INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN

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1 INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN Págia 98 Cuátas caras cabe esperar? El itervalo característico correspodiete a ua probabilidad del 95% (cosideramos casas raros al 5% de los casos extremos) es: 50 ±,96 5 = (40,; 59,8) Esto sigifica que e el 95% de los casos e que tiremos 00 moedas, el úmero de caras que obtedremos será mayor que 40 y meor que 60. Cualquier otro resultado será u caso raro. Págia 99 U saco de alubias 500 a) p = = 0, b) µ = 600 0,05 = 0; σ = 600 0,05 0,95 = 8,5 5,4 c) El itervalo característico correspodiete a ua probabilidad del 99% es: 0 ±,575 5,4 = (6,5; 4,75) d) E el 99% de los casos e que saquemos 600 judías de esa saco, el úmero de judías egras será mayor que 6 y meor que 44. Cualquier otro resultado será u caso raro (llamado casos raros a ese % de casos extremos). Peces e u patao La muestra tiee 54 peces, de los cuales hay 7 marcados. La proporció de peces marcados e la muestra es: pr = = 0,07. El valor de la proporció de peces marcados e el patao es pr =, dode N es el úmero total de peces. N Auque este problema se resolverá de forma completa (mediate u itervalo de cofiaza) al termiar la uidad, podemos supoer que la proporció de peces marcados e la muestra y e el patao será aproximadamete la misma; es decir: Uidad. Iferecia estadística: estimació de ua proporció

2 7 49 N 4 848,7 N 4848 peces 54 N (Al cosiderar ua probabilidad determiada, daremos u itervalo de cofiaza, obteiedo u resultado más preciso que este). Págia 0 La variable x es biomial, co = 00 y p = 0,008. a) Calcula la probabilidad de que x sea mayor que 0. b) Halla el itervalo característico para ua probabilidad del 95%. Como p = 9,6 > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media µ = p = 9,6 y de desviació típica σ = pq = 00 0,008 0,99 =,09. Es decir: x es B( 00; 0,008) x' es N(9,6;,09) z es N(0, ) a) P[x > 0] = P[x' 0,5] = P[ ] z 0,5 9,6,09 = P[z < 0,9] = 0,64 = 0,859 = P[z 0,9] = b) Para ua probabilidad del 95%, z α/ =,96. El itervalo característico será: (9,6,96,09; 9,6 +,96,09); es decir: (,54; 5,66) Si teemos u dado correcto y lo lazamos 50 veces: a) Cuál es la probabilidad de que el salga más de 0 veces? b) Cuál es la probabilidad de que salga múltiplo de al meos 0 veces? a) Llamamos x = - o de veces que sale el ; así, x es B( 50; ). Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media 5 µ = 50 = 8, y de desviació típica σ = 50 =,64; es decir: x es B( 50; ) x' es N(8,;,64) z es N(0, ) P[x > 0] = P[x' 0,5] = P[ ] z 0,5 8,,64 = P[z 0,8] = P[z < 0,8] = = 0,799 = 0,06 b) Llamamos x = - o de veces que sale múltiplo de. La probabilidad de obteer u múltiplo de e ua tirada es p = =. Así, x es B( 50; ). 6 6 Uidad. Iferecia estadística: estimació de ua proporció

3 Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media µ = 50 = 6,67 y de desviació típica σ = 50 =,; es decir: Págia 0 Como sabemos, e u dado correcto la proporció de veces que sale el 5 es /6 = 0, ) 6. Halla los itervalos característicos correspodietes al 90%, 95% y 99% para la proporció de cicos, e tadas de 00 lazamietos de u dado correcto. Las proporcioes de cicos e tadas de 00 lazamietos sigue ua distribució (/6) (5/6) ormal de media p = = 0,7 y de desviació típica = = pq 6 00 = 0,07; es decir: pr es N(0,7; 0,07) Hallamos los itervalos característicos: Para el 90%: (0,7 ±,645 0,07) = (0,09; 0,) Para el 95%: (0,7 ±,96 0,07) = (0,097; 0,4) Para el 99%: (0,7 ±,575 0,07) = (0,075; 0,65) Págia 05 x es B( 50; ) x' es N(6,67;,) z es N(0, ) P[x 0] = P[x' 9,5] = P[ ] z 9,5 6,67, = 0,80 = 0,977 = P[z 0,85] = P[z < 0,85] = Se ha lazado u dado 400 veces y se ha obteido 7 veces el valor 4. Estimar el valor de la probabilidad P[4] co u ivel de cofiaza del 90%. Para u ivel de cofiaza del 90%, teemos que z α/ =,645. La proporció de cuatros obteida e la muestra es: 7 pr = = 0,8 400 El itervalo de cofiaza para estimar P[4] será: ( 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8,645 ; 0,8 +,645 ), es decir: (0,48; 0,) Es decir, co u ivel de cofiaza del 90%, la probabilidad de obteer 4 está etre 0,48 y 0,. Uidad. Iferecia estadística: estimació de ua proporció

