DOSSIER MATEMÀTIQUES. 4t ESO

Transcripción

1 DOSSIER MATEMÀTIQUES t ESO

2 ÍNDEX Unitat 0 REPÀS DE TERCER D ESO Unitat POTÈNCIES I ARRELS 8 Unitat ÀREES I VOLUMS Unitat TRIGONOMETRIA Unitat RECTES EN EL PLA Unitat POLINOMIS Unitat 6 EQUACIONS I SISTEMES D EQUACIONS 6 Unitat 7 INEQUACIONS Unitat 8 FUNCIONS I GRÀFICS 7 Unitat 9 ESTADÍSTICA 7 Unitat 0 PROBABILITAT 8 - -

3 Unitat 0 REPÀS DE TERCER D ESO Nombres racionals i irracionals. Fes un esquema de la classificació dels nombres reals. Posa eemples.. A un jove, els seus pares li van donar 0 euros i en va gastar. Quin percentatge de diners va gastar?. a) El % dels 680 alumnes d'una escola són noies. Quants nois i noies hi ha a l'escola? b) Quin percentatge d'estalvi representa una rebaia de sobre un valor de?. Calcula la fracció generatriu irreductible de les epressions decimals següents: a) 0, b),9 c) -, d) -7,..... Calcula i simplifica: a) 9 0 : 7 b) 6. Classifica els següents nombres: c) a) 6, b), c) 8 d) Potències i arrels 7 6 : 7 e) 6 f),9 7. Escriu com una potència d'eponent positiu, simplificant sempre que sigui possible: a) f) 7 b) 8 0 a d) c) 6 g) : h) e) 8. Escriu en forma d'una única potència, amb eponent positiu: 9 a) 8 b) 9 0 c) : 7 7 d) : e) 8 f) : 6 9. Calcula i simplifica a) : 6 c) 6 : 7 e) b) 7 d) 8 f) L'oigen és un gas que eistei en l'atmosfera, en l'aigua, en l'escorça terrestre, i en la major part de les substàncies orgàniques vegetals i minerals. En 6 g d'oigen hi 6,0 0 àtoms d'oigen. Quina és la massa d'un àtom d'oigen? - -

4 . Un terren quadrat té una superfície de 06, m. Quant mesura el seu costat?. Epressa com una arrel única i calcula: a) 9 c) 6 : b) = d) 6 Epressions algebraiques i equacions. Resol les equacions següents: a) ( ) 8 b) 9 c) d) 7( ) ( ) ( ) ( 7) e) f) 7 g) ( ) ( ) h) ( ) ( ) i) j) 6 7. El perímetre d un rectangle és de 6 cm. Calcula la mesura dels seus costats sabent que la base mesura cm més que l altura.. Si al triple d'un nombre li restem, obtenim la meitat d'aquest matei nombre, més. Quin nombre és? 6. Una persona fa les / parts d'un viatge en avió, les 7/8 parts de la resta en tren, i els 0 Km finals en autobús. Quants Km ha recorregut en total? 7. Comprem.600 Kg de sucre a 0, el quilo. Si el transport val 0 i volem guanar 80 en la seva venda, a quant hem de vendre cada quilo de sucre? 8. Comprem bolígrafs a 0, cada un, i el doble nombre de llapis a 7 cèntims d'euro cada un. Quants bolígrafs i llapis podrem comprar amb 8,6? 9. Un botiguer compra 0 caies de patates de 0 Kg cada una a 0,9 /Kg. Quant guanarà si ven les patates a 0, el Kg si sabem que se li han fet malbé Kg? 0. En Miquel té ans mens que el seu pare. Entre tots dos en tenen 79. Troba els ans que té cadascú. Sistemes d'equacions. Resol els següents sistemes d equacions: a. Fes servir el mètode de substitució o d'igualació: a.) 9 a.) a.) 7 a.) b. Fes servir el mètode de reducció: b.) 0 0 b.) 6 - -

5 b.) b.) 0 0 c. Fes servir el mètode que vulguis: c.) c.) 6. En un garatge hi ha 0 vehicles, entre cotes i motos. Sabent que el nombre total de rodes és de 60, trobar el nombre de cotes i el de motos que hi ha.. Disposem de cafè "Classe A" a, /Kg, i cafè de "Classe B" a, /Kg i volem vendre una mescla de 0 kg de cafè a, /Kg. Si no hem de perdre ni guanar diners en la operació, quants de quilograms de cada classe haurem de fer servir per a fer la mescla? Equacions de segon grau. Resol les següents equacions de n grau incompletes: a) 0 b) 7 0 c) 0 d) 7 0. Resol les següents equacions de n grau per la fórmula general: a) 9 0 b) 0 0 c) 7 0 d) 0 e) 8 0 f) 0 Triangles i semblança 6. Els costats d'un triangle equilàter mesuren cm. Un de semblant té de perímetre 0 cm. Quina és la raó de semblança? Calcula la longitud dels costats del nou triangle. 7. Els segments AB i CD són paral lels. Calcula i a partir de les mesures que hi ha indicades en la figura. 8. Un pal vertical de dos metres projecta una ombra de metres. A la mateia hora, l'ombra de la torre d'una església és de 80 m. Calcula l'altura de la torre. 9. En un triangle isòsceles, cadascun dels costats iguals mesura cm, i el costat desigual mesura 8 cm. Calcula la seva àrea. 0. La base i la diagonal d'un rectangle mesuren respectivament, 0 cm i cm. Calcula el seu perímetre i la seva àrea. - -

6 Les funcions lineals i afins. Les equacions de les rectes següents són algunes d'aquestes: = - 6 = - = = - + = + = + = - - Assigna a cada recta la seva equació, indicant quin és el pendent i l'ordenada a l'origen.. Calcula l equació de la recta en cadascun dels casos següents: a) Pendent i talla a l ei d ordenades en el punt (0,) b) Passa pel punt (,-) i pel seu simètric respecte a l ei d ordenades. c) Passa pel punt (-,-) i per l origen de coordenades. d) Passa pels punts (,) i (,-)... Són paral leles les rectes + = i + = 7? Raona la resposta.. Pel lloguer d una bicicleta et cobren una quantitat fia de, i per cada minut, cèntims d euro. a) Escriu l equació que epressa el preu segons el temps b) Si has pagat, quant de temps has tingut llogada la bicicleta? Les funcions. Epressa, amb una equació, la relació funcional que hi ha entre aquestes variables: a) El nombre total de pàgines de 0 llibres de pàgines. b) L àrea d un triangle de base i altura. c) La diagonal d un quadrat en funció del seu costat. 6. Calcula analíticament els punts de tall amb els eios de coordenades de les funcions següents: a) = + b) = - c) = - d) =

7 7. A partir de la gràfica de la funció indica: a) Dom f = b) Rec f = c) f(0)= d) f() = e) f(-) = f) f - () = g) f - (0) = h) Quin és el punt o punts on s'assolei el valor màim: i) En quin interval la funció és creient: j) En quins punts la funció no és contínua: 8. Estudia les funcions següents ( taula de valors, representació gràfica, domini, recorregut, creiement i decreiement, màims i mínims, simetries, punts de tall amb els eios de coordenades): a) = - + b) = + 6 c) = - d) e) = Sabent que una paràbola té el coeficient quadràtic negatiu i que el vèrte està situat al punt (, ), esbrina: a) Quin tipus d'etrem té (màim o mínim)? b) Quins són els seus intervals de creiement i decreiement? c) Quants punts de tall té amb l'ei d'abscisses? 0. Calcular l equació de la parábola sabent: a) Que tè de coeficient quadràtic - i que passa pels punts (-, ) i (, ). b) Que tè el vèrte al punt (-, -) i que passa pel punt (, ). 7

8 Unitat POTÈNCIES I ARRELS Operacions amb potències. Epressa el resultat de les operacions següents com una potència d'eponent positiu: a) ( ) - = b) - 6 = c) [(-) ] - = d) [(-) (-)] - = k) l) m) n) : 6 o). Calcula aquestes epressions: e) (-) 7 = f) - : - = g) (-) - : (-) 6 = h) (-) : (-) -6 = p) q) r) 7 s) 7 : i) (-7) 8 7 = j) t) 6 : u) ( ) ( v) w) a) - : 8 + = b) - : + 0 c) d) : : e) + - = f) : - = g) = h) ( + ) - 0 =. Escriu amb eponent positiu les potències següents: a) b) c) d) e) f) = = 7 = g) h) : 6 6 i) 8

9 9. Utilitzant les propietats de les potències epressa de la manera més simple possible. Després calcula el resultat: a) [(-) (-) ] : [ (-) ] = b) (-) (-) (-) (-) (-) = c) [(-) (-) - ] : (-) = d) e) f) a a a g) 8 9 h) 8 i) 9 j) : k) 8 6 : l) 0 m) n) o) : p) q) 8 r) s) 6 t) u) v) 0 0 w) 9 ) a a a a ) z) 9. Transforma aquestes epressions en unes altres equivalents amb tots els eponents positius: a) = b)

10 Notació científica 6. Escriu en notació científica: a) = b) 0, = c) 0,00= d) = 7. Escriu en notació decimal: a),67 0 = b), = c) 7 0 = e) 0,= f) = g) = d) 7,8 0 = e) 7,9 0 - = f) 6, = g) 0 0 = h) 0,6= i) = j) 0, = h),76 0 = i),876 0 = j) 0-7 = 8. Utilitzant la notació científica escriu les següents magnituds en metres: a) La Unitat Astronòmica de distància és la distància mitja que separa la Terra del Sol, el seu valor és 9,6 milions de kilòmetres. b) Un an-llum és la distància que recorre la llum en un an (velocitat de la llum = km/s) c) El C-elegans va ser el primer organisme al qual se li va seqüenciar el seu genoma complert. La seva longitud és de mm. 9. Ordena de menor a major els següents números, epressant-los prèviament en notació científica: a), 0 8,,7 0 6, 0 7 b),9 0 -, 0,0 0-0, 0-0. Si X = 0 7, Y=, 0 Z = 7, 0 0, calcula, epressant el resultat en notació científica: a) (X+ Y) Z b) X Y Z. L'oigen és un gas que eistei en l'atmosfera, en l'aigua, en l'escorça terrestre, i en la major part de les substàncies orgàniques vegetals i minerals. En 6 g d'oigen hi 6,0 0 àtoms d'oigen. Quina és la massa d'un àtom d'oigen?. Amb la calculadora, calcula i epressa el resultat en notació científica: a),0,70 :8,900 b) 0, :, 0-8 c), ) (7 0 ) = d), ,00 = e) (7 0 ) : ( 0 ) = f), ( 0 0 ) - (7 0 )= g), = h) 0, : 0, = 0

11 Definició d arrels. Potències d eponent fraccionari. Calcula les següents arrels, vigila amb els signes: a) 6 b) 00 c) 8 d) 7 = e) 0000 f) 8 = g) 9 h) 7 i) j) 6 =. Indica quins dels següents nombres tenen arrels quadrades i arrels cúbiques enteres: 6 a) 8 8 b) c) -69 d) 79. Epressa en forma de potència d'eponent fraccionari: a. b. a c. d. 7 e. = f. a 6. Epresa en forma d arrel: a) / c) / e) / b) 0 / d) /7 f) 7 -/ Operacions amb arrels 7. Etreu factors fora del radical: a) 00 b) 0 c) 0 d) 6 e) 7 f) 6 8a g) h) i) j) k) 000a 00 a 7 b 6 c 8 m n p z l) 8m m) 0 n) 9 6a b 6 8 o) 8m n p p) 6 0 q) Realitza les següents operacions: a) b) 7 7 c) 8 d) e) 99 f) g) h) 80 0

