6 resultados posibles en total. Llamaremos suceso elemental de un experimento aleatorio a cada uno de los resultados posibles

Transcripción

1 TEMA Probabilidad * Experimento aleatorio: Es aquel cuyo resultado es impredecible. Ej. Lanzar un dado, lanzar una moneda. Una reacción química, realizada siempre en las mismas condiciones, no sería un experimento aleatorio, ya que se sabe lo que va a resultar de dicha reacción. Espacio muestral de un experimento aleatorio: Es el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento. Se representa por E. Ej. En el experimento de lanzar un dado con seis caras, el espacio muestral es: E {,,,,, } En el experimento de lanzar una moneda: resultados posibles en total E cara, cruz resultados posibles En el experimento de lanzar dos dados: E { } {(, ),(, ),...,(, ),(, ),...,(, ),...(, ) } resultados posibles Llamaremos suceso elemental de un experimento aleatorio a cada uno de los resultados posibles En el caso del lanzamiento de un dado, hay seis resultados posibles: resultado muestra { } { } { } { } Suceso.- Cualquier subconjunto del espacio muestral. Ej. El suceso salir par, se representa así: Espacio de sucesos.- Conjunto de todos los sucesos (Se corresponde con el conjunto de las partes de E, y se representa por (E) { } {,, } { }

2 El número total de sucesos, será el cardinal de (E), que sabemos que se calcula por la fórmula siguiente: ( E) E Se dice que el suceso A ha ocurrido (se ha verificado o se ha realizado) cuando el resultado del experimento aleatorio es un elemento de dicho suceso Ej. Si sale un dos, diremos que el suceso {,, } es el suceso imposible, y es el suceso que no se verifica nunca (se corresponde con el conjunto vacio, por lo que al no tener éste elementos, nunca saldrá un elemento que esté dentro de él) E es el suceso seguro, y es el suceso que se verifica siempre (equivale al espacio muestral, y salga el resultado que salga, siempre estará dentro de él, de ahí su nombre) Dado un suceso A se llama suceso contrario de A y se representa A al que se verifica cuando no se verifica A En términos de conjuntos, A se corresponde con el complementario de A, es decir: A se corresponde con E A Evidentemente, se cumple que el contrario del contrario es el propio A: (A ) A Dados dos sucesos A y B se llama suceso unión a otro suceso A B que se verifica cuando se verifica A, B o ambos a la vez (se corresponde con el conjunto unión) Se llama suceso intersección y se representa por A B al suceso que se verifica cuando se verifica los dos a la vez (equivale al conjunto intersección) Ej. Si A es el suceso salir par {,, } y B es salir un número menor que {,, }, el,,,. conjunto A B sería {, } y el conjunto A B es { } Se dice que A y B son incompatibles cuando no se pueden verificar a la vez Esto equivale a que A B es el suceso imposible Probabilidad de un suceso La probabilidad de un suceso A, se representa por y es un número comprendido entre 0 y que mide el grado de posibilidad de que el suceso A se verifique. Evidentemente: ) 0 ya que el suceso imposible no se verifica nunca. mientras que: E) ya que el suceso seguro se verifica siempre. Más rigurosamente, vamos a definir la probabilidad, como una aplicación que a cada suceso del espacio de sucesos, le hace corresponder un número real comprendido entre 0 y, es decir: Llamamos probabilidad a la aplicación definida de (E) en R: P: (E) R A

3 que cumple los siguientes axiomas Propiedades de la probabilidad: º 0 º E) º A B) + P (B) si A y B son incompatibles º P (A ) P ( Demostración: A A E A A ) P (E) P ( + P (A ) luego P (A ) P ( º P ( ) 0 E º P ( A A E A A ) P (E) P ( + P (A ) luego si la suma es, ambos sumandos son menores o iguales que la unidad. º P (A B) P ( + P (B) P (A B) siendo A y B dos sucesos cualesquiera P ( ) - P ( ) P (E) 0 Nota: La ª y la ª propiedad son especialmente importantes para la resolución de problemas. Probabilidad de Laplace Se conoce como modelo probabilístico de Laplace, aquel en el que todos los sucesos elementales del espacio muestral, tienen la misma probabilidad. Sea el espacio muestral, E {A,A,A,..., A n }, donde todos los sucesos elementales son equiprobables, es decir todos tienen la misma probabilidad de salir. A i Sucesos elementales donde i,,,..., n Por tanto, como E A A A An aplicando los axiomas º y º de la probabilidad, tenemos: P A ) + A ) A ) y puesto que todas las probabilidades son iguales: ( n n P A ), luego: ( i Ai ) n En el caso del lanzamiento de un dado: P ( ) P ( ) P ( ) Hallemos, en general, la probabilidad de un suceso cualquiera A (E) Un axioma es una verdad que no necesita demostración, que se acepta como verdadera sin necesidad de probarla; no ocurre así en el caso de una propiedad o de un teorema que si que hay que demostrar.

