Métodos del Camino Crítico. Introducción a la Investigación de Operaciones año 2007 I.O.-InCo-Facultad de Ingeniería-UDELAR

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1 Métodos del Camino Crítico Introducción a la Investigación de Operaciones año 2007 I.O.-InCo-Facultad de Ingeniería-UDELAR 1

2 Contenido y Bibliografía Introducción al problema del ordenamiento. Métodos del Camino Crítico. Función económica- Optimización. Hillier & Lieberman: Introducción a la Investigación de Operaciones, Mc Graw Hill, Kaufmann & Desbazeille: Métdodo del Camino Crítico, Sagitario S.A. Barcelona,

3 Introducción Ordenar es programar la ejecución de la realización de un trabajo. Se establecen tareas Se asignan recursos Se fijan fechas de ejecución para las tareas que componen el trabajo o proyecto. Los problemas de ordenamiento son inherentes a toda organización. 3

4 Ejemplo Organización: hogar. Proyecto: preparar cena Problema de ordenamiento. Se listan: tareas, tiempos y restricciones de precedencia. 4

5 Ejemplo(cont.) Tarea Tarea Tiempo precedentes nro. 1 Comprar queso muzarella 30 2 Rayar el queso Batir 2 huevos 2 4 Mezclar huevos y queso ricotta Picar cebollas y hongos 7 6 Cocinar la salsa de tomate Hervir agua en una vasija 15 8 Hervir la pasta de lasaña Enjuagar la pasta de lasaña Unir los ingredientes 10 9,6,4,2 11 Precalentar el horno Hornear la lasaña 30 10,11 5

6 Procedimiento Formular el problema. Modelarlo (p ej) con un grafo. Encontrar para cada actividad: el tiempo de ejecución, las holguras que tienen, si componen el camino crítico. 6

7 Preguntas posibles Una llamada telefónica interrumpió el proceso durante seis minutos cuando debía estar picando las cebollas y hongos Cuanto tiempo se retrasará la cena? Si usa procesador de alimentos, el tiempo para picar se reduce de siete minutos a dos. Con esto, todavía se retrasará la cena? 7

8 Problemas de ordenamiento Areas de aplicación Informática (jobs scheduling, gestión de recursos: procesos, memoria en sistemas operativos, desarrollo de software), Construcción (seguimiento de proyectos), Industria (problemas de talleres, gestión de la producción), Administración (empleo de tiempo). 8

9 Métodos de Solución Problemas de ordenamiento con restricciones temporales y de precedencia Empírico: diagramas de Gantt, hasta Método gráfico de representar duración y sucesión de tareas, y visualizar posibles soluciones Metódicos: PERT: Program Evaluation & Review Technique (americano), CPM: Critical Path Method (de los potenciales B. Roy). 9

10 Representación de las soluciones (diagrama de Gantt) Es un método gráfico de representar la solución (el ordenamiento); Valiosa herramienta para resolver el problema, en forma empírica. Se visualizan tiempos, duraciones, sucesión de tareas y utilización de recursos. 10

11 Ejemplo: Diagrama de Gantt Sean 5 tareas I = (1, 2, 3, 4, 5) de duraciones d = (6, 3, 4, 5, 5) que usan, {4, 1, 3, 2, 3} unidades de recurso 1 y {8, 7, 10, 10, 4} unidades de recurso 2, fechas de inicio ejecución t i : {0, 3, 6, 8, 10} 11

12 Sucesión y tiempos 12

13 Utilización de Recursos 13

14 Método de Camino Crítico El método del camino crítico resuelve problemas donde solo se consideran restricciones potenciales (sucesión y ubicación temporal, en el tiempo). Es un caso particular de problemas de ordenamiento, los más simples. Es un método polinomial. Las Redes de Petri permiten incluir restricciones de recursos, pero no siempre se obtiene la optimalidad. 14

15 Nociones elementales de ordenamiento las tareas, las restricciones potenciales, los recursos y la función económica. 15

16 Tareas Son el común denominador de los problemas de ordenamiento, su definición no es siempre inmediata, ni trivial. Cuando la duración y las fechas mas tempranas de comienzo de una tarea son conocidas, estamos ante un problema estático. Por el contrario, cuando el conjunto de tareas evoluciona con el tiempo, estamos ante problemas dinámicos. Y si lo hacen de forma no determinista, son estocásticos. 16

17 Tareas: Modos de ejecución a) continua (sin interrupción) o b) discontinua. La tarea en este caso es "preemtable" (interrumpible) El poder interrumpir tareas, disminuye la complejidad de los problemas de ordenamiento. Eso ocurre, p, ej. cuando una tarea j de mayor prioridad necesita de un recurso qué está siendo usado por otra tarea i, si esta tarea puede ser interrumpida, el recurso pasa a ser utilizado por 17 j.