4 Cuátas veces hemos de lazar u dado, que supoemos levemete icorrecto, para estimar la probabilidad de 6 co u error meor que 0,00 y u ivel de cofiaza del 95%? Para u ivel de cofiaza del 95%, teemos que z α/ =,96. Como descoocemos el valor de pr, tomaremos pr = 0,7 (supoemos el dado levemete icorrecto). 6 El error máximo admisible es: pr( pr) 0,7 0,8 E = z α/ 0,00 =,96 = 5 5,44 Deberemos lazarlo, al meos, 5 5 veces. Págias 08 Distribució de las proporcioes muestrales. Itervalos característicos Averigua cómo se distribuye las proporcioes muestrales, pr, para las poblacioes y las muestras que se describe a cotiuació: PROPORCIÓN, p, EN LA POBLACIÓN TAMAÑO,, DE LA MUESTRA a) b) c) d) e) f) 0,5 0,6 0,8 0, 0,05 0, Recordemos que, si p 5 y q 5, etoces, las proporcioes muestrales sigue ua distribució N ( ) p, pq. Aplicamos este resultado a cada uo de los casos propuestos. Comprobamos que e todo ellos se tiee que p 5 y q 5. a) N ( ) 0,5; 0,5 0,5 0 b) N ( ) 0,6; 0,6 0,4 0 c) N ( ) 0,8; 0,8 0, 0 d) N ( ) 0,; 0,9 50 0, e) N ( ) 0,05; 0,05 0,95 00 f) N ( ) 0,5; 0, ,5 ; es decir, N(0,5; 0,58) ; es decir, N(0,6; 0,0) ; es decir, N(0,8; 0,07) ; es decir, N(0,; 0,04) ; es decir, N(0,05; 0,08) ; es decir, N(0,5; 0,06) Uidad. Iferecia estadística: estimació de ua proporció 4

5 Halla los itervalos característicos para las proporcioes muestrales del ejercicio aterior, correspodietes a las probabilidades que, e cada caso, se idica: a) 90% b) 95% c) 99% d) 95% e) 99% f) 80% a) z α/ =,645 Itervalo (0,5,645 0,58; 0,5 +,645 0,58); es decir: (0,4; 0,76) b) z α/ =,96 Itervalo (0,6,96 0,0; 0,6 +,96 0,0); es decir: (0,8; 0,8) c) z α/ =,575 Itervalo (0,8,575 0,07; 0,8 +,575 0,07); es decir: (0,6; 0,99) d) z α/ =,96 Itervalo (0,,96 0,04; 0, +,96 0,04); es decir: (0,08; 0,8) e) z α/ =,575 Itervalo (0,05,575 0,08; 0,05 +,575 0,08); es decir: ( 0,006; 0,06) f) z α/ =,8 Itervalo (0,5,8 0,06; 0,5 +,8 0,06); es decir: (0,04; 0,96) 0 Cuatro de cada diez habitates de ua determiada població lee habitualmete el periódico Z. Halla el itervalo característico para la proporció de habitates de esa població que lee el periódico Z, e muestras de tamaño 49, correspodiete al 95%. 4 p = proporció de lectores del periódico Z = = 0,4. 0 El itervalo característico para la proporció de lectores, pr, e muestras de tamaño es de la forma: ( p z α/, p + z α/ pq pq ) Para el 95% α = 0,95 z α/ =,96 El itervalo será: ( 0,4 0,6 0,4 0,6 0,4,96 ; 0,4 +,96 ); es decir: (0,6; 0,54) E u saco mezclamos judías blacas y judías pitas e la relació de 4 blacas por cada pita. Extraemos u puñado de 00 judías. Uidad. Iferecia estadística: estimació de ua proporció 5

