TEMA 2: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

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1 ESTADÍSTICA, CURSO TEMA : DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD LEYES DE PROBABILIDAD. SUCESOS ALEATORIOS Experimetos aleatorios, espacio muestral. Sucesos elemetales y compuestos. Suceso imposible Ø, suceso seguro S y suceso probable. Operacioes co sucesos: uió A B, itersecció A B, suceso complemetario A y sucesos icompatibles A B Ø.. DEFINICION Y PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD.. Cocepto clásico de probabilidad P A lim A P A Casos favorables Casos posibles a N.. Defiició axiomática de la probabilidad. P A 0. P S 3. A B Ø P A B P A + P B..3 Propiedades de la probabilidad P A P A P Ø 0 0 P A A B P A P B P A B P A + P B P A B P A B C P A + P B + P C P A B P B C P C A + P A B C

2 ESTADÍSTICA, CURSO PROBABILIDAD CONDICIONADA.3. Defiició de probabilidad codicioada Probabilidad de A codicioada a B: Se cumple los tres axiomas:. P A B P A B P B P A B 0. P S B P S B P B P B P B 3. Si A A Ø: P A A B P A A B P B P A B + P A B P B P A B A B P B P A B P B + P A B P B P A A B P A B + P A B.3. Sucesos depedietes e idepedietes P A B P A BP B Sucesos idepedietes: P A B C P A B CP B CP C P A B P A ; P A B P AP B P A B C P AP BP C.3.3 Teorema de la probabilidad total Cojuto completo de sucesos: A i S ; A i A j Ø para i j Teorema de la probabilidad total: P B P A i P B A i

3 ESTADÍSTICA, CURSO Demostració: B B S B A i B A i P B P B A i P A i P B A i.3.4 Teorema de Bayes P A j B P A j P B A j P A ip B A i P A j B P A j B P B P B A jp A j P B.4 ANALISIS COMBINATORIO Sucesos equiprobables: P S P A i P A i k k P A i k Regla de la multiplicació..4. Variacioes Variacioes de m elemetos tomados de e : V m, mm m... m + Variacioes co repetició de m elemetos tomados de e : m! m! V m m.4. Permutacioes Permutacioes de elemetos: P V,...! Permutacioes co repetició:! P,,...,m!!... m! dode m

4 ESTADÍSTICA, CURSO Combiacioes Combiacioes de m elemetos tomados de e : C m, V m, mm m... m + m! m P... m!! Combiacioes co repetició de m elemetos tomados de e : Cm m + m +! C m+, m!! VARIABLES ALEATORIAS. DESCRIPCION DE LAS VARIABLES ALEATORIAS.. Cocepto de variable aleatoria.. Variable aleatoria discreta Fució de probabilidad o distribució de probabilidad fx: fx P X x siedo fx i 0 y fx i i Fució de distribució F x: x x x x i P X x fx fx fx i F x P X x siedo F 0 y F F x x i x fx i F x i + fx i ; fx i F x i F x i Cálculo de probabilidades: F x P x i < X x j 0 x < x fx x x < x fx + fx x x < x 3. fx i j ki+. x x fx k F x j F x i P X > x i F x i

5 ESTADÍSTICA, CURSO Variable aleatoria cotiua Fució de desidad, o distribució de probabilidad fx: fx 0 ; fx dx P x < X < x x x fx dx Fució de distribució F x: F x P X < x F x x ft dt F P x < X < x F x F x fx df x dx fx dx 0 ; F x x fx dx fx dx. MEDIDAS CARACTERISTICAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA.. Media o esperaza matemática Variable discreta: µ EX i x i fx i lim x lim N Variable cotiua: N k x i i k N x i lim N µ EX i N k x i P X x i xfx dx k x i fx i µ Media de ua fució gx { i µ gx EgX gx ifx i gxfx dx µ ax+b ax + bfx dx a xfx dx + b fx dx aµ X + b µ b Eb b ; µ ax EaX aµ X

6 ESTADÍSTICA, CURSO Variaza y desviació típica Variable discreta: VarX σ E X µ i x i µ fx i k lim N s lim x i x i N lim N N N N Desviació típica: Expresió alterativa: k x i x k i N x i µ P X x i σ σ + σ x i µ fx i i σ i x i µ fx i i x i + µ x i µfx i i x i fx i + µ i fx i µ i x i fx i EX + µ µµ EX µ Variable cotiua: VarX σ E X µ x µ fx dx σ x µ fx dx Variaza de ua fució gx: σ σ gx E gx µ gx x fx dx µ EX µ { i gx i µ gx fx i gx µ gx fx dx σ ax+b E ax + b µ ax+b E ax + b aµ X b E a X µ X a E X µ X a σ X σ b Varb 0 ; σ ax VaraX a σ X