18 Restricciones potenciales Inciden en la sucesión y la ubicación de las tareas en el tiempo. Ejemplos: Restricciones de sucesión: construir primero los cimientos de un edificio, luego las paredes, etc. Restricciones de ubicación temporal: tal tarea no puede comenzar antes de tal fecha, o debe terminar antes que tal otra tarea. 18

19 Tareas: Restricciones potenciales Si dos tareas NO pueden ejecutarse simultáneamente, (p.ej, cuando requieren el mismo recurso al mismo tiempo), NO se usan las restricciones potenciales. El conjunto de restricciones potenciales se puede representar por un grafo ponderado. El Método de Camino Crítico trabaja esencialmente sobre ese grafo. 19

20 Recursos Son los medios necesarios para que las tareas se ejecuten. Determinan dos tipos de restricciones: 1. Disjuntas. cuando, p. ej. dos tareas usan la misma máquina y no se pueden ejecutar simultáneamente. 2. Acumulativas: p. ej. :3 procesadores para ejecutar 4 tareas; una se retrasará y deberá necesariamente esperar la finalización de alguna de las otras. 20

21 Recursos 1. Renovable: después de haber sido usado en una tarea, es utilizable totalmente en las tareas posteriores. Ejemplos: máquinas, procesadores, archivos, personal, etc. 2. Consumible: después de haber sido utilizado en una tarea, ya no esta más disponible para las posteriores. Ejemplos: materias primas, dinero, etc. Los recursos, sean renovables o no, pueden estar disponibles solamente durante ciertos períodos, sujetos a una curva de disponibilidad. 21

22 Criterios de optimización Los factores más importantes en la evaluación de un ordenamiento son: la utilización eficaz de los recursos, la disminución de la demora global el respeto del mayor número posible de restricciones introducidas. 22

23 Función objetivo Ordenar es programar las tareas de manera de optimizar algo Ejemplo: sujeto Optimizar el uso de recursos, a restricciones. Optimizar la demora en la de ejecución de las tareas, Optimizar el cumplimiento de las fechas de finalización. Criterio más usado: minimizar la duración total del programa respetando las fechas de los pedidos. Otro criterio: minimizar el costo de operación, etc. 23

24 Notación-conceptos generales I = {conjunto de tareas}, n = número de tareas a ejecutar (card I), d i = duración de la tarea i, c i = fecha de disponibilidad, o comienzo mas temprano de la tarea i F i = fecha finalización forzada ("deadline") tarea i t i = fecha de comienzo de ejecución de la tarea i, T i = fecha de fin de ejecución de la tarea i. 24

25 Tareas y Tiempos Si la tarea i NO se interrumpe, T i = ti + d i. Una condición necesaria para que un ordenamiento sea realizable es: c i ti < T i F i, i I En ciertos casos, si hay un retardo tal que T i > F i, se podrá considerar un costo asociado a la tarea i. 25

26 Tareas: Restricción Potencial En general, dos tareas cualesquiera i, j I, no son independientes y pueden estar ligadas por restricciones de anterioridad (sucesión). Notaremos una restricción potencial entre las tareas j e i de la sg manera: t j - t i a ij Si a ij = d i, la sucesión es simple. 26

27 Criterios de optimización-mcc Duración total del ordenamiento: T max = max {Ti}, i I. (fecha de fin de la tarea que termina último) Obs: Fecha de comienzo del proyecto t 0 = 0, Criterio mas utilizado: min T max según restricciones potenciales Generalmente con este criterio se asegura además una utilización eficaz de los recursos. 27

28 Otro criterio de optimización: Respetar las fechas mas tardías de finalización Es decir, minimizar el retraso mayor. Las demoras se relacionan con las f i fechas obligatorias y que deben ser respetadas. Sea el retraso de i: R i = max (0, T i - F i ) entonces el retraso mayor es R max = max {R i } i I. El criterio sería min (R max ) 28

29 Otros criterios: Minimizar costos, Minimizar número de interrupciones a) La suma ponderada de las fechas de finalización de tareas; es usado para minimizar costos de inventarios b) Si una tarea es interrumpida n veces, la suma del número total de interrupciones para todas las tareas (criterio secundario y complementario). En multiprogramación, a cada interrupción de tarea, se asocia un cambio de contexto con duración no despreciable. 29