12 i) 7 j) 7 7 k) l) 8 m) n) 8 o) ) ab ab ab ) 9. Realitza les següents operacions: 8 p) 7 q) 00 6 r) 8 s) 8 8 t) u) 8 8 v) 9m m 6m w) 0 9 a 6 a 7 a a) 7 8 b) 7 c) 0 d) 9 6 e) 7 f) g) 8 h) 0 00 i) j) 6 7 k) 80 l) 9 8 m) 6 0. Realitza les següents operacions: a) 8 : b) 8 : 0, c) 0,00 d) : e) : f) 8 : g) : h) i) Realitza les següents operacions: a) 8 b) 8 6 c) d) 6 e) f) g) 6 h) 9 7 i) 6 j) 8 k) l) 6 m) 8 n) a a 6 o)

13 . Aplicant les propietats dels radicals realitza aquestes operacions: a) b) : 6 c) d) : 8 e) : 6 f) : 6 9 g) 6 h) 0 6 : i) : 7. Calcula fent ús de les identitats notables: a) b) 7 7 c) d) a) 6 b) 8 c) d). Racionalitza: a) b) c) d) 6 e) f) 6 g) h) 6 i) 7 j) k) l) 7 6 m) n) o) =

14 Unitat ÀREES I VOLUMS Polígons. Dibuieu: a) Una línia poligonal oberta formada per 8 segments b) Una línia poligonal tancada formada per 6 segments c) Un polígon conve format per 6 costats d) Un polígon còncau format per costats. Un polígon que té 0 vèrtes. Quants costats té? Quants angles? Quin nom té aquest polígon?. Que són les diagonals d un polígon?. Quantes diagonals pots dibuiar en un octàgon des d un dels vèrtes? Quantes diagonals té aquest polígon?. Escriu sota de cada figura quin tipus de polígon és segons el seu nombre de costats. Indica a més si és còncau o conve: a b c d e f g h i j k l m n o p q r Calculeu el perímetre de les figures següents: a) Un quadrat de 7 cm de costat b) Un triangle equilàter de 8 cm de costat c) Un rombe de 6 cm de costat d) Un dodecàgon regular de cm de costat 6. La suma de tots els angles d un octàgon regular és de 080º. Quant mesura cada angle? 7. Quantes diagonals tenen els quatre polígons regulars de mens de set costats?. Calculeu-ne de cadascun d ells, la mesura dels angles i el perímetre, si el costat fa cm. Triangles 8. Quant sumen els tres angles d un triangle? 9. Classifiqueu els triangles segons els seus costats. COSTATS TIPUS DE TRIANGLE a= cm, b= 6cm, c=8cm a= cm, b= cm, c=cm a= cm, b= cm, c=cm 0. Classifiqueu els triangles segons els seus angles. ANGLES A= 6º, B=0º, C=7º A= 0º, B=90º, C=60º A= 0º, B=0º, C=0º TIPUS DE TRIANGLE

15 . En un triangle isòsceles, l angle desigual és de 0º. Quina és la mesura dels altres dos angles?. Dibuieu en quatre triangles diferents les rectes i punts notables d aquests triangles.. Anomeneu els criteris d igualtat de triangles. Dibuieu-ne un de cada tipus.. Quina condició s ha de complir per tal de poder construir un triangle donats tres segments?. Per a cadascun dels següents triangles, r. Marca l angle recte. n. Assenala la hipotenusa. Com es diuen els altres costats? r. Determina el costat que falta mitjançant el teorema de Pitàgores. Totes les unitats estan en cm. Quadrilaters 6. Un paral lelogram és un quadrilàter conve que té tots els costats paral lels dos a dos. Completa la taula següent posant el dibui i la definició dels tipus de paral lelograms que hi ha: Nom del Paral lelogram Quadrat Dibui Eplicació Rectangle Rombe Romboide

16 7. Un Trapezi és un quadrilàter conve tal que només dos dels costats són paral lels. Completa la taula següent posant el dibui i la definició dels tipus de trapezis que hi ha: Nom del trapezi Dibui Eplicació Rectangle Isòsceles Escalè 8. Tan sols queda un tipus de quadrilàter: el trapezoide. Fes un dibui i escriu la definició: Nom Dibui Eplicació Trapezoide 9. Quant sumen els angles de qualsevol quadrilater? Càlcul d àrees 0. Calcula l altura d un rectangle de 0,06 m de base i 0, m d àrea.. Calcula l àrea d un quadrat de cm de costat.. L àrea d un quadrat mesura,6 dm. Quant mesura el costat?. L àrea d un rectangle és de cm. Quant mesurarà el costat d un quadrat que sigui equivalent?. El perímetre d un quadrat és 0,0000 hm. Calcula n l àrea.. Calcula l àrea d un rombe de 7,8 cm de diagonal major i 0, dm de diagonal menor. 6. Calcula la mesura de la diagonal d un rombe si la seva àrea fa 0, cm i la diagonal menor fa 0,0dm. 7. Calcula l àrea del rombe que es forma en unir els punts mitjans dels costats d un rectangle de 8 cm de base i cm d altura. 8. Calcula l àrea d un romboide de cm de base i 7,6 dm d altura. 9. Calcula l àrea d un triangle rectangle els catets del qual mesuren 7 cm i cm, respectivament. 0. Un romboide mesura cm de base i 0,7 dm d altura. Calcula l àrea dels triangles que es formen en traçar una diagonal.. Calcula la mesura de la base d un triangle de,6 cm d àrea i 6 mm d altura.. El perímetre d un triangle isòsceles és cm; la suma de les longituds dels dos costats iguals és,8 dm i l àrea és 6 cm. Quant mesura l altura d aquests triangle? 6

17 . Calcula l àrea d un heptàgon regular de 6, cm de costat i mm d apotema.. L àrea d un pentàgon regular és 0,67 m i el costat mesura ¾ de metre. Quant mesura l apotema?. L àrea d un heàgon regular és de dm i la seva apotema, 6 cm. Calcula n el perímetre. 6. El perímetre d un triangle equilàter és igual al d un dodecàgon regular d, dm de costat. Quant mesura el costat del triangle? 7. Calcula l àrea i el perímetre d aquesta figura, on els diàmetres de les circumferències es donen en centímetres: 8. Sabent que el radi de cada cercle fa un metre, calcula l àrea de les zones ombrejades: 9. Cada cercle fa cm de radi. Calcula l àrea de la zona ombrejada: 0. Calcula la longitud i l àrea d un sector circular de 60º si el radi de la circumferència fa 0 m.. Calcula l àrea d aquestes figures: cm 8 m 60º 6 cm. L àrea de la superfície d un disc metàl lic és de 78, cm. Quin radi té? Si l àrea d un altre disc és el doble que l anterior (és a dir, 7 cm ) el seu radi també serà el doble? Comprova-ho fent els càlculs oportuns. 7

18 . Calcula l àrea de les següents figures: Poliedres. Escriu el nom dels elements d aquest poliedre.. Quines d aquestes figures son poliedres? Justifica la resposta 6. Indica quin tipus de poliedres és cada un d aquests: 8

19 Prismes 7. Calcula la superfície total i el volum d aquesta figura (unitats en cm): 8. Calcula el volum d un ortoedre les mesures del qual son 6 cm., 8 cm. i cm. 9. Calcula el volum d un prisma triangular regular de cm. d altura i 6 cm. de aresta bàsica. 0. Volem construir un recipient de forma cúbica que tingui una capacitat de 6000 litres. Quant haurà de mesurar l aresta?. La cisterna del wàter té forma d ortoedre i les seves mesures són cm, 7 cm i 0 cm. Si en una casa viuen persones, que utilitzen una mitjana de vegades al dia el wàter cada una, quin serà el consum diari d aigua en litres? Piràmides. Calcula la superfície total i el volum de la següent figura (unitats en cm):. La piràmide de Keops mesura 6, m d altura i la seua base és un quadrat de m de costat. Quin és el seu volum?. Calcula el volum d una piràmide heagonal regular de 6 cm d aresta bàsica i 0 cm d aresta lateral. 9

20 Cossos de revolució. Calcula la superfície total i el volum de les següents figures (unitats en cm): 6. Quants dipòsits cilíndrics de 0 cm de diàmetre i 60 cm d altura es podrien omplir amb l aigua que cap dins d un globus esfèric d m de radi? 7. Quin serà el volum d un anell d or que mesura cm de diàmetre eterior,,8 cm de diàmetre interior i mm d altura? 8. Quants litres d aigua caben en un embut de forma cònica de 0 cm de generatriu i cm de radi? Càlcul àrees i volums (prismes, piràmides i cossos de revolució) 9. Completa 0

21 60. Calcula l àrea i el volum de les figures següents: a) b) c) 6. Calcula la superfície i el volum de la següent figura: 6. Calcula la superfície i el volum de la figura següent (les mesures són en metres): 6. Una esfera de 0 dm de diàmetre està inscrita en un cilindre. Quin és el volum de la part que queda entre ambdós cossos? 6. Ajustem tres pilotes de tennis de 8 cm de diàmetre dintre d un recipient cilíndric com el de la fotografia. Quin és el volum d aire que queda entremig?

22 6. Calcula el volum dels següents objectes: Base heàgon regular 0 cm 8 cm 0 cm 9,6 cm 8 cm 0 cm m cm cm 66. Quants litres d aigua caben a esta piscina? m. m. m. m 8 m.

23 Unitat TRIGONOMETRIA Angles. Agrupeu els angles de la figura segons els següents criteris: a) angles iguals b) angles complementaris c) angles suplementaris E F H I G L J K A B D C. Transformeu en graus el angles a) b) 0 0 ' c) d) Transformeu en graus, minuts i segons els angles següents a) 6' 0 b) 6' 00 0 c) ' 0 d) 87' Efectueu les operacions següents a) b) c) 0 d) Calculeu el suplementari de l angle Calculeu el complementari de l angle 0

24 7. Amb l ajuda del transportador d angles, doneu la mesura aproimada en graus seagesimals dels angles següents: A B C 8. Construïu angles de 0, 0, 0 0 i Calculeu el valor de l angle A en cadascuna de les figures següents: 0º º 60º A A º A º 0º A 0º 0. Calculeu els angles A, B, C i D 70º 0º D A C A B B º. Epresseu en radiants els angles: a) 0º b) 0º c) 70º d) 90º e) 0º f) 0º

25 . Epresseu en graus, minuts i segons els angles de: a) rad b) rad c) 7 8 rad d) rad e) rad f ) 7 rad. Ordeneu del més gran al més petit els angles següents: 0, rad, d' un angle recte,, rad. Sabent que en una circumferència un arc de 7º d amplitud fa cm, calculeu el seu radi.. Un rellotge assenala les en punt. Després de 0 minuts, quin angle, mesurat en radiants, formen les agulles de les hores i dels minuts? 6. Aquí teniu l esquema del traçat d una carretera que unei dos pobles A i B. A partir de les dades que es donen, quants quilòmetres haurem de recórrer per anar del poble A al poble B. Si portem una velocitat mitjana de 60 Km/h, quant trigarem? A 0 km 70º km 0º B 7. Quant triga la Terra en girar, sobre si mateia, un angle de: a) 0º b) 7 rad 8. Mercuri triga en donar una volta complerta sobre sí matei 8 6 dies aproimadament. Quin angle gira en un dia? i en una hora? Triangles 9. Amida els segments corresponents en la figura i comprova que AB BC AB' B' C' A B B C C

26 0. Fieu-vos en la figura de l esquerra. Si desplacem el triangle OAA sobre la recta r fins la posició que assenala la figura de la dreta, comproveu que OA OB AA' BB'. O O A A A A B B r r B B r r. Si a cada costat d un triangle li sumem dues unitats, s obté un triangle semblant?. Els dos triangles de la figura són semblants, determineu la longitud del costat a. B B 6 cm A cm C A cm C. Determineu si són semblants els parells de triangles següents:. Els costats d un triangle valen a = 9 cm, b = 6 cm i c = cm. Calculeu les mides del triangle semblant a aquest que té per perímetre 0 cm. 6

