INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN

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1 3 INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN Págia 99 REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas caras cabe esperar? Repite el razoamieto aterior para averiguar cuátas caras cabe esperar si lazamos 00 moedas y cosideramos casos raros al 5% de los casos extremos. El itervalo característico correspodiete a ua probabilidad del 95% cosideramos casas raros al 5% de los casos extremos es: 50 ±,96 5 = 40,; 59,8 Esto sigifica que e el 95% de los casos e que tiremos 00 moedas, el úmero de caras que obtedremos será mayor que 40 y meor que 60. Cualquier otro resultado será u caso raro. U saco de alubias Teemos u saco co alubias. De ellas, so blacas y 500 so egras. Está bie mezcladas. Extraemos 600 judías. Cuátas judías egras cabe esperar que haya etre ellas? Resuelve el problema aterior cosiderado como casos raros solo al % de los casos extremos. Para ello: a Averigua la proporció, p, de judías egras e el saco. b Cosidera la distribució B600, p y calcula su media μ = 600p y su desviació típica q = 600 p p. c Cosidera la distribució Nμ, q y halla su itervalo característico correspodiete a ua probabilidad del 99%. d Decide, como cosecuecia del resultado aterior, etre qué valores se ecuetra el úmero de alubias que cabe esperar. 500 a p = = 0, Uidad 3. Iferecia estadística: estimació de ua proporció

2 b μ = 600 0,05 = 30; q = 600 0,05 0,95 = 8,5 5,34 c El itervalo característico correspodiete a ua probabilidad del 99% es: 30 ±,575 5,34 = 6,5; 43,75 d E el 99% de los casos e que saquemos 600 judías de ese saco, el úmero de judías egras será mayor que 6 y meor que 44. Cualquier otro resultado será u caso raro llamado casos raros a ese % de casos extremos. Peces e u patao Se desea estimar el úmero total de peces que hay e cierto patao. Para ello, se procede del siguiete modo: Se pesca ua cierta catidad de ellos, por ejemplo, 349, se marca y se devuelve al patao. Para marcarlos, existe uas titas idelebles que so resistetes al agua. Al cabo de varios días, se vuelve a pescar otro motó y se averigua qué proporció de ellos está marcados. Supogamos que e esta seguda pesca se ha obteido 54 peces, de los cuales hay 37 marcados. Co los datos ateriores, averigua cuátos peces hay, aproximadamete, e el patao. La muestra tiee 54 peces, de los cuales hay 37 marcados. La proporció de peces marcados e la muestra es: pr = = 0,07. El valor de la proporció de peces marcados e el patao es pr =, dode N es el úmero total de peces. N Auque este problema se resolverá de forma completa mediate u itervalo de cofiaza al termiar la uidad, podemos supoer que la proporció de peces marcados e la muestra y e el patao será aproximadamete la misma; es decir: N 4 848,7 8 N 4848 peces 54 N Al cosiderar ua probabilidad determiada, daremos u itervalo de cofiaza, obteiedo u resultado más preciso que este. Págia 30. La variable x es biomial, co = 00 y p = 0,008. a Calcula la probabilidad de que x sea mayor que 0. b Halla el itervalo característico para ua probabilidad del 95%. Uidad 3. Iferecia estadística: estimació de ua proporció