30 El problema central de los ordenamientos Se trata de ordenar un conjunto de tareas I={1,...n} de modo de obtener una duración minimal del proyecto. 30

31 El problema central de los ordenamientos Las tareas están sujetas a restricciones temporales del tipo t j - t i a ij, i, j I desigualdad potencial t i es la fecha de comienzo de la tarea i (respectivamente t j y j) a ij es un número real. 31

32 El problema central de los ordenamientos Objetivo: min (T max ): tiempo de fin de la última tarea Min (max i X (t i +d i )) sujeto a: t j - t i a ij, a ij Real, T i =t i +d i Se modela mediante grafos ponderados. Se calculan caminos en grafos. 32

33 Modelado: grafo potencial-tareas Se modela como un problema de optimización combinatoria mediante un grafo ponderado G = (X,U,W) llamado de potencial-tareas. X = I {0, n+1}, conjunto de tareas I, más dos tareas adicionales, ficticias, una de inicio llamada tarea 0 y una de fin, la tarea n+1. 33

34 Modelado: grafo potencial-tareas G = (X,U,W), potencial-tareas. X = I {0, n+1}, Las tareas 0 y (n+1) tienen una duración nula. U : {arcos (0, i), donde w(0,i) = 0, arcos (i, j) asociados a las restricciones potenciales, con w(i,j) = a ij, y arcos (i,n+1) con w(i,n+1) = d i }. 34

35 Ejemplo i a mj a ik a ij dk j 0 di dj k d k n+1 m dm 35

36 Propiedades 1) t 0 = 0, para asegurar la positividad de una solución. 2) Restricciones potenciales t j -t i a ij 3)Restricciones redundantes : si existen (i,j), (j,k) y (i,k), tal que a ik a ij + a jk, (i, k) puede suprimirse. 36

37 Ejemplo - redundancia j Min {max i (t i + d i )} t j - t i a ij a ij a jk t k - t j a jk i a ik k t k - t i a ij + a jk por otro lado t k - t i a ik Si a ij + a jk a ik entonces puedo eliminar (i,k) 37

38 Ejemplo-redundancia 38

39 Aplicando redundancia 39

40 Modelado de restricciones por desigualdades de potencial c i : Fecha de disponibilidad, t i c i, implica la restricción potencial (t i -t 0 ) c i i 0 c i 40

41 Deadline F i F i : Fecha mas tardía admitida de finalización, (t i + d i ) F i, (t 0 - t i ) (d i - F i ) (d i - F i ) 0 i 41

42 Sucesión Larga o Simple La tarea j no puede comenzar antes del fin de la tarea i: t j t i + d i, t j -t i d i 42

43 Sucesión inmediata La tarea j empieza exactamente cuando termina la tarea i: t j = t i + d i, t j - t i = d i (t j - t i d i ) y t j - t i d i (t j - t i ) d i y (t i - t j ) -d i 43

44 Ejemplo I = {1, 2, 3, 4, 5} ; d = {1, 3, 1, 2, 1} La tarea 2 comienza en la fecha 3; Las tareas 3 y 4 deben superponerse por al menos una unidad de tiempo; La tarea 4 puede comenzar solamente despues del fin de las tareas 1 y 2; La tarea 5 no puede empezar antes del comienzo de la tarea 3. 44

45 Ejemplo Las duraciones de las 5 tareas I = {1, 2, 3, 4, 5}, son d = {1, 3, 1, 2, 1} Restricciones temporales: 1. la tarea 2 comienza en la fecha 3: [t2 - t0 = 3] restricción potencial [t2 - t0 3] y [t0 - t2-3] 45

46 Ejemplo 46

47 Aplicando redundancia Grafo potencial-tarea 47

48 2. las tareas 3 y 4 deben superponerse por al menos una unidad de tiempo: [t3 t4 + d4-1] y [t4 t3 + d3-1] t4 - t3 1 - d4= -1 y t3 - t4 1 - d3 = 0 d = {1, 3, 1, 2, 1} 48

49 d = {1, 3, 1, 2, 1} 3. la tarea 4 puede comenzar solamente después del fin de las tareas 1 y 2: [t4 - t1 d1] y [t4 - t2 d2] 4. la tarea 5 no puede empezar antes del comienzo de la tarea 3 [t5 t3] ==> t5 - t3 0 49