27 . Sabent que la raó dels perímetres dels dos triangles semblants de la figura és, determineu la longitud del costat b. b b = 8 cm Triangles rectangles 6. Amb l ajuda d un regle graduat, comproveu que els quocients que s indiquen tenen sensiblement el matei valor OM ON OP OQ OR OS N Q S O M P R a) de quina raó trigonomètrica es tracta? b) amb l ajuda de la calculadora, doneu el valor de l angle agut tal que tingui la raó trigonomètrica anterior. c) comproveu amb el transportador d angles que l angle trobat en l apartat anterior correspon aproimadament. 7. Indiqueu en quin cas aquests tres números poden representar les longituds dels costats d un triangle rectangle: a),, 7 b),, c),, d),, 8. Completeu les següents llistes de números perquè els dos primers elements representin les longituds dels catets d un triangle rectangle i el tercer la hipotenusa. a),, c), 0, b) 6, 8, d) 6,, 7

28 9. Es vol construir un celler per emmagatzemar bótes de vi de la forma com s indica en el dibui. Si d = 60 cm és el diàmetre de les bótes. Quina ha de ser l altura del celler? 0. Calculeu l altura d una piràmide de base quadrada de m de costat i 0 m d aresta lateral.. En un dia de sol es pot trobar l altura d un edifici, un arbre o qualsevol monument, fent servir la seva ombra i un bastó. Situeu el bastó en posició vertical, de manera que l etrem de la seva ombra coincideii amb l ombra de l objecte a mesurar. Sembla ser que el llegendari Tales va utilitzar aquest procediment per mesurar l altura d una piràmide. Epliqueu el dibui.. Escriu les raons trigonomètriques de l angle i : cm 6 cm. Troba les raons trigonomètriques dels angles i : cm cm. Escriu les raons trigonomètriques dels angles i : cm cm 8

29 . Sabent que sin =, troba i. cm 6. Troba cos i cos en el triangle rectangle de la figura: cm cm 7. Si cos = 0 7, troba i. 6 cm 8. Troba tg i tg en el triangle rectangle de la figura: 6 cm 0 cm 9. Si tg =, troba i. 0 cm 9

30 0. Fia t en el triangle i completa les dades: AB AC BC cm º. Fia t en el triangle i completa les dades: AB AC CB m 6º. Un individu observa amb un angle de 8 graus la cornisa d un edifici, a una distància de 6 metres. Calcula l alçada de l edifici.. Calculeu l alçada d una torre si des d un punt situat a 0 m del seu peu l angle d elevació del punt més alt de la torre és de 70º.. Calculeu l alçada d un edifici si des d un punt situat a 0 m de la seva base l angle amb el que es veu el punt més alt és de 0º i 0.. Fia t en el triangle i completa les dades: AB BC AD DC AC DB m 0

31 6. Un turista observa la torre Eiffel des de terra en un punt en què forma un angle de º. S acosta m al peu de la torre i aleshores l angle format és de 60º. Calcula l altura de la torre. 7. Calcula la longitud de l ombra que projecta un arbre de, m d altura quan la inclinació dels raigs solars és de 8 º. 8. En els triangles rectangles següents, calculeu la raó trigonomètrica que s indica i, amb ajuda de la calculadora, el valor de l angle agut corresponent. B 8 6 C C cosec C cos B cot C B 8 C tg B sin C 9. Des d un punt de terra veiem que el cim d una torre forma un angle de 0º amb la línia horitzontal. Si ens apropem 7 m cap al peu de la torre, aquest angle es fa de 60º. Busqueu l altura de la torre. 0. Des d un far de m d alçada s observa una barca amb un angle de depressió de 8º 0. Calculeu la distància de la barca al peu del far ( l angle de depressió és el format per la visual i l horitzontal ).. El costat d un pentàgon regular fa 8 cm. Trobeu els radis de les circumferències circumscrita i inscrita del pentàgon.. Un observador veu un edifici amb galeries comercials i pisos sota un angle de 0º, Si mira cap al penúltim balcó aquest angle es fa de º. Sabent que la distància entre el penúltim balcó i la part més alta de l edifici és de 0 m. Calculeu: a) l altura de l edifici b) la distància de l observador a l edifici 0 m º 0º

32 . Les diagonals d un rombe mesuren 0 cm i 6 cm. Calcula n el perímetre, l àrea i els angles.. Quin angle formen els raigs solars amb l horitzontal si sabem que a una determinada hora un iprer de m d alçària projecta una ombra de 6 m?. L angle d elevació d un globus captiu, observat des d un punt del terra situat a 0 m del seu ancoratge, és de 60º. Calcula l altitud a la qual es troba el globus suposant que l observació es fa un dia sense vent. 6. Des de la cúpula d un far, situada a m sobre el nivell del mar, s observa un vaiell sota un angle de depressió de 6º. Quina distància separa el vaiell de la cúpula del far? 7. S ha col locat a la terrassa d una casa una antena d, m d alçària. Des d un punt del carrer mesurem els angles d elevació de la base de l antena i del seu etrem superior, que són 6º i 0º, respectivament. Quina alçària té la casa? 8. Dos satèl lits són a una distància de 70 km d un observatori. Si l angle que formen les visuals des de l observatori als satèl lits és de 9º, quina distància separa els satèl lits? 9. Un bus baia al fons d un llac per recollir un objecte seguint la trajectòria rectilínia d inclinació 0º. Complei el seu objectiu i surt a la superfície en un altre punt del matei pla vertical seguint una altra trajectòria rectilínia d inclinació º. Si la distància en la superfície entre el punt d entrada i el de sortida és de 00 m, esbrina la profunditat del llac.

33 60. Dos observatoris, situats a la mateia latitud i separats 00 km, localitzen l epicentre d un sistema amb angles de 8º i 6º respecte del nord. A quina distància de l epicentre estan situats? 6. Amb les dades de la figura, calcula l amplària del riu i l alçària de l arbre. 6. Calcula l alçària de l edifici de la figura si α = º, ß = 0º i d = 0 m. 6. Els operadors dels radars de dos portaavions observen el vol d un helicòpter situat en el matei pla vertical que els vaiells. D acord amb les dades de la figura, a quina altitud vola l helicòpter?

34 UNITAT RECTES EN EL PLA Vectors. Dóna les components d aquests vectors:. Dibuia els punts en uns eios cartesians i determina les components del vector que permet passar en cada cas de A a B a) A (0, ) i B (,0 ) c) A (, ) i B (0,0) b) A (, ) i B (, ) d) A (, ) i B (, ). Determina el vector posició dels punts següents:. Les components d un vector lliure són, ) vectors fios obtinguts en aplicar el vector lliure en els punts origen següents: a) M (, ) c) P (0, 0) b) N (, ) d) Q (, ) (. Dibuia en uns eios de coordenades els. Dibuia en uns eios de coordenades els vectors posició dels punts següents: a) M (, ) d) Q (7, ) b) N (, 6) e) R (, ) c) P (, 0) f) S (, ) 6. Indica les components dels vectors dibuiats al pla. Has de determinar el desplaçament horitzontal i vertical que cal fer per passar del punt origen al punt etrem.

35 7. Dibuia en cada cas tres vectors equipol lents als vectors donats. 8. Troba les coordenades del punt B sabent que el vector AB té com a components, A, 6. AB, i que el punt origen és 9. Els vectors AB i CD són equipol lents. Coneiem les coordenades dels punts A, B i C :,, C, 0. Determina gràficament les coordenades del punt D. A, B i Operacions amb vectors 0. Fes aquestes sumes de vectors, tant gràficament com analíticament: a) n n, 8 b) p m, on m, i o, on o, i p 6,. Fes el producte dels nombres pels vectors: a) m, on m,, on n, 7 b) n c) p, on p,. Calcula els vectors oposats als donats: a), 7 b) v c) w 6,, d), u. Fes aquestes restes de vectors, tant gràficament com analíticament: a) n n, m, on m, i o, on o, i p, q, on o 6, i r, b) p c) r. Tenim aquests vectors en el pla: a) Suma a cada vector el vector, b) Resta a cada vector el vector v, u. Dibuia els vector de posició a, i, gràficament els vectors indicats: b. A continuació, representa a) u a b b) v b c) w a d) z a b

36 6. Podem sumar tres vectors, tal com mostra la figura Suma aquests vectors i representa també les sumes gràficament. a) m n o, 6, on m,, n i o, n, on m,, n 6, i o 0, b) m o 7. Fes l operació a b c, on a,, b, i c, 8. Un home camina 0 metres cap a l est; després, 0 m cap al sud; després, 0 m cap a l oest, i, finalment, 0 m cap al nord. Representa gràficament quin és el vector desplaçament des del punt de sortida fins al punt d arribada. 9. Fes les operacions indicades amb els vectors següents: a) u v b) u w c) v u,, v, i w, d) u v e) v u f) w g) v w u v h) w 0. Fes les operacions indicades amb els vectors donats: u,, v, 0 i w, 6 a) v u b) u c) v u w d) v u w e) v u f) u u. Determina les components dels vectors a partir dels punts donats: a) AB, on A, 7 i B, 6 b) CD, on C, 6 i D 0, c) EF, on E, i F 6, d) GH, on G 8, i H, Mòduls dels vectors. Dóna les components dels vectors dibuiats i calcula els seus mòduls:. Determina els mòduls dels vectors: a) AB, on A 6, i B, b) CD, on C, i D, 0 c) EF, on E, 6 i F, 6

37 . Troba les components dels vectors fios que determinen cada parella de punts i comprova que són vectors equipol lents: a) A, I B, b) C, I D 9,. Els punts A,, B 0, i 6, C són els vèrtes d un triangle. Calcula el seu perímetre buscant primer els vectors AB, BC i CA i a continuació troba els seus mòduls. 6. Calcula el radi d una circumferència sabent que els punts A,,, diametralment oposats. B són 7. Troba les coordenades dels etrems dels vectors fios AB que resulten d aplicar el vector u, als punts d origen indicats: lliure a) A, 0 b) A, c) A, 6 8. El vector u té l origen en el punt 0, i l etrem en el punt, equipol lent a l anterior, té l origen en el punt, de v.. El vector v,. Troba les coordenades de l etrem 9. Donats els vectors, a) u b) v u i v, c) u v d) u v, calcula: e) u u v v f) u u 0. Quant ha de valer la segona component n del vector u, n direcció que w,?. Tenen la mateia direcció els vectors de components, i, 9 sentit?, perquè tingui la mateia? Tenen el matei. Calcula la longitud de les diagonals del quadrilàter de vèrtes, B,, C, i D, Punts mitjos de segments. Determina en cada cas els aspectes següents: - La distància entre A i B. - El punt mitjà dels segment BC. - Estan alineats els tres punts? a) A,,, C b) A,,, /,, / B i 7, 7 B i C 9, c) A, B i C, 7 A,. Calcula els punts que divideien en tres parts iguals el segment PQ, on, 0 Q, P i 7

38 . El punt B del segment AB és B, i el seu punt mitjà és, 0 coordenades de l altre etrem. 6. Dóna les coordenades d un punt que estigui alineat amb A, i, 7. Troba les B. 7. Quant ha de valer perquè els punts A,, B, i C 7, alineats? 8. Són vèrtes d un triangle els punts P,, Q, i, 0 9. Els punts A,, B, i 6, ABCD. Troba: a) El vèrte D. b) El punt d intersecció de les diagonals. c) La longitud BC. d) El perímetre del paral lelogram. 0. Calcula la distància entre els punts C, i, 8 R? estiguin C són vèrtes consecutius del paral lelogram D.. Determina les coordenades del punt mitjà d aquests segments: a) AB, on A, 7 i B, b) CD, on C 0, 0 i D, 6 c) EF, on E, i F 9,. Donat el segment d etrems A, 6 i B 8, 8, troba un punt P de manera que la distància de P a A sigui tres vegades més gran que la distància de P a B. Equacions de les rectes. Indica per a cada recta el pendent i les coordenades d un punt: a) d) 6 b),, k, 0 c) 7,, 8 k, 9 e). Donada la recta, escriu un vector director i un punt d aquesta.. Indica a quines rectes pertan el punt B, a),, 0 k, b) 6 c) 6. L equació vectorial d una recta és:,, k, eplícita. d),, k, e) 8. Epressa-la amb l equació 8