6 a) Cuál es la probabilidad de que la proporció de judías pitas esté compredida etre 0,05 y 0,? b) Halla u itervalo e el cual se ecuetre el 99% de las proporcioes de las muestras de tamaño 00. a) La proporció de judías pitas es p =. Si extraemos u puñado de 00 judías, 5 teemos ua biomial B( ) 00, 5. Ua proporció etre 0,05 y 0, sigifica que haya etre 00 0,05 = 5 y 00 0, = 0 judías pitas. Por tato, si x es B( ) 00, 5 Así, el itervalo será: (/5) (4/5) 5 00 es decir: (0,004; 0,09), teemos que calcular P[5 < x < 0]. 4 Como 00 > 5 y 00 > 5, podemos aproximar la biomial mediate ua ormal de media µ = 00 = 6,67 y desviació típica σ = 00 =, Así, si x es B( 00, ) x' es N(6,67;,49) z es N(0, ). Calculamos: 5,5 6,67 9,5 6,67,49,49 = P[ 0,47 z,4] = P[z,4] P[z 0,47] = P[5 < x < 0] = P[5,5 x' 9,5] = P[ z ] = = P[z,4] P[z 0,47] = P[z,4] ( P[z 0,47]) = = 0,879 ( 0,6808) = 0,557 b) Si cosideramos muestras de tamaño 00, el itervalo característico para la proporció muestral es de la forma: ( p z α/, p + z α/ pq pq ) Para el 99% α = 0,99 z α/ =,575 (4/5) (,575, +, ) ; 505 E ua localidad de habitates, la proporció de meores de 6 años es de 500/ a) Cuál es la distribució de la proporció de meores de 6 años e muestras de 50 habitates de dicha població? (/5) Uidad. Iferecia estadística: estimació de ua proporció 6

7 b) Halla la probabilidad de que, e ua muestra de 50 habitates, haya etre 5 y 0 meores de 6 años. a) La proporció, pr, de meores de 6 años e muestras de tamaño = 50 sigue 500 ua distribució ormal de media p = = 0,5 y de desviació típica: pq 0,5 0,75 = = 0,06, es decir, pr es N(0,6; 0,06). 50 b) El úmero de meores de 6 años e ua muestra de 50 es ua biomial B(50; 0,5). Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media µ = 50 0,5 =,5 y de desviació típica: σ = pq = 50 0,5 0,75 =,06 Así, si x es B(50; 0,5) x' es N(,5;,06) z es N(0, ), etoces: 5,5,5 9,5,5 P[5 < x < 0] = P[5,5 < x' < 9,5] = P[ < z <,06,06 ] = = P[0,98 < z <,9] = P[z <,9] P[z < 0,98] = = 0,9890 0,865 = 0,55 6 El 4% de los habitates de u muicipio es cotrario a la gestió del alcalde y el resto so partidarios de este. Si se toma ua muestra de 64 idividuos, cuál es la probabilidad de que gae los que se opoe al alcalde? E muestras de 64, el úmero de persoas que se opoe al alcalde, x, sigue ua distribució biomial B(64, 0,4). Teemos que calcular P[x > ]. Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media µ = p = 64 0,4 = 6,88 y de desviació típica pq = 64 0,4 0,58 =,95. Así, si: x es B(64, 0,4) x' es N(6,88;,95) z es N(0, ), etoces: P[x > ] = P[x',5] = P[ ] z,5 6,88,95 = P[z <,4] = 0,9 = 0,0778 = P[z,4] = 7 La probabilidad de que u bebé sea varó es 0,55. Si ha acido 84 bebés, cuál es la probabilidad de que haya 00 varoes o más? Halla el itervalo característico correspodiete al 95% para la proporció de varoes e muestras de 84 bebés. El úmero de varoes etre 84 bebés, x, sigue ua distribució biomial B(84; 0,55). Teemos que calcular P[x 00]. Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media µ = p = 84 0,55 = 94,76 y de desviació típica pq = 84 0,55 0,485 = 6,78. Así, si: x es B(84; 0,55) x' es N(94,76; 6,78) z es N(0, ), etoces: Uidad. Iferecia estadística: estimació de ua proporció 7