3 UNIDAD 3 Como p = 9,6 > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media μ = p = 9,6 y desviació típica q = pq = 00 0,008 0,99 = 3,09. Es decir: x es B 00; 0,008 8 x' es N 9,6; 3,09 8 z es N 0, 0,5 9,6 a P x > 0 = P x' Ó 0,5 = PzÓ = P z Ó 0,9 = 3,09 = P z < 0,9 = 0,64 = 0,3859 b Para ua probabilidad del 95%, z a/ =,96. El itervalo característico será: 9,6,96 3,09; 9,6 +,96 3,09; es decir, 3,54; 5,66. Si teemos u dado correcto y lo lazamos 50 veces: a Cuál es la probabilidad de que el salga más de 0 veces? b Cuál es la probabilidad de que salga múltiplo de 3 al meos 0 veces? a Llamamos x =. de veces que sale el ; así, x es B 50;. 6 Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media 5 μ = 50 = 8,33 y desviació típica q = 50 =,64; es decir: x es B 50; 8 x' es N 8,33;,64 8 z es N 0, 6 0,5 8,33 P x > 0 = P x' Ó 0,5 = PzÓ = P z Ó 0,8 =,64 = P z < 0,8 = 0,7939 = 0,06 b Llamamos x =. de veces que sale múltiplo de 3. La probabilidad de obteer u múltiplo de 3 e ua tirada es p = =. Así, x es B 50; Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media μ = 50 = 6,67 y desviació típica q = 50 = 3,33; es decir: x es B 50; 8 x' es N 6,67; 3,33 8 z es N 0, 3 9,5 6,67 P x Ó 0 = P x' Ó 9,5 = PzÓ = P z Ó 0,85 = 3,33 = P z < 0,85 = 0,803 = 0,977 Uidad 3. Iferecia estadística: estimació de ua proporció 3

4 Págia 303. Como sabemos, e u dado correcto la proporció de veces que sale el 5 es /6 = 0, 6. Halla cada uo de los itervalos característicos correspodietes al 90%, 95% y 99% para la proporció de cicos, e tadas de 00 lazamietos de u dado correcto. Las proporcioes de cicos e tadas de 00 lazamietos sigue ua distribució pq /6 5/6 ormal de media p = = 0,7 y desviació típica = = 0,037; 6 00 es decir, pr es N 0,7; 0,037. Hallamos los itervalos característicos: Para el 90%: 0,7 ±,645 0,037 = 0,09; 0,3 Para el 95%: 0,7 ±,96 0,037 = 0,097; 0,43 Para el 99%: 0,7 ±,575 0,037 = 0,075; 0,65 Págia 305. Se ha lazado u dado 400 veces y se ha obteido 7 veces el valor 4. Estima el valor de la probabilidad P 4 co u ivel de cofiaza del 90%. Para u ivel de cofiaza del 90%, teemos que z a/ =,645. La proporció de cuatros obteidas e la muestra es: 7 pr = = 0,8 400 El itervalo de cofiaza para estimar P 4 será: 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8,645 ; 0,8 +,645 ; es decir, 0,48; 0, Es decir, co u ivel de cofiaza del 90%, la probabilidad de obteer 4 está etre 0,48 y 0,.. Cuátas veces hemos de lazar u dado, que supoemos levemete icorrecto, para estimar la probabilidad de 6 co u error meor que 0,00 y u ivel de cofiaza del 95%? Para u ivel de cofiaza del 95%, teemos que z a/ =,96. Como descoocemos el valor de pr, tomaremos pr = 0,7 supoemos el dado levemete icorrecto. 6 El error máximo admisible es: pr pr 0,7 0,83 E = z a/ 8 0,00 =,96 8 = 35 5,44 Deberemos lazarlo, al meos, veces. 4 Uidad 3. Iferecia estadística: estimació de ua proporció

5 UNIDAD 3 Págia 308 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Distribució de proporcioes muestrales Averigua cómo se distribuye las proporcioes muestrales, pr, para las poblacioes y las muestras que se describe a cotiuació: a b c d e f PROPORCIÓN, p, EN LA POBLACIÓN 0,5 0,6 0,8 0, 0,05 0,5 TAMAÑO,, DE LA MUESTRA Recordemos que, si p Ó 5 y q Ó 5, etoces, las proporcioes muestrales pq sigue ua distribució N p,. Aplicamos este resultado a cada uo de los casos propuestos. Comprobamos que e todos ellos se tiee que p Ó 5 y q Ó 5. 0,5 0,5 a N 0,5; ; es decir, N 0,5; 0,58 0 0,6 0,4 b N 0,6; ; es decir, N 0,6; 0,0 0 0,8 0, c N 0,8; ; es decir, N 0,8; 0, , 0,9 d N 0,; ; es decir, N 0,; 0, ,05 0,95 e N 0,05; ; es decir, N 0,05; 0, ,5 0,85 f N 0,5; ; es decir, N 0,5; 0, Halla los itervalos característicos para las proporcioes muestrales del ejercicio aterior, correspodietes a las probabilidades que, e cada caso, se idica: a 90% b 95% c 99% d 95% e 99% f 80% a z a/ =,645 Itervalo 0,5,645 0,58; 0,5 +,645 0,58; es decir, 0,4; 0,76 Uidad 3. Iferecia estadística: estimació de ua proporció 5