39 7. Determina el pendent de cada recta: a) b), 7, 6 k,0 c) Troba dos punts de cada recta: a),, k, b) d) 6 c) 9. Determina en cada cas l equació vectorial de la recta que passa pel punt A i té com a vector director v : a) A, i v 0, b) A 0, 0 i v, 0. Escriu l equació eplícita de la recta que passa per les parelles següents de punts A i B : a) A 0, 0 i B, c) A, i B 7, b) A 0, 6 i B 0, 8. Escriu l equació eplícita de cadascuna de les rectes:. Troba l equació punt-pendent de les rectes següents: a) Passa pel punt P, i té pendent b) Té pendent i talla l ei OY en el punt 0, c) Passa pels punts A, 6 i B,. Escriu en cada cas un vector director de la recta: a),, 6 k, 7 b) c). Volem saber si el punt, 7 aplicaràs per comprovar-ho. A pertan a la recta. Eplica quin mètode 9

40 Posició relativa de les rectes. Observa aquest plànol de Barcelona. a) Considerant els carrers com a rectes, dóna el nom de dos carrers que siguin paral lels, dos que siguin secants no perpendicular, i dos que siguin perpendiculars. b) Hi pot haver dos carrers coincidents? 6. Troba la posició relativa de les rectes següents: a) b) 8 i i 6 ( 7),, k, 6 i 8 c) d) 7 i 7. Troba l equació de la recta pel punt, 7 i. P i pel punt on es tallen les rectes 8. Troba els punts de tall amb els eios de la recta Calcula l equació d una recta paral lela a,, k8,,. 60. Troba les equacions d aquestes rectes. i que passi pel punt 6. Dues rectes secants es tallen en el punt, A. a) Quantes rectes diferents pots escriure? b) Escriu l equació de dues rectes secants que es tallen en el punt donat. 6. Determina l angle que fan les rectes següents a l ei d abscisses: a) c) 0, b) d) 0, 0

41 Unitat POLINOMIS Epressions algebraiques i operacions amb polinomis. Siguin els següents polinomis: 6 8 B A C Empleneu la taula següent: A B C Grau Coeficient de grau tres Coeficient de grau u Terme independent. Donats els polinomis de l eercici, calculeu: a) A + C b) B - A = c) A B C d) B C A. Donats els polinomis A() = - +, B() = - + i C() = - +, calculeu: a) A() [B() + C() ] b) B() [A() - C() ] c) [A() + B()] [B() - C() ]. Siguin els polinomis següents: A B C Calculeu: B a) A b) A C c) C B. Donats els polinomis: A 6 i B trobeu: a) A B b) A c) A A B 6. Donats els polinomis: A, B i calculeu: A a) C B b) B A C c) A C, 7. Utilitzeu les identitats notables per a desenvolupar les epressions següents: b) a) e) f) c) d) 6 6 g) h) 7 7 i) ( + ) ( - ) j) ( - ) ( + ) k) ( - ) l) n) m) o) ab ab

42 p) q) r) 8. Feu les operacions següents: a) ( + ) - ( - ) b) 6-9b - ( + a) ( - a) c) ( + ) - ( - ) = d) ( + a) ( - a) - + 6a = e) f) 9. Donats els polinomis A() = - /, B() = +, calculeu: a) A() + B() b) A( ) B( ) c) A( ) B( ) 0. Escriviu com a producte de factors, identificant, si cal, identitats notables: a) - 6 b) c) 6 - d) 6 e) f) 9 g) h) i) Trobeu el quocient i el residu de les divisions següents: a) : b) 6 7 : c) 6 7 : d) : e) :. Tenim dos polinomis P() de grau Q() de grau. a) Quin serà el grau de P() Q()? b) Quin serà el grau de P() : Q()? c) Quin serà, com a màim, el grau del residu de dividir P() entre Q()?. Indiqueu quina és l'epressió algebraica corresponent a les frases següents a) La diferència entre el doble d'un nombre i el triple del següent. b) El producte de dos nombres parells consecutius. c) Si en una reunió hi ha noies i la meitat de nois, quantes persones hi ha a la reunió. d) Si en un aparcament hi ha a automòbils i b motocicletes, quantes rodes hi ha? e) Si l'edat d'un pare és el doble de la de la filla més, quina és l'edat de la filla respecte del pare? f) Si ens reparen una rentadora i p és el valor de la reparació, de quant serà la factura que té un 6% d'iva?. Feu les següents divisions pel mètode de Ruffini, i indiqueu, en cada cas, els polinomis quocient i el residu: a) ( ) : ( ) b) ( ) : ( )

43 6 c) ( ) : ( / ) d) :. Calculeu el quocient i el residu de les divisions següents: a) (7 + 7): ( + ) b) ( + ): ( ) c) ( 6): ( + ) 6. Donats els següents polinomis: A ( ) B ( ) C ( ) Calculeu: a) A( ) B( ) C( ) b) A ( ) : B( ) c) Quin és el valor numèric del polinomi C() quan? d) Quin és el valor numèric del polinomi A( ) B( ) C( ) quan =? e) Trobeu el valor numèric del polinomi Q() = - - per a = i per = Calculeu el valor numèric de l'epressió a) per a = - i = b) per a = i = - c) per a = / i = -/ Teorema del residu i aplicacions 8. Donat el polinomi P() = 7 + 6, utilitzeu el teorema del residu per determinar el residu de la divisió del polinomi P() entre ( ) i entre ( + ) 0. Calculeu el residu de la divisió ( t ) : ( t ) sense fer la divisió.. Calculeu el valor del residu sense fer la divisió: ( 7):( ). Sabent que la següent divisió és eacta, trobeu el coeficient k: k :. Determineu en cada cas el valor de k, per tal que les següents divisions siguin eactes: a) ( 6 + k + ): ( ) b) ( k ): ( + ) c) ( k): ( + ). Trobeu el valor de m en els següents polinomis, tenint en compte que: a) m és divisible per + b) 8 m m és divisible per -.. Determineu el valor del paràmetre a per tal que en dividir el polinomi a a entre ( + ), el residu sigui /. 6. Trobeu el valor de m en el polinomi m tenint en compte que és divisible per ( - ). 7. Donat el polinomi Q() es verifica que Q(-7) = 0. Quin és el valor del residu de la divisió Q() : ( + 7)?

44 8. Calculeu el valor de m per tal que el residu de la divisió ( 7 + m +) : ( ) sigui 7. Factorització de polinomis 9. Comproveu quins dels nombres següents:, -, i -/, són arrels del polinomi P ( ) Etraieu factor comú i utilitzeu les identitats notables per a factoritzar els polinomis següents i digueu, en cada cas, quines són les seves arrels: a) b) 0 c) - d) + 8 e) 6 f). Trobeu les arrels i factoritzeu els següents polinomis: a) P( ) c) R ( ) b) Q( ). Escriviu tres polinomis de tercer grau que tinguin per arrels: a), - i 7 b) i - c) Únicament. Escriviu un polinomi de grau que no tingui arrels. d) S( ). Descomponeu en producte de factors els polinomis següents i escriviu en cada cas les seves arrels: a) 8 j) 6 b) t t 6 k) t 7t t c) 6 l) d) t t m) t e) n) f) o) g) 7 8 p) h) q) 6 0 i) 8 6 r) 6. Escriviu un polinomi de grau quatre que sigui divisible per ( - ). 6. Un polinomi P() té per arrels = - i =, pot ser el grau de P() més gran que dos? 7. Escriviu un polinomi de grau dos, de la forma a + b + c, que sigui divisible per ( + ), i tal que a = - Fraccions algebraiques 8. Donada la fracció, determineu una d'equivalent que tingui en el numerador un polinomi de grau. 9. Completeu les fraccions següents de manera que siguin equivalents:? a) b)? 9 c) d)??

45 0. Simplifiqueu les fracciones algebraiques següents, traient factor comú i/o identificant identitats notables en el numerador i en el denominador: a) b) c) d) 6. Factoritzeu el numerador i el denominador de les següents fraccions algebraiques i simplifiqueu-les: a) 6 d) t t t g) b) e) 9 h) c) f) 9 t t i) 6 ) (. Opereu i simplifiqueu en cas que es pugui. De vegades cal simplificar primer: a) b) a a a c) 9 d) 6 e) 9 6 : 6 f) : t t t t t t a) 8 g) ) ( : Calculeu i simplifiqueu: a) b) c) d) e) 7 ) ( 7 f) g) ) ( h) i) j) k) 7 l) ) )( ( ) (. Realitzeu les operacions següents, simplificant sempre que sigui possible: a) : b) : c) d) t t t t t

46 Unitat 6 EQUACIONS I SISTEMES D EQUACIONS Resolució d'equacions polinòmiques i aplicacions. Indiqueu quina afirmació és correcta: a) = 0 és solució de b) = és solució de ( ) d) = -, = són solució de 0 e) = 0, = -, = són solució de 0 f) =, = - són solució 0. Resoleu les equacions següents: a) 0 ( ) 0 ( ) ( ) b) 6 ( 6) c) ( ) d) 7 e) 8 f) ( 9) 8 g) 9 h) a (a ). Classifiqueu si les següents equacions són completes o incompletes: a) ( ) 6 8 b) ( ) 0 c) ( )( ) 6 d) ( )( ) 7. Indiqueu, sense resoldre-les, quantes solucions tenen les equacions següents: a) 0 b) 0 c) d) 0 e) 9t 6t 0 6 f) t g) t a) Calculeu el valor del paràmetre m per tal que l'equació -m + = 0 tingui una única solució. b) Escriviu una equació de segon grau que no tingui solució. 6. Resoleu les equacions de segon grau següents: a) 0 b) ( ) c) 0 d) ( )( ) 0 e) ( )( 7) 0 f) ( ) 6

47 g) 7 0 h) 0 7 i) 8 0 j) t 6t 0 k) 0 l) 9 0 m) 8 0 n) 6 0 o) t t 0 p) t t 8 0 q) 0 r) s) t) u) 0 v) ( )( ) 0 w) ( ) 0 ) ( t ) 6t t ) ( ) z) 6 ( )( ) 7. a) Donada l'equació de segon grau + b + c = 0, amb solucions i, completeu les igualtats següents: + = = c b) Sense resoldre l'equació 0 0, digueu quines són les seves solucions. 8. Determineu les equacions de n grau que tenen per suma i producte de les seves arrels els valors següents: a) S =, P = 6 d) S =, P = - b) S =, P = - e) S =, P = c) S =, P = f) S =, P = 9 9. Escriviu equacions que tinguin per arrels: a), b) a b, a b c), d) 0. a) Indiqueu com es factoritza l'equació de segon grau a b c 0, si les seves arrels són i. a b c = b) Escriviu una equació de segon grau que tingui per solucions i -8, i que el coeficient del terme de segon grau sigui.,. Factoritzeu els polinomis següents i escriviu en cada cas les seves arrels: c) 8 g) - d) 6 e) t t 6 f) 6 + h) i) 7 j) 6 7

