TEMA1- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD FUNDAMENTALES.

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1 TEMA- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD FUNDAMENTALES. Tras haber asiilado los teas ateriores sobre teoría de la probabilidad (coteidos de Estadística Epresarial I) se debe estudiar los odelos ás "oportuos". Esta oportuidad se debe a las hipótesis de feóeos reales de iterés y a las distribucioes de estadísticos (que se geerará e el uestreo). Por su eore variedad u estudio detallado de todos los odelos usados sería deasiado aplio y requeriría ucho ás tiepo del dispoible..0.-repaso DE MODELOS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Se diferecia etre distribució bioial (,p) y distribució bioial (,p). Distribució Bioial (;p) o Distribució de Berouilli. Ejeplo. La distribució B(;p) es la distribució de probabilidad discreta de los feóeos aleatorios deoiados dicotóicos coo lazar ua oeda (iteresa el úero de caras obteidas e ese lazaieto) o coo observar si u aluo supera ua asigatura (iteresa el úero de aprobados para este caso úico o idividual). Hipótesis. Feóeo dicotóico (sólo dos sucesos posibles icopatibles y excluyetes) se puede cocretar e dos sucesos, S y S * ; icopatibles, S S * = ; y cuya uió es el espacio uestral S U S * = E ya que abarca todas las posibilidades. Costrucció. E el odelo, u suceso (elegido arbitrariaete), por ejeplo S, se deoia suceso favorable o suceso éxito, se le asiga valor (uo) e la variable aletoria (al otro suceso que es el copleetario copleetario se le asiga valor 0) y probabilidad p (al copleetario probabilidad q co q=-p): ξ = 0 si ocurres P( ξ = ) = p co. si o ocurres P( ξ = 0) = q = p

2 Se dice, etoces, que ua variate ξ tiee distribució de probabilidad bioial x x (;p) si su fució de cuatía es: P( ξ = x) = p q co x = 0,. Esto sigifica que P (ξ = ) = p y P( ξ = 0) = q = p. La esperaza de ua variate ξ co distribució bioial (;p) es: E(ξ)= µ = p. La variaza de ua variate ξ co distribució bioial (;p) es: V(ξ) = σ = pq. Este odelo uiparaétrico (u solo paráetro que es p) se fija al evaluar el valor de p y es uy útil dada la gra catidad de feóeos dicotóicos existetes y la posibilidad de obteer uevos odelos e base a este tipo de feóeos. EJEMPLO. Se deuestra coo ejeplo la esperaza y la variaza de la distribució bioial (;p): E( ξ) = x i P( ξ = x i ) = p + 0 q = p i V( ξ) = E( ξ ) E( ξ) = x P( ξ = x ) E( ξ ) = p p = p( p) = pq. i EJEMPLO. Si e ua ura hay 0 bolas blacas y 80 rojas, y se extrae ua bola al azar, los dos úicos sucesos posibles so S = Salir bola blaca y S = Salir bola roja. Se verifica que P(S ) = 0, y P(S ) = 0,8 La variable aleatoria ξ = 0 si sale blaca si o sale blaca sigue ua distribució bioial(;0,) o B(;0,). Su esperaza y su variaza se calcula fácilete E( ξ ) = p = 0, y V ( ξ) = pq = 0, 0,8 = 0,6. Distribució bioial (;p). Ejeplo. La distribució B(,p) es la distribució de probabilidad discreta que agrupa o sua feóeos aleatorios dicotóicos idepedietes e iguales coo lazar diez veces ua oeda (iteresa el úero de caras obteidas e los diez lazaietos)