4 Supongamos que: A{A,A,A,...,A r } r n P ( P (A ) + P (A ) P (A r ) r. P (A i ) r n r A n E nº de casos favorables al suceso nº de casos posibles A Esta fórmula se conoce como Ley de Laplace y es la que se utiliza para la resolución de problemas. Ej. En el experimento de extraer una carta de una baraja de 0 cartas: Sea B salir espadas.. ejemplo pág. 0 0 P ( B ) 0 0' Una comisión de un parlamento formada por 8 mujeres y hombres quiere formar un comité de investigación con personas. Si la formación de dicho comité se hace al azar, cuál es la probabilidad de que el comité contenga mujeres? P ( mujeres) (nº de casos favorables) / (nº de casos posibles) (nº de combinaciones para dicho suceso) / (nº total de combinaciones) 8 V( 8, ) ) mujeres).... 0' 08 V(, ) ).. Forma de asociar probabilidades cuando no hay simetría En este caso, no todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad. Si un experimento se realiza n veces, llamamos frecuencia absoluta del suceso A al número de veces que se repite cada uno de los resultados. f n ( nº de veces que se realiza el suceso A al repetir n veces el experimento. Se llama frecuencia relativa de un suceso A al cociente entre la frecuencia absoluta y el número de veces que se realiza el experimento. f ( r f n ( n

5 ..7 ejemplo pág. 0 Si un dado no está bien construido, y por lo tanto no se le puede asignar la misma probabilidad a cada uno de sus sucesos elementales, se lanza 00 veces y se apuntan las veces que ha salido el,,,,, ; si dichos resultados son por ejemplo: Total Entonces, las frecuencias relativas asociadas a cada suceso son: fr () 00 8 fr() 00 0' 0' 8 fr() 0' 00 0 fr() 0' 00 9 fr( 0'09 fr() 0' Fijaos que se cumple: 0 ' + 0 '8 + 0 ' ' + 0 ' + 0 ' En este caso, se suele tomar como probabilidad de cada suceso, el valor de su frecuencia relativa. Esto haría que la probabilidad de cada suceso variara según el número de lanzamientos realizados. Sin embargo la ley siguiente nos aclara algo sobre este asunto: Ley de los grandes números: Cuando el número de veces que se realiza el experimento (n) es suficientemente alto, las frecuencias relativas de cada suceso se estabilizan en torno a cierto valor fijo, que se puede considerar como su probabilidad. Es decir: Probabilidad condicionada El concepto de probabilidad condicionada surge cuando se intenta resolver un problema como el siguiente: a) Lanzamos un dado de caras, sabiendo que ha salido par cuál es la probabilidad que haya salido un? B salir par A salir P A ( ) lim n n f ( n Probabilidad de que salga A sabiendo que B se ha realizado P ( A / B ) casos casos favorables posibles

6 Hay casos en que no se puede hallar directamente y hay que aplicar la fórmula que define la probabilidad condicionada: P ( A B ) P ( A / B ) P ( B ) En nuestro caso: P ( A B ) P ( A / B ) que coincide con el resultado anterior. P ( B ) O como este otro: b) En una urna hay 7 bolas rojas y negras, se extrae un bola al azar y sale roja, no se devuelve (sin reemplazo), cuál es la posibilidad de que la siguiente bola sea negra? B primera bola extraída sea roja A ª bola extraída sea negra Si se utiliza la fórmula de la probabilidad condicionada, queda: V (7,). V (,) P ( A B ) P ( B A ) V (0, ) ( A / B ) P ( B ) P ( B ) P que coincide con el resultado anterior. Ver ejemplo. de la pág. 09 (Darlo en hoja aparte). Ejemplo de la pág. 0 (apartado ) Se sacan cartas de una baraja de 0 (equivale a primero extraer una y luego otra sin reemplazo). Calcular la probabilidad de que la segunda carta sea un as cuando la primera fue un as. (Evidentemente es una probabilidad condicionada) Si la primera carta es un as, quedan tres ases dentro de las 9 restantes, luego: Se dice que dos sucesos A y B son independientes cuando la probabilidad del suceso intersección es el producto de las probabilidades de ambos sucesos, es decir: A y B independientes P (A B) P (. P (B) Dos sucesos A y B se dicen dependientes, cuando no son independientes, es decir: A y B dependientes P (A B) P (. P (B) cf.. A/ B) 0' cp.. 9 cf P ( ª as / ª as) cp 9 Otra caracterización de los sucesos independientes es la siguiente:

7 P ( B / B) En efecto, puesto que teniendo en cuenta la definición de probabilidad condicionada y la de sucesos independientes queda: B A B). B) P ( B / B) Es decir, si los sucesos A y B son independientes, la probabilidad de B condicionado a A es la probabilidad de B, luego la realización o no de A no influye para nada en la realización de B, de ahí el nombre de independientes. Sabemos por definición de sucesos independientes que: A y B independientes P (A B) P (. P (B) Sin embargo para sucesos cualesquiera se cumple otra fórmula similar que es: A y B sucesos cualesquiera P (A B) P (. P (B / Esta fórmula es la que hay que utilizar siempre que no tengamos constancia de que A y B son independientes. Esta fórmula sale de despejar P (A B) en la fórmula, tomando el primer y el último término: B / B A B). Ejemplo pág. (ejemplo de sucesos independientes) Una carta se extrae de una baraja española de 0 cartas. Cada carta tiene la misma probabilidad de salir. Probar que los sucesos sacar un as y sacar una espada son independientes. A salir as B salir espada A B salir as y salir espada A B) 0 B) A B) 0 0 luego son independientes. 0 0 B) 0. Ejemplo pág. (ejemplo de sucesos dependientes) Se lanzan independientemente dos dados de modo que cada combinación sea de igual probabilidad. Sea A el suceso la suma de los dígitos obtenidos sea 8 y B los dos dígitos son distintos. Son estos sucesos independientes? 0 7

8 E {, }{,, }{,, },...{, }; E A Suma sea 8 B dígitos distintos A B Por tanto: {, }{,, }{,, }{,, },{, }; A {, }{,, }{,, },,{, }; B 0 {, }{,, }{,, }{,, }; A B A B) 9 B) 0 0 P ( B) y sin embargo: A B) B) Por tanto, no son independientes (son dependientes) Nota: Esta dependencia parece lógica ya que entre los resultados que suman 8, hay más casos de resultados que tienen dígitos distintos que los que los tienen dígitos iguales, por lo que se intuye alguna relación entre ambos sucesos y por tanto alguna dependencia. Ejercicios de exámenes de años anteriores, resueltos: º Junio 99 Mañana ) Se lanzan dos dados. Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea? a) b) c) 0 A suma sea {,}{,,}{,,},{,},{, } cf cp º Junio 99 Tarde ) Se extraen simultáneamente dos bolas de una urna que contiene bolas rojas, blancas y negras. Calcular la probabilidad de que ambas sean negras. a) b) c) 0 9 8

9 ambas negras) cf cp 0 V (, ) ) V ( 0, ) ) º Junio 997 mañana ) Un cartero reparte cuatro cartas al azar entre sus cuatro destinatarios. La probabilidad de que solo dos cartas lleguen a su destino es: a) 0, b) 0, c),7 Los casos favorables son los distintos modos de seleccionar a las dos personas que van a recibir las cartas bien, pues los otros dos, no hace falta tenerlos en cuenta ya que sólo pueden recibir de una forma las cartas cambiadas, una vez que dos ya las han recibido bien. Si llamamos A que solo dos destinatarios reciban sus cartas correctamente V (,). cf ). PA ( ) 0, cp ) )... Otra forma de resolver el problema, un poco menos ortodoxamente, pero más sencilla y quizás más inteligible, es la siguiente: Sean,, y las personas que deben recibir las cartas y sean C, C, C y C las cartas correspondientes dirigidas a cada una de las cuatro personas. El número total de formas de recibir las cartas es la siguiente: La primera persona puede recibirla de, formas diferentes, la segunda puede recibirla de formas, la tercera de dos y la última de una. Luego el total de posibilidades es: Casos posibles... Para contar los casos favorables, contémoslos, escribiendo cada uno de ellos en la tabla siguiente: PERSONA PERSONA PERSONA PERSONA C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 9