48 . Donada l'equació = 0 i sabent que una arrel és -, trobeu l'altra arrel sense resoldre l'equació.. Calculeu K perquè les dues arrels de l equació 8 K 0 siguin iguals.. Calculeu m a l equació 0 m 0, sabent que una arrel és el quàdruple de l altra.. Determineu b a l equació b 0, sabent que la diferència de les seves arrels és. 6. Si a un nombre li sumem unitats, en resulta el seu triple disminuït en unitats. Cerqueu el nombre. 7. Un pare té el triple d'edat que la seva filla. Si el pare tingués 0 ans mens i la filla 0 més, els dos tindrien la mateia edat. Esbrineu l'edat de cadascun. 8. D'un recipient traiem la meitat del seu contingut, i després la seva tercera part, i encara ens queden litres. Quants litres hi havia en el recipient? 9. En un institut hi ha 7 persones, entre professors, alumnes i personal no docent. Per cada professor hi ha alumnes i per cada 8 professors h ha una persona de personal no docent. Quants alumnes, professors i personal no docent hi en aquest institut? 0. En una central formatgera mesclen dos tipus de llet: una de 0,80 el litre, i una altra de 0,9 el litre, de manera que la mescla de 0 litres els surt a 8 cèntims d'euro. Quants litres de llet de cada mena mesclen?. Calculeu l'alçada d'un triangle equilàter de costat dm.. Trobeu un nombre sabent que el triple del seu quadrat és igual a sis vegades aquest nombre.. Calculeu les longituds dels costats d'un triangle rectangle sabent que un catet fa cm més que l'altre i que la hipotenusa fa cm més que el catet gran.. Un camp rectangular té àrees de superfície i 0 m més de llargada que d'amplària. Trobeu les dimensions del camp.. Quin és el nombre enter i positiu que elevat al quadrat i sumat amb el doble del seu consecutiu dóna 8? 6. Tres segments mesuren, respectivament, 8, i cm. Si afegim a tots tres la mateia longitud, podem construir un triangle rectangle. Trobeu aquesta longitud. 7. Augmentant un costat d un quadrat en m i els costats adjacents en 6m, s obté un rectangle de doble àrea que el quadrat. Determineu el costat del quadrat. 8. Calcula els costats d un triangle rectangle sabent que són tres nombres enters consecutius. 9. Resoleu les equacions biquadrades següents: a) + 6 = 0 b) = 0 c) 7 + = 0 t d) t e) f) g) 00 0 h) 0 i) j) t t)( t k) ( ) 8 0 l) 8

49 0. Resoleu les equacions racionals següents: a) b) t c) ( ) t ( t ) d) t t e) ( ) 9( ) f) g) h) 6 i) 8 ( )( ) j). Resoleu les següents equacions irracionals: a) b) t t c) 0 d) e) 7 7 f) 7 g) 6 h) 6 t t t i) 6 j k) 6 l) m) 7. Resoleu les equacions següents: a) ( )( )( ) 0 b) t t t 0 c) ( )( ) ( ) d) e) 9t t 8t t 0 f) ( )( ) g) 8 0 h) 8 0 i) 6 0 j) 0 ( ) k) l) 0 t m) t t t t n) ( ) ( ) o) ( ) 6( ) 0 p) 0 0 q) t t r) s) ( )( ) t) a( ) u), on a és una constant a 9

50 0 Resolució de sistemes d'equacions i aplicacions. Resoleu els sistemes següents: a) b) 0 c) 6 d) e) f) 7 g) 7 h) 0 ) ( ) ( ) ( i) ) ( ) ( j) k) 6 ) ( 0 ) ( ) l) 7 6 m) 0 n) 0 ) ( g) o) p) 7 q) r) Un llibrer ven 8 llibretes a dos preus diferents: uns a 0,0 i els altres a 0,, obtenint per la venda 8,. Quantes llibretes ha venut de cada classe?. Un home li diu al seu fill: quan passi la tercera part dels ans que jo tinc, tu tindràs la meitat de la meva edat actual. Sí, contestà el fill, però fa només ans, la teva edat era vegades la meva. Quina és l edat actual del fill? 6. Trobeu un nombre de dues ifres, sabent que la ifra de les desenes és el doble de la ifra de les unitats i que si s'invertei l'ordre, el nombre disminuei 8 unitats. 7. La distància entre dues ciutats A i B és de 7 Km. Si dues persones surten alhora d aquestes ciutats, l una a l encontre de l altra, i l una va a Km/h i l altra a 9Km/h, quant de temps tardaran a trobar-se? 8. Busqueu un nombre de dues ifres sabent que la suma de totes dues és 8 i que, en dividirlo pel que resulta d invertir l ordre de les seves ifres, s obté de quocient i de residu. 9. Per a pagar una factura de 900 un turista abona 00 en-ins i 0 soles. Posteriorment, per a cancel lar una altra d'import 7000,abona 000 en-ins i 00 soles. Quin és el canvi d'aquestes monedes en relació a l'euro? 0. Trobeu la fracció que val / quan afegim al numerador, i que val / si afegim al denominador.

51 . Si barregem un tipus de cafè a, /kg amb un altre de,6 /kg, aconseguim kg de cafè que es pot vendre a, /kg. Quina quantitat de cada tipus de cafè hem barrejat?. Un vaiell navega a 0 km/h en un riu quan va en la direcció del corrent. Si va en direcció contrària al corrent, recorre km en una hora. Determineu la velocitat de l'aigua del riu i la del vaiell en aigües tranquil les.. La suma d'un nombre més el seu invers és 7/6. Trobeu aquest nombre.. En barrejar dos líquids, obtenim un volum de cinc litres, la densitat del qual és de 0,8 kg/l. Esbrineu el volum de cada un dels líquids que s'han barrejat, sabent que les seves densitats són, respectivament, 0,7 i, kg/l.. La llet desnatada d'una determinada marca conté un 0, % de matèria grassa, i la llet entera un %.Calculeu la quantitat de llet que cal mesclar de cada tipus per a aconseguir llet semidesnatada amb un,% de grei. 6. Tenim dos capitals de 000 i 7000, dipositats a diferent rèdit, que junts produeien 0 cada an. Si els rèdits s'inverteien, els interessos d'un an sumen 70. Trobeu aquests dos rèdits. 7. En una festa a la qual assisteien 60 joves, ballen en parelles el % de les noies amb el 0% dels nois; els altres ballen sols. Quants nois i quantes noies assisteien a la festa? 8. En uns grans magatzems rebaien els pantalons un 0% i les camises un 0%. La Júlia paga 8 per uns pantalons i una camisa. Si els hagués comprat abans de les rebaies li haurien costat,0. Quin era el preu sense rebaiar de l'abric i la camisa? 9. Volem repartir uns diners entre uns quants nois. Si donem a cadascun, sobren, mentre que si donem 6, en falten. Quants nois hi ha? Quants diners tenim? 0. Un botiguer té 0 litres de vi d', /L, i el vol barrejar amb un altre vi de qualitat inferior, que va a 0,8 /L, de manera que la mescla surti a /L. Quants litres de vi inferior necessita?. He comprat dues cintes de vídeo i tres discos per 7. El meu veí ha comprat tres cintes de vídeo i quatre discos a la botiga d'un altre poble per 6,70. Si ha pagat 0,6 mens per cada cinta i, mens per cada disc, a quin preu he pagat les cintes i els discos?. Resoleu els sistemes: a) z z 6z 9 d) z z 8 z 9 b) z 6 z 7 e) z z 8 6z c) z 8 z 0 z 8 f) z z 6. Els perímetres de les cares d una caia de sabates són cm, 80 cm i 98 cm, respectivament. Calculeu la mida dels costats, l àrea total i el volum de la caia de sabates.

52 . La suma de les tres ifres d un nombre és 7. La ifra de les centenes és igual a la suma de les desenes més el doble de les de les unitats. Si es permuten entre sí les ifres de les centenes i les unitats, el nombre disminuei en 97 unitats. Determineu el nombre.. La ifra de les desenes d un nombre de tres ifres és igual a la suma de les altre dues, i la suma de les tres ifres és 0. Si invertim l ordre de les ifres, en resulta un nombre més gran que el donat en 99 unitats. Calculeu el nombre inicial. 6. Resoleu els sistemes següents: 90 a) ( ) d) g) b) e) h) c) 0 7 f) i) 7. El producte de dos nombres és, i la suma dels seus quadrats 7. Calculeu aquests nombres. 8. Calculeu una fracció equivalent a 7, sabent que els seus termes elevats al quadrat sumen Trobeu les longituds dels costats d'un rectangle si el seu perímetre és 8 cm i una de les seves diagonals té 0 cm de longitud. 60. Quan es dividei un nombre de dues ifres pel producte de les mateies, s obté de quocient ; i al dividir el nombre que en resulta d invertir les seves ifres, per la suma d aquestes, el quocient és 7. De quin nombre es tracta? 6. Calculeu dos nombres tal que suma, producte i quocient siguin iguals entre sí. 6. Determineu un nombre que sumat amb la seva arrel quadrada sigui. 6. Dos nombres sumen 6 i els seus quadrats 9. Calculeu-los. 6. L àrea d un triangle rectangle és 60 m i la suma dels seus catets és. Calculeu els costats del triangle. 6. Un quadrat té m més que l altre, i aquest un metre mens de costat que el primer. Calculeu els costats dels dos quadrats. 66. La raó entre els costats de dos quadrats és i la suma dels quadrats de les seves diagonals és 00 cm. Esbrineu aquests costats. 67. El perímetre d un triangle rectangle és de 70 m i la hipotenusa 9 m. Calculeu la longitud de tots tres costats. 68. La suma de les àrees de dos quadrats és 0 m i la seva diferència 800 m. Calculeu la mesura dels seus costats. 69. Dos operaris realitzen una feina en hores. Un d'ells la faria en tan sols hores. Calculeu el temps que trigaria l'altra en fer-la tot sol.

53 Unitat 7 INEQUACIONS Intervals a la recta real. Escriu en forma de conjunt i en forma d'interval els següents conjunts numèrics: a) Tots els nombres reals més petits o iguals que b) Tots els nombres reals més grans que - i més petits que c) Tots els nombres reals més grans que. Representa sobre la recta numèrica els intervals anteriors. Representa els següents conjunts numèrics: A a) b) B 7 c) C 0. Digues quins intervals estan representats:. Escriu l'interval solució de les següents operacions. Per fer-ho pots ajudar-te de la seva representació gràfica a),, 6 b), 0, c),,8 d), 7, 6. Representa a la recta el conjunt de nombres que són solució de cadascuna de les inequacions següents: a) > b) c) - / Inequacions polinòmiques de primer grau 7. Epressa en forma d'inequació: a) El doble d un nombre més és més petit que 7. b) El doble de la meva edat és més petit que 6 c) El triple d un número més és més gran o igual que Assenala si aquestes afirmacions són certes o falses: a) 7 < - és una desigualtat incorrecta b) Una inequació, o no té solució, o en té una o en té infinites. c) La solució de + és una semirrecta d) La solució de + + és un semipla 9. Indica si aquestes inequacions són equivalents: a) 8 - < 0 i < b) i - 8 c) + < + 7 i < / d) - ( +/) / i -

54 0. Resol les inequacions següents, dona la solució en forma d interval i representa l gràficament. a) + 7 l) 6 b) + 6 c) ( + ) m) d) ( + ) + ( ) e) n) ( ) 6 f) ( 6) 7( ) o) g) ( ) 6 h) p) 6 i) q) 7 ( ) 6 j) r) k). Amb 0 podem comprar 0 CD, però no podem comprar. Entre quins valors oscil la el preu dels CD's?. Entre dos amics tenen 0. El capital d un és més petit que la tercera part del de l altre. Epressa amb una inequació aquesta relació i en un interval de la recta real els capitals possibles del que en té mens diners.. Un repartidor de paquets cobra un sou base de 0 mensuals, i per cada paquet urgent cobra un plus de 0. Si necessita guanar com a mínim un sou de 000, quants paquets urgents haurà de repartir com a mínim en un mes?. Un noi va comprar, el dia de Sant Jordi, un llibre i roses. Si va gastar 0 i les roses costaven mens de, quina inequació té per solució els possibles preus del llibre.. Barregem vi de, /L amb vi de, /L, per formar 0 L de vi en total. Si el volem vendre a un preu de /L, calcula quants litres de vi de, /L hem de barrejar com a mínim, per no tenir pèrdues. Inequacions de grau superior. Inequacions racionals 6. Resol les inequacions següents: a) ( 6)( ) 0 b) ( )( ) 0 d) > 0 e) - - > 0 f) g) + < 0 h) 0 i) ( + )( - ) > 0 j) k) 0 l) 0 m) 0 n) 0 o) 0 p) 0 q) 0 r) ( 7)( ) 0 s) 0