8 P[x 00] = P[x' 99,5] = P[ ] z 99,5 94,76 6,78 = P[z 0,70] = = P[z < 0,70] = 0,7580 = 0,40 El itervalo característico para la proporció muestral es de la forma: ( p z α/, p + z α/ pq pq ) Para el 95% α = 0,95 z α/ =,96 Así, el itervalo será: ( 0,55 0,485 0,55 0,485 0,55,96, 0,55 +, ) ; es decir: (0,448; 0,587) 8 Se realizó ua ecuesta a 50 familias pregutado si poseía ordeador e casa, ecotrádose que 75 de ellas lo poseía. Estima la proporció real de las familias que dispoe de ordeador co u ivel de cofiaza del 95%. 75 La proporció de familias co ordeador e la muestra es pr = = 50 4 Para el 95% de cofiaza, α = 0,95 z α/ =,96 El itervalo de cofiaza para p es: ( (/4)( /4) (/4)( /4),96 ; +,96 ); es decir: (0,7; 0,6) 9 Se seleccioa aleatoriamete ua muestra de 600 persoas e ua ciudad y se les preguta si cosidera que el tráfico e la misma es aceptablemete fluido. Respode afirmativamete 50 persoas. Cuál es el itervalo de cofiaza de la proporció de ciudadaos de esa ciudad que cosidera aceptable la fluidez del tráfico, co u ivel de cofiaza del 90%? La proporció muestral es pr = = pr = 600 Para u ivel de cofiaza del 90%, sabemos que z α/ =,645. El itervalo de cofiaza para la proporció de ciudadaos que cosidera aceptable la fluidez del tráfico es: (pr z α/ pr ( pr) ) ; pr + z α/ pr ( pr) E este caso queda: Uidad. Iferecia estadística: estimació de ua proporció 8

9 ( ,645 ; +, ); es decir: (0,86; 0,4498) 0 Sabemos que al lazar al suelo 00 chichetas, e el 95% de los casos, la proporció de ellas que queda co la puta hacia arriba está e el itervalo (0,6; 0,784). Calcula la probabilidad p de que ua de esas chichetas caiga co la puta hacia arriba y comprueba que la amplitud del itervalo dado es correcta. p es el cetro del itervalo, es decir: 0, ,6 p = = 0, = p Veamos que la amplitud del itervalo dado es correcta: Para el 95% α = 0,95 z α/ =,96 El itervalo característico es: ( p z α/, p + z α/ pq pq ) E este caso (p = 0,; q = 0,8; = 00; z α/ =,96), queda: ( 0, 0,8 0, 0,8 0,,96 ; 0, +,96 ); es decir: (0,6; 0,784), como queríamos probar. De 0 alumos, la proporció de que tega dos o más hermaos es de S 48/0. Idica los parámetros de la distribució a la que se ajustaría las muestras de tamaño 0. E muestras de tamaño = 0, la proporció muestral, pr, seguiría ua distribució ormal de media: 48 µ = p = 0 = 0 0,4 = 0 y de desviació típica: 0,4 0,6 σ = = = 0,089 pq 0 Es decir, pr es N(; 0,089). De qué tamaño coviee tomar la muestra de ua líea de producció para teer ua cofiaza del 95% de que la proporció estimada o difiere de la verdadera e más de u 4%? Se sabe, por estudios previos, que la proporció de objetos defectuosos es del orde del 0,05. Uidad. Iferecia estadística: estimació de ua proporció 9

10 Para el 95% de cofiaza, α = 0,95 z α/ =,96 El error máximo admisible es: pr( pr) E = z α/. Buscamos para que E 0,04 (o más de u 4%): 0,05( 0,05),96 0,04 4,05 El tamaño míimo de la muestra ha de ser = 5. Se desea estimar la proporció, p, de idividuos daltóicos de ua població a través del porcetaje observado e ua muestra aleatoria de idividuos, de tamaño. a) Si el porcetaje de idividuos daltóicos e la muestra es igual al 0%, calcula el valor de para que, co u ivel de cofiaza de 0,95, el error cometido e la estimació sea iferior al,%. b) Si el tamaño de la muestra es de 64 idividuos, y el porcetaje de idividuos daltóicos e la muestra es del 5%, determia, usado u ivel de sigificació del %, el correspodiete itervalo de cofiaza para la proporció de daltóicos de la població. a) Para u ivel de cofiaza del 95%, α = 0,95 z α/ =,96 El error máximo admisible es: pr( pr) E = z α/. Buscamos para que E < 0,0 (iferior al,%): 0, 0,7,96 < 0,0 > 89,48 La muestra ha de ser, como míimo, de 840 idividuos. b) Para u ivel de sigificació del %, teemos que: α = 0,0 α = 0,99 z α/ =,575 El itervalo de cofiaza para p será: ( 0,5 0,65 0,5 0,65 0,5,575 ; 0,5 +,575 ); es decir: (0,96; 0,504) 4 E ua muestra de 00 rótulos publicitarios se observa que aparece 6 defectuosos. a) Estima la proporció real de rótulos defectuosos, co u ivel de cofiaza del 99%. b) Cuál es el error máximo cometido al hacer la estimació aterior? c) De qué tamaño tedríamos que coger la muestra, co u ivel de cofiaza del 99%, para obteer u error iferior a 0,05? Uidad. Iferecia estadística: estimació de ua proporció 0

