INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS OCULTOS DE MARKOV. Luis Miguel Bergasa Pascual

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1 ITRODUCCIÓ A LOS MODELOS OCULTOS DE MARKOV Lus Mguel Bergasa Pascual Deparameno de Elecrónca. Unversdad de Alcalá. Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca COTEIDOS Inroduccón Revsón de concepos Procesos de Markov Modelos oculos de Markov Eemplos de aplcacón Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 2

2 Fenómenos aurales Emen señales o enen propedades observables con caraceríscas esadíscas que pueden varar con el empo. Clasfcacón de las señales: Dscreas p.e. el alfabeo o connuas p.e. la voz Esaconaras o esocáscas Puras o dsorsonadas por el rudo Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 3 Problema: modelar dchos fenómenos Esablecer una represenacón maemáca del fenómeno que perma explcarlo. Deben permr analzar el fenómeno sn necesdad de ser observado drecamene Deben ener una represenacón adecuada: Buena capacdad de reconocmeno Predccón Tpos: Deermnsas: exploran caraceríscas conocdas de la señal Esadíscos: caracerzan la señal con valores esadíscos Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 4

3 Modelos Esadíscos de Señales Cadenas de Markov Markov906 Señales observables represenadas como un proceso aleaoro paramérco Los parámeros pueden deermnarse con precsón Modelos Oculos de Markov HMM Baum e al Exensón de las cadenas de Markov cuando las señales no son observables Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 5 Eemplo: esado del empo Lluvoso 0.2 uboso S S S Soleado Dado que hoy esa soleado cuál es la probabldad de la secuenca soleado nuboso lluvoso? Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 6

4 Tpos de Modelos de Markov Caraceríscas generales Elemenos báscos de odo modelo de Markov: El ssema ene varos esados ss El ssema evolucona de unos esados a oros con ranscones probablíscas ps s s0 0.2 s s MODELO DE TRASICIÓ ps s s s s0 s s2 s3 s4 s s s4 0.8 s3 0.2 s s s PROPIEDAD DE MARKOV: El esado en + sólo depende del esado en y no de la evolucón aneror del ssema. Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 7 Tpos de Modelos de Markov Clasfcacón o hay accones sólo ranscones esocáscas Esado observable Cadenas de Markov Markov Chans Esado oculo observacones Modelos Oculos de Markov HMMs Hay accones que producen ranscones esocáscas Procesos de Decsón de Markov MDPs Procesos de Decsón de Markov Parcalmene Observables POMDPs Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 8

5 Tpos de Modelos de Markov. Cadenas de Markov Markov Chans En una Cadena de Markov el ESTADO es COMPLETAMETE OBSERVABLE conocdo en odo momeno y O EXISTE ACCIOES no hay oma de decsones -> equvale a una sóla accón s0 0.2 s s MODELO DE TRASICIÓ ps s s s s0 s s2 s3 s4 s s s4 0.8 s3 0.2 s s s Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 9 Tpos de Modelos de Markov 2. Modelos Oculos de Markov HMMs En un Modelo Oculo de Markov el ESTADO es PARCIALMETE OBSERVABLE no se conoce pero exsen observacones oo y O EXISTE ACCIOES no hay oma de decsones -> equvale a una sóla accón o0 con prob 20% o con prob 80% s s4 o2 con prob 00% o con prob 50% o2 con prob 50% 0.5 s s2 0.9 s o0 con prob 70% o0 con prob 30% o2 con prob 30% o con prob 70% Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca MODELO DE TRASICIÓ ps s Y MODELO DE OBSERVACIÓ po s eemplo con 3 posbles observacones s o o0 o o2 s s 0 0 s s s Aquí el problema es esmar el esado varable ocula 0