55 7. Relaciona cada inequació amb la seva solució: Inequació Solució < 0 = - 0, (-, 6) - - > 0 IR Sistemes d'inequacions amb una incògnita 8. Per cadascuna de les següents solucions de sistemes d'inequacions, representa-les gràficament i indica quina és la solució del sistema a) 9. Resol els sistemes d'inequacions següents: b) 6 9 / c) a) c) e) 0 ( 6) 8 ( 6) g) b) 7 6 d) 8 f) ( ) h) ( ) 0. Un terren té forma de triangle isòsceles. S'han utilitzat mens de 90 metres d'estacada per tancar-lo. Si aquest terren té els costats iguals metres més llargs que el costat desigual què és pot dir de les dimensions d'aquest terren?. El tiratge d una revista mensual té uns costos d edició de euros, als quals s han de sumar,0 euros de despeses de distribució per cada revista publicada. Si cada eemplar es ven a,0 euros i s obtenen uns ingressos de 000 euros per publicitat, quantes revistes s han de vendre per començar a obtenir beneficis?. Si l àrea d un quadrat és més petita o igual que 6 centímetres quadrats, calcula els possibles valors de la seva diagonal.. Resol les inequacions següents: a) b)

56 Sistemes d'inequacions amb dues incògnites. Escriu les inequacions que tenen com a solució els semiplans següents: a) b). Donat el sistema F (,, 7,) : 6 i els punts A (,), B (,), C (, 8,), E (0,0) i a) Indica quins punts són solució del sistema b) Quins són solució només de la primera inequació? Quins ho són només de la segona? c) Quins no són solució de cap de les inequacions? 6. Resol gràficament aquests sistemes: a) c) e) 0 6 b) d) f) 0 ( ) 0 6

57 Unitat 8 FUNCIONS Noció de funcions. Dues de les gràfiques següents no corresponen a cap funció. Indica quines i raona la resposta. a) b) c) d) Y Y Y Y X X X X. Indica en cada funció la variable independent i la variable dependent: a) El temps que triga a omplir-se una piscina i els litres per minut que aboca una aieta. b) El preu d una trucada telefònica i el temps que dura la conversa. c) El temps que està funcionant un motor elèctric i l energia que consumei. d) El preu per kg d un producte i la seva demanda.. Indica raonadament en cada cas si la relació que es dóna entre les magnituds és funcional. a) El temps invertit per un tren a fer un recorregut entre dues estacions i la velocitat que ha mantingut. b) Les hores que dedica un alumne a preparar un eamen i la qualificació numèrica obtinguda. c) La temperatura mitjana mensual d una zona i les precipitacions caigudes aquell mes. d) Els metres cúbics d aigua consumits per una família i l import de la factura corresponent.. En un taller mecànic facturen l hora de treball dels seus tècnics a 7 : a) Quant haurem de pagar per aquest concepte en una reparació en què un mecànic ha treballat dues hores tres quarts? b) Indica quina és la variable independent i quina la variable dependent en aquesta relació. c) Escriu l epressió algebraica de la funció que assigna al nombre d hores treballades per un mecànic la quantitat a pagar. d) Representa gràficament aquesta funció.. Associa cada funció amb un dels conjunts de punts següents: A. f() = 9 B. g() = C. h() =. (6, 6), (, 7) i (0, ). (, 7), (, ) i (, ). (, 7), (, 6) i (, ) 7

58 6. a) Els punts A = (, 8) i B = (, ) poden pertàner a la gràfica d una mateia funció? En cas afirmatiu, posa n un eemple, i en cas contrari, raona la resposta. b) I els punts C = (, ) i D = (, )? 7. Donada la funció f() = 8, calcula: a) f() b) f( ) c) f(0) d) f( ) 8. Escriu la fórmula de la funció que ens dóna el radi d un cercle en funció de l àrea de la seva circumferència. 9. Una funció assigna a cada nombre el resultat de sumar cinc a la seva meitat. a) Completa aquesta taula de valors de la funció: f() b) Escriu una fórmula que epressi la funció i dibuia la seva gràfica. Domini 0. a) Donada la funció f() =, amb quina dificultat ens trobem a l hora de calcular la imatge de = 0? Aquest nombre pertan al domini f()? b) Per a cada una de les funcions següents, indica dos nombres que siguin del domini i un que no ho sigui: A. f() = B. g() =. Indica quins dels valors següents pertanen al domini de cada funció: {,,, 0,,,,} a) f() = b) f() c) f() d) f() = 7 8. La gràfica correspon a la funció f() =. Y X a) Mira de calcular la imatge de =. Què observes? b) Quin és el domini d aquesta funció? c) Es tracta d una funció continua? 8

59 Creiement i decreiement. Indica els intervals de creiement i decreiement de les funcions que tenen les gràfiques següents. Completa una taula com la de l activitat anterior. a) b) Y Y X. Considerem la funció que té aquesta gràfica: Y X a) Indica els intervals de creiement i decreiement. b) Quin augment dels valors de la variable independent es produei de = a =?. Calcula la taa de variació mitjana de la funció f() = als intervals: a) [, ] b) [, ] c) [0, 6] 6. Calcula la taa de variació mitjana de la funció = ( + ) a l interval [0, ]. 7. Quina de les funcions següents presenta una taa de variació mitjana més gran en l interval [0, 6]? a) = + + b) = c) = ( + ) d) = La taula és d una funció amb taa de variació mitjana constant igual a 0,. Completa-la Sabem que la taa de variació mitjana de la funció = f() és sempre,0. Quan el valor de la variable augmenta en unitats, quina variació es produei en els valors de? 9

60 0. a) La taa de variació mitjana de la funció f() a l interval [, ] és,. Quina és la diferència entre la imatge de = i la imatge de =? b) La taa de variació mitjana de f() a l interval [, ] és,. Sabent que la imatge de = és, calcula la imatge de =.. Quina relació hi ha entre el creiement i el decreiement d una funció d una banda, i el signe de la seva taa de variació mitjana de l altra?. Considera la gràfica següent: Y X a) Ordena els intervals següents de taa de variació mitjana més alta a més baia: [, 0] [, ] [, 6] [9, ] b) Indica un interval on la taa de variació sigui igual a.. Pot ser que la taa de variació mitjana d una funció a l interval [0, 8] sigui positiva i que f() > f()? Eplica-ho.. La taula recull els intervals de creiement i decreiement d una funció. Dibuia la gràfica d una funció que tingui aquest comportament. (, ) (, ) (, 7) (7, + ) f() Creient Decreient Creient Decreient Màims i mínims. a) Digues si els punts següents són màims, mínims o punts d infleió d aquesta funció: ( 8, ), ( 6,), (,), (0, 0), (, ) i (8, ) Y X b) Indica els intervals on aquesta funció és convea i els intervals on és còncava. 60

61 6. Representa gràficament una funció amb els etrems i els punts d infleió de la següent taula: 0, 0 0 Màim P. infleió Mínim P. infleió 7. Dibuia la gràfica d una funció que no tingui cap etrem relatiu. 8. La funció f() té un etrem relatiu al punt ( 0, ), és decreient a l interval (, 0) i creient a ( 0, 0). L etrem relatiu és un màim o un mínim? 9. Una de les següents taules correspon a una funció de gràfica còncava i l altra a una de gràfica convea. Indica quina correspon a cada cas i per què ho podem saber? a) 6 0 0, b) Aquesta és la gràfica de la funció f(): Y X Indica per a cada cas un interval de la funció f() que tingui les propietats indicades: a) Convea i decreient. b) Còncava i creient. c) Convea i creient. d) Còncava i decreient.. Quina funció presenta una taa de variació mitjana cada vegada més gran? a) b) b) c) d) 6

62 Continuïtat i discontinuïtat. La funció f() = té aquesta gràfica: Y X a) Per a quins valors de la funció és discontínua? b) Què passa si intentem calcular la imatge dels valors de on aquesta funció presenta discontinuïtats?. Escriu l epressió de la funció definida a trossos que té aquesta gràfica: Y X. a) Escriu l epressió d una funció que presenti una discontinuïtat a =. b) Dibuia la gràfica d una funció qualsevol que presenti discontinuïtats per a =, per a = 0 i per a =.. Representa gràficament la següent funció definida a trossos i indica els punts de discontinuïtat: f ( ) si 0 si 0 si 6. Dibuia la gràfica de la funció següent. Quines discontinuïtats presenta? si f ( ) si si 6

63 Simetria. Periodicitat 7. Només una de les funcions següents és simètrica respecte a l origen de coordenades, indica quina: a) = b) = ( ) c) = 8. Considera la gràfica de la funció f(): Descriu-ne els aspectes següents: Y X a) Creiement i decreiement. b) Etrems relatius. c) Concavitat i conveitat. d) Discontinuïtats. e) Simetria. 9. a) La funció f() és simètrica respecte a l ei d ordenades. Completa la taula: f() 8 b) La funció g() és simètrica respecte al punt (0, 0). Completa la taula: g() 7 0. Completa la taula sabent que f() és una funció periòdica i que el seu període és f() 0 0. Quina o quines de les funcions següents tenen simetria respecte a l ei d ordenades? Dit d una altra manera, en quines funcions f() = f( ) per a qualsevol valor de? a) f() = b) f() = 7 + c) f() = + d) f() = +. Aquestes gràfiques són incompletes: A. B. a) Completa-les de manera que siguin simètriques respecte a l ei d ordenades. 6

64 b) Completa-les de manera que presentin una simetria central respecte a l origen de coordenades. Activitats d aplicació. La gràfica mostra l evolució de la temperatura mitjana anual de l aigua del mar a una milla a l est de les illes Medes. a) Per què apareien quatre línies poligonals en aquesta gràfica? b) Quins ans la temperatura mitjana anual de l aigua a la superfície va ser de 7º o superior? c) Quina va ser la temperatura mitjana a 0 m de profunditat l an 97? I l an 00? d) Quin an la temperatura mitjana de l aigua a 0 m de profunditat va ser màima? I mínima? e) Com varia la temperatura en augmentar la profunditat? Dibuia una gràfica aproimada de la relació entre profunditat i temperatura per a l an 006. f) Quin an creus que la temperatura mitjana de l aigua del mar en conjunt ha estat superior? Raona la resposta g) L evolució de les temperatures en el període mostra alguna tendència?. En un tractat d arquitectura trobem aquesta gràfica: N/m 0 Resistència del formigó a la compressió després del Die a) Quina és la variable independent de la funció representada? b) Quina és la variable dependent? En quines unitats es mesura? c) Quina és la resistència del formigó als tres dies d haver-se fargat? d) Quina setmana s assolei una resistència de 0N/mm? e) En quin període augmenta més ràpidament la resistència del formigó? 6