3 o coo observar cuátos aluos de u grupo supera ua asigatura (iteresa el úero de aprobados e el grupo). Hipótesis. Si se repite veces u iso experieto aleatorio dicotóico, siedo las repeticioes idepedietes y co la isa probabilidad asigada al suceso éxito, etoces, la variable aleatoria ξ que represeta el úero de veces que sale el suceso deoiado favorable o éxito sigue ua distribució de probabilidad bioial(;p). Costrucció. La distribució bioial (;p) se obtiee coo sua de variables aleatorias idepedietes co distribució de probabilidad bioial(;p): ξ=ξ +ξ ξ tiee distribució de probabilidad bioial(;p) si ξ, ξ,..., ξ so variables aleatorias idepedietes e iguales co distribució bioial(;p). Coo cosecuecia de lo aterior, ua variable aleatoria ξ tiee distribució de probabilidad bioial (;p) si su fució de cuatía es: P( i i i ξ = i ) = p q para i = 0,,...,. Para evitar cálculos tediosos, los valores de las probabilidades está tabulados (hay tablas estadísticas co los valores de las probabilidades para diferetes cobiacioes de paráetros) y se puede obteer ediate secillos habituales prograas iforáticos (coo hojas de cálculo). La esperaza de ua variate ξ co distribució bioial (;p) es: E(ξ)= µ = p. pq. La variaza de ua variate ξ co distribució bioial (;p) es: V(ξ) = σ = EJEMPLO. Se deuestra coo ejeplo la esperaza y la variaza de la distribució bioial (;p): E(ξ)=µ =E(ξ +ξ ξ )= E(ξ )+E(ξ )+...+E(ξ )= p V(ξ) = σ = V(ξ +ξ ξ )= V(ξ )+V(ξ )+...+V(ξ )= pq. EJEMPLO.

4 Se aaliza el feóeo úero de bolas blacas extraídas si se realiza 0 extraccioes co reeplazaieto de ua ura que cotiee 0 bolas blacas y 80 rojas. Se repite, por tato, el iso experieto = 0 veces. El suceso que llaaos favorable es S = Salir bola blaca co probabilidad p = 0, = P(S ). La variable aleatoria ξ = Nº de bolas blacas de las 0 extraccioes puede toar co probabilidad diferete a cero sólo los valores i=0,,,...,0 y tiee distribució de probabilidad bioial(0;0,) o B(0;0,), co fució de cuatía: P( 0 i i 0 i ξ = i ) = 0, 0,8, i =,, 3,...,0. La probabilidad, por ejeplo, de extraer exactaete 3 bolas blacas (o igualete isa situació, exactaete 7 bolas egras) será: ! 3 7 P ( ξ = 3) = 0, 0,8 = 0, 0,8 = 0, !7! Su esperaza y su variaza se calcula fácilete E( ξ ) = p = 0 0, = y V ( ξ) = p q = 0 0, 0,8 =,6. Este odelo biparaétrico (dos paráetros y p) se fija al evaluar el valor de los paráetros y es uy útil porque costruye ua variable cotador de sucesos éxito sobre u grupo de feóeos dicotóicos repetidos idepedieteete. La distribució bioial (;p) tiee la propiedad aditiva o reproductiva e el paráetro p, esto es, la sua de variables aleatorias idepedietes co distribució bioial ( i ;p) tabié tiee ua distribució bioial (iso coú paráetro p, sua de los diferete paráetros i ).

5 .0..- DISTRIBUCIÓN POISSON. Ejeplo. La distribució Poisso () o Ley de los Casos Raros es ua distribució de probabilidad discreta que puede agrupar uchos (ifiitos e teoría) feóeos aleatorios dicotóicos idepedietes e iguales pero co probabilidad del suceso relevate o éxito uy pequeña, coo observar cuátos aluos de u grupo uy uy grade obtiee Matrícula de Hoor co áxia calificació e ua asigatura difícil (iteresa el úero de Matrículas de Hoor e este ueroso grupo). Hipótesis. Se puede deteriar esta distribució de Poisso (tabié deoiada de los casos raros) coo líite de la distribució bioial (;p) si se platea (partiedo de la distribució bioial co sus hipótesis correspodietes) que el úero de repeticioes del suceso dicotóico tiede a ifiito (a ivel práctico u operativo ás de 00), la probabilidad del suceso éxito tiede a cero (a ivel práctico u operativo eos de 0,05) y el producto de úero de repeticioes por probabilidad del suceso éxito es u valor real (a ivel práctico u operativo eor de 0). Costrucció. Así plateada, la distribució Poisso de paráetro se obtiee coo sua de (co ) variables aleatorias idepedietes co distribució de probabilidad bioial (;p0) y siedo p valor real: ξ=ξ +ξ ξ tiee distribució de probabilidad Poisso de paráetro = p si ξ, ξ,..., ξ so variables aleatorias idepedietes co distribució bioial(;p0). Coo cosecuecia de lo aterior, ua variable aleatoria ξ tiee distribució de probabilidad Poisso de paráetro si su fució de cuatía es: λ i e λ P( ξ = i) =, para i = 0,,...,. i! Auque e teoría e la distribució de probabilidad de Poisso la variate puede toar (co probabilidad o cero) cualquier valor atural ás el cero (uca valores egativos o o eteros), la fora de la fució de cuatía idica que las probabilidades de que la variable toe valores cada vez ayores decrece rápidaete. Esto cofira la tipología de feóeos que se adapta o so represetados por este odelo: feóeos co sucesos que au siedo posibles so uy poco probables, el feóeo se tiee que repetir uchas veces para que se presete (sucesos raros coo siiestros, defectos e producció e serie, partos últiples, etc.).

