CAPÍTULO 2: Dinámica no lineal y caos

Transcripción

1 CAPÍTULO 2: Dinámica no lineal y caos Bibliogra<a 1) Capítulo 12 de Mecánica Clásica, John R. Taylor, editorial Reverté. 2) Capítulo 4 de Classical Dynamics of Parcles and Systems" (5th edi5on), Stephen T. Thornton and Jerry B. Marion, editorial Thomson Brooks/Cole.

2 2.1 Linealidad y no linealidad. Índice del capítulo El péndulo forzado y amortiguado: introducción. 2.3 El péndulo forzado y amortiguado: algunas características esperadas. 2.4 El péndulo forzado y amortiguado: ruta hacia el caos. 2.5 Caos y sensibilidad a las condiciones iniciales. 2.6 Diagramas de bifurcación. 2.7 Espacio de fases. 2.8 Secciones de Poincaré.

3 2.1 Linealidad y no linealidad Definición: se llama sistema no lineal a aquel cuya ecuación de movimiento es no lineal, es decir, depende de forma no lineal de las variables fundamentales o de sus derivadas. q Ejemplo de sistema lineal: oscilador armónico forzado: m x = kx + F(t) q Ejemplos de sistemas no lineales (caó5cos y no caó5cos): péndulo simple: movimiento de un planeta: φ = g L senφ! GM r = r 2 ˆr No caó5cos péndulo forzado y amor5guado: φ = g L senφ b m φ + 1 ml F(t) caó5co q Qué 5enen de especial los sistemas no lineales? Ø Los sistemas no lineales pueden exhibir caos. Ø Los sistemas no lineales no sa5sfacen el principio de superposición, es decir, la solución de una ecuación de orden n no se puede expresar como una combinación de n soluciones independientes.

4 2.2 El péndulo forzado y amortiguado ml 2 φ = mglsenφ bl 2 φ + LF(t) Fuerza externa periódica: F(t) = F cosωt φ = g L senφ b m φ + 1 ml F cosωt Redefinición de los parámetros: b m = 2β, constante de amoroguamiento g L = ω F 2, γ = mlω = F 2 mg frecuencia natural amplitud de la fuerza externa φ + 2β φ + ω 2 senφ = γω 2 cosωt φ bv L F(t) mg Figura 2.1: Las tres fuerzas que actúan en el péndulo forzado y amortiguado son una fuerza externa F(t), la fuerza de la gravedad mg y una fuerza resistiva que se opone al movimiento bv.

5 2.3 El péndulo forzado y amortiguado: características esperadas Propiedades del oscilador lineal: γ << 1 senφ φ φ + 2β φ + ω 2 φ = γω 2 cosωt Solución (régimen no transitorio): φ(t) = Acos(ωt δ ) (atractor único) ω = 2π, ω = 1.5ω, β = ω / 4, φ () = γ =.2 φ() = φ() = -π/ t (2π/ω) Figura 2.2: Movimiento del oscilador forzado amortiguado para una amplitud pequeña de la fuerza externa. Las dos curvas corresponden a dos condiciones iniciales distintas.

6 2.3 El péndulo forzado y amortiguado: características esperadas Oscilaciones casi lineales: aparición de armónicos. γ < 1 senφ φ 1 6 φ 3 φ + 2β 2 φ + ω 1 φ 6 φ 3 = γω 2 cosωt Solución: φ(t) = Acos(ωt δ ) + Bcos3(ωt δ ) ω = 2π, ω = 1.5ω, β = ω / 4, φ () = γ =.9 (atractor único) φ() = φ() = -π/ t (2π/ω) Figura 2.3: Movimiento del oscilador forzado amortiguado para una amplitud intermedia de la fuerza externa. Las dos curvas corresponden a dos condiciones iniciales distintas.

7 2.4 El péndulo forzado y amortiguado: ruta hacia el caos Periodo uno: al aumentar la amplitud de la fuerza externa se genera un comportamiento errá5co hasta que se alcanza una solución periódica que oscila con el mismo periodo de la fuerza externa ω = 2π, ω = 1.5ω, β = ω / 4, φ () = γ = 1.6 φ() = t (2π/ω) Figura 2.4: Movimiento del oscilador forzado amortiguado para una amplitud de la fuerza externa igual a 1.6. Inicialmente hay un comportamiento errático que dura unos 9 periodos y después se alcanza una solución periódica que oscila con el mismo periodo de la fuerza.

