REGLAS DE PROBABILIDAD

Transcripción

1 Capítulo 4 Probabilidad REGLAS DE PROBABILIDAD 4.1-1

2 Evento Compuesto Un evento compuesto es cualquier evento que combina 2 o más eventos simples. Ejemplo: Al lanzar un dado justo de 6 caras, cuál es la probabilidad de obtener un 2 o un 5? Notación P(A U B) = probabilidad de que, en una sóla repetición de un experimento, ocurre el evento A o el evento B o ambos

3 P(A B) Un resultado está en el evento A B si el resultado está en A o en B o en ambos. Por ejemplo, Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8}. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Note que el 4 y 5 no aparecen dos veces

4 Eventos mutuamente excluyentes Dos eventos son disjuntos o mutuamente excluyentes si no tienen resultados en común. Eventos mutuamente excluyentes son eventos que no pueden ocurrir a la misma vez

5 Ejemplo Se realiza un experimento en el cual el espacio muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Sea E = {2, 4, 5, 7}, F = { 6, 7, 9, 12} y G = {2, 3, 4} Son los eventos E y F mutuamente excluyentes? Son los eventos F y G mutuamente excluyentes?

6 Ejemplo: Indicar si los siguientes eventos son mutuamente excluyentes o no. 1. Se lanzan dos dados. A = La suma de las caras es par. B = La suma de las caras es un número divisible entre 3 2. Se tiene una paquete de barajas americanas ( 52 cartas). A = sacar una Reina B = sacar una A 3. Se tiene una paquete de dulces de chocolate M&M que contiene dulces de color rojo, azul, amarillo, verde, anaranjado y marrón. A = sacar un dulce rojo B = sacar un dulce azul

7 Regla de suma para eventos mutuamente excluyentes Si E y F son eventos mutuamente excluyentes, entonces P E o F = P E + P(F). Esto también se puede escribir: P E F = P E + P(F) La regla de suma para eventos disyuntos se puede extender para más de dos eventos. En general, si E,F,G son eventos mutuamente excluyentes, entonces P E ó F ó G ó = P E + P(F) +P G + P E F G = P E + P(F) +P G Pearson Prentice Hall. All rights reserved

8 EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos Número de habitaciones en una unidad de vivienda Probabilidad Una 0.01 Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho o más 0.08 El modelo de probabilidad de la derecha muestra la distribución del número de habitaciones en unidades de vivienda en los Estados Unidos. (a) Cuál es la probabilidad de que una unidad de vivienda seleccionada al azar tenga dos o tres habitaciones? P(dos ó tres) 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

9 EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos (cont.) Número de habitaciones en una unidad de vivienda Probabilidad Una 0.01 Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho o más 0.08 (b) Cuál es la probabilidad de que una unidad de vivienda seleccionada al azar tenga a lo más tres habitaciones? P(una ó dos ó tres)

10 EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos (cont.) Número de habitaciones en una unidad de vivienda Probabilidad Una 0.01 Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho o más 0.08 (c) Cuál es la probabilidad de que una unidad de vivienda seleccionada al azar tenga al menos siete habitaciones? P(siete ó ocho ó 9 o más) =

11 EJEMPLO (continuación) La siguiente tabla resume los grupos sanguíneos y tipos de Rh para 100 personas típicas. Estos valores pueden variar en diferentes regiones de acuerdo al origen étnico de la población. (a) Si una persona es seleccionada al azar, encontrar la probabilidad de elegir a alguien que es del grupo A o B. A = Persona es del grupo A B = Persona es de tipo B

12 EJEMPLO (continuación) La siguiente tabla resume los grupos sanguíneos y tipos de Rh para 100 personas típicas. Estos valores pueden variar en diferentes regiones de acuerdo al origen étnico de la población. (b) Si una persona es seleccionada al azar, encontrar la probabilidad de elegir a alguien que es de tipo Rh -. E = Persona es de tipo Rh

13 Eventos complementarios Sea S el espacio muestral de un experimento probabilístico. Sea E un evento. El complemento de E, que se denota E c o E, es el evento que contiene todos los resultados del espacio muestral que no están en E. El evento E ocurre si E no ocurre. La unión de dos eventos complementarios da el espacio muestral. El evento E y el evento E son mutuamente excluyentes