10 Están resaltadas en negrita las cartas entregadas correctamente y en caracteres normales las cambiadas de dueño. Como se ve son los casos posibles (uno de ellos es C, C, C, C que significa que la reciben correctamente la primera y la segunda persona y la tercera y cuarta la reciben cambiadas) Por tanto la probabilidad será: cf PA ( ) 0, cp que coincide con el resultado anterior. º Junio 997 Tarde ) Una enciclopedia consta de 0 tomos, el primero de los cuales es Matemáticas. La probabilidad de que al elegir tomos al azar resulte elegido el tomo de matemáticas es:,0 B) 0,0 C) 0,07 º Septiembre cf m). 0, 07 cp ) Se elige un número natural de tres cifras. La probabilidad de que acabe en 7 es: 0, B) 0, C),0 Veamos una primera forma de resolverlo: VR(0,) VR(0,) 0 P 7) VR(0, VR(0,) ( , Otra forma de contar los casos favorables y los posibles es: Casos favorables: 9 0 es decir (la primera no puede ser un 0) Casos posibles: es decir Otra forma de razonar: Como la probabilidad de acabe en 7 es la misma de que acabe en cualquier otra cifra, y hay diez cifras en las que puede acabar, la probabilidad será /0, es decir 0,. º Junio 998 Mañana ) Se lanzan dos dados, la probabilidad de que los resultados de cada dado sean distintos es: B) C) 0

11 D que los resultados de ambos dados sean distintos c.p elementos VR (,) c.f VR (,).VR(,) 0 0 D) º Junio 998 Tarde ) Se extrae una carta de la baraja española, la probabilidad de que sea una figura y una copa es: 0,0 B) 0,07 C) 0, F figura Hay figuras C copa Hay 0 copas F C figura y copa Hay cartas que son figuras y copa a la vez (sota, caballo y rey de copas) c. f Luego: F C) c. p 0 Por otro camino, utilizando la fórmula de probabilidad del suceso intersección, cuando no sabemos si son o no independientes: P ( F C) F ). C / F ) 0 0 Aunque no lo pida, hallar la probabilidad de sacar una figura o una copa utilizando la fórmula: F C) F ) + C) F C) º Junio 999 Tarde ) Una urna contiene bolas rojas, blancas y negras. Se extraen simultáneamente dos bolas de la urna. La probabilidad P de que sean negras verifica: (Es el mismo de Jun 9 tarde en el que se han cambiado los items) 0, < P < 0, B) 0, < P < 0,7 C) P 0,8 V (,). c. f (). 0 ( ) P P n 0'ˆ c. p 0 V (0,) ) 7º Junio 000 Tarde º Junio 997 tarde (ya resuelto) º Junio 00 Mañana ) De una urna con bolas rojas, negras y 7 blancas, se extraen bolas simultáneamente. La probabilidad de que las tres bolas sean blancas es:

12 7 8 B) C) 7 D) 7 cf las tres bolas sean blancas) cp C( 7, ) C(, No han salido ejercicios de probabilidad en 00, 00 ni en 007. Este tema se complementa con la colección de ejercicios resueltos que se adjunta a continuación. * Este tema ha sido pasado a soporte informático por los alumnos José Miguel Sánchez y Jesús Ramil, basándose en el libro Matemáticas Especiales, de E. Bujalance y otros, editado por la editorial Sanz y Torres y en las explicaciones dadas en las tutorías presenciales, por el profesor tutor del Centro de la Uned Alzira-Valencia Francisco Tomás y Valiente, José Luis Lombillo, que los ha corregido, completado y ampliado.

13 Problemas de probabilidad (Tema º).- Se extrae una carta de una baraja de 0. Hallar la probabilidad de extraer un AS o una espada. A sacar AS E sacar Espadas CF CP E) 0 A E) 0 Sacar AS de Espadas Luego la Probabilidad pedida es: P ( A E) + E) A E) 0 - Se lanzan dados al aire. Hallar la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea menor que. {, }{,, }{,, } " menor " " menor ") VR(, ) - Una urna contiene bolas blancas y negras. Cuál es la probabilidad de que al extraer dos bolas al azar sean ambas blancas? a) Consideremos al extracción simultánea de las dos bolas V (, ) C(, ) ) P ( B) C(, ) V (, ) ). 0 0 b) Supongamos que extraemos una detrás de otra Sea A la primera extraída es blanca Sea A la segunda extraída es blanca Nos piden A A ) Utilizando la fórmula para sucesos dependientes (puesto que cuando se saca la segunda bola, queda una menos dentro) P ( A A ) A ). A / A ). 0 0