8 2.4 El péndulo forzado y amortiguado: ruta hacia el caos Periodo dos: aparición de subarmónicos. Cuando se aumenta un poco más la amplitud de la fuerza, después del régimen transitorio, se dobla el periodo de las oscilaciones, es decir, aparecen subarmónicos. ω = 2π, ω =1.5ω, β = ω / 4, φ () = 4 γ = φ() = t (2π/ω) Figura 2.5: Movimiento del oscilador forzado amortiguado para una amplitud de la fuerza externa igual a Después del régimen transitorio se alcanza una solución periódica que oscila con el mismo periodo que es el doble del de la fuerza externa, como se muestra en el recuadro.

9 2.4 El péndulo forzado y amortiguado: ruta hacia el caos Periodo tres: aparición de subarmónicos. Aumentando aún más la amplitud de la fuerza, después del régimen transitorio, aparecen nuevos subarmónicos ω = 2π, ω =1.5ω, β = ω / 4, φ () = γ = 1.77 φ() = t (2π/ω) Figura 2.6: Movimiento del oscilador forzado amortiguado para una amplitud de la fuerza externa igual a Después del régimen transitorio se alcanza una solución periódica que oscila con el mismo periodo que es el triple del de la fuerza externa.

10 2.4 El péndulo forzado y amortiguado: ruta hacia el caos Más de un atractor: contrariamente a un oscilador lineal, los osciladores no lineales pueden exhibir más de un atractor, es decir, los movimientos pueden converger después del régimen transitorio a soluciones dis5ntas dependiendo de las condiciones iniciales. γ = ω = 2π, ω = 1.5ω, β = ω / 4, φ () = t (2π/ω) φ() = φ() = -π/2 Figura 2.7: Movimiento del oscilador forzado amortiguado para una amplitud de la fuerza externa igual a 1.77 y dos condiciones iniciales distintas. Después del régimen transitorio se alcanzan soluciones distintas que oscilan con periodos diferentes.

11 2.4 El péndulo forzado y amortiguado: ruta hacia el caos Cascada de duplicación del periodo: Figura t (2π/ω) ω = 2π, ω =1.5ω, β = ω / 4, φ()=-π /2, φ () = γ = 1.6 γ = γ = 1.78 γ = γ = 1.81 γ = γ = γ = t (2π/ω)

12 2.4 El péndulo forzado y amortiguado: ruta hacia el caos El número de Feigenbaum: q Los valores umbrales de para los cuales el periodo se duplica están cada vez menos espaciados como se puede ver en la tabla. γ γ n n periodo intervalo 1 1à à à à q A finales de los 197 Mitchell Feigenbaum descubrió que muchos sistemas no lineales exhiben el fenómeno de la cascada de duplicación del periodo y, además, todos ellos muestran la misma aceleración geométrica de los valores umbrales: (γ n+1 γ n ) 1 δ (γ γ n n 1 ) donde δ = = número de Feigenbaum q Cuando n γ n γ c. Para el oscilador forzado amor5guado: γ c = q Cuando γ > γ c el sistema exhibe caos.

13 2.5 Caos y sensibilidad a las condiciones iniciales γ Si aumentamos por encima del valor crí5co 1.829, el movimiento del péndulo se vuelve errá5co y ya no se alcanza nunca un movimiento periódico, no importa el 5empo que transcurra. Esta es una de las caracterís5cas fundamentales del caos. γ = ω = 2π, ω =1.5ω, β = ω / 4, φ()=-π /2, φ () = t (2π/ω) Figura 2.9: Los primeros 3 ciclos de un oscilador forzado amortiguado para una amplitud de la fuerza externa igual a Nótese el comportamiento errático que nunca se convierte en un movimiento periódico independientemente del tiempo transcurrido, lo cual es una señal de caos.