7 ESTADÍSTICA, CURSO VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL.3. Distribució de probabilidad cojuta y margial Fució de probabilidad cojuta y fució de desidad cojuta fx, y: fx, y P X x, Y y P x < X < x, y < Y < y x y x y fx, y dx dy fx, y 0 fx i, y j ; i j fx, y dx dy X \ Y y y y m Total x fx, y fx, y fx, y m f x x fx, y fx, y fx, y m f x x fx, y fx, y fx, y m f x Total f y f y f y m Fucioes de probabilidad margial y fucioes de desidad margial f x, f y: f x P X x j fx, y j ; f y P Y y i fx i, y f x i ; i f y j j f x Fució de distribució cojuta F x, y: fx, y dy ; f y F x, y P X x, Y y x i x F x, y P X < x, Y < y fx, y Fucioes de distribució margial F x, F y: F x P X x x i x x F x y y fx, y dx fx i, y j y j y fu, v du dv f x i ; F y P Y y y j y f y j F x x fu, v du dv ; F y y fu, v du dv

8 ESTADÍSTICA, CURSO Distribució codicioada e idepedecia estadística Fució de probabilidad codicioada y fució de desidad codicioada: fx y fx, y f y ; fy x fx, y f x P a X b Y y fx i y ; P a < X < b Y y Variables idepedietes: b a x a i b fx y dx fx y f x ; fy x f y f x fx, y dy fx yf y dy fx y f y dy fx y fx, y f xf y ; F x, y F xf y.3.3 Medias, variazas y covariaza Medias de X e Y : µ X EX i x i fx i, y j ; µ Y EY j i y j fx i, y j j µ X EX xfx, y dx dy ; µ Y EY Media de ua fució gx, Y : { j µ gx,y EgX, Y gx i, y j fx i, y j gx, yfx, y dx dy i yfx, y dx dy Para variables idepedietes: µ ax+by aµ X + bµ Y y e cocreto : µ X+Y µ X + µ Y µ XY EXY EXEY µ X µ Y µ XY xyfx, y dx dy xyf xf y dx dy xf x dx yf y dy µ x µ y

9 ESTADÍSTICA, CURSO Variazas de X e Y : σ X VarX i x i µ X fx i, y j ; σy VarY j i y j µ Y fx i, y j j σx Covariaza; x µ X fx, y dx dy ; σ Y σxy CovX, Y E X µ X Y µ Y σxy x i µ X y j µ Y fx i, y j i j σ XY x µ X y µ Y fx, y dx dy y µ Y fx, y dx dy i σxy x i y j x i µ Y µ X y j + µ X µ Y fx i, y j i j x i y j fx i, y j µ Y x i fx i, y j µ X y j fx i, y j + µ X µ Y fx i, y j j i j i j i j σ XY EXY µ Y µ X µ X µ Y + µ X µ Y µ XY µ X µ Y Variaza de ax + by : σ ax+by a σ X + b σ Y + abσ XY σ ax+by E ax + by µ ax+by E ax + by aµ X bµ Y E ax µ X + by µ Y a E X µ X + b E Y µ Y + abe X µ X Y µ Y a σ X + b σ Y + abσ XY σ ax+by a σ X + b σ Y ; σ X±Y σ X + σ Y 3 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD 3. DISTRIBUCION DISCRETA UNIFORME fx; dode x x, x,..., x µ x i fx i, x i x i σ x i µ x i µ fx i, x i µ

10 ESTADÍSTICA, CURSO DISTRIBUCION BINOMIAL Fució de probabilidad: fx bx;, p x p x q x dode x 0,,..., q + p 0 q + pq + p q p x x0 p x q x q + p bx;, p x0 x0 x p x q x Fució de distribució: x Bx;, p br;, p r0 Distribució de Beroulli: fx x { p x q x p x q x q ; x 0 p ; x σ µ x i fx i 0q + p p x i0 x i fx i µ 0 q + p p p p p p pq x i0 Media y variaza de la distribució biomial: µ X µ X+X +...+X µ X + µ X µ X {}}{ p + p p µ p σ X σ X +X +...+X σ X + σ X σ X {}}{ pq + pq pq σ pq 3.3 DISTRIBUCION DE POISSON Relació co la distribució biomial: bx;, p x p x q x... x + p x p x x!... x + lim bx;, p lim x! lim x λ λ x... x + λ x x λ λ x λx x! x! e λ