6 Para evitar cálculos tediosos, los valores de las probabilidades está tabulados (hay tablas estadísticas co los valores de las probabilidades para diferetes valores del paráetro) y se puede obteer ediate secillos habituales prograas iforáticos (coo hojas de cálculo). La esperaza de ua variate ξ co distribució Poisso () es: E(ξ)= µ =. La variaza de ua variate ξ co distribució Poisso () es: V(ξ) = σ =. A veces, esta coicidecia etre valor de esperaza y variaza puede ser u idicio ate u problea para recoocer u distribució de Poisso. EJERCICIO. El ecargado de ua cadea de otaje sospecha que la probabilidad de que u día salga r (r=0,,,3,) artículos defectuosos sigue ua distribució co esperaza y variaza igual a cuatro, ya que la probabilidad de que u artículo sea defectuoso es 0004 y diariaete se produce.000 uidades. Bajo qué hipótesis se justificaría la sospecha del ecargado?. Probabilidad de que e u deteriado día o haya artículos producidos defectuosos. Podría cocluirse que se puede odelar co la ley de Poisso si se adite: que cada eleeto o artículo producido respecto a teer defecto es u feóeo dicotóico (co sólo dos sucesos icopatible y disjutos); si se platea la agrupació de todos los artículos producidos e el día y se cueta los artículos defectuosos co ua B(,p) porque se supoe sua, idepedecia e igual distribució de la variate dicotóica agregada; y, fialete, si se adite que la producció diaria es suficieteete grade, que la probabilidad de que u artículo sea defectuoso es suficieteete pequeña y el producto de uero por probabilidad es estable se llega a la ley de Poisso. 4 i e 4 Co = p=000 0,4=4 se tiee P( ξ = i) =, para i = 0,,..., y i! 4 0 e 4 P( ξ = 0) = =0, ! EJERCICIO PROPUESTO. Se cotrata u seguro de vida para cada uo de los deportistas federados de ua regió. Es razoable esperar que la probabilidad de que cualquiera

7 de estos deportistas fallezca es el 0,00% para u año. Deteriar el úero de ideizacioes por uerte durate el año que previsibleete tedrá que satisfacer la copañía de seguros y la probabilidad de que se produzca dos o eos falleciietos e el año. EJERCICIO PROPUESTO. El resposable de uos ulticies sabe que el 0'5% de los espectadores pasa si etrada. Si se revisa al azar a 000 espectadores, cuál es la probabilidad de que ás de tres haya pasado si etrada?. Si por fallos e la seguridad el 0% pasa si etrada, toado a 000 espectadores, cuál es la probabilidad de que eos de oveta haya pasado si etrada?. Este odelo uiparaétrico (u paráetro ) proporcioa ua variable cotador de casos raros: sucesos éxito uy poco probables o de uy baja posibilidad de acaeciieto sobre u grupo uy grade de feóeos dicotóicos repetidos idepedieteete. La distribució Poisso tiee la propiedad aditiva o reproductiva, esto es, la sua de variables aleatorias idepedietes co distribució Poisso de paráetro i tabié tiee ua distribució Poisso de paráetro (sua de los diferete paráetros = k ). EJERCICIO PROPUESTO. U deteriado país está iteresado e aalizar el problea ecológico que supoe el vertido de la carga de los petroleros. Tras estudiar los ifores técicos dispoibles acepta las siguietes dos coclusioes. Priera, aualete 000 petroleros de doble casco realiza trayectos co carga y la probabilidad de vertido se estia e Seguda, aualete u úero uy alto (pero descoocido) de petroleros oocasco realiza trayectos co carga y la probabilidad de siiestro o se ha calculado, si se sabe que al año hay, por tério edio, accidetes..- Presetar y justificar u odelo que represete el úero de vertidos auales de buques de doble casco. Hallar el úero esperado de vertidos auales y la probabilidad de que o se produzca igú vertido e u año.