11 6 a) La proporció muestral es pr = = 0,06 pr = 0,94 00 Para u ivel de cofiaza del 99%, sabemos que z α/ =,575. El itervalo de cofiaza para estimar la proporció real de rótulos defectuosos es: (pr z α/ pr ( pr) ) ; pr + z α/ pr ( pr) E este caso queda: (0,06,575 0,06 0,94 ; 0,06 +, ,06 0,94 00 )es decir: (0; 0,) pr ( pr) b) E=z α/ =,575 0,06 0,94 0,06 00 c) E la expresió del error, sabemos que: E = 0,05 z α/ =,575 (para u ivel de cofiaza del 99%) pr = 0,06; pr = 0,94 Por tato: pr ( pr) 0,06 0,94 E = z α/ 0,05 =,575 49,58 Habrá que tomar ua muestra de, al meos, 50 rótulos. 5 Tomada al azar ua muestra de 60 estudiates de ua uiversidad, se ecotró que u tercio hablaba el idioma iglés. a) Halla, co u ivel de cofiaza del 90%, u itervalo para estimar la proporció de estudiates que habla el idioma iglés etre los estudiates de esa uiversidad. b) A la vista del resultado aterior se pretede repetir la experiecia para coseguir ua cota de error de 0,0 co el mismo ivel de cofiaza del 90%. Cuátos idividuos ha de teer la muestra? La proporció muestral es pr = pr = Para u ivel de cofiaza del 90%, sabemos que z α/ =,645. a) El itervalo de cofiaza para estimar la proporció e la població es: Uidad. Iferecia estadística: estimació de ua proporció

12 (pr z pr ( pr) ) ; pr + z pr ( pr) α/ α/ E este caso queda: (,645 ; +, b) E la expresió del error, sabemos que: E = 0,0 z α/ =,645 (para u ivel de cofiaza del 90%) pr = ; pr = 60 ); es decir: (0,; 0,44) Por tato: pr ( pr) E = z α/ 0,0 =, ,4 60 Habrá que tomar ua muestra de, al meos, 6 04 idividuos. 6 Para estimar la proporció de habitates de ua determiada ciudad que posee ordeador persoal, se quiere utilizar ua muestra aleatoria de tamaño. Calcula el valor míimo de para garatizar que, co u ivel de cofiaza del 95%, el error e la estimació o sea superior al %. Como se descooce la proporció, se tiee que tomar el caso más desfavorable, que será 0,5. E la expresió del error, sabemos que: E = 0,0 (error o superior al %) z α/ =,96 (ivel de cofiaza del 95%) pr = 0,5; pr = 0,5 (al descoocer la proporció, debemos tomar el caso más desfavorable, que es 0,5). Por tato: pr ( pr) 0,5 0,5 E = z α/ 0,0 =, Habrá que tomar ua muestra de, al meos, 40 idividuos. 7 E ua ecuesta realizada a 800 persoas elegidas al azar del ceso electoral, 40 declara su iteció de votar al partido A. Uidad. Iferecia estadística: estimació de ua proporció

