Introducción. 2. Responde las preguntas sobre los movimientos de la reina y los triángulos que formaste.

Transcripción

1 El triángulo, un polígono con propiedades especiales Identificación de una propiedad particular de los triángulos rectángulos presente en el teorema de Pitágoras Introducción 1. Dibuja la ficha de la reina en 5 posiciones diferentes y con diferentes colores marca los movimientos necesarios para formar triángulos. A B C D E F G H A B C D E F G H Figura 1. Tablero ajedrez con Reina 2. Responde las preguntas sobre los movimientos de la reina y los triángulos que formaste. a) Puedes formar triángulos con los movimientos de la reina? Justifica tu respuesta b) Cuántos movimientos debes realizar con la reina para formar un triángulo? Justifica tu respuesta 1

2 Objetivos de aprendizaje El estudiante determina una propiedad de los triángulos rectángulos para introducir el teorema de Pitágoras. El estudiante identifica los triángulos rectángulos por sus características y propiedades. El estudiante encuentra relaciones especiales a partir de recubrimientos al triángulo rectángulo. Actividad 1 Caminos de la reina Ejercicio 1 1. Observa los movimientos de la reina y los triángulos que se forman. Luego, responde las preguntas. a) Qué tienen en común estos triángulos? Figura 2. Tablero ajedrez - trasado 1 b) Cómo son sus lados? 2. Completa la siguiente frase de acuerdo con lo visto en el recurso interactivo. Luego, señala con color verde los ángulos rectos y con color azul los lados iguales en los triángulos rectángulos. 2

3 Los que tienen un ángulo recto se llaman triángulos y en particular estos, como tienen dos lados, se llaman rectángulos isósceles. Figura 3. Tablero ajedrez - trasado 2 3. Escribe los números de las etiquetas a los elementos correspondientes sobre los triángulos rectángulos que formó el camino de la reina en cada caso. 1. Ángulo recto 3. Ángulos agudos 2. Lado de mayor longitud 4. Lados a) b) Figura 4. Tablero ajedrez - trasado 3 Figura 5. Tablero ajedrez - trasado 4 3

4 c) Figura 6. Tablero ajedrez - trasado 5 4. Responde las preguntas sobre los triángulos rectángulos, de los cuales acabas de identificar sus elementos. a) Qué característica tienen en común