8 .- Presetar y justificar u odelo que represete el úero de vertidos auales de buques oocasco. Hallar la probabilidad de que o se produzca igú vertido e u año y la probabilidad de que se produzca eos de cico vertidos. 3.- Presetar y justificar u odelo que represete el úero de vertidos auales de petroleros (tato oocasco coo de doble casco). Hallar el úero esperado de vertidos auales y la probabilidad de que se produzca ás de diez vertidos e u año.

9 DISTRIBUCIÓN UNIFORME. Ejeplo. La distribució Uifore (a,b) o U(a,b) es ua distribució de probabilidad cotiua que puede represetar a feóeos aleatorios sobre los que existe poca iforació y que preseta líites etre sus posibles valores, coo vetas de copoetes e ua seaa, sabiedo sólo que el úero de vetas oscilará etre y uidades o coo se eplea e la siulació por ordeador de los valores de ua variate co ua distribució deteriada. Hipótesis. La distribució uifore surge a ivel ás operativo cuado se cosidera ua variable aleatoria co ifiitos o uchísios valores iteredios, que toa valores e u itervalo fiito deliitado y de aera equiposible o equiprobable. Costrucció. Se dice que ua variable aleatoria cotiua ξ tiee distribució de probabilidad uifore e el itervalo [a,b] co -<a<b<+ si su fució de desidad viee dada por: si a x b f ( x) = b a. 0 resto EJERCICIO PROPUESTO. Deostrar que la fució aterior es fució de desidad. Se cita a cotiuació alguas características relevates.. Su fució de distribució es: 0 si x < a x a F( x) = si a x b. b a si x > b. Su esperaza es: a + b E( ξ ) =. ( ) b a 3. Su variaza es: V ( ξ ) =. Evideteete, al ser ua distribució cotiua todas las probabilidades putuales o P(ξ = x) so cero dado que las probabilidades se busca e los itervalos.

10 No preseta la U(a,b) la propiedad aditiva. EJERCICIO PROPUESTO. Deostrar estas características. EJERCICIO. Se cosidera u itervalo dode ua variate se distribuye uiforeete co esperaza igual a ocho y variaza igual a ueve. Hallar fució de desidad y la probabilidad de que la variate toe valores ayores a ueve. Se ecesita coocer la fució de desidad, para ello se aprovecha la iforació sobre valores de la esperaza y de la variaza. a + b E( ξ ) = = 8 y V ( ξ ) = ( b a) = 9 => a=,804 y b=3,96. La fució de desidad es f ( x) = 0,39 0 resto si,804 x 3,96 La probabilidad es 3, 96 P( ξ > 9) = f ( x) dx = dx =0, ,

11 ..- MODELO NORMAL. La distribució oral es el odelo ás iportate por ser la que ejor se ajusta a uchos feóeos reales, por ser buea aproxiació (otros odelos bajo ciertas codicioes sigue u coportaieto oral y la agrupació o sua de uchos feóeos o sigificativos e el cojuto e idepedietes tabié) y por ser base de distribucioes e el uestreo iprescidibles para la iferecia estadística. Es por esto que aparece la distribució oral e todos los capos de las ciecias epíricas. Para ua ás fácil copresió de este odelo se epieza estudiado u caso particular (la oral reducida) para, después, cotiuar co la oral geeral. Distribució Noral (0;) o oral reducida o oral tipificada. Hipótesis. Se dice que ua variable aleatoria cotiua ξ tiee distribució de probabilidad oral co edia 0 y desviació típica o N(0,) si su fució de desidad viee dada por: f ( x ) = e π x co -<x<+. Características. La fució de desidad se represeta gráficaete dado lugar a lo que se cooce coo capaa de Gauss: f(x)