13 a) Estima, co u ivel de cofiaza del 95,45%, etre qué valores se ecuetra la iteció de voto al susodicho partido e todo el ceso. b) Discute, razoadamete, el efecto que tedría sobre el itervalo de cofiaza el aumeto, o la dismiució, del ivel de cofiaza. 40 La proporció muestral es pr = = 0, pr = 0,7 800 a) Para u ivel de cofiaza del 95,45%, hallamos z α/ : 0,075 95,45 % 0,075 z α/ 0, ,9545 = 0,9775 P [z z α/ ] = 0,9775 z α/ = z α/ = El itervalo de cofiaza para estimar la proporció e la població es: pr ( pr) (pr z α/ ; pr + z α/ pr ( pr) ); e este caso queda: (0, 0, 0,7 ; 0, , 0,7 800 ); es decir: (0,676; 0,4) La proporció de votates del partido A e la població se ecuetra, co u ivel de cofiaza del 95,45%, etre el 6,76% y el,4%. b) Si aumeta el ivel de cofiaza, mayor es la amplitud del itervalo; es decir, cuato más seguros queramos estar de uestra estimació, mayor será el error máximo admisible. Si dismiuye el ivel de cofiaza, dismiuye la amplitud del itervalo. 8 Ua reciete ecuesta, realizada e u cierto país sobre ua muestra aleatoria de 800 persoas, arroja el dato de que 00 de ellas so aalfabetas. Para estimar la proporció de aalfabetos del país hemos obteido el siguiete itervalo de cofiaza: (0,44; 0,4086) Cuál es el ivel de cofiaza co el que se ha hecho la estimació? 00 5 La proporció muestral es pr = = pr = El error máximo admisible es la semiamplitud del itervalo de cofiaza; es decir: 0,4086 0,44 E = = 0,06 Uidad. Iferecia estadística: estimació de ua proporció

14 Por tato: pr ( pr) (/8) (5/8) E = z α/ 0,06 = z α/ z α/ =, P [z,96] = 0,9750 α/ α α/,96 α = P [z >,96] = 0,9750 = 0,05 α = 0,05 = 0,05 α = 0,95 El ivel de cofiaza es del 95%. 9 A partir de ua muestra de tamaño 400 se estima la proporció de idividuos que lee el periódico e ua gra ciudad. Se obtiee ua cota de error de 0,09 co u ivel de cofiaza del 95%. a) Podríamos, co la misma muestra, mejorar el ivel de cofiaza e la estimació? Qué le ocurriría a la cota de error? b) Sabrías calcular la proporció, pr, obteida e la muestra? a) Aumetado la cota de error mejoraría el ivel de cofiaza. b) La cota de error es: pr( pr) E = z α/ Como E = 0,09; = 400 y α = 0,95 z α/ =,96, teemos que: pr( pr) 0,09 pr( pr) 0,09 =,96 = 400, pr( pr) pr( pr) 0,0 = 0,0004 = 0,6 = pr( pr) ,6 = pr pr pr pr + 0,6 = 0 ± 0,64 ± 0,6 pr = = = ± 0,6 pr = 0,8 pr = 0, Podría ser pr = 0,8 o bie pr = 0,. Co los datos que teemos, o podemos decidir cuál de estos dos resultados es el válido. PARA PROFUNDIZAR 0 a) U fabricate de medicametos afirma que cierta medicia cura ua efermedad de la sagre e el 80% de los casos. Los ispectores de saidad utiliza el medicameto e ua muestra de 00 pacietes y decide aceptar dicha afirmació si se cura 75 o más. Uidad. Iferecia estadística: estimació de ua proporció 4

15 Si lo que afirma el fabricate es realmete cierto, cuál es la probabilidad de que los ispectores rechace dicha afirmació? b) Si e la muestra se cura 60 idividuos, co ua cofiaza del 95%, cuál es el error máximo cometido al estimar que el porcetaje de efectividad del medicameto es del 60%? a) Si lo que dice el fabricate es realmete cierto, teemos que: p = 0,8 p = 0, Cosiderado ua muestra de tamaño = 00, las proporcioes muestrales, pr, sigue ua distribució ormal de media p = 0,8 y de desviació típica 0,8 0, = = 0,04; es decir, pr es N (0,8; 0,04). pq 00 La probabilidad de que los ispectores rechace la afirmació es: 75 P[pr < ], 00 Calculamos esta probabilidad: 75 P[pr < ] = P [pr < 0,75] = 00,5 0,75 0,8 = P[z < ] = P [z <,5] = 0,04 = P [z >,5] = P [z,5] = 0,8944 = 0, b) Si la proporció muestral es pr = = 0,6 pr = 0,4 00 Para z α/ =,96 (ivel de cofiaza del 95%), el error máximo será: pr ( pr) E = z α/ =,96 0,6 0,4 0, El error máximo cometido es de uas 0 persoas. Uidad. Iferecia estadística: estimació de ua proporció 5

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