TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES

Transcripción

1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES.-LA RECTA REAL Los NÚMEROS RACIONALES: Se caracterizan porque pueden expresarse: En forma de fracción, es decir, como cociente b a de dos números enteros: a, y b Z con b 0 En forma decimal: Con un número entero o bien con una expresión decimal finita o periódica. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q. PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división del numerador entre el denominador. Ejemplos: PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN nº sin coma d. exacto = 1 seguido de tan tos 0 como cifras decimales tenga nº sin coma y sin arquito su parte no periódica d. periódico puro = nº formado por tan tos9 como cifras tenga el periodo

2 d. p. mixto = nº con nº sin coma y sin arquito su parte no periódica sin coma tan tos 9 como cifras tenga el periodo seguido de tan tos 0 como cifras tenga el anteperiodo Los NÚMEROS IRRACIONALES: Se caracterizan porque: No pueden expresarse en forma de fracción. Su expresión decimal tiene infinitas cifras y no es periódica. El conjunto de todos los números irracionales se designa por I. Ejemplos: 4 Raíces no exactas de números enteros: 2 ; 5 ; 3 8 Expresiones decimales infinitas no periódicas que presentan algún tipo de regularidad: ; Números importantes como: π = 3' ; e = 2' ; Φ = = 1' Los NÚMEROS REALES: Tanto los números racionales como los irracionales se llaman números reales. Se caracterizan, por lo tanto, por admitir una expresión entera o decimal (exacta, periódica o no periódica). El conjunto de los números reales se designa por R.

3 Con los números reales podemos realizar las mismas operaciones que hacíamos con los números racionales: sumar, restar, multiplicar, dividir (salvo por el cero), y elevar a un exponente entero, y se siguen manteniendo las mismas propiedades (libro S.M. pág. 11). También podemos extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par de números negativos) y el resultado sigue siendo un número real. Para realizar estas operaciones se pueden utilizar aproximaciones tomando el número de cifras decimales que se considere apropiado. El resultado será una aproximación del valor real y se cometerá un error cuya magnitud dependerá del número considerado de cifras decimales. LA RECTA REAL Los números reales se representan en la recta graduada: Los que son racionales se pueden dibujar de forma exacta (usando regla y compás) Representación de naturales, enteros o decimales exactos Ejemplo: 2; 3,47 Decimal periódico: Pueden expresarse en forma de fracción y representar la fracción (Se divide cada unidad en tantas partes como indique el denominador y se toman tantas como tenga el numerador) Ejemplo : 0, = 5/6

4 Ejemplo: 11/6 = 1 + 5/6 (Se divide igual pero la unidad entre el 1 y el 2) Ejemplo: -11/6 = -1 5/6 (Se divide igual pero la unidad entre el 1 y el 2) Decimal no periódico: Irracionales No obstante, en la recta numérica hay infinitos puntos no ocupados por números racionales. A cada uno de estos puntos le corresponde un número irracional: Solo algunos números irracionales pueden ser representados sobre la recta graduada con regla y compás: los radicales cuadráticos (, 3, 5, 6, 2 ). Se pueden representar construyendo triángulos rectángulos (Se utiliza el teorema de Pitágoras donde la hipotenusa es lo que queremos dibujar) Ejemplo: 10 Ejemplos: Representa 5 ; 14 ; 18 ; 27 Si un número irracional viene dado por su expresión decimal, podemos representarlo, de forma aproximada: Ejemplo: 3, Podemos afinar tanto como queramos. Los números reales pueden ser representados en la recta real, según los casos, de forma exacta, o bien con tanta aproximación como queramos. Los números reales llenan la recta numérica (para cada nº real hay un solo punto de la recta que lo representa y cada punto de la recta es representante de un solo nº real) por eso se la llama RECTA REAL.

5 1.2 ORDENACIÓN DE NÚMEROS REALES. DESIGUALDADES.- (libro S.M. pág 12) Si tenemos varios números reales representados sobre la recta, cuanto más pequeño sea el número real, más a la izquierda estará representado sobre la recta. Entre varios números reales expresados en forma decimal, es menor el que tenga menor la primera cifra distinta de mayor orden. ) ) Ejemplo: Ordena de menor a mayor: 7'512 ; 7' ; 7'512 ; 7' ; 7' 5 Los conjuntos Q y R son densos en R, es decir, que entre dos números racionales o reales hay infinitos números de ese mismo conjunto (racionales o reales) (el valor media aritmética de los dos es racional 0 real y está entre ambos). 1.3 INTERVALOS, SEMIRECTAS Y ENTORNOS.- La relación de orden permite definir algunos subconjuntos muy utilizados de números reales que tienen una interpretación sencilla en la recta real: Nota: Si queremos nombrar el conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.