12 A partir de la fució de desidad se deuestra iteresates propiedades que perite eteder ejor la distribució oral reducida:. La fució de desidad es siétrica respecto al eje de ordeadas o recta x=0, esto es, f(-x)=f(x).. Media, ediaa y oda se ecuetra e el valor x=0. 3. Tiee ua asítota horizotal e y=0. 4. Alcaza u áxio absoluto e x=0 y es f ( x) =. π 5. Es creciete para x<0 y decreciete para x>0. 6. Los putos x=- y x=+ so putos de iflexió. 7. Mucha probabilidad e la zoa cetral: e [-,+] probabilidad de 0,955 y e [-3,+3] probabilidad de 0,997. Evideteete, al ser ua distribució cotiua todas las probabilidades putuales o P(ξ = x) so cero dado que las probabilidades se busca e los itervalos. Las probabilidades e itervalos de la recta real puede calcularse ediate la itegral defiida (área bajo la curva f), tal y coo se platea co cualquier variable aleatoria cotiua. Por ejeplo, P(ξ x) es el área a la izquierda del puto x, bajo la curva f(x) f(x) Area x 3 La fució de desidad o tiee priitiva y para calcular probabilidades se debería utilizar procediietos aproxiativos. Para facilitar la operatividad se dispoe de tablas que perite calcular probabilidades de variables aleatorias co distribució Noral(0;). Hay tablas que preseta las probabilidades acuuladas e la cola

13 izquierda respecto u puto x o P(ξ<x) y tablas que preseta las probabilidades acuuladas e la cola derecha respecto u puto x o P(ξ>x). Las tablas sólo da iforació de ua de las colas ya que los itervalos de cualquier otro tipo se puede trasforar para poder buscar e las tablas la probabilidad deseada (recurriedo a la sietría y al suceso copleetario). Otra posibilidad es obteer las probabilidades ediate secillos y habituales prograas iforáticos (coo hojas de cálculo). EJEMPLOS PARA PRACTICAR. P ( ξ 0,47 ) = 0,39 P ( ξ 0,54 ) = P( ξ 0,54 ) = 0,946 = P ( ξ,3 ) = P( ξ,3 ) = 0,9 0, 7054 P ( ξ 0, 73 ) = P( ξ 0, 73 ) = P( ξ 0, 73 ) = 0,37 = 0, 7673 P(,96 ξ,) = P( ξ,) P( ξ,96) = P( ξ,96) P( ξ,) = = ( 0,050 ) 0,070 = 0,958. Distribució Noral(µ;σ) o Noral Geeral. Hipótesis. Se dice que ua variable aleatoria cotiua ξ tiee distribució de probabilidad oral co edia µ y desviació típica σ, si su fució de desidad viee dada por: f ( x ) ( x µ ) σ = e co -<x<+. σ π Dada ua ξ*=n(0,), se dice que ua variable aleatoria cotiua ξ tiee distribució de probabilidad oral co edia µ y desviació típica σ, ξ=n(µ,σ) si se obtiee coo ξ=σ ξ*+µ, es decir, N(µ,σ)=σ N(0,)+µ. Características. La represetació gráfica de esta fució de desidad es:

14 f(x) µ-σ µ µ+σ A partir de la fució de desidad se deuestra iteresates propiedades que perite eteder ejor la distribució oral geeral:. La fució de desidad es siétrica respecto al eje de ordeadas o recta x=µ, esto es, f(µ-x)=f(µ+x).. Media, ediaa y oda se ecuetra e el valor x=µ. 3. Tiee ua asítota horizotal e y=0. 4. Alcaza u áxio absoluto e x=µ y es f ( x) =. σ π 5. Es creciete para x<µ y decreciete para x>µ. 6. Los putos x=µ-σ y x=µ+σ so putos de iflexió. 7. Mucha probabilidad e la zoa cetral: e [µ-σ,µ+σ] probabilidad de 0,955 y e [µ-3σ,µ+3σ] probabilidad de 0,997. Evideteete, al ser ua distribució cotiua todas las probabilidades putuales o P(ξ = x) so cero dado que las probabilidades se busca e los itervalos. Las probabilidades de itervalos correspode, coo se ha expuesto ates, a áreas bajo la curva fució de desidad. Para calcular estas probabilidades os podeos ayudar de las tablas de la distribució Noral(0;) ya que cualquier variable aleatoria oral ξ se puede trasforar e otra oral co edia 0 y desviació típica, si ás que x µ tipificar ediate la relació P ( ξ < x) = P( σξ * + µ < x) = P( ξ* < ). σ EJEMPLO.