14 Regla de los Complementos Si E representa un evento y E C representa el complemento de E, entonces P(E) + P(E C ) = 1 P(E C ) = 1 P(E) y P(E) = 1 P(E C )

15 EJEMPLO Construya el complemento de E (a) E: Obtener un múltiplo de 5 al tirar un dado justo de 6 caras " (b) E: Escoger, al azar, una canica azul de una bolsa que contiene canicas azules, verdes y rojos." (c) E: Al girar la ruleta, se detiene en un número par

16 EJEMPLO Cuál es la probabilidad de que la ruleta elija un color diferente al verde? Solución: E = Elegir un color diferente al verde. E c = Elegir el color verde. P(E ) = 1 - P(E c )

17 EJEMPLO Ilustrar la Regla del Complemento Según la Asociación Americana de Medicina Veterinaria, el 31.6% de los hogares estadounidenses poseen un perro. Cuál es la probabilidad de que un hogar seleccionado al azar no es propietaria de un perro? Solución:

18 Eventos dependientes e independientes Dos eventos E y F son independientes si la ocurrencia del evento E en un experimento de probabilidad no afecta a la probabilidad de que ocurra el evento F. Dos sucesos son dependientes si la ocurrencia del evento E en un experimento de probabilidad afecta a la probabilidad de que ocurra el evento F

19 EJEMPLO Independiente o No? (a) Se elige una carta de una baraja de 52 cartas y luego se tira un dado. E: Elegir un corazón" F: Tirar un número par" (b) Se elije un estudiante al azar de cada una de dos secciones de Historia para viajar a Washington, D.C. E: Elegir un estudiante de la primera sección." F: " Elegir un estudiante de la segunda sección " (c) Una caja contiene 4 canicas rojas y 3 canicas verdes. Se remueve una primera canica de la caja y no se remplaza. Se remueve una segunda canica. E: Elegir una canica roja la primer vez." F: Elegir una canica verde la segunda vez."

20 Regla de multiplicación para eventos independientes Si E y F son eventos independientes, entonces P E y F = P E P(F). Esto también se puede escribir: P E F = P E P(F) La regla de la multiplicación para eventos independientes se puede extender para n eventos. En general, si E,F,G son eventos independientes, entonces P E y F y G y = P E P(F) P G P E F G = P E P(F) P G

21 EJEMPLO Computar Probabilidad para Eventos Independientes Un fabricante de equipo de ejercicio sabe que el 10% de sus productos son defectuosos. También sabe que, en realidad, sólo el 30% de sus clientes utilizan el equipo en el primer año después de su adquisición. Si hay una garantía de un año sobre el equipo, cuál es la probabilidad de que un cliente hará un reclamación válida? E: Equipo sale defectuoso. F: El equipo se usa durante del año de comprado. Asumiremos que E y F son independientes

22 EJEMPLO Computar Probabilidad para Eventos Independientes La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad, que se selecciona al azar, sobreviva el año es de %, según el Informe Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28. Cuál es la probabilidad de que dos mujeres de 60 años de edad seleccionadas al azar sobrevivan el año? Solución:

23 EJEMPLO Computar probabilidades que contienen la frase al menos La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad, seleccionada al azar, va a sobrevivir el año es de %, según el Informe Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28. Cuál es la probabilidad de que al menos una de las 500 mujeres de 60 años, seleccionadas al azar, muera en el transcurso del año? Solución:

24 Regla general de suma La probabilidad de que ocurra un evento E ó un evento F P E o F = P E + P(F) P( E y F) Note que cuando E y F son mutuamente excluyentes, P( E y F)=0 y tenemos la primera regla de la suma que estudiamos

25 EJEMPLO Illustrar la regla general de la suma Suponer que se lanzan un par de dados. Sea E = la cara superior del primer dado es 2 y F = la suma de las caras de los dados es menor o igual a 5 Determinar P(E o F) = Utiizando la el método clásico de calcular probabilidad