65 . Un servei de correus té les tarifes que es recullen a la taula següent per al lliurament de paquets fins a kg a la Unió Europea. Unió Europea Preu ( ) Fins a 00 g 9, Fins a 00 g,8 Fins a kg 6,0 Fins a, kg 9,9 Fins a kg,97 a) Quant costa enviar un paquet de 99 g? I un de 00 g? La funció que relaciona el pes del paquet i el preu a pagar és continua? b) Representa gràficament la relació que mostra la taula. c) En quin cas un augment d uns pocs grams suposa un augment més gran de la quantitat a pagar? 6. La gràfica mostra la potència que produei per hora un aerogenerador segons la velocitat del vent. m/s a) Quina és la potència produïda quan el vent té una velocitat de 8 m/s? b) Quina velocitat del vent és necessària per tal que l energia produïda arribi als 0 kw per hora? c) En augmentar la velocitat del vent es produei sempre un augment de la quantitat d energia produïda? Eplica-ho. d) Quant augmenta la producció d energia en passar la velocitat del vent de 0 m/s a m/s? I en passar dels m/s als 0 m/s? I en passar dels 0 als m/s? En quin d aquests períodes l augment és més gran? e) Per a quines velocitats del vent és pot considerar estable la potència produïda? f) Suposem una velocitat mitjana anual del vent igual o superior als 0 m/s. Calcula el mínim valor econòmic de la producció anual si es factura l energia elèctrica a 0, el kwh. 7. La velocitat d un vehicle en un moment donat era de 70 km/h. El cote va mantenir una acceleració constant de manera que un minut després la velocitat era de 0 km/h. a) Calcula la taa de variació mitjana en aquest interval de la funció que relaciona temps en segons i velocitat en km/h. b) Eplica quin significat té en aquest cas la taa de variació mitjana. 6

66 altura 8. La gràfica mostra la relació que hi ha entre el volum i la pressió d una massa de gas a temperatura constant que es comprimei o s epandei en un recipient. Pressió (atm) Volum (dm ) a) Com varia la pressió en augmentar el volum? b) Quan es produei un canvi més gran de pressió per a un matei increment de volum, quan es partei d un volum petit o d un volum gran? Justifica la resposta. c) Comprova que el producte dels valors de la pressió pels del volum és constant. d) Creus que la corba arribarà a tallar els eios de coordenades? Per què? 9. Hem omplert un recipient en una aieta que raja un litre d aigua cada 0 s. La gràfica mostra l altura a què arriba l aigua en el recipient en funció del temps. 7 s temps a) De quin recipient es tracta? Raona la teva tria. ) ) ) ) b) Quin és el volum del recipient omplert? c) Dibuia un croquis de la gràfica d aquesta mateia funció per a cada un dels recipients següents: 66

67 0. La funció ent() fa correspondre a cada valor de el nombre enter inferior més pròim; aií ent(7) = 7 i ent (7,) = 7. a) Quina és la imatge de =,0? I la de =,? b) Fes-ne la representació gràfica. c) Indica les discontinuïtats d aquesta funció.. La gràfica mostra l evolució de les marees en un port del Mediterrani durant 8 hores: Nivel (m) 0,6 0, 0, 0, 0, Hora a) A quines hores és màim el nivell de les aigües? I mínim? b) Quina és la diferència entre l altura màima a què arriben les aigües i la mínima? c) Indica el signe de la taa mitjana de variació als intervals [, 7], [0, ], [, 7] i [0, ]. d) Quina particularitat té el punt de la gràfica corresponent a les h i 0 min? e) Indica algun interval de temps on el nivell de les aigües pugi cada vegada més ràpid. Funció constants, lineals i afins. Un banc oferei als seus clients la remuneració següent: per cada 00 euros que mantinguin dipositats durant un an, els reemborsarà 0, euros. a) Escriu la funció que et permet calcular el capital final d un client conegut el capital que ha invertit. b) Quin és el benefici que obtindrà un client si invertei 7 euros? c) Escriu l epressió de la funció algèbrica corresponent al benefici. d) Quina quantitat ha invertit una persona que ha obtingut 60 euros de benefici?. El preu d un detergent és de 7, euros si el paquet és de, kg, i de,7 euros si el paquet és de, kg. Hi ha relació de proporcionalitat lineal entre aquests valors?. Un majorista compra un producte al fabricant a euros la unitat. El majorista el reven al botiguer minorista un % més car, i aquest el ven finalment als seus clients un % més car del que li ha costat a ell. Escriu l epressió algèbrica de la funció que dóna el preu de venda final conegut el preu que oferei el fabricant. 67

68 . Una variable està relacionada amb una altra variable per una funció lineal amb constant de proporcionalitat r = 7,. La variable està relacionada a la vegada amb una altra variable z segons la funció lineal de constant s = 0,. a) Completa la taula següent sabent que correspon a la funció lineal que relaciona amb z. b) Escriu l equació d aquesta funció. 0 8 z 8 6. Una variable està relacionada amb una altra variable Y per la funció lineal = /. Aquesta variable Y està, per altra banda, relacionada amb z segons una funció lineal que passa pel punt (, ). Troba la constant de proporcionalitat de la funció que relaciona amb z. 7. Troba la raó de proporcionalitat d una funció lineal sabent que les tres cinquenes parts d aquesta raó ecedeien en dues unitats el pendent de la recta que aparei al gràfic següent: 8. En una etapa ciclista es diu que el pendent d un tram recte de carretera és del %. Si un ciclista avança sobre l asfalt 60 m, quin ha estat l augment d altitud? 9. La gràfica següent mostra el preu que cobra una empresa pel transport d una càrrega determinada en funció dels quilòmetres recorreguts. 68

69 a) Sabent que es cobren, euros més per fer 0 km més, escriu l equació de la funció afí associada a aquesta gràfica. b) Indica quina serà l ordenada a l origen i eplica el seu significat en aquest cas. 60. Observa aquesta taula: 8 6 a) Suposa que la taula correspon a una funció lineal i un dels parells de valors corresponents està equivocat. Pots dir quin és? b) T asseguren que un d aquests parells de valors corresponents és erroni, però et diuen que ara es tracta d una funció afí. Pots dir quin parell de valors és l erroni? Per què? 6. L'equació d'una funció afí és = m +, i la imatge de = és = 9. Quin és el signe del coeficient m? Respon sense fer càlculs escrits i raona la resposta. 6. Una de les rectes següents és paral lela a la donada per l equació + = 0. Indica quina és: a) Recta que passa pels punts (, ) i (, 9). b) Recta que talla els eios de coordenades en els punts (0, 8) i (, 0). c) Recta de pendent i ordenada a l origen. 6. Les gràfiques de les funcions = +, i = + 0, tenen un punt comú. Quin és? 6. Troba l ordenada a l origen d una funció afí sabent que té pendent i que talla l ei d abscisses quan = = L ordenada a l origen d'una funció és, i la gràfica d aquesta funció és una recta que passa pel punt (8, ). Es pot tractar d una funció afí? Per què? 66. Representa gràficament la funció =. a) Calcula la seva variació mitjana a l interval [0, ]. b) Sense fer cap càlcul, indica la taa de variació mitjana de l interval [9, ]? Com l obtens? 67. Quina és la taa de variació mitjana d una funció constant a qualsevol interval? Per què? Funció quadràtica 68. La gràfica de la funció f() = a + b conté els punts (, ) i (, 6). Calcula els valors d a i b. 69

70 69. Considerem la funció =. a) Completa aquesta taula de valors i representa la funció gràficament. 0 b) Troba la taa de variació mitjana d aquesta funció a l interval [, ]. Què indica el resultat obtingut? 70. Estudia les funcions quadràtiques següents: - Vèrte - Concavitat - conveitat - Punts de tall - Creiement decreiement - Màim Mínim - Simetria a) = + 0 b) = c) = ( +) d) = + 7 e) f) = ( +) g) = ( + ) h) = + 9 i) = 0, + 7. Escriu l equació d una funció que tingui per gràfica una paràbola de vèrte (, 8), de manera que, sense fer càlculs, puguis assegurar que talla l ei d abscisses en dos punts. 7. Un viticultor, per fer el seu vi, necessita unes proporcions fies de tres classes de raïm. De la primera classe és una quantitat determinada, de la segona el triple que de la primera, i de la tercera classe la cinquena part del producte de les dos primeres. a) Epressa els quilograms totals que necessita en funció dels quilograms de la primera classe. b) Si vol obtenir 9 ampolles de vi, quants quilos de raïm de cada classe necessita si de cada quilo de raïm pot treure una ampolla de vi? 7. Un ciclista va a una velocitat constant de 0 m/s. A partir d un punt que anomenarem origen, just quan passa el ciclista, un cote comença la seva mara amb una acceleració constant de m/s. Aiò vol dir que l espai que recorre el cote en funció del temps pot epressar-se com 70

71 e = t (e = a t = t ). Dibuia les gràfiques espai-temps dels dos mòbils i indica, sobre el gràfic, el moment en què el cote torna a trobar-se amb el ciclista. 7. Desenvolupa els quadrats de l equació = ( 0) + ( +), i epressa-la en la forma = a + b + c. 7. En un comple hoteler es vol construir una piscina circular de m de diàmetre. Dins del perímetre d aquesta piscina es volen fer dos solàriums també circulars units per un pont de m, com es veu a la figura. Troba els diàmetres dels solàriums de manera que l àrea de piscina que cobreiin sigui mínima. 76. Calcula l equació de la paràbola que té el vèrte en el punt V (,-) i que passa pel punt (,). 77. Calcula l equació de la paràbola que té com a coeficient quadràtic i passa pels punts (,) i (-,) 78. Calcula l equació la paràbola que passa pels punts (,), (0,7) i (,). Funció de proporcionalitat inversa 79. Epressa l equació de la funció que relaciona els nombres enters amb el seu invers i representa-la gràficament. 80. Els alumnes d una classe de Batillerat han de repartir-se les despeses del viatge de final de curs, que té un pressupost tancat de.000 euros. a) Escriu la fórmula corresponent a aquesta funció i fes-ne una representació gràfica esquemàtica. b) Indica les imatges de 0 i. c) Calcula les antiimatges de 00 i a) Epressa la funció que relaciona la base d un rectangle de 00 cm en funció de l altura. b) Indica el domini i el recorregut. c) Confecciona una taula de valors i representa gràficament aquesta funció. d) Indica què passa amb la base quan l altura es fa cada vegada més gran. Com s epressa matemàticament aiò i què significa? e) Indica què passa amb la base quan l altura es fa cada vegada més petita. Com s epressa matemàticament aiò i què significa? 7

72 Equacions i funcions eponencials 8. Resol les següents equacions eponencials: a) b) 7 c) 7 f) 6 g) 6 h) 8 d) i) e) 0 0, 0000 j) 9 8. Resol les següents equacions eponencials: a) 8 d) 6 b) 6 c) 8 e) 8 f) 6 8. Resol les següents equacions eponencials: a) 6 d) 0 b) 8 0 e) c) 7 8 f) 0 8. Resol les següents equacions eponencials: a) 8 f) 7 b) 99 g) 9 c) h) d) i) 0 0 e) e e j) 9 7 7