6 Tpos de Modelos de Markov 3. Procesos de Decsón de Markov MDPs En un Proceso de Decsón de Markov el ESTADO es COMPLETAMETE OBSERVABLE conocdo en odo momeno y EXISTE DIFERETES ACCIOES un modelo de ranscón para cada accón -> ps sa s0 a0 a a0 s a a s2 MODELO DE TRASICIÓ ps sa en ese caso al haber 2 accones son dos marces: ps sa0 y ps sa a0 s4 a0 a s3 Aquí el problema es la oma de decsones selecconar las accones para maxmzar una recompensa fuura. Para ello se defne el: Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca MODELO DE RECOMPESA rs a POLÍTICA: asoca una accón ópma a cada esado que maxmza la recompensa fuura. Varos algormos Tpos de Modelos de Markov 4. Procesos de Decsón de Markov Parcalmene Observables POMDPs En un Proceso de Decsón de Markov Parcalmene Observable el ESTADO es PARCIALMETE OBSERVABLE no se conoce pero se dspone de observacones y EXISTE DIFERETES ACCIOES un modelo de ranscón para cada accón -> ps sa o0 con prob 20% o con prob 80% a0 s0 a o2 con prob 00% a0 s a a s2 o con prob 50% o2 con prob 50% MODELO DE TRASICIÓ ps sa MODELO DE OBSERVACIÓ po s MODELO DE RECOMPESA rsa a0 s4 a a0 s3 Aquí hay dos problemas: la esmacón del esado como en HMM o0 con prob 70% o2 con prob 30% o0 con prob 30% o con prob 70% la oma de decsones como en MDP Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 2

7 Tpos de Modelos de Markov Algormos probablíscos úles Esado observable Esado oculo observacones FILTROS BAYESIAOS Para esmar el esado cuando es oculo CREECIA BelS o hay accones sólo ranscones esocáscas Cadenas de Markov Markov Chans Modelos Oculos de Markov HMMs Bels' po s' ps' s Bels ds Hay accones que producen ranscones esocáscas Procesos de Decsón de Markov MDPs Procesos de Decsón de Markov Parcalmene Observables POMDPs Bels' po s' ps' sa Bels ds Políca a=s Políca a=bels TEORÍA DE DECISIOES Para selecconar la accón a eecuar Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 3 Cadenas de Markov MC Dado un proceso represenado por esados S =... camba de esado según cera probabldad asocada a cada esado en punos dscreos en el empo =...T. Se dce que en el empo el ssema esá en el esado q. La descrpcón probablísca del proceso es P[q = S q - = S q -2 = S k ]=P[q = S q - = S ] prmer orden. Consderándolo ndependene del empo se enen las probabldades de ranscón enre esados a = P[q = S q - = S ] donde a 0y a =. Probabldades del esado ncal = P[q = S ] =... =... Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 4

8 Eemplo de MC: esado del empo Modelo de Markov observable: cada esado es un eveno físco observable. Marz de probabldad de ranscón de esados: A { a 0.4 } Dado que hoy esa soleado cuál es la probabldad la secuenca soleado nuboso lluvoso O ={S 3 S 2 S }? PO/Modelo = P[S 3 ].P[S 2 S 3 ]. P[S S 2 ] = 3 a 32 a 2 = = 0.02 Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 5 Exensón a HMM En las cadenas de Markov el esado es observable el parámero es la probabldad de ranscón. En HMM la observacón es una funcón probablísca del esado. El modelo ene dos procesos esocáscos embebdos uno no es observable esados oculos pero puede ser observado medane el oro proceso secuenca de observacones. Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 6

9 Eemplo HMM: lanzameno de monedas Del expermeno solo se sabe los resulados del lanzameno de las monedas las monedas esán oculas. Se observan los símbolos cara C y cruz X: O = CXXCCXCXX... Cómo consrur un modelo que explque la secuenca de monedas? A qué corresponden los esados? Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 7 Eemplo HMM:. Asumendo una moneda Cada esado podría represenar el resulado del lanzameno PC PC S S 2 -PC Cara -PC Cruz - Modelo observable - Especfcado con solo deermnar: PC - Parámeros: Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 8

10 Eemplo HMM: 2. Asumendo dos monedas Cada esado podría represenar una moneda a 22 a S S 2 a 22 PC=p PX=p a PC=p 2 PX =p 2 - Cada esado ene una funcón de dsrbucón de prob. - Especfcado con 4 parámeros: p p 2 a a 22. Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 9 Eemplo HMM: 3. Asumendo res monedas a 2 PC=p PX=-p a 2 a a 2 22 PC=p 2 PX=-p 2 a 3 a 23 a 3 - Parámeros = 9 p p 2 p 3 a a 2 a 2 a 22 a 3 a 32 3 a 33 a32 PC=p 3 PX=-p 3 Cuál es el meor modelo? - Correspondenca con el fenómeno físco - Candad de parámeros: flexbldad vs. esfuerzo cálculo Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 20