14 2.5 Caos y sensibilidad a las condiciones iniciales Sensibilidad a las condiciones iniciales: Cómo evoluciona la diferencia de dos soluciones con dos condiciones iniciales diferentes? Oscilador lineal: Como en nuestros ejemplos Δφ(t) = φ 2 (t) φ 1 (t) donde φ 2 () φ 1 () φ(t) = Acos(ωt δ ) + C 1 e r 1t + C 2 e r 2t Δφ(t) = B 1 e r 1t + B 2 e r 2t β < ω r 1,2 = β ± ω 1 Δφ(t) = De βt cos(ω 1 t δ ) Así pues, para un oscilador lineal convergen a un solo atractor. Δφ(t) decae exponencialmente y todas las soluciones Para representar Δφ(t) es conveniente pintar el logaritmo: ln Δφ(t) = ln D βt + ln cos(ω 1 t δ ) Este logaritmo decrece linealmente con el 5empo para un oscilador lineal. Como veremos más adelante, el caos se manifiesta en un aumento exponencial de Δφ(t), o de forma equivalente, en un aumento lineal de su logaritmo.

15 2.5 Caos y sensibilidad a las condiciones iniciales Ejemplo oscilador lineal: ω = 2π, ω =1.5ω, β = ω / 4, φ()=-π /2, φ () =, Δφ() =.1 log 1 φ γ = t (2π/ω) Figura 2.1: Logaritmo de la separación de dos soluciones de un oscilador forzado amortiguado para una amplitud de la fuerza externa igual a.1 (oscilador lineal). Nótese como el logaritmo decrece linealmente y, por tanto, la separación decrece exponencialmente.

16 2.5 Caos y sensibilidad a las condiciones iniciales Ejemplo oscilador no lineal no caóoco: γ < γ c = ω = 2π, ω = 1.5ω, β = ω / 4, φ()=-π /2, φ () =, Δφ()=.1-2 γ = 1.7 log 1 φ t (2π/ω) Figura 2.11: Logaritmo de la separación de dos soluciones de un oscilador forzado amortiguado para una amplitud de la fuerza externa igual a 1.7 (oscilador no lineal). Nótese que, aunque lentamente, el logaritmo decrece linealmente indicando que no existe caos.

17 2.5 Caos y sensibilidad a las condiciones iniciales Ejemplo oscilador no lineal caóoco: log 1 φ ω = 2π, ω = 1.5ω, β = ω / 4, φ()=-π /2, φ () =, Δφ()= γ = 1.15 γ > γ c = t (2π/ω) Figura 2.12: Logaritmo de la separación de dos soluciones de un oscilador forzado amortiguado para una amplitud de la fuerza externa igual a 1.15 (oscilador no lineal). Nótese que el logaritmo crece linealmente, es decir, la separación crece exponencialmente, lo que es un señal de caos.

18 2.5 Caos y sensibilidad a las condiciones iniciales Exponente de Liapunov: Hemos visto que la separación de dos soluciones evoluciona exponencialmente con el 5empo: Δφ(t) Ke λt λ = exponente de Liapunov λ < (oscilador no caótico) λ > (oscilador caótico) Valores más grandes de gamma: Uno podría esperar que para valores aún más grandes de se exhibiera siempre caos. Sin embargo, no es así. Al aumentar γ vuelven a aparecer regiones en las que todas las soluciones 5enden al mismo atractor. Estas regiones se alternan con otras en las que el sistema exhibe caos. Estos comportamientos se ilustran en la siguiente transparencia. γ

19 2.5 Caos y sensibilidad a las condiciones iniciales log 1 φ ω = 2π, ω =1.5ω, β = ω / 4, φ() = -π / 2, φ () =, Δφ= γ = 1.13 γ = t (2π/ω) t (2π/ω) Figura 2.13: Evolución de dos osciladores forzados amortiguados no lineales, uno no caótico (paneles de la izquierda) y el otro caótico (paneles de la derecha).

20 2.6 Diagramas de bifurcación φ vs. γ Un diagrama de bifurcación es un diagrama donde uno pinta un punto por cada valor de t. Los valores de t se escogen separados por un periodo y todos ellos suficientemente grandes para que ya no haya régimen transitorio. γ 1 = γ 2 = γ 3 = γ c = ω = 2π ω = 1.5ω β = ω / 4 φ()=-π /2 t = 51, 52,, 6 φ () = Figura 2.14: Diagrama de bifurcación de un oscilador forzado amortiguado donde se puede identificar la cascada de duplicación del periodo y el comienzo del caos.