6 b z a/ =,96 Itervalo 0,6,96 0,0; 0,6 +,96 0,0; es decir, 0,38; 0,8 c z a/ =,575 Itervalo 0,8,575 0,073; 0,8 +,575 0,073; es decir, 0,6; 0,99 d z a/ =,96 Itervalo 0,,96 0,04; 0, +,96 0,04; es decir, 0,08; 0,8 e z a/ =,575 Itervalo 0,05,575 0,08; 0,05 +,575 0,08; es decir, 0,006; 0,06 f z a/ =,8 Itervalo 0,5,8 0,036; 0,5 +,8 0,036; es decir, 0,04; 0,96 s3 Cuatro de cada diez habitates de ua determiada població lee habitualmete el periódico Z. Halla el itervalo característico para el 95% de la proporció que lee el periódico Z, e muestras de tamaño p = proporció de lectores del periódico Z = = 0,4. 0 El itervalo característico para la proporció de lectores, pr, e muestras de tamaño es de la forma: p z a/ pq, p + z a/ pq Para el 95% 8 a = 0,95 8 z a/ =,96 el itervalo será: 0,4 0,6 0,4 0,6 0,4,96 ; 0,4 +,96 ; es decir, 0,6; 0, E u saco mezclamos judías blacas y judías pitas e la relació de 4 blacas por cada pita. Extraemos u puñado de 00 judías. a Cuál es la probabilidad de que la proporció de judías pitas esté etre 0,05 y 0,? b Halla u itervalo para el 99% de las proporcioes de las muestras de tamaño 00. a La proporció de judías pitas es p =. Si extraemos u puñado de 00 judías, 5 teemos ua biomial B 00;. 5 6 Uidad 3. Iferecia estadística: estimació de ua proporció

7 UNIDAD 3 Ua proporció etre 0,05 y 0, sigifica que haya etre 00 0,05 = 5 y 00 0, = 0 judías pitas. Por tato, si x es B 00;, teemos que calcular P 5 < x < Como 00 > 5 y 00 > 5, podemos aproximar la biomial mediate 5 5 ua ormal de media μ = 00 = 6,67 y desviació típica: 5 4 q = 00 =, Así, si x es B 00; 8 x' es N 6,67;,49 8 z es N0,. 5 Calculamos: 5,5 6,67 9,5 6,67 P 5 < x < 0 = P 5,5 Ì x' Ì 9,5 = P Ì z Ì =,49,49 = P 0,47 Ì z Ì,4 = P z Ì,4 P z Ì 0,47 = = P z Ì,4 P z Ó 0,47 = P z Ì,4 P z Ì 0,47 = = 0,879 0,6808 = 0,5537 b Si cosideramos muestras de tamaño 00, el itervalo característico para la proporció muestral es de la forma: p z a/ pq, p + z a/ pq Para el 99% 8 a = 0,99 8 z a/ =,575 Así, el itervalo será: /5 4/5,575 ; +, es decir: 0,004; 0,309 /5 4/ El 4% de los habitates de u muicipio es cotrario a la gestió del alcalde y el resto so partidarios de este. Si se toma ua muestra de 64 idividuos, cuál es la probabilidad de que gae los que se opoe al alcalde? E muestras de 64, el úmero de persoas que se opoe al alcalde, x, sigue ua distribució biomial B64; 0,4. Para ello, hemos de supoer que el muicipio es suficietemete grade como para que, al ir tomado idividuos para la muestra, la proporció o varíe sesiblemete. Es decir, cada idividuo que extraigamos modifica la proporció. Pero si el úmero total es grade, esa variació es irrelevate. Uidad 3. Iferecia estadística: estimació de ua proporció 7