6 Si queremos nombrar el conjunto de puntos comunes a dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (intersección) entre ellos. ENTORNOS: Se llama entorno de centro a y radio r y se designa E(a,r) al conjunto de puntos (a r, a+r) Se llama entorno reducido de centro a y radio r y se designa E*(a,r) al entorno E(a,r) menos el centro(a): E*(a,r) = (a r, a + r) {a} 1.4 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL El valor absoluto de un número real, a, es la distancia (medida en unidades) desde el punto de la recta real que representa al número a hasta el que representa al 0. Se calcula: con el propio número a, si es positivo, o su opuesto, -a, si a es negativo: a a = a si si a 0 a < 0 (Es decir, sale siempre un número positivo). El valor absoluto de un número coincide con el de su opuesto: a = a DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE LA RECTA REAL La distancia entre dos puntos a y b es su diferencia en valor absoluto: Ejemplo: La distancia entre -2 y 5 es: 5 ( 2) = 7 = 7 unidades. d( a, b) = b a PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO: a 0 para cualquier nº a. a b = a b a + b a + b (Propiedad triangular).

7 1.5 EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS REALES. VALORES APROXIMADOS.ERRORES Y COTAS DEL ERROR. APROXIMACIÓN DECIMAL Para operar con los números que tienen su expresión decimal con infinitas cifras decimales se utilizan sus aproximaciones decimales, que son números enteros o decimales exactos o fracciones (y por tanto racionales) con valores muy próximos al de los números en cuestión. Aproximar un número real es sustituirlo por otro racional que sea entero o decimal exacto o fracción, con valor muy próximo al suyo. Se dice que la aproximación se hace por defecto cuando la sustitución es por un número menor que el original, y por exceso cuando la sustitución se hace por un número mayor que él. Las aproximaciones se hacen a un orden dado. En cada aproximación coinciden todas sus cifras con las del número original hasta llegar a la cifra correspondiente al orden establecido. Esta última cifra también coincide si la aproximación es por defecto, y es una unidad mayor que la del número original si la aproximación es por exceso Ejemplo: Escribe una aproximación por defecto y otra por exceso de 3 hasta las milésimas: 3 = 1' Por defecto: Por exceso: ERRORES Al utilizar cualquier aproximación de un número real se comete un error, que será menor cuantas más cifras decimales tenga la aproximación. Se define como la distancia del valor real a su aproximación: Error absoluto = valor real aproximación Pero no es lo mismo cometer un error de 1 metro al medir una longitud de 100 metros que al medir una longitud de metros; por eso tiene sentido definir: Error absoluto Error relativo = valor real El error relativo representa el error por unidad y se suele expresar en tanto por ciento (error por cada 100 unidades). Estos errores solo se pueden calcular de forma exacta cuando el valor que se aproxima es el de un número racional y no se pueden calcular de forma exacta cuando el valor aproximado es de un número irracional (valor exacto desconocido). Ejemplos: a) Calcula el error absoluto y relativo que se comete al tomar 1 17 como valor aproximado del 7 número. 6

8 Solución: Error absoluto = valor real aproximación = 1' 17 = = = '17 = número π. 2 = = = ) 0'003 1 Error absoluto Error relativo = = = = = valor real ' ó 0' b) Calcula el error absoluto y relativo que se comete al tomar como valor aproximado del Solución: En este caso, el error absoluto y relativo no puede calcularse de forma exacta, pero se sabe que es menor que la diferencia entre las aproximaciones por defecto y por exceso: % Error absoluto = valor real aproximación = π 3' 142 < 3 ' 141 3' 142 = 0' 01 Luego: el Error absoluto es menor que Se dice que 0 01 es una Cota del error absoluto. Para obtener el error relativo, tampoco se puede calcular exactamente, pero si se puede calcular una cota para dicho error: Luego: el Error absoluto Error relativo = < valor real cota del error absoluto aproximación por defecto = 0'001 3' 141 < 0'00032 ó 0'032 % Error relativo es menor que Se dice que es una Cota del error relativo o que el error relativo es menor que 0 032% Ejercicio.- Calcula una cota para el error absoluto y para el error relativo que se comete al tomar 7 22 como valor aproximado del número π. REDONDEO Redondear un número a un cierto orden es escoger de entre las aproximaciones del número por defecto y por exceso (hasta ese orden) aquella con la que se cometa menor error absoluto. Para redondear un número a un cierto orden, se desprecian todas las cifras siguientes al orden indicado. -Si la primera cifra despreciada es inferior a 5 (0,1,2,3,ó 4), se toma como redondeo la aproximación por defecto. - Si la primera cifra despreciada es superior o igual a 5 (5,6,7,8,ó 9), se toma como redondeo la aproximación por exceso. Ejemplo: El redondeo de 7 = 2' a las centésimas es: 2 65

9 1.6 NOTACIÓN CIENTÍFICA Sirve para expresar números muy grandes y muy pequeños. Ejemplo: Los números siguientes están puestos en notación científica: 2, = (14 cifras a partir de la coma) 7, = 0, (14 cifras cero, incluido el de la parte entera) Un número puesto en notación científica consta de dos factores: Un número decimal exacto cuya parte entera está formada por una única cifra distinta de 0. Una potencia de 10 Si n es positivo, el número N es grande N = a, bcd... x n 10 Si n es negativo, el número N es pequeño. OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA Para sumar y restar: hay que preparar los sumandos de modo que todos tengan la misma potencia de base 10 y así poder sacarla factor común. Ejemplo: El producto, el cociente y la potencia son inmediatos: Ejemplo: