Diseño de Experimentos

Transcripción

1 Diseño de Experimentos M. en E. Patricia I. Romero Mares Departamento de Probabilidad y Estadística IIMAS-UNAM Cursos PUMA Análisis estadísticos para proyectos de investigación ambiental 30 julio a 3 agosto 2012

2 Panorama de la clase Introducción Ideas básicas del diseño experimental Diseño completamente al azar, un factor Suposiciones Diseños de bloques al azar, un factor Diseños factoriales, c.a. Diseños factoriales, bloques Otros temas 2

3 Introducción Criterios de clasificación de investigaciones Según el propósito son Descriptivos o Comparativos Según la evolución son Transversales o Longitudinales Según la fuente de información son Prospectivos o Retrospectivos Según el control del investigador son Observacionales o Experimentales 3

4 Introducción Experimento Estudio comparativo, 2 o más poblaciones Longitudinal Prospectivo Experimental (el investigador aplica tratamientos) Observacional (el investigador solo observa el fenómeno) (Pseudoexperimento) 4

5 Introducción El diseño estadístico de experimentos es el proceso de planear el experimento de tal manera que se puedan analizar por métodos estadísticos los datos recolectados y que resulten en conclusiones objetivas y válidas. 5

6 Introducción (lineamientos) Objetivos del estudio Qué se va a estudiar Qué se va a medir Cómo se va a medir A quien se va a estudiar Población objetivo Población Muestra muestra población 6

7 Introducción (lineamientos) Factor. Es la característica cuyo efecto queremos estudiar. (Droga A) Nivel. Es la categoría o modalidad estudiada del factor. (15mg/kg, 20mg/kg, 30mg/kg) Si los niveles se determinan por el investigador factor fijo. Si los niveles son una muestra aleatoria de posibles niveles factor aleatorio. (muestra aleatoria de profundidades de pozos petroleros) 7

8 Introducción (lineamientos) Tratamiento. Combinación de niveles de los factores estudiados. Tratamiento testigo o control. (Droga: a1,a2,a3; Manejo: m1,m2,usual) Unidad experimental ue. Es la subdivisión menor del material experimental que puede recibir un tratamiento en forma independiente. (rata de laboratorio, jaula con 5 ratas, pozo, lago) 8

9 Introducción (lineamientos) Definir la variable de respuesta. Es lo que se va a medir en cada unidad experimental. Se debe estar seguro que dé información útil acerca del fenómeno estudiado. Se debe tener cuidado en la toma de las mediciones para eliminar sesgos introducidos por operaciones conscientes o inconscientes. (doble ciego) 9

10 Introducción (lineamientos) Elección del diseño experimental. Es la forma de asignar los tratamientos a las unidades experimentales. El diseño determina el modelo y el análisis estadístico a seguir. Homogeneización. Conseguir ue lo más homogéneas posibles para evitar factores de confusión que entorpezcan la comparación de los tratamientos, pero se pierde validez externa. 10

11 Introducción (lineamientos) Aleatorización. Introducida por Fisher, sirve para controlar factores de variación no incluidas en forma explícita. Se busca eliminar sesgos sistemáticos y justificar la independencia de los errores. Bloques. Un bloque es un grupo de ue homogéneas. El uso de bloques es la inclusión en el diseño (modelo) de un factor que, aunque no es de interés, se sabe que puede causar una fuerte variación en las ue. Tiene como objetivo el control de factores de variación en forma explícita en el modelo, disminuyendo así la varianza de los errores. 11

12 Introducción (lineamientos) Ejemplo en agricultura. B A E D Bloque 1 A E C D B Bloque 2 12

13 Introducción (lineamientos) Determinación del número de repeticiones. Las repeticiones (réplicas) son el número de ue a las que se les aplica, en forma independiente, un tratamiento. Dan una estimación de la varianza del error experimental Incrementan la precisión del experimento. A mayor número de repeticiones menor la varianza de los estimadores 13

14 Introducción (lineamientos) Frecuentemente se utiliza dividir una muestra para generar dos observaciones a las que se les llama réplicas cuando en realidad son submuestras o mediciones repetidas. Por ejemplo, dos mediciones independientes de la estatura de una persona no dan una medida de la variación de estaturas de la población de personas, sino que dan una medida de la variación de la medición de estatura en esa persona. 14

15 Introducción (lineamientos) Es muy importante distinguir entre una submuestra y una réplica, ya que la varianza del error estimada entre las submuestras es, en general, considerablemente menor que la varianza del error estimada entre réplicas. Por lo tanto, la estadística F de las pruebas, construida usando la varianza del error calculada de las submuestras, será mucho mayor de lo que debe ser, llevando al investigador a encontrar más diferencias significativas de lo que debería. 15

16 Introducción (lineamientos) Hacer el experimento y colectar datos Efectuar el análisis estadístico Obtención de conclusiones 16

17 Introducción El error experimental describe la variación entre ue idéntica e independientemente tratadas. Se origina por: Variación natural entre ue Variabilidad en la medición de la respuesta Incapacidad de reproducir las condiciones de los tratamientos exactamente de una ue a otra Interacción de tratamientos y ue Cualquier otro factor externo que afecte las características medidas 17

18 Introducción Lo que se busca es tener un diseño que minimice la varianza del error experimental 18

19 Ideas básicas del diseño experimental Considere un experimento que involucra t tratamientos y cada tratamiento se aplica a r ue diferentes. El investigador debe seleccionar rt ue. Mientras más parecidas sean las ue mejores serán las comparaciones entre los tratamientos. (homogeneización) 19

20 Ideas básicas del diseño experimental Si el investigador asigna aleatoriamente cada tratamiento a r de las ue (aleatorización) previene la introducción de sesgos sistemáticos en el experimento. Y en caso de que las ue sean un poco heterogéneas, la aleatorización ayuda a que los tratamientos se asignen en formas parecidas a los diferentes tipos de ue. 20

21 Ideas básicas del diseño experimental En muchas ocasiones es imposible seleccionar rt ue homogéneas, lo que contribuye al error experimental. Estos experimentos se mejoran si se pueden agrupar las ue en grupos homogéneos (bloques). En el caso de uso de bloques, la variación debida al bloque se toma en cuenta en el análisis, reduciendo la varianza del error. 21

22 Estructura de tratamientos Es el conjunto de tratamientos, combinación de los niveles de los factores bajo estudio, o poblaciones que son seleccionadas por el investigador para comparar. 22

23 Estructura de tratamientos Unifactorial. Un solo factor con t niveles (t tratamientos) Factoriales. Dos o más factores Cruzados (niveles de un factor conservan su significado en cada nivel de otro factor) Completos (se estudian todas las combinaciones de los niveles de los factores) Fraccionales (se estudian solo algunas combinaciones de los niveles de los factores) 23

24 Estructura de tratamientos Factoriales dos o más factores Anidados (niveles de un factor cambian de significado en cada nivel del otro factor) Factoriales con uno o más testigos 24

25 Estructura de diseño Es la forma en que se agrupan las ue en conjuntos homogéneos. La estructura de diseño de un experimento involucra el agrupamiento de las ue de tal manera que las condiciones bajo las cuales se observan los tratamientos sean lo más uniformes posibles. 25

26 Estructura de diseño Si todas las ue son homogéneas, entonces solo hay un grupo o bloque de observaciones y las ue pueden ser asignadas a los tratamientos completamente al azar. Esta estructura de diseño se llama diseño completamente al azar. 26

27 Estructura de diseño Si se requiere más de un grupo de ue para que dentro de cada grupo las ue sean más homogéneas entre sí que entre grupos, entonces la estructura de diseño es algún tipo de diseño de bloques. 27

28 Estructura del diseño Completamente al azar Bloques al azar Bloques al azar generalizados Bloques incompletos Cuadros latinos, grecolatinos, hipergrecolatinos 28

29 Diseño experimental Estructura de tratamientos + Estructura de diseño 29

30 Diseño experimental Una vez que se seleccionaron la estructura de tratamientos y de diseño, el diseño experimental se especifica describiendo exactamente el método de asignación aleatoria de los tratamientos a las ue en la estructura de diseño. 30

31 Diseño experimental El diseño experimental define el modelo que debe usarse para un análisis correcto. Al construir el modelo, se hacen dos suposiciones básicas: Los componentes de la estructura de diseño son efectos aleatorios. No hay interacción entre los componentes de la estructura de diseño y los componentes de la estructura de tratamientos. Es decir, se supone que la relación existente entre los tratamientos será consistente de bloque a bloque, o sea, los bloques no influyen en la relación entre los tratamientos. 31

32 Diseño completamente al azar un factor con t niveles Suponga que tenemos un solo factor con t niveles, es decir, t tratamientos, y al azar se asignan n ue a cada tratamiento. Las observaciones se pueden representar por el modelo lineal simple ij y ij i ij i 1,, t j 1,, n con error experimental en la observación j-ésima del tratamiento i-ésimo. Suponemos independencia entre y dentro de las muestras ij 2 ~ NID 0, 32

33 Diseño completamente al azar, un factor Se tienen t muestras independientes de tamaño n 2 y, y, y es una muestra aleatoria de N, n 1 2 y, y, y es una muestra aleatoria de N, n 2 2 y, y, y es una muestra aleatoria de N, t1 t 2 tn t 33

34 Diseño completamente al azar, un factor 34

35 Diseño completamente al azar, un factor El modelo: y ij i ij es el modelo completo ya que incluye una media separada para cada una de las poblaciones definidas por los tratamientos. Si no hay diferencia entre las medias de las poblaciones 1 2 t Se general el modelo reducido y ij ij 35

36 Diseño completamente al azar, un factor El modelo reducido representa la hipótesis de no diferencia entre las medias de las t poblaciones H 0 : 1 2 t El modelo completo representa la hipótesis alternativa H : para alguna i k a i k Cuál de los dos modelos describe mejor a los datos del experimento? 36

37 Diseño completamente al azar, un factor 37

38 Diseño completamente al azar, un factor Se requiere un método para estimar los parámetros de los dos modelos y con base en algún criterio objetivo determinar cuál modelo o hipótesis estadística se ajusta mejor a los datos del experimento. 38

39 Diseño completamente al azar, un factor Método de mínimos cuadrados. min SCE t n i 1 j 1 2 ij Se minimiza la suma de cuadrados del error en cada uno de los dos modelos y se encuentran los estimadores de los parámetros correspondientes. 39

40 Diseño completamente al azar, un factor Para el modelo completo: min SCE t n t n 2 c ij ij i i 1 j 1 i 1 j 1 y 2 ˆi y i. Para el modelo reducido: min r t n 2 ij ˆ y.. i 1 j 1 SCE y 40

41 Diseño completamente al azar, un factor Entonces se tienen las sumas de cuadrados estimadas del error de los dos modelos al incluir los estimadores de los parámetros t n c ij i. i 1 j 1 r SCE y y t SCE y y n i 1 j 1 ij

42 Diseño completamente al azar, un factor La diferencia entre estas dos sumas de cuadrados es una medida del grado de concordancia entre hipótesis y datos, tambien llamada Reducción de sumas de cuadrados debida a tratamientos SC SC SCE SCE SC H0 H trat r c 0 Si es grande implica falta de concordancia entre la hipótesis y los datos. 42

43 Diseño completamente al azar, un factor SCE SC SC SCE r total trat c t n t n t n y ij y.. yi. y.. yij yi. i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 Partición de la suma de cuadrados total en una debida a los tratamientos y otra debida al error. Surge la Tabla de Análisis de Varianza (ANOVA) 43

44 Tabla de Análisis de Varianza (ANOVA) F.V. g.l. S.C. C.M. F Tratamientos (entre) t-1 SC trat SCtrat / t 1 CM trat CME Error (dentro) nt-t SCE SCE / nt 2 ˆ t Total nt-1 SC total 44

45 Análisis de varianza (ANOVA) Si H 0 : 1 2 t F CM es cierta, entonces trat ~ F c t 1, nt t CM E Se fija un nivel de significancia I 0 0 P error tipo P rechazar H H es cierta 45

46 Análisis de varianza (ANOVA) Se rechaza H 0 : 1 2 t si F F c t 1, nt t 46

47 Análisis de varianza (ANOVA) Ejemplo de una región de rechazo de H 0 (t=5, n=10) Si F c > 2.58 se rechaza H 0 al nivel de significancia =

48 Análisis de varianza (ANOVA) Los paquetes estadísticos calculan el valor p-value (significancia observada) que es la probabilidad de obtener un valor de F c como el calculado o mayor si la hipótesis nula es cierta. Si el valor del p-value es pequeño nos lleva a rechazar la hipótesis nula. 48

49 Análisis de varianza (ANOVA) Distribución F con 4 y 45 g.l. p-value= Poco probable haber obtenido este valor de F c u otro más grande si H 0 es cierta, por lo tanto Se rechaza H 0 F =3.78 c 49

50 Análisis de varianza (ANOVA) Una vez que se rechaza H 0 : 1 2 t sabemos que hay por lo menos una pareja de medias que son diferentes, pero cuáles son? 50

51 Comparaciones múltiples Son pruebas estadísticas que nos permiten contrastar hipótesis del tipo: H : vs H : 0 i j a i j i j 1,, t Manteniendo fija la probabilidad del error tipo I por experimento E 51

52 Comparaciones múltiples Tukey (DMSH) Bonferroni Student-Newman-Keuls (SNK) Scheffé Entre otras Dunnet (cada tratamiento vs control) 52

53 Contrastes Un contraste es una combinación lineal de las medias definido como i C t t k donde i i i 1 i 1 k i 0 Interesa probar H : C 0 0 confianza para el contraste. o dar un intervalo de Los contrastes son, generalmente, comparaciones de las medias de los tratamientos planeadas de antemano. 53

54 Contrastes ortogonales Existe una clase de contrastes, los contrastes ortogonales. Para t tratamientos existe un conjunto de t-1 contrastes ortogonales que hacen una partición de la Suma de cuadrados de tratamientos en t-1 componentes independientes, cada uno con 1 g.l. Lo que implica que estas pruebas son independientes. Dos contrastes, con coeficientes {k i } y {l i } son ortogonales si t i 1 kl i i 0 54

55 Modelo unifactorial completamente al azar Modelo de medias y i 1,, t j 1,, r ij i ij H Con la hipótesis : t Modelo de efectos y i 1,, t j 1,, r ij i ij Con la hipótesis H0 1 2 t : 0 55

56 Suposiciones ij ~ N 0, 2 Errores independientes (aleatorización) Errores normales (gráfica en papel normal, histograma) Homogeneidad de varianzas (prueba Bartlett, gráfica de valores estimados vs. residuales) En caso de que no se cumplan las suposiciones: Transformaciones de la variable y 56

57 Ejemplo 1 completamente al azar un factor Se tienen datos del flujo de petróleo, medido en barriles por día, de tres pozos en el Golfo de México. Se desea saber si, en promedio, dan la misma producción por día y si no es así se quiere saber cuál es el que produce más. 57

58 Ejemplo 1 completamente al azar un factor Pozo 1 Pozo 2 Pozo

59 Ejemplo 1 completamente al azar un factor Analysis of Variance Table Response: y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Pozo Residuals Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level Fit: aov(formula = y ~ pozo) $pozo diff lwr upr p adj