26 EJEMPLO Illustrar la regla general de la suma (cont.) Suponer que se lanzan un par de dados. Sea E = la cara superior del primer dado muestra 2 puntos y F = la suma de las caras de los dados es menor o igual a 5 Determinar P(E ó F) (2) Utilizando la regla general de la suma de probabilidades

27 EJEMPLO Computar probabilidades de eventos compuestos Una carta es elegida al azar de un juego de baraja de 52 cartas. Se devuelve la carta y luego se elige una segunda tarjeta. Cuál es la probabilidad de elegir una J ó un diamante? Solución: P( J ó )? Los eventos NO son mutuamente excluyentes

28 Probabilidad condicional La probabilidad condicional : se denota P(F E) y se lee la probabilidad de un evento F dado el evento E. Es la probabilidad de que un event F ocurra dado que el evento E haya ocurrido

29 EJEMPLO Probabilidad Condicional Supongamos que se tira un dado de seis caras pero se nos dice que el resultado será un número par. Cuál es la probabilidad de que salga un 4?

30 EJEMPLO Probabilidad Condicional Supongamos que eligen dos canicas de una urna que contiene canicas 20 canicas verdes y 14 canicas rojas. Cuál es la probabilidad de elegir una canica roja la segunda vez, si la primera vez se eligió una canica verde y no se devolvió?

31 Regla para eventos dependientes Si E y F son dos eventos dependientes P EyF = P E P F E Si E y F son dos eventos P F E = N(EyF) N(E) = P(EyF) P(E)

32 EJEMPLO Probabilidad Condicional Ejemplo: En una muestra de 1000 personas, 120 son zurdas. Dos personas aleatorias se seleccionan al azar y sin reemplazo. Encuentre la probabilidad de que ambas personas sean zurdas. Solución:

33 EJEMPLO Probabilidad Condicional Una encuesta fue realizada por la Organización Gallup en el 2008 en la que se preguntó a 1,017 adultos estadounidenses, cuál de tres afirmaciones se acercaba más a su creencia acerca de Dios. Los resultados de la encuesta, según la región del país, se dan en la siguiente tabla. (a) Cuál es la probabilidad de que un adulto estadounidense seleccionado al azar cree en Dios si vive en el Este? Cree en Dios Cree en un espíritu universal No cree en Dios ni en un espíritu universal Este Norte Central Sur Oeste P F E = N(EyF) N(E) = P(EyF) P(E)

34 EJEMPLO Probabilidad Condicional (continuación) Una encuesta fue realizada por la Organización Gallup en el 2008 en la que se preguntó a 1,017 adultos estadounidenses, cuál de tres afirmaciones se acercaba más a su creencia acerca de Dios. Los resultados de la encuesta, según la región del país, se dan en la siguiente tabla. b) Cuál es la probabilidad de que un adulto estadounidense seleccionado al azar viva en el Este si cree en Dios? Cree en Dios Cree en un espíritu universal No cree en Dios ni en un espíritu universal Este Norte Central Sur Oeste P F E = N(EyF) N(E) = P(EyF) P(E)

35 Arboles de probabilidades Un árbol de probabilidades es una herramienta para determinar la probabilidad de tomar una serie de decisiones cuando cada decisión es independiente de la otra. Al moverse por una misma rama, las probabilidades se multiplican. Si se consideran opciones en ramas diferentes, las probabilidades se suman

36 EJEMPLO Probabilidad Condicional Ejemplo: En una muestra de 1000 personas, 120 son zurdos. Dos personas aleatorias se seleccionan al azar y sin reemplazo. Encuentre la probabilidad de que al menos una de las dos personas sea zurda. Solución: Usando árbol de probabilidades

37 Arboles de probabilidades Tenemos dos urnas A y B. En la urna A hay 4 bolas azules, 3 rojas y 3 verdes y en la urna B hay 5 bolas azules, 2 rojas y 3 verdes. Lanzamos una moneda. Si sale cara acudimos a la urna A y si sale cruz acudimos a la urna B. Construya un árbol de probabilidades para esta situación

38 Use el árbol de decisiones para calcular la probabilidad de obtener: a) cara y bola roja b) bola azul c) bola no-azul Arboles de probabilidades (cont.)