11 Eemplo HMM: modelo de urnas y bolas Urna Urna 2 Urna n PRoo=b PAzul=b2.. PVerde=bM PRoo=b2 PAzul=b22.. PVerde=b2M PRoo=bn PAzul=bn2.. PVerde=bnM O={Roo Azul Azul Verde Verde Verde} Observacones: color de las bolas Esados: urnas de donde se exraen las bolas oculos Parámeros: n n-+n m- n=nº de urnas m= nº de colores Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 2 Formalzacón de HMM : candad de esados oculos pero con sgnfcado. M: candad de símbolos observales por esado V = {v...v M }. Dsrbucón de probabldad de la ranscón enre esados A = {a } a = P[q + = S q = S ] =... Dsrbucón de prob. de observacón de símbolo en cada esado B = {b k} b k = P[v k q = S ] =... k=..m. Dsrbucón de probabldad del esado ncal = { } = P[q = S ] =... oacón - Observacón: O = O O 2...O T de amaño T - Modelo: =A B Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 22

12 Obencón de los parámeros del modelo. Elegr un esado ncal q =S según la dsrbucón ncal de esados. 2. Poner =. 3. Elegr O =V k según la probabldad de dsrbucón de símbolo en el esado S p.e. b k. 4. Pasar a un nuevo esado q + =S según la dsrbucón de probabldad de ranscón para el esado S p.e. a. 5. Poner =+ vuela al paso 3 s <T en caso conraro ermnar el proceso. Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 23 Problemas fundamenales Evaluacón: Dado el modelo =A B y la secuenca de observacones O = O O 2...O T calcular PO algormo forward-backward. Dado el modelo =A B y la secuenca de observacones O = O O 2...O T enconrar la secuenca de esados correspondenes Q = q q 2...q T que meor explque las observacones algormo de Verb. Enrenameno: dada la secuenca de observacones O = O O 2...O T enconrar los parámeros del modelo =A B que maxmcen PO algormo de Baum-Welch Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 24

13 Solucón al problema de Evaluacón Dados O = O O 2...O T y calcular PO. Para ello se enumeran las secuencas de esados de amaño T. Para la secuenca Q = Q Q 2...Q T Asumendo ndependenca en las observacones: PO Q = b q O b q2 O 2... b qt O T. La probabldad de la sec. PQ = q a qq2 a q2q3...a qt-qt. La probabldad conuna de O y Q es POQ = PO Q PQ Sumando para odas las posbles secuencas de esados P Q Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca P O / Q P O / q T O / P O / Q P Q / q bq O aq q bq O... aq q bq Q T T T T q 25 Algormo forward-backward El cálculo requere de 2T T operacones nvable Solucón: algormo forward-backward Cálculo de 2 varables nermedas: Forward: P OO 2... O q S / probabldad de la secuenca de observacones parcales O O 2 O y el esado S en el nsane para el modelo. Backward: P O O 2... OT / q S probabldad de la observacón parcal de la secuenca desde + hasa el fnal dado un esado S y un modelo Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 26

14 Cálculo de la varable Incalzacón: b O Induccón: Conclusón: a b O P O / T T Operacones: 2 T Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 27 Cálculo de la varable Incalzacón: T Induccón: a b O T T 2... Conclusón: P O / T Operacones: 2 T Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 28

15 Solucón al problema de Sec.. de esados o hay secuenca ópma únca exsen muchos creros. Una forma basada en programacón dnámca es el algormo de Verb: -Dada O = O O 2...O T enconrar Q = Q Q 2...Q T. - Se defne: = max qq2...q- P[q q 2...q = O O 2...O T ] la máx. probabldad en el camno en empo y fnal en esado S. - Inducvamene: + = [max =... a ] b O + =... =...T-. Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 29 Algormo de Verb Incalzacón: Recursvdad: b 0 O Termnacón: max a b O arg max a P* Secuenca de esados ópma: 2 T max q * arg max T q* q * T T 2... Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 30 T T

16 Solucón al problema de Enrenameno o se conoce resolucón analíca de los parámeros del modelo que maxmce la probabldad de la secuenca de observacones. o hay forma ópma de esmar los parámeros. Se puede resolver con méodos ópmos locales medane procedmenos eravos: Baum-Welch Méodos de gradenes. Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 3 El algormo Baum-Welch Méodo de opmzacón local problema de mínmos locales Requere de parámeros A B ncales Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 32

17 Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 33 El algormo El algormo Baum Baum-Welch Welch Realza la esmacón de A B apoyándose en: Calcula una varable nermeda: / O S q S q P O b a O b a O P O b a / O P / Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 34 El algormo El algormo Baum Baum-Welch Welch Tambén es necesaro calcular: úmero de ranscones desde el esado S : úmero de ranscones del esado S al esado S : Fórmulas de esmacón de A B : T T T T a T T V Observando O k b k M k