60 Ejemplo 1 completamente al azar un factor 60

61 Ejemplo 1 completamente al azar un factor Bartlett test of homogeneity of variances data: residual and pozo Bartlett's K-squared = , df = 2, p-value =

62 Ejemplo 1 completamente al azar un factor 62

63 Ejemplo 1 completamente al azar un factor 63

64 Ejemplo 1 completamente al azar un factor 64

65 Ejemplo 2 completamente al azar un factor Se sabe que el dióxido de carbono tiene un efecto crítico en el crecimiento biológico. Cantidades pequeñas de CO 2 estimulan el crecimiento de muchos organismos, mientras que altas concentraciones inhiben el crecimiento de la mayor parte de ellos. Este último efecto se utiliza comercialmente cuando se almacenan productos alimenticios perecederos. Se realizó un estudio para investigar el efecto de CO 2 sobre la tasa de crecimiento del Pseudomonasfragi, un corruptor de alimentos. 65

66 Ejemplo 2 completamente al azar un factor Se administró CO 2 a cinco presiones atmosféricas diferentes. La respuesta es el cambio porcentual en la masa celular después de un tiempo de crecimiento de una hora. Se utilizaron diez cultivos en cada nivel. Qué conclusiones se deducen del estudio estadístico de estos datos? 66

67 Ejemplo 2 completamente al azar un factor 67

68 Ejemplo 2 completamente al azar un factor Analysis of Variance Table Response: y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Presion e-16 Residuals

69 Ejemplo 2 completamente al azar un factor Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level $presion diff lwr upr p adj

70 Ejemplo 2 completamente al azar un factor 70

71 Ejemplo 2 completamente al azar un factor Bartlett test of homogeneity of variances data: residual and presion Bartlett s K-squared=1.0701, df=4, p-value=

72 Ejemplo 2 completamente al azar un factor 72

73 Diseño de bloques Un bloque es un grupo de ue homogéneas. Nuestro objetivo es tener comparaciones precisas entre los tratamientos bajo estudio. Utilizar bloques es una forma de reducir y controlar la varianza del error experimental para tener mayor precisión. 73

74 Diseño de bloques Una buena elección del criterio de bloqueo resulta en menor variación entre las ue dentro de los bloques comparada con la variación entre ue de diferentes bloques. Los criterios de bloqueo generalmente son: Proximidad espacial Tiempo Características físicas (edad, peso, sexo) Manejo de las ue en el experimento 74

75 Diseño de bloques Suponga que se tienen t tratamientos que se quieren comparar en b bloques. Bloque 1 Bloque 2 Bloque b y y y t1 y y y t y 1b y y tb b 75

76 Diseño de bloques El diseño de bloques completos al azar implica que en cada bloque hay una sola observación de cada tratamiento. El orden en que se ejecutan los tratamientos dentro de cada bloque es aleatorio (restricción a la aleatorización) 76

77 Diseño de bloques El modelo estadístico para este diseño es: y i 1,, t j 1,, b i j ij ij i j ij media general efecto de i-ésimo tratamiento efecto del j-ésimo bloque error experimental del tratamiento i en el bloque j ij 2 ~ NID 0, 77

78 Diseño de bloques Se supone que los efectos de tratamientos y bloques son aditivos. Esto significa que no hay interacción entre tratamientos y bloques, es decir, la relación entre los tratamientos es la misma en cada uno de los bloques. 78

79 Diseño de bloques El Análisis de Varianza para este diseño se basa en una descomposición de la variabilidad de las observaciones. y y y y y y y y y y ij.. ij i.. j.. i.... j.. Desv. Total=desv error+desv trat+desv bloques 79