8 Teemos que calcular Px > 3: Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media μ = p = 64 0,4 = 6,88 y desviació típica pq = 64 0,4 0,58 = 3,95. Así, si x es B64; 0,4 8 x' es N6,88; 3,95 8 z es N0,, etoces: 3,5 6,88 Px > 3 = Px' Ó 3,5 = PzÓ = Pz Ó,4 = 3,95 = Pz <,4 = 0,9 = 0, La probabilidad de que u bebé sea varó es 0,55. Si ha acido 84 bebés, cuál es la probabilidad de que haya 00 varoes o más? Halla el itervalo característico correspodiete al 95% para la proporció de varoes e muestras de 84 bebés. El úmero de varoes etre 84 bebés, x, sigue ua distribució biomial B 84; 0,55. Teemos que calcular P x Ó 00. Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media μ = p = 84 0,55 = 94,76 y desviació típica pq = 84 0,55 0,485 = 6,78. Así, si: x es B 84; 0,55 8 x' es N 94,76; 6,78 8 z es N 0,, etoces: 99,5 94,76 P x Ó 00 = P x' Ó 99,5 = P zó = P z Ó 0,70 = 6,78 = P z < 0,70 = 0,7580 = 0,40 El itervalo característico para la proporció muestral es de la forma: p z a/ pq, p + z a/ pq Para el 95% 8 a = 0,95 8 z a/ =,96 Así, el itervalo será: 0,55 0,485 0,55 0,55,96 ; 0,55 +,96 0,485 ; es decir: 0,448; 0,587 Itervalos de cofiaza 7 Se realizó ua ecuesta a 350 familias pregutado si poseía ordeador e casa, ecotrádose que 75 de ellas lo poseía. Estima la proporció real de las familias que dispoe de ordeador co u ivel de cofiaza del 95% La proporció de familias co ordeador e la muestra es pr = = Para el 95% de cofiaza, a = 0,95 8 z a/ =,96 8 Uidad 3. Iferecia estadística: estimació de ua proporció

9 UNIDAD 3 El itervalo de cofiaza para p es: 3 3/4 3/4 3,96 ; +, es decir, 0,7; 0,6. 3/4 3/4 350 s8 Se seleccioa aleatoriamete ua muestra de 600 persoas e ua ciudad y se les preguta si cosidera que el tráfico e la misma es aceptablemete fluido. Respode afirmativamete 50 persoas. Cuál es el itervalo de cofiaza de la proporció de ciudadaos de esa ciudad que cosidera aceptable la fluidez del tráfico, co u ivel de cofiaza del 90%? 50 5 La proporció muestral es pr = = 8 pr = Para u ivel de cofiaza del 90%, sabemos que z a/ =,645. El itervalo de cofiaza para la proporció de ciudadaos que cosidera aceptable la fluidez del tráfico es: pr pr pr pr pr z a/, pr + z a/ E este caso queda: 5 5/7/ 3,645 ; +, /7/ 600 es decir: 0,3836; 0,4498. PARA RESOLVER 9 Sabemos que al lazar al suelo 00 chichetas, e el 95% de los casos, la proporció de ellas que queda co la puta hacia arriba está e el itervalo 0,6; 0,784. Calcula la probabilidad p de que ua de esas chichetas caiga co la puta hacia arriba y comprueba que la amplitud del itervalo dado es correcta. p es el cetro del itervalo, es decir: 0, ,6 p = = 0, Veamos que la amplitud del itervalo dado es correcta: Para el 95% 8 a = 0,95 8 z a/ =,96 El itervalo característico es: p z a/, p + z a/ pq pq Uidad 3. Iferecia estadística: estimació de ua proporció 9

