr etre vectores: y y y y podeos defiirlo co trices vectores fil o colu): Y T Y y y y T Veos que si es u triz siétric, los utovectores correspodietes distitos diferetes) utovlores so ortogoles.

67 Deostrció Se λ,, λ dos utovlores distitos correspodietes los utovectores y. λ, λ ) T T T T λ T T λ T λ, T λ T λ T λ T λ λ ) T oo λ λ, etoces T.

68 8 λ,, y,, ) ) ) ) ) T T ) ) )... T

69 Mtriz ortogol: U triz o sigulr es ortogol si: - T es ortogol si T I. I I T I II I I T

70 T T T T T T T T T T U triz es ortogol si y solo si sus vectores colus,,, for u cojuto ortoorl. Es decir si: it j, i j, i, j,,, it i, i,,, Los i for u cojuto ortoorl.

71 ,,, ) ) ) T T T

72 Y los vectores so uitrios, ortoorles: ) ) ) T T T

73 ,,, T, T T,, P Verific que P T P -. Vios

74 utovlor doite Se λ, λ,, λ k,, λ los utovlores de u triz. El utovlor λ k se ll utovlor doite de si: λ > λ, i,,, k i, λ k U utovector socido se deoi utovector doite de. λ, λ λ, λ λ

75 Método de ls potecis i i, i,,, Vector Supogos que tiee u utovlor doite. Supogos que λ > λ λ co,,, utovectores socidos lielete idepedietes. Etoces: c c oo i λ i i, etoces: c c c c cλ cλ c λ

76 Multiplicdo por sucesivete: c c c c c c λ λ λ λ λ λ c c c λ λ λ c c c λ λ λ λ λ c λ oo λ > λ i, i,,, ; cudo, podeos proir:...)

77 Observeos que u utovector ultiplicdo por u costte sigue siedo u utovector. De odo que podeos escribir: De odo que será u proició l utovector doite. Puesto que λ, λ λ λ c λ ociete de yleigh. que os d u proició l utovlor doite.

78 8 8 i i c λ

79 ..8.. T T.. λ....,.. λ, λ,

80 Mtriz digolizble Si eiste u triz P, tl que P - P D se digol, etoces decios que es digolizble. TEOEM odició suficiete de digolizbilidd Si es u triz que tiee utovectores,,, lielete idepedietes, etoces es digolizble. 8

81 8 Deostrció Puesto que P,, ) es o sigulr, etoces eiste P - y sí que P - P D. PD P ) ) ) λ λ λ λ λ λ

82 odició suficiete de digolizció Si es u triz co utovlores distitos, etoces es digolizble. Teeos que λ,. Y solo podeos ecotrr u utovector. L triz o puede digolizrse. 8

83 8 ) ) ) det λ λ λ λ λ λ λi,, ) P P D P P Digoliz: λ,.

84 8,,,,, λ λ λ ) P P D P P 8 8 8

85 8 ) I λ,,. λ λ, P D juto co, for tres vectores lielete idepedietes. Luego l triz es digolizble. P - P D

86 Si eiste u triz P ortogol que puede digolizr, decios que es ortogolete digolizble. U triz es ortogolete digolizble si y solo si es siétric. P digoliz : P - P D, PDP -. P es ortogol: P - P T, etoces: PDP T. T PDP T ) T PD T P T PDP T Luego es siétric. 8