80 Diseño de Bloques. Tabla de Análisis de Varianza (ANOVA) F.V. g.l. S.C. C.M. F Tratamientos t-1 SC trat SCtrat / t 1 CM trat CME Bloques b-1 SC bloques Error (t-1)(b-1) SCE SCE / nt 2 ˆ t Total bt-1 SC total 80

81 Ejemplo 3 Diseño de bloques Se tienen datos de los depósitos de corcho de 28 árboles en cada de las cuatro direcciones N,S,E,O. Se quiere probar la hipótesis de que las medias de los pesos son iguales en todas las direcciones. Se midió en cada árbol el peso del corcho en las cuatro direcciones, lo que implica que cada árbol es un bloque y los tratamientos son las cuatro direcciones. 81

82 Ejemplo 3 Diseño de bloques Analysis of Variance Table Response: peso Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) direccion arbol Residuals

83 Ejemplo 3 Diseño de bloques Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level $direccion diff lwr upr p adj N-E O-E S-E O-N S-N S-O

84 Ejemplo 3 Diseño de bloques 84

85 Ejemplo 3 Diseño de bloques Si no consideramos bloques, es decir, consideramos que tenemos 28x4 árboles diferentes Analysis of Variance Table Response: peso Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Direccion Residuals No hay diferencia significativa entre las 4 direcciones 85

86 Diseño de bloques Bloques al azar: bloques de tamaño t Bloques al azar generalizados: Bloques incompletos: se repiten los tratamientos en cada bloque los bloques no contienen a todos los tratamientos 86

87 Diseño de bloques Cuadro Latino: Bloqueo en dos direcciones Cuadro Grecolatino: Bloqueo en tres direcciones Cuadro Hipergrecolatino: Bloqueo en cuatro direcciones 87

88 Diseños factoriales (estructura de tratamientos) Información sobre varios factores. Todas las ue se utilizan para la evaluación de los efectos Se amplía el rango de validez del experimento al estudiar cada factor en las condiciones representadas por los niveles de los otros factores Permite el estudio de la interacción, esto es, estudiar el grado y forma en la cual se modifica el efecto de un factor por los niveles de los otros factores 88

89 Diseños factoriales (estructura de tratamientos) El número de tratamientos es el producto de los niveles de los factores (diseño completo). Si el número de tratamientos es grande implica que se necesitan muchas ue 89

90 Interacción Ejemplo de un factorial 2x2 sin y con interacción 90

91 Diseño factorial Suponga un experimento con dos factores, A con a niveles Y B con b niveles, en diseño completamente al azar. (Factorial a x b completo, balanceado, efectos fijos) Factor A 1 2. a Factor B 1 2 b b b a1 a2 ab 91

92 Diseño factorial, completamente al azar El modelo lineal, modelo de medias y i 1, 2,, ab ij i ij ij 2 ~ N 0, j 1, 2,, n El modelo de efectos y ijk i j ij ijk i 1,2,, a j 1,2,, b k 1,2,, n ijk 2 ~ N 0, 92

93 Diseño factorial Los dos modelos son equivalentes. El modelo de efectos está sobreparametrizado así que se hace una reparametrización con variables indicadoras. En el modelo de medias se realizan las pruebas para los efectos a través de contrastes. En los dos casos las hipótesis de interés son: H : 0 para toda i y j H H 01 ij : 0 02 i i. : 0 03 j. j para toda para toda i j 93

94 Diseño factorial Una interacción significativa oscurece la significancia de los efectos principales Cuando hay interacción significativa, se deberán estudiar los niveles de un factor, digamos A, con los niveles del o de los otros factores fijos, para tener conclusiones acerca del efecto principal de A. 94

95 Diseño factorial y B- B+ - + Factor A 95

96 Diseño factorial completamente al azar. Tabla de ANOVA F.V. g.l. S.C C.M. F A a-1 SS A SS A /(a-1) CM A / CME B b-1 SS B SS B / (b-1) CM B / CME AB (a-1)(b-1) SS AB SS AB / (a-1)(b-1) CM AB / CME Error ab(n-1) SS E SS E / ab(n-1) Total abn - 1 SS Tot 96