10 E este caso p = 0,; q = 0,8; = 00; z a/ =,96, queda: 0, 0,8 0, 0,8 0,,96, 0, +,96 ; es decir: ,6; 0,784, como queríamos probar. s0 Se desea estimar la proporció, p, de idividuos daltóicos de ua població a través del porcetaje observado e ua muestra aleatoria de idividuos, de tamaño. a Si el porcetaje de idividuos daltóicos e la muestra es igual al 30%, calcula el valor de para que, co u ivel de cofiaza de 0,95, el error cometido e la estimació sea iferior al 3,%. b Si el tamaño de la muestra es de 64 idividuos, y el porcetaje de idividuos daltóicos e la muestra es del 35%, determia, usado u ivel de sigificació del %, el correspodiete itervalo de cofiaza para la proporció de daltóicos de la població. a Para u ivel de cofiaza del 95%, a = 0,95 8 z a/ =,96 El error máximo admisible es: pr pr E = z a/. Buscamos para que E = 0,03. 0,3 0,7,96 = 0,03 8 = 839,48 La muestra ha de ser de 840 idividuos. b Para u ivel de sigificació del %, teemos que: a = 0,0 8 a = 0,99 8 z a/ =,575 El itervalo de cofiaza para p será: 0,35 0,65 0,35,575 ; 0,35 +, es decir, 0,96; 0,504. 0,35 0,65 64 E ua muestra de 00 rótulos publicitarios, se observa que aparece 6 defectuosos. a Estima la proporció real de rótulos defectuosos, co u ivel de cofiaza del 99%. b Cuál es el error máximo cometido al hacer la estimació aterior? c De qué tamaño tedríamos que coger la muestra, co u ivel de cofiaza del 99%, para obteer u error iferior a 0,05? 0 Uidad 3. Iferecia estadística: estimació de ua proporció

11 UNIDAD 3 6 a La proporció muestral es pr = = 0,06 8 pr = 0,94 00 Para u ivel de cofiaza del 99%, sabemos que z a/ =,575. El itervalo de cofiaza para estimar la proporció real de rótulos defectuosos es: pr pr pr pr pr z a/, pr + z a/ E este caso queda: 0,06 0,94 0,06 0,94 0,06,575 ; 0,06 +, es decir: 0; 0,. pr pr 0,06 0,94 b E = z a/ =,575 0,06 00 c E la expresió del error, sabemos que: E = 0,05 z a/ =,575 para u ivel de cofiaza del 99% pr = 0,06; pr = 0,94 Por tato: pr pr 0,06 0,94 E = z a/ 8 0,5 =, ,58 00 Habrá que tomar ua muestra de, al meos, 50 rótulos. Págia 309 s E ua ecuesta realizada a 800 persoas elegidas al azar del ceso electoral, 40 declara su iteció de votar al partido A. a Estima, co u ivel de cofiaza del 95,45%, etre qué valores se ecuetra la iteció de voto al susodicho partido e todo el ceso. b Discute, razoadamete, el efecto que tedría sobre el itervalo de cofiaza el aumeto, o la dismiució, del ivel de cofiaza. 40 La proporció muestral es pr = = 0,3 8 pr = 0,7 800 a Para u ivel de cofiaza del 95,45%, hallamos z a/ : 0,9545 0,977 Uidad 3. Iferecia estadística: estimació de ua proporció