73 Unitat 9 ESTADÍSTICA Població, mostra i variable. Indica quina és la població i la variable estadística de cadascun dels estudis estadístics següents. Assenala, a més, de quin tipus és la variable estadística: a) Preferències esportives dels alumnes de la teva classe. b) Temps mitjà invertit pels treballadors catalans en desplaçaments des del domicili fins al centre laboral. c) Nombre de vegades que van al teatre, en un an, els habitants de la teva localitat.. Assenala en quins dels estudis estadístics de l eercici caldria prendre una mostra. Justifica la resposta.. Clasifica les variables estadístiques següents: a) El pes dels alumnes de l IES. b) Els colors dels cotes dels professors. c) Les carreres universitàries que elegeien els alumnes. d) El nombre d habitants dels pobles de la comarca. e) Els tipus de música que escolten els joves. f) Les temperatures de l an.. Volem investigar sobre el nivell d estudis dels habitants de la nostra població. Decidim d analitzar una mostra de 0 persones triades a l atzar. Argumenta quin dels mètodes següents et sembla més adequat: a) Preguntem als alumnes a la sortida d un centre escolar. b) Preguntem a la gent que passeja un dissabte a la tarda pel carrer més cèntric. c) Agafem una guia de telèfons i, amb els ulls tancats, n assenalen 0 números.. En un estudi estadístic la població del qual són tots els ciutadans catalans, se selecciona una mostra entre els habitants de cinc comarques. Creus que aquesta mostra és representativa? 6. Volem efectuar un estudi estadístic per a esbrinar els programes de televisió preferits pels estudiants de Magisteri. Sabem que el 70% dels matriculats en aquests estudis són dones. Com hauríem de triar una mostra de 0 alumnes des del punt de vista del mostreig estratificar? 7. La representativitat, el cost i el temps són factors que cal considerar conjuntament a l hora de decidir les dimensions d una mostra. Per què estan interrelacionats? 8. Classifiqueu les següents variables estadístiques: a) Nombre d hores setmanals que dediquem a la lectura. b) Marques de vins del Priorat. c) Alçada dels alumnes d un centre educatiu. d) Nombre de càries en la població infantil d una determinada ciutat. e) Dia de la setmana que a nivell familiar solem anar a comprar al mercat o al supermercat. f) Distància recorreguda per anar de casa a l escola. Taules de freqüències 9. Un equip de bàsquet ha anotat en 0 partits els punts següents: 80, 0, 9, 80, 0, 8, 0, 7, 80, 07, 7, 8, 80, 0, 0, 9, 8, 0, 8, 80. Construei la taula de freqüències corresponent. 7

74 0. Les qualificacions obtingudes per un grup de 9 alumnes en una prova són les següents:,0,, 6,0, 7,,7 6, 6,7,0,9,8,,,8,6,, 6,8,0,9,,,,,8,8,7 7,7 6,0,0,7,,9,,8,7 7,7 6,0,0,7,,9,,8,7,,8 6, Agrupa en set intervals les dades anteriors i construei la taula de freqüències corresponent.. S ha preguntat als alumnes d una classe el nombre de vegades que han anat al cinema durant el darrer mes. Les respostes han estat:, 0,,, 0,,,, 0,,, 0,,, 0,,,, 0, 0,,, 0,. Elabora la taula de freqüències corresponent.. Les precipitacions mitjanes anuals en els darrers 0 ans, epressades en centilitres, que s han mesurat en una estació meteorològica són les següents:,0,,7,60,0 6,,0,0,9,00,60,0,,0,0,7,90,0,70,0, 7,,70,0 6,,7,0,60,60,,0,7,90,0,9,0 6,0, 7,,90 6,0,8,,0 6,,0,0,60,8 6,0 Agrupa aquestes dades en deu intervals i construei la taula de freqüències corresponent.. Es va preguntar a dels 0 alumnes d una classe si els agradava més el pei o la carn; van contestar que prefereien pei i els altres 0, carn. a) Identifica la mostra i la variable estadística d aquest estudi, indicant el tipus b) Troba les freqüències absoluta i relativa corresponents a les preferències pel pei. c) Podem assegurar que cap dels alumnes d aquesta classe no és estrictament vegetarià? Per què?. En una enquesta feta a 00 persones es demanava si se seguia amb freqüència un conegut programa de TV. La freqüència relativa de la resposta sí va ser 0,6. Quantes persones entrevistades van contestar sí?. Els pesos (en kg) i les alçades (en cm) d un grup de nois i noies són els indicats. Elabora per a cada cas les taules amb les freqüències absolutes, relatives i acumulades. Pesos: Alçades:

75 6. Els resultats de la jornada de la Lliga de Futbol Espanola de Primera Divisió corresponents a la temporada van ser els següents: Sevilla Celta Deportivo Betis 0 Barça Madrid 0 Valladolid Logronès Oviedo Albacete R. Sociedad At. Madrid 0 Tenerife Sporting 0 València Racing Ath. Bilbao Compostel la Es vol fer un estudi estadístic del nombre de gols que van marcar els equips de Primera Divisió durant aquesta jornada. Elabora n la taula de freqüències i respon aquestes preguntes: a) Quants gols es van marcar aquesta jornada? b) És cert que el més freqüent és que els equips marquessin un sol gol? c) Quin és el percentatge dels equips que van aconseguir més de gols? Diagrames 7. Representa les dades de l eercici 0 mitjançant un diagrama de barres i un pictograma. 8. Representa les dades de l eercici mitjançant un histograma i traça el polígon de freqüències. 9. La taula següent recull la distribució d alumnes del curs 9-96 en els diversos nivells: Ensenaments Alumnes Infantil/Preescolar 06 Primària/EGB Secundària/E. Mitjans Universitària 9769 Elabora el diagrama de sectors corresponent. 0. Les dades corresponents a un eercici de fleió de braços efectuat per 0 alumnes de r de Batillerat figuren en la taula següent: Nombre fleions [0,) [,0) [0,) [,0) [0,) [,0) [0,) [,0) [0,) de Nombre d alumnes 6 6 Representa gràficament aquestes dades mitjançant un histograma i traça el polígon de freqüències corresponent. 7

76 . S ha preguntat als alumnes d una classe a quin país volen organitzar el viatge de final de curs. Els resultats han estat aquests: Itàlia - França - Anglaterra 7 - Suïssa - Holanda 0. Organitza aquests resultats en una taula de freqüències i calcula les freqüències absoluta i relativa i el percentatge. Desprès realitza un diagrama de barra, un de sectors i un pictograma.. D una enquesta feta a tots els alumnes d una escola sobre les seves preferències de lleure, s ha obtingut els següents percentatges: Música,8 % Esports 7, % Vídeo jocs 0, % Lectura,9 % Cinema,0 % a) Representeu el corresponent diagrama de sectors. b) Si sabem que el nombre d alumnes d aquesta escola és de, quants d ells prefereien l esport?. Segons un diari, les aportacions de l ECHO (European ommunit Humanitarian Office) a les principals agències humanitàries de l ONU són les següents Agència ACNUR (Alt Comissionat de les Nacions Unides per als Refugiats) PAM (Programa Alimentari Mundial) UNICEF (Fons de les Nacions Unides per a la Infància) OMS (Organització Mundial de la Salut) PNUD (Programa de les Nacions Unides per al desenvolupament) Milions d euros UNDHA (Departament d Afers Humanitaris de les Nacions Unides) Construei un diagrama de barres i un diagrama de sectors que reflecteiin aquestes dades. Paràmetres estadístics. El nombre de faltes d ortografia comeses per 0 alumnes de r de Batillerat en un dictat es mosta en la taula següent: Nombre faltes Nombre alumnes Calcula la moda, la mitjana aritmètica i la mediana. 76

77 . La taula següent reflectei la mida del tòra d un grup d homes adults. Calcula la moda, la mitjana aritmètica i la mediana. Mida del tòra (cm) Nombre d individus [80,8) 9 [8,90) 9 [90,9) 09 [9,00) 97 [00,0) 69 [0,0) 0 [0,) [,0) 6. El nombre de pisos habitats d una determinada comunitat autònom, com també les superfícies corresponents són: Superfície (m) Nombre de pisos habitats (milers) [0,0) [0,60) [60,90) [90,0) [0,0) [0,80) [80,0) [0,0) [0,70) [70,00) Calcula la variància i la desviació estàndard. 7. En la taula següent hi aparei el pes (en grams) de 00 comprimits d un determinat medicament. Pes (g) [,,,) [,,,6) [,6,,7) [,7,,8) [,8,,9) [,9,,0) [,0,,) [,,,) [,,,) Nombre de vegades a) Construei l histograma i el polígon de freqüències. b) Calcula la mitjana aritmètica i la desviació estàndard. c) Calcula el primer i el tercer quartils i el percentil d) Quin percentatge de comprimits pesa mens de,87 g? 8. Consultats els 6 alumnes d una classe sobre la quantitat de monedes que porten a sobre, sense tenir en compte el seu valor, s ha obtingut: 7, 9,,, 7,, 9,,, 6,, 6, 7,, 7, 6, 9,,, 7,,,,, 6, 8, Es demana: a) La taula de distribucions de freqüència, ampliant-la també amb les freqüències acumulades. b) La representació gràfica del diagrama de línies. c) Quin valor pren la moda, la mediana i la mitjana aritmètica? 77

78 9. S estudia d una mostra de treballadors de l empresa COFISA el nombre de dies de treball perdut per malaltia durant el r. trimestre de l an 006: Dies perduts per malaltia I trimestre de l an Es demana: a) Determineu la distribució de freqüències i la seva representació gràfica en un diagrama de barres i polígon de freqüències.. b) Calculeu la mitjana aritmètica, la moda, la mediana, els quartils, el recorregut, la variància i la desviació estàndard de la variable nombre de dies de treball perdut. 0. Disposem d un llistat dels preus de 0 automòbils d un establiment de vehicles d ocasió: Preus dels automòbils en estoc Es demana: a) Obteniu la distribució per intervals i assigneu les freqüències absolutes b) Calculeu la distribució de freqüències i dibuieu l'histograma c) Calculeu les mesures de posició i dispersió. A partir de l histograma: a) Reproduïu la taula de distribucions de freqüència. b) Determineu l interval modal, la mediana i la mitjana aritmètica. 78

79 . Una urbanització s ha dividit en parcel les que tenen la següent superfície: Superfície (m ) Número de parcel les ( n i ) Determineu: a) La mida de parcel la més freqüent en la urbanització b) Superfície mitjana i mediana per parcel la c) Quina grandària hauria de tenir una parcel la per estar considerada entre el % de més gran mida? d) Quina grandària hauria de tenir una parcel la per estar entre el 0% de menor mida? Comparació de mostres. De dues regions d un determinat país s estudia la renda familiar disponible (en milers d euros). La informació recollida és: Renda REGIÓ REGIÓ Nombre de famílies Nombre de famílies Renda Calculeu: a) La renda mitjana de cada regió i la seva variància. b) Comparar les dues regions i veure en quina la distribució es més representativa. c) Quin és el nivell de renda obtingut per un major nombre de famílies en la primera regió? d) Si en la segona regió es classifica a una família dins del grup del 0% de famílies mens afavorides, quina seria la renda màima que podria rebre?. El nombre de visites mèdiques que han sol licitat 0 persones de dos CAP al llarg d un an són: a) Calcula la mitjana de visites de cada cap i la desviació típica. b) Calcula el coeficient de variació de cada conjunt de dades. En quin cas la dispersió relativa és més gran? c) Calcula, pel al CAP!, quin tant per cent de les dades es troba a l interval ( X S, X S). Comprova que és més del 7%. 79

80 . Aquestes són les temperatures mínimes i màimes mitjanes obtingudes en 0 estacions meteorològiques repartides per tot Cataluna al llarg de l an 00 a) Calcula la mitjana de les màimes i la mitjana de les mínimes b) Calcula la desviació típica de les màimes i de les mínimes. c) En quin cas hi ha més dispersió, en les màimes o en les mínimes? Per què creus que és aií? 6. Aquestes són les edats dels jugadors de dos equips de futbol: Equip A Equip B Calcula la mitjana d edats de cada equip, la desviació típica i el coeficient de variació. En quin equip les edats estan més agrupades al voltant de la mitjana? 7. Aquest és el nombre de faltes comeses per partit per dos defenses entrals al llarg de 8 jornades: Jugador A Jugador B a) Calcula la mitjana i els quartils. b) Amb les mesures anterior, quin jugador consideres que és més regular? 8. La taula mostra el saldo mitjà en euros per mesos de dos comptes bancaris: G F M A M J J A S O N F C C Calcula en cada cas la desviació típica i el coeficient de variació. En quin cas sembla més fàcil preveure el saldo aproimat del mes següent? 80