11 ESTADÍSTICA, CURSO pues:... x + lim x lim... x lim λ lim λ x lim + / λ λ e λ / λ Fució de probabilidad: x0 Fució de distribució: Media: fx px; λ λx x! e λ dode x 0,,,... px; λ x0 x0 λ x x! e λ e λ λ + + λ!! +... e λ e λ P x; λ x pr; λ r0 µ xpx; λ x λx x! e λ x0 x x r0 λ r r! e λ x λx x! e λ λ x λ x x! e λ Variaza: y x µ λ E XX x0 y0 xx λx x! e λ λ y y! e λ λ x py; λ λ λ y0 xx λx x! e λ λ x λ x x! e λ y x E XX λ y0 λ y y! e λ λ py; λ λ y0 σ E XX + µ µ λ + µ µ µ + µ µ µ σ λ ; σ λ

12 ESTADÍSTICA, CURSO DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD 4. DISTRIBUCION CONTINUA UNIFORME Fució de desidad: Fució de distribució: Media y variaza: µ fx dx b a fx dx fx F x P X < x xfx dx b a K dx Kb a K b a 0 x < a b a a < x < b 0 x > b x ft dt x 0 x < a x a F x b a a < x < b x > b b a x dx b a b a [ x ] b a a b a dt x a b a b a a + bb a b a b a µ a + b σ x µ fx dx b a x a + b [ dx b a x 3 b a 3 a + b x + b a + b x] a σ b a ; σ b a 4. DISTRIBUCION NORMAL 4.. Defiició y propiedades Fució de desidad: fx Nµ, σ σ x µ π e σ ; < x < fx dx σ π e x µ σ dx π e z dz π π

13 ESTADÍSTICA, CURSO Fució de distribució: F x P X < x x σ π e t µ σ dt P x < X < x x σ e x µ σ π x dx Media y variaza: EX EX µ π xfx dx σ π e z dz + σ π xe x µ σ dx ze z dz µ π π + µ + σze z dz π σ ] [ e z µ π VarX x µ fx dx σ π x µ e x µ σ dx σ π z e z dz VarX σ π ze z + e z dz 0 σ + π σ π 4.. Distribució ormal tipificada Defiició: Z X µ σ fx σ x µ π e σ fz e z N0, π Cálculo de probabilidades: P x < X < x P z < Z < z co z x µ σ y z x µ σ P Z > z α α π z α e z dz P Z < z α P Z > z α α P Z > z α P Z < z α P z > z α α P z < Z < z P Z > z P Z > z P µ σ < X < µ + σ P < Z < P Z > P Z > P Z > P Z > P Z > P µ σ < X < µ + σ P < Z < P µ 3σ < X < µ + 3σ P 3 < Z <

14 ESTADÍSTICA, CURSO Relació co otras distribucioes Teorema del límite cetral: Si X, X,..., X so variables aleatorias idepedietes co medias µ i, desviacioes típicas σ i, y distribucioes de probabilidad cualesquiera y se defie Y X +X +...+X, etoces, cuado crece, la variable: Z Y µ i σ i tiede hacia ua distribució ormal estádar N0,. Relació co la distribució biomial: Si X es biomial y Z X µ i σ i X p pq X p pq sigue la distribució N0,. De forma práctica, se utiliza esta aproximació cuado p 5 y q 5. Relació co la distribució de Poisso: Si X es ua variable aleatoria de Poisso y λ Z X λ λ sigue la distribució N0,. De forma práctica, se utiliza esta aproximació cuado λ DISTRIBUCION χ DE PEARSON Defiició: χ X + X X dode X i so N0, idepedietes fx { / Γ/ x/ e x/ x > 0 0 x 0 Γα 0 x α e x dx co α > 0 Media y variaza: µ Eχ E σ Varχ Var X i X i E Xi Var Xi σ X i E Xi µ Xi E Xi 0 E X i Var Xi σ Xi E Xi 4 µ Xi π x 4 e x dx E Xi

15 ESTADÍSTICA, CURSO [ x 3 e x π ] + 3x e x dx 3 x e x dx 3E X i π Cálculo de probabilidades: µ E X i σ Var Xi P χ > χ α, α y P χ < χ α, α 4.4 DISTRIBUCION t DE STUDENT Defiició: X t X i dode X i, X so N0, σ idepedietes t X σ Xi σ Z χ fx ft + β, + t ; < t < βp, q ΓpΓq Γp + q Media y variaza: µ 0 ; σ para > Cálculo de probabilidades: P t > t α, α y P t < t α, α P t > t α, P t < t α, P t > t α, α ; P t < t α, α t α, t α,

16 ESTADÍSTICA, CURSO DISTRIBUCION F DE FISHER Defiició: F, χ χ dode χ y χ so χ idepedietes Γ + / x / fx f, x Γ Γ + + / x > 0 x 0 x 0 Media y variaza: F, F, µ > ; σ + 4 > 4 Cálculo de probabilidades: P F, > F α;, α y P F, < F α;, α F α;, F α;,