12 0,0455 0,9545 = 0,0455; = 0,07 0,07 + 0,9545 = 0,977 Pz Ì z a/ = 0,977 8 z a/ = El itervalo de cofiaza para estimar la proporció e la població es: pr pr pr pr pr z a/, pr + z a/ E este caso queda: 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 ; 0, es decir, 0,676; 0,334 La proporció de votates del partido A e la població se ecuetra, co u ivel de cofiaza del 95,45%, etre el 6,76% y el 33,4%. b Si aumeta el ivel de cofiaza, mayor es la amplitud del itervalo; es decir, cuato más seguros queramos estar de uestra estimació, mayor será el error máximo admisible. Si dismiuye el ivel de cofiaza, tambié lo hará la amplitud del itervalo. s3 U estudio realizado por ua compañía de seguros de automóviles establece que ua de cada cico persoas accidetadas es mujer. Si se cotabiliza, por térmio medio, 69 accidetes cada fi de semaa: a Cuál es la probabilidad de que, e u fi de semaa, la proporció de mujeres accidetadas supere el 4%? b Cuál es la probabilidad de que, e u fi de semaa, la proporció de hombres accidetados supere el 85%? c Cuál es, por térmio medio, el úmero esperado de hombres accidetados cada fi de semaa? a x: úmero de mujeres accidetadas cada fi de semaa x B 69, 0 La proporció de mujeres accidetadas cada fi de semaa sigue ua distribució: pq 0, 0,8 x' N p, = N 0,; = N 0,; 0,03 69 Así: 0,4 0, P x' > 0,4 = Pz> = P z >,33 = F,33 = 0,03 = 0,908 = 0,098 Uidad 3. Iferecia estadística: estimació de ua proporció

13 UNIDAD 3 b La proporció de hombres accidetados cada fi de semaa sigue ua distribució: 0,8 0, y' N 0,8; = N 0,8; 0,03 69 Así: 0,85 0,8 P y' > 0,85 = Pz> = P z >,67 = F,67 = 0,03 = 0,955 = 0,0475 c El úmero de hombres accidetados cada fi de semaa sigue ua distribució y B 69; 0,8. Así, μ = p = 69 0,8 = 35, es el úmero esperado de hombres accidetados cada fi de semaa. CUESTIONES TEÓRICAS 4 A partir de ua muestra de tamaño 400, se estima la proporció de idividuos que lee el periódico e ua gra ciudad. Se obtiee ua cota de error de 0,039 co u ivel de cofiaza del 95%. a Podríamos, co la misma muestra, mejorar el ivel de cofiaza e la estimació? Qué le ocurriría a la cota de error? b Sabrías calcular la proporció, pr, obteida e la muestra? a Aumetado la cota de error mejoraría el ivel de cofiaza. b La cota de error es: E = z a/ pr pr Como E = 0,039; = 400 y a = 0,95 8 z a/ =,96, teemos que: pr pr 0,039 pr pr 0,039 =,96 8 = 8 400, pr pr pr pr 8 0,0 = 8 0,0004 = 8 0,6 = pr pr ,6 = pr pr 8 pr pr + 0,6 = 0 ± 0,64 ± 0,36 pr = = = ± 0,6 pr = 0,8 pr = 0, Podría ser pr = 0,8 o bie pr = 0,. Co los datos que teemos, o podemos decidir cuál de estos dos resultados es el válido. Uidad 3. Iferecia estadística: estimació de ua proporció 3

14 PARA PROFUNDIZAR 5 a U fabricate de medicametos afirma que cierta medicia cura ua efermedad de la sagre e el 80% de los casos. Los ispectores de saidad utiliza el medicameto e ua muestra de 00 pacietes y decide aceptar dicha afirmació si se cura 75 o más. Si lo que afirma el fabricate es realmete cierto, cuál es la probabilidad de que los ispectores rechace dicha afirmació? b Supogamos que e la muestra se cura 60 idividuos. Di, co ua cofiaza del 95%, cuál es el error máximo cometido al estimar que el porcetaje de efectividad del medicameto es del 60%. a Si lo que dice el fabricate es cierto, teemos que p = 0,8 8 p = 0, Cosiderado ua muestra de tamaño = 00, las proporcioes muestrales, pr, sigue ua distribució ormal de media p = 0,8 y de desviació típica pq 0,8 0, = = 0,04; es decir, pr es N 0,8; 0, La probabilidad de que los ispectores rechace la afirmació es Ppr<. 00 Calculamos esta probabilidad: 75 Ppr< = P pr < 0,75 = 00 0,75 0,8 = Pz< = P z <,5 =,5 0,04 = P z >,5 = P z Ì,5 = 0,8944 = 0,056 es la probabilidad de que se rechace la afirmació. 60 b Si la proporció muestral es pr = = 0,6 8 pr = 0,4 00 Para z a / =,96 ivel de cofiaza del 95%, el error máximo será: pr pr E = z a/ =,96 0,6 0,4 0, El error máximo cometido es de u 9,6%, es decir, de 0 persoas. Págia 309 AUTOEVALUACIÓN. E ua població, la proporció de idividuos que tiee ua cierta característica C es 0,3. a Cómo se distribuye las posibles proporcioes pr de idividuos que tiee la característica C e muestras de 00 idividuos? 4 Uidad 3. Iferecia estadística: estimació de ua proporció