15 La duració aleatoria ξ de u deteriado copoete eléctrico sigue ua distribució oral de edia.000 horas y desviació típica 00 horas. Se calcula la probabilidad de que u copoete eléctrico elegido al azar dure etre.000 y.350 horas. ξ es ua variable aleatoria Noral(.000;00). La variable aleatoria tipificada que tiee distribució Noral(0;), a partir de la cual se puede buscar las.000 probabilidades e tablas de la oral es: ξ * = ξ. 00 La probabilidad que se busca resulta: ξ P(.000 ξ.350 ) = P( ) = P (0 ξ * 3,5 ) = P( ξ* 0 ) P( ξ* 3,5 ) = 0,5 0,000 = 0,4998. La distribució Noral tiee la propiedad aditiva o reproductiva para cobiacioes lieales, esto es, la cobiació lieal de variables aleatorias idepedietes co distribució Noral tabié tiee ua distribució Noral. EJERCICIO PROPUESTO. Obteer los paráetros resultates de aplicar la propiedad reproductiva del odelo Noral. T.C.L. Teorea Cetral del Líite. Para teriar co los coceptos relacioados co la distribució Noral se tratará u aspecto de la covergecia de variables aleatorias. U estudio profudo es de gra coplejidad ateática y o se correspode co los fies que se pretede. Sipleete se destacará la iportacia del coportaieto asitótico de la variable edia aritética: si la covergecia es e probabilidad se llega a ua ley débil, si la covergecia es casi segura se llega a ua ley fuerte y si la covergecia es e distribució hacia la oral se llega a los teoreas cetrales del líite que será el objeto de este apartado.

16 Coo se dijo, u aspecto destacable del odelo Noral cosiste e que es distribució líite de ultitud de sucesioes de variables aleatorias, discretas y cotiuas. Esto se deuestra a través del teorea cetral del líite, que de aera ituitiva y operativa se puede describir de la siguiete fora: Si teeos ua sucesió de variables aleatorias idepedietes (que se orgaiza coo ua sua de uerosas variables aleatorias), co la isa distribució y, co edia y variaza fiitas, la edia aritética de ellas (o la sua de las variates) coverge a ua variable aleatoria co distribució oral. Por ello, el teorea cetral de líite justifica que e deteriadas codicioes suas de variables aleatorias sigue ua distribució aproxiadaete oral. Sea ξ,...ξ, variables aleatorias idepedietes igualete distribuidas co edia E(ξ j ) y variaza V(ξ j ) fiita, si 50 se puede escribir la variate sua S coo P( S x) = P( ξ ξ x) P( N( µ, σ ) x) siedo E(S)=E(ξ +ξ ξ )= E(ξ )+E(ξ )+...+E(ξ )= E(ξ j )=µ V(S)=V(ξ +ξ ξ )= V(ξ )+V(ξ )+...+V(ξ )= V(ξ j )= σ. Si ξ B(, p) => S B(, p) B(, p) N( p, pq), j j = si ξ Poisso λ => S Poisso λ N( λ, λ ), j ( ) si a + b b a ξ (, ) =>????, j U a b S N. EJERCICIO PROPUESTO. Razoar que, siguiedo las ideas expuestas, para cualquier població co edia fiita µ y desviació típica σ, las distribucioes uestrales de la sua uestral y de la edia uestral so aproxiadaete orales si el taaño de la uestra es suficieteete grade. EJERCICIO PROPUESTO. Se laza u dado perfecto. Hallar y justificar la elecció del odelo utilizado para la probabilidad de obteer resultados pares o eos al efectuar 0 lazaietos y, para la probabilidad de obteer pares o ás al efectuar lazaietos.