50 Problema simple tarea duración restricciones potenciales la tarea 1 precede a la tarea las tareas 1 y 2 preceden a la la tarea 3 precede a la las tareas 3 y 4 preceden a la la tarea 6 precede a la 7 50

51 Grafo potencial tareas. Redundancia aplicada ( 7, 51

52 Método Cam.Crítico Conceptos generales Grafo conjuntivo: es un grafo G=(X, U,W), (ponderado) con un nodo raiz 0 y otro final n+1, tal que existe un camino de valor positivo entre la raiz y todo otro nodo del grafo, y un camino de valor positivo entre todo nodo distinto del nodo final y el nodo final del grafo. 52

53 Grafo Conjuntivo 0 n+1 i I 53

54 Conjunto de potenciales en G Un conjunto de potenciales en un grafo conjuntivo G = (X, U, W), es una aplicación t : X R, tal que t 0 = 0 y que (i,j), arco conjuntivo, con ponderación w(i,j) = w ij, se aplica la restricción potencial (t j - t i ) w ij. 54

55 Teorema de Existencia Una condición necesaria y suficiente para que exista un conjunto de potenciales sobre un grafo conjuntivo G=(X,U, W) es que este grafo no contenga circuitos de valor estrictamente positivo. 55

56 Demostración: ( ) Por absurdo. Sea [1,2,...r,1] un circuito de valor estrictamente positivo: w w r1 > 0. Por H. existe un conjunto de potenciales sobre G, t 2 - t 1 w t r - t r-1 w (r-1)r t 1 - t r w r1 Sumando tenemos w w r1 0, absurdo. 56

57 Demostración ( ) H: G conjuntivo: al menos un camino de valor positivo, de 0 a i. No circuitos de valor positivo. T: conjunto de potenciales. Tomemos un camino de 0 a i y suprimamos circuitos negativos. Así puedo extraer un camino de 0 a i, elemental, de valor por lo menos el del camino original ( ). 57

58 Demostración ( ) Tomemos un camino de 0 a i y suprimamos circuitos negativos. Así obtengo un camino de 0 a i, elemental, de valor por lo menos el del camino original ( ). 0 i 58

59 Cont. Demostración ( ) El nro. de caminos elementales es finito. Por eso, algun camino de 0 a i que es máximo. Sea r i el valor máximo de entre los caminos elementales de 0 a i; Además r 0 = 0. 59

60 Cont. Demostración ( ) r i + w(i,j) = valor de un camino de 0 a j pasando por i con un valor r i, Por lo tanto r i + w(i,j) r j r j r i w ij, i, j I. R={ r i } i I es un conjunto de potenciales LQQD. 60

61 Corolario 1: Si un grafo conjuntivo no tiene circuitos, existe siempre al menos un conjunto de potenciales asociados. Corolario 2: Si las ponderaciones de los arcos de un grafo conjuntivo son positivas o nulas, existe al menos un conjunto de potenciales sii todos los circuitos son de valor nulo. 61

62 Notaciones y definiciones De ahora en adelante, suponemos que el grafo conjuntivo no contiene circuitos de valor positivo. Sea V(i,j) el valor maximal de un camino de i a j, V(i,i) = 0 y V(i,j) = - si NO hay camino de i a j. r i = V(0,i). 62

63 Lema 1 pareja i, j I y (i,j) U: t j - t i V(i,j). Demo: Sea [i, h,...,k, j] un camino de i a j de valor V(i,j) (max), Por def. de potencial en G: t h -t i w ih, t r -t h w hr,..., t k -t s w sk, t j -t k w kj. sumando todos los términos: t j - t i w ih w kj = V(i,j). L.Q.Q.D. 63

64 Proposición 1 conjunto de potenciales T = {t i }, r i t i. Dem: Según el lema anterior, t i - t 0 V(0,i), V(0,i) = r i y t 0 = 0, r i t i L.Q.Q.D. Esta propiedad muestra que para el conjunto de potenciales R, las tareas se ejecutan lo más 64 temprano posible.

65 Conjunto de potenciales optimales, Camino Crítico En los métodos de potenciales se buscará un ordenamiento de duración total minimal. Este ordenamiento corresponderá a un conjunto de potenciales tal que t n+1 sea minimal (obs. T n = t n+1 ). 65

66 Conjunto de potenciales optimales Camino Crítico Según la proposición 1, r i t i, cuándo t n+1 es minimal? t n+1 = r n+1 t n+1 = r n+1 = V(0,n+1) valor maximal de un camino que va de 0 a n+1. Es el camino crítico y notamos t * su valor. 66

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