21 2.6 Diagramas de bifurcación Para valores grandes de γ es conveniente construir los diagramas de bifurcación con φ. φ ω = 2π ω = 1.5ω β = ω / 4 φ()=-π /2 φ () = Figura 2.15: Diagrama de bifurcación de un oscilador forzado amortiguado en un amplio rango de valores de la amplitud de la fuerza externa.

22 Ejemplo oscilador lineal: 2.7 Espacio de fases γ =.2 φ φ t 2 φ()= t 2 φ()= π/ t 2 φ()= t 2 φ()= π/2 ω = 2π ω = 1.5ω β = ω / 4 φ () = Figura 2.16: Espacio de fases de un oscilador forzado amortiguado lineal. Nótese que las soluciones tienden al mismo atractor elíptico, independientemente de las condiciones iniciales.

23 2.7 Espacio de fases Ejemplo oscilador no lineal: cascada de duplicación del periodo. 2 ω = 2π, ω = 1.5ω, β = ω / 4, φ() = π / 2, φ () = γ = γ = 1.81 φ t t Figura 2.17: Espacio de fases de dos osciladores forzados amortiguados no lineales. Nótese que el caso de la izquierda tiene atractores periódicos con periodo 2, mientras que el de la derecha tiene atractores periódicos con periodo 4.

24 Ejemplo oscilador caóoco: 2.7 Espacio de fases ω = 2π, ω = 1.5ω, β = ω / 4, φ() = π / 2, φ () = γ = t t 2 φ Figura 2.18: Espacio de fases de un oscilador forzado amortiguado caótico. Nótese que en el caso de la izquierda las trayectorias no son cerradas y en la derecha se ve como continúa el movimiento errático que ya no cesará.

25 2.7 Espacio de fases Ejemplo oscilador periódico no caóoco con movimiento no acotado: ω = 2π, ω = 1.5ω, β = ω / 4, φ() = π / 2, φ () = γ = 1.4 φ φ Figura 2.19: Espacio de fases de un oscilador forzado amortiguado con movimiento no acotado. En el panel superior se muestra para valores del ángulo arbitrarios, mientras que en los paneles inferiores valores del ángulo se han restringido entre π y +π.

26 Otro ejemplo de oscilador caóoco: γ = Espacio de fases ω = 2π, ω =1.5ω, β = ω / 8, φ() = -π / 2, φ () = φ Figura 2.2: Espacio de fases de un oscilador forzado amortiguado caótico donde valores del ángulo se han restringido entre π y +π.

27 2.8 Secciones de Poincaré Una sección de Poincaré es una simplificación del espacio de fases en la que en vez de representar una curva con5nua, uno sólo representa una serie de puntos cíclicos: t = t + t +1,t + 2, Ejemplo de una sección de Poincaré de oscilador no lineal con periodo 2: φ Espacio de fases γ = Sección de Poincaré t = 2, 21, 22,, 6 2 t 6 2 t 6 ω = 2π ω = 1.5ω β = ω / 4 φ() = π / 2 φ () = Figura 2.21: Espacio de fases y sección de Poincaré de un oscilador forzado amortiguado no caótico de periodo 2. Este periodo se refleja claramente en la sección de Poincaré que consta tan sólo de dos puntos.

28 2.8 Secciones de Poincaré Ejemplo de una sección de Poincaré de oscilador caóoco: ω = 2π, ω =1.5ω, β = ω / 8, φ() = -π / 2, φ () = γ = 1.5 φ t = 1,11,12,, 6 Figura 2.22: Sección de Poincaré de un oscilador forzado amortiguado caótico.

29 2.8 Secciones de Poincaré Zoom en la sección de Poincaré del oscilador caóoco mostrado en la transparencia anterior: φ Figura 2.23: Zoom en la sección de Poincaré de la transparencia anterior. La sección de Poincaré del oscilador caó5co exhibe una estructura fractal que se repite en diversas escalas.