Euclides y sus proyecciones

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1 Nivel: 3.º medio Subsector: Matemática Unidad temática: Euclides y sus proyecciones Carolina es una alumna muy aplicada en la clase de matemática y para poder avanzar más que sus compañeras decide estudiar por sí sola el teorema de Euclides. Lamentablemente, el enunciado del teorema la complica y no lo puede entender. Este dice que: En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre los segmentos determinados por la altura en la hipotenusa. Además, cada cateto es media proporcional geométrica entre la hipotenusa y el segmento de ésta adyacente al cateto. Ya que Carolina es muy obstinada y no se rinde fácilmente, se da cuenta de que una aplicación del teorema de Euclides es la representación de segmentos cuya longitud es un número irracional correspondiente a una raíz cuadrada no exacta (es decir, su resultado no es un número entero ni racional). Y para esto empieza a buscar relaciones que cumplan este enunciado. Al fin, llega a la conclusión que si descomponemos 15 en dos factores, por ejemplo 15 = 3 5, y luego graficamos un segmento de longitud = 8 unidades, podría llegar al resultado. El problema comenzaba a complicarse, ya que tenía que dibujar un triángulo rectángulo y no se le ocurría cómo hacerlo. En vista de ello, le pregunta a su pololo cómo resolver esta situación. Para jactarse de sus conocimientos matemáticos, éste le responde: Dibuja una semicircunferencia. Formamos un triángulo, que es rectángulo (pues todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto) y posteriormente levanta una perpendicular h al diámetro en el punto de división.

2 Resulta una figura similar a la que se muestra a continuación. Actividad para el estudiante Así, Carolina logró obtener que y además que. Para obtener más conocimientos que Carolina, puedes averiguar más sobre el teorema de Euclides y sobre la relación que existe entre la proyección entre sus catetos y su hipotenusa. Puedes ver las diapositivas digitales (ppt) disponibles en educarchile.cl Matemáticas NM3. Una vez concluidas tus averiguaciones, resuelve los siguientes ejercicios: 1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 m y uno de los catetos tiene 6 m más que su proyección sobre la hipotenusa. Calcula los catetos. 2. Un cateto de un triángulo rectángulo mide un metro menos que la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa. Cuánto mide esta proyección, si el otro segmento de la hipotenusa mide 9 m? 3. En la figura siguiente = 3 m. y = 5 m. El valor de a) 16/ 3 b) 4/ 3 c) 25/ 3 d) 5 2 es: e) 5 2 3

3 4. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm. Determina la proyección mayor de los catetos sobre la hipotenusa. a) 1,8 cm b) 3,2 cm c) 4 cm d) 5 cm e) 2,5 cm 5. En la figura siguiente, = 6 cm.; = 3 cm. Determina el área del triángulo ABC. a) 9 cm 2 b) 12 cm 2 c) 15 cm 2 d) 18 cm 2 e) 45 cm 2 6. La altura h c de un triángulo ABC, rectángulo en C, es de 4 metros. Si los segmentos determinados sobre la hipotenusa están en la razón 1:2, cuánto mide el área del triángulo ABC? a) 2 m 2 b) 2 2 m 2 c) 4 2 m 2 d) 6 2 m 2 e) 12 2 m 2 7. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm. Determina la altura del triángulo. a) 9/ 5 [cm] b) 12/ 5 [cm] c) 16/ 5 [cm] d) 5 cm

4 8. En el triángulo ABC de la figura, = 3,2 m.; = 5 m.; =? a) 1,8 m b) 3 m c) 4 m d) m e) 16 m 9. En la figura, = 5-1 cm; = 2-1 cm. La altura del triángulo ABC es: a) 0,1 cm b) 10 cm 10 c) 10 cm d) 10 cm 10. = 12 cm; = 9 cm; =? a) 6 cm b) 3 3 cm c) 6 3 cm d) 36 cm 11. Los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 3:4. Si la hipotenusa mide 10 cm, entonces el cateto menor mide: a) 2 cm b) 3 cm c) 3.6 cm d) 6 cm e) 8 cm

5 12. = 10 cm; = (p + 2) cm; = 2p cm; =? a) 3,6 cm b) 4 cm c) 4,8 cm d) 6,4 cm e) 22,04 cm 13. En el triángulo rectángulo de la figura,, = 5 cm y = 25 ; 13 =? a) 25 b) 13 c) 12 d) En la figura, el cateto x mide: a) 30 cm b) 25 cm c) 9 cm d) 6 cm e) 4 cm 15. En cuál(es) de las siguientes figuras se cumple que c 2 = ab? I) II) III)

6 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) Todas Es decir, se puede relacionar el teorema de Pitágoras con el teorema de Euclides. Por cierto, hay elementos en que difieren, pero se complementan muy bien entre sí