97 Ejemplo 4 diseño factorial completamente al azar Se quiere comparar el tiempo de supervivencia de tres especies de truchas cuando se exponen a una mezcla de metales. Aproximadamente la mitad de las truchas de cada especie (al azar) fueron el grupo control, se mantuvieron en agua limpia por tres semanas antes de ser transferidas al agua con metales. 97

98 Ejemplo 4 diseño factorial completamente al azar Las otras truchas de cada especie fueron puestas por tres semanas en una mezcla ligera de metales antes de ser transferidos a la mezcla más fuerte. La variable de respuesta fue el número de horas de supervivencia en la mezcla fuerte de metales. 98

99 Ejemplo 4 diseño factorial completamente al azar Se analizaron estos datos con un modelo 3x2 completamente al azar, sin embargo, no hubo homogeneidad de varianzas entre los 6 grupos. 99

100 Ejemplo 4 diseño factorial completamente al azar 100

101 Ejemplo 4 diseño factorial completamente al azar Se calculó la transformación logaritmo natural del tiempo, lo que se consideró como variable respuesta y se ajustó el mismo modelo. 101

102 Ejemplo 4 diseño factorial completamente al azar y T E TE ijk i j ij ijk i 1,2 j 1,2,3 k 1,, n i T i E j TE ij Media general Efecto del tratamiento Efecto de la especie Efecto de la interacción 102

103 Ejemplo 4 diseño factorial completamente al azar Analysis of Variance Table Response: lntiempo Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) especie e-07 tratamiento <2.2e-16 especie: tratamiento Residuals

104 Ejemplo 4 diseño factorial completamente al azar 104

105 Diseño factorial en bloques al azar Suponga un factorial axb en p bloques al azar Bloque 1 Bloque 2 ab ab ab Bloque p ab

106 Diseño factorial en bloques al azar El modelo: y A B ( AB) ijk i j ij k ijk i 1,, a j 1,, b k 1,, p Donde k es el efecto de bloque y ijk 2 ~ N 0, 106

107 Diseño factorial en bloques al azar Tabla de ANOVA F.V. g.l. S.C C.M. F Bloques p-1 SS Bloque A a-1 SS A SS A /(a-1) CM A / CME B b-1 SS B CM B / CME AB (a-1)(b-1) SS AB CM AB / CME Error ab(p-1)-p+1 SS E SS E /gle Total abp-1 SS Tot 107

108 Diseño factorial axbxc (c.a.) y ijkl i j k ij ik jk ijk ijkl i 1,, a j 1,, b k 1,, c l 1,, n 108

109 Diseño factorial axbxc (c.a.) y Interacción de tres factores A con 2 niveles, B con 3 y C con 3 niveles A - A + y C 2 C C 1 50 C 1 40 C 3 30 C B 1 B 2 B 3 B 1 B 2 B 3 109

110 Otros temas Factores aleatorios Análisis de covarianza Diseños cruzados Varias variables dependientes MANOVA Mediciones repetidas 110

111 Bibliografía Kuehl, R.O. (2000). Design of Experiments: Statistical Principles of Research Design and Analysis. 2 nd ed. Brooks/Cole. Manly,F.J. (2009). Statistics for Environmental Science and Management. 2nd ed. Chapman & Hall 111

112 Bibliografía Milliken, G.A. and Johnson, D.E. (1992). Analysis of Messy Data, Vol. I: Designed Experiments. Chapman & Hall. Montgomery D.C. (2005). Design and Analysis of Experiments. 6ª. Ed. John Wiley & Sons. 112

113 Bibliografía Reimann,C.,Filzmoser,P.,Garrett,R.G., Dutter,R. (2008). Statistical Data Analysis Explained. Applied Environmental Statistics with R. John Wiley & Sons. 113