17 ..- MODELO DE PEARSON. Hipótesis. Si se tiee variables aleatorias idepedietes, ξ,...,ξ, cada ua de ellas co distribució Noral Reducida (edia 0 y desviació típica ), etoces la variable aleatoria ξ = ξ ξ recibe el obre de χ co grados de libertad. De otra fora, se dice que ua variable aleatoria cotiua ξ tiee distribució de probabilidad χ de Pearso si se puede escribir coo ξ = ξ ξ, dode, ξ,...,ξ, so variates Norales idepedietes de edia 0 y desviació típica. Tabié se dice que ua variable aleatoria cotiua ξ tiee distribució de probabilidad χ de Pearso si si su fució de desidad es: f ( x ) = x Γ x e co -<x<+. Características. Es u odelos que se tiee a partir de las distribucioes e el uestreo, o correspode a u feóeo real y por eso se dice que es, juto co otras distribucioes derivadas de la oral y resultado del uestreo, ua distribució o odelo ficticio. Esta distribució es de carácter cotiuo, su fució de desidad toa valores (doiio) e el itervalo [ 0, ). Su fució de desidad será: f ( x ) = x Γ x e co -<x<+. La fució de desidad depede de los grados de libertad,. A odo de ejeplo se preseta e el siguiete gráfico la fució de desidad para distitos grados de libertad:

18 g.l. 4 g.l. 0 g.l. El cálculo de probabilidades se realiza a través de tablas de la distribució χ. Alguas características so E =, V χ =. χ La distribució χ tiee la propiedad aditiva para sua de variates, esto es, la sua de variables aleatorias idepedietes co distribució χ tabié tiee ua distribució χ : Dadas { } k... i X i χ = k E relació co la oral se puede expoer: k X i i= χ i idepedietes si X χ, etoces Y = X N(, ) si es grade.

19 .3.- MODELO t DE STUDENT. Hipótesis. La distribució t de Studet co grados de libertad se puede costruir a partir de + variables aleatorias idepedietes co distribució N(0, σ), ξ 0, ξ,...ξ, de la siguiete fora: ξ0 N( 0,) ξ = =. ξ ξ χ Se dice que ua variable aleatoria cotiua ξ tiee distribució de probabilidad t de Studet si su fució de desidad es: f ( x ) = + Γ + π Γ x + co -<x<+. Características. Es u odelos que se tiee a partir de las distribucioes e el uestreo, o correspode a u feóeo real y por eso se dice que es, juto co otras distribucioes derivadas de la oral y resultado del uestreo, ua distribució o odelo ficticio. Esta distribució es de carácter cotiuo y toa valores e el itervalo ( ),. Su fució de desidad es: f ( x ) = + Γ + π Γ x + co -<x<+. Esta fució es siétrica respecto al eje de ordeadas y su fora depede de los grados de libertad,. A odo de ejeplo se copara e el siguiete gráfico tres fucioes diferetes:

20 g.l. 4 g.l. 9 g.l. La fució de desidad resulta difícil de aejar, para calcular probabilidades se utiliza tablas. Otra posibilidad es obteer las probabilidades ediate secillos y habituales prograas iforáticos (coo hojas de cálculo). Alguas características so: [ T ] = 0 E para > (si = o existe edia) y Var [ T ] = para >3. E relació co la oral se puede expoer que la distribució t de Studet coverge a ua oral cuado los grados de libertad tiede a ifiito (sirve para >30).

21 .4.- MODELO F, DE FISHER-SNEDECOR. Hipótesis. Si se tiee + variables aleatorias idepedietes, cada ua de ellas co distribució Noral Reducida (edia 0 y desviació típica ), etoces la variable aleatoria ) ( ) ( ) ; ( F χ χ = recibe el obre F de Fisher-Sedecor co y grados de libertad. Se dice que ua variable aleatoria cotiua ξ tiee distribució de probabilidad si su fució de desidad es: ) ( ) ( x x x f + + Γ Γ + Γ = co -<x<+. Características. Esta distribució es de carácter cotiuo, su fució de desidad toa valores (doiio) e el itervalo [ ), 0. Su fució de desidad es: ) ( ) ( x x x f + + Γ Γ + Γ = co -<x<+. La fució de desidad resulta difícil de aejar, para calcular probabilidades se utiliza tablas. Otra posibilidad es obteer las probabilidades ediate secillos y habituales prograas iforáticos (coo hojas de cálculo).