14 Como se ve es el mismo resultado, lo que pone de manifiesto que en este tipo de problemas, es indiferente considerar que las extraemos simultáneamente o una y después otra, sin reemplazo..-se lanzan al aire monedas. Hallar la probabilidad de que salga al menos una cara. C salir cara + salir cruz A salir al menos una cara E salir todo cruces P ( E) ) Nota: En todos los ejercicios en que se pide la probabilidad de obtener al menos uno, se suelen resolver pasando al suceso contrario, no obtener ninguno, que suele ser más fácil de calcular y luego aplicar la fórmula: A ).- De una baraja de 0 cartas se extrae un paquete de cartas. Cuál es la probabilidad de que ese paquete contenga ases?. Y de que contenga al menos dos ASES?. a) Que contenga dos ases Sea A el paquete contenga ases Ases no ases. 80 0' b) Que contenga al menos dos ases A salir dos ases A salir tres ases A salir cuatro ases Los tres sucesos son incompatibles, luego: A A A ) A ) + A ' ' ' ' ) + A ).- Se propone en una clase a tres alumnos la resolución de un problema. Se estima de que la probabilidad de que lo º es /, / de que lo resuelva el º y / de que lo haga el º. Cuál es la probabilidad de que lo resuelva alguno de los tres? Sea A lo resuelva el º Sea A lo resuelva el º

15 Sea A lo resuelva el º a) Una primera forma de resolverlo, aunque demasiado larga y compleja, es la siguiente: Nos piden A A A ) Usaremos la siguiente fórmula que es la correspondiente a probabilidad de la unión de tres conjuntos: A A A )A )+A )+A ) A A ) A A ) A A )-A A A ) A A A )A )+A )+A ) A A ) A A ) A A )-A A A ) b) Mejor se resuelve utilizando el suceso contrario. Si llamamos A Lo resuelva alguno de los tres Lo resuelva al menos uno El suceso contrario es A Que no lo resuelva ninguno ' ' ' A A A A Luego: ' ' ' ' ' ' ' A ) P A A A A ) A ) A ) ( ) 7.- En una urna hay 00 bolas blancas, 00 negras y 00 rojas. a) Qué probabilidad hay de sacar en ensayos con reemplazamiento una de cada color? b) Y sin reemplazamiento? A sacar una bola blanca A sacar una bola negra A sacar una bola roja a) Con reemplazamiento (es decir, la bola extraída se devuelve a la urna) A A A ) A ) A ) A ) Pero esta es la probabilidad de que la primera sea blanca, la segunda negra y la tercera roja, pero pueden darse otros órdenes en la extracción de las bolas, hasta un total de ( P ( )!. ), cada uno con la misma probabilidad. Por ello la probabilidad pedida será: b) Si no hay reemplazamiento, los sucesos son dependientes, luego: ( ) ( ) A A P A A A P A P P 0' 0797 A A A Al igual que antes, habrá que multiplicar por, el número de órdenes posibles: 0 ' ' será la probabilidad pedida. 8.- Una urna contiene bolas blancas, rojas y 7 negras. Si se extraen tres al azar, determinar la probabilidad de las siguientes: a) Las tres bolas sean negras

16 b) Las tres bolas sean rojas c) Dos bolas sean rojas y una negra d) Al menos una sea roja e) Extraer una de cada color a) Las tres sean negras N las tres bolas negras 7 V ( 7, N ) V (, b) Las tres sean rojas R las tres bolas rojas V (, R) V (, c) Dos rojas y una negra C dos rojas y una negra C) V ( ) V ( 7, ) ) ) V (, d)al menos una sea roja A al menos una sea roja A ninguna sea roja V ( ' A ) V (, ' 7 A ) f) Una de cada color A sacar una bola blanca A sacar una bola negra A sacar una bola roja 7 A A A ) Cómo pueden salir en órdenes distintos ( P ( )! )

17 La probabilidad final será: 9.-Se estima que cada 00 hombres y 0 de cada mujeres son daltónicos, se elige una persona daltónica al azar. Cuál es la probabilidad de que dicha persona sea hombre? (Se supone que hay mismo número de hombres que de mujeres). (Este tipo de problema, es un problema típico de Bayes y no entra en examen, que se resuelve con la Fórmula de Bayes que figura más abajo) A ser hombre A ser mujer B Una persona daltónica P A P ( ) ( A ) P B A P A B P ( P P P ( B A B A P + P B A ( A ) P B A