18 El algormo Baum-Welch Con esas fórmulas pasamos de un modelo modelo A B Procedmeno eravo sempre que: A B P O / P O / a oro La eracón fnalza cuando máx. verosmlud del HMM En cada eracón se cumple: a M k b k Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 35 El algormo Baum-Welch IICIO Relleno del buffer de enrenameno [A] = [A ncal ] [B] = [B ncal ] [] = [ ncal ] = A B P O / P O / P O / = 0 b O a b O L P O / L P O / P O / O FI DEL ETREAMIETO SI Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 36

19 Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 37 El algormo El algormo Baum Baum-Welch Welch SI SI L... L O b a... L O b a O b a... L a L L M k k b L L V Observando O k Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 38 Lmacones Lmacones Supone que las observacones sucesvas son ndependenes. Suposcón Markovana: la probabldad de esar en un esado en deermnado empo sólo depende del esado en el empo aneror.

20 Eemplos de aplcacón Reconocmeno de gesos facales medane vsón arfcal usando HMMs. Idenfcacón de blancos aéreos medane radar usando HMMs Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 39 Reconocmeno de gesos Se han colocado unas peganas en la cara del usuaro y se esuda su evolucón en la realzacón de gesos medane HMMs Las peganas se segmenan medane un algormo de deeccón de color con funcones Gaussanas a pror Se han creado cuaro HMMs: dos modelan la aperura de los oos oro la aperura de la boca y el úlmo el esrameno de la boca. Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca a2 a a22 abero semcerrado a2 a32 a3 a3 a23 cerrado a33 40

21 Reconocmeno de gesos Como observacón para obener el grado de aperura del oo se usa la colnealdad presenada por su conorno Como observacón para esmar la aperura de la boca se ulza la dferenca enre los cenros de gravedad de las peganas superor e nferor de la boca. Para el esrameno se ulza la dferenca de componenes x de las peganas zquerda y derecha. Defncón de esados: Para los oos: cerrado semcerrado y abero. Para la aperura de la boca: abera semabera y cerrada. Para el esrameno de la boca: esrada semesrada y encogda Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 4 Reconocmeno de gesos Se capuran observacones de cada po boca y oos y se efecúa el enrenameno de los 4 HMM. El enrenameno ausa los valores de [A] [B] y [] Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 42

22 Reconocmeno de gesos A parr de la nformacón aneror se pueden reconocer una sere de gesos: Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 43 Reconocmeno de gesos Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 44

23 Idenfcacón de blancos aéreos Obevo: Obener denfcacón posva de un blanco aéreo sn la colaboracón de ése. Se usa el méodo HRR HIGH RESOLUTIO RADAR Se basa en el esudo de las caraceríscas del eco recbdo Se produce una reflexón radar dferene en funcón de la forma del blanco Depende de los cenros de scaer Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 45 Idenfcacón de blancos aéreos Las señales a clasfcar son muy parecdas enre s Dependen del ángulo de observacón Las regones de decsón esán muy solapadas La correlacón equvoca a menudo la clasfcacón Blanco 8 Blanco 9 Blanco Blanco 4 Blanco 3 Blanco 2 Blanco 5 Blanco 6 Blanco 7 Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 46

24 Idenfcacón de blancos aéreos??????????? MODELO DETECCIO CORRELADOR 2 3 BASE DE DATOS MODELOS BUFFER HMM DETECCIO FIAL Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 47 Idenfcacón de blancos aéreos Resulados: SE UTILIZA SECUECIAS DE ETREAMIETO PARA CADA MODELO. EXISTE UA BASE DE DATOS DE OBSERVACIOES CO 800 ARRAYS DE 0 ELEMETOS. PORCETAJE DE ERROR MODELOS O. MARKOV CORRELACIO Modelo 0 % 40 % Modelo 2 0 % 50 % Modelo 3 0 % 40 % Modelo 4 0 % 40 % Modelo 5 0 % 40 % Modelo 6 0 % 40 % Modelo 7 0 % 30 % Modelo 8 0 % 40 % Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 48

25 Bblografía Rabner L.R 989. A uoral on Hdden Markov Models and Seleced Applcaons n Speech Recognon. Proceedngs of he IEEE 772. hp:// GHMM Lbrary en Max Planck Insue for Molecular Genecs hp:// Murphy K HMM Toolbox for Malab hp:// Lus M. Bergasa. Deparameno de Elecrónca 49

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