15 UNIDAD 3 b Halla el itervalo característico de pr correspodiete al 95%. c Calcula la probabilidad de que e ua muestra la proporció sea meor que 0,3. a E la població, p = 0,3. Las proporcioes muestrales, pr, se distribuye N p,. pq 0,3 0,68 = = 0,033 pq 00 Es decir, pr se distribuye N 0,3; 0,033. b E ua ormal N0,, el itervalo característico correspodiete al 95% es,96;,96. 0,3,96 0,033 = 0,55 0,3 +,96 0,033 = 0,647 El itervalo característico para pr al 95% es 0,55; 0,647. 0,3 0,3 c Ppr < 0,3 = Pz< = P z < 0,6 = F 0,6 = 0,79 = 0,709 0,033. Se sabe que el 0% de los habitates de ua determiada ciudad va regularmete al teatro. Se toma ua muestra al azar de 00 habitates de esta ciudad. Cuál es la probabilidad de que, al meos, u 3% de ellos vaya regularmete al teatro? La distribució x = úmero de persoas que va regularmete al teatro es ua B 00; 0,, dode p = 0, y q = p = 0,9. Como 00 0, > 5 y 00 0,9 > 5, aproximamos co ua distribució: x' N p, pq = N0, 3, a la que aplicamos la correcció por cotiuidad:,5 0 Px Ó 3 = Px' Ó,5 = P zó = Pz Ó 0,83 = 3 = F 0,83 = 0,7967 = 0, E ua muestra de 60 estudiates de ua uiversidad, u tercio habla iglés. a Halla, co u ivel de cofiaza del 90%, u itervalo para estimar la proporció de estudiates que habla iglés. b A la vista del resultado aterior, se va a repetir la experiecia para coseguir ua cota de error de 0,0 co el mismo ivel de cofiaza. Cuátos idividuos tedrá la muestra? La proporció muestral es pr = 8 pr = 3 3 Para u ivel de cofiaza del 90%, sabemos que z a/ =,645. Uidad 3. Iferecia estadística: estimació de ua proporció 5

16 a El itervalo de cofiaza para estimar la proporció e la població es: pr pr pr pr pr z a/, pr + z a/ E este caso queda: /3 / /3 /,645, +, es decir: 0,33; 0,4334 pr pr b E la expresió del error, E = z a/, sabemos que: E = 0,0 z a/ =,645 para u ivel de cofiaza del 90% pr = ; pr = 3 3 Por tato: /3 / 0,0 =,645 ò 6 03,4 60 Habrá que tomar ua muestra de, al meos, 6 04 idividuos. 4. Ua ecuesta realizada e cierto país sobre ua muestra de 800 persoas arroja el dato de que 300 so aalfabetas. Para estimar la proporció de aalfabetos del país, hemos obteido el itervalo de cofiaza 0,344; 0,4086. Co qué ivel de cofiaza se ha hecho la estimació? La proporció muestral es pr = = 8 pr = El error máximo admisible es la semiamplitud del itervalo de cofiaza; es decir: 0,4086 0,344 E = = 0,0336 pr pr 3/8 5/8 Por tato: E = z a/ 8 0,0336 = z a/ 8 z a/ =, Pz Ì,96 = 0,9750 a/ a,96 a/ a = Pz >,96 = 0,9750 = 0,05 a = 0,05 = 0,05 8 a = 0,95 El ivel de cofiaza es del 95%. 6 Uidad 3. Iferecia estadística: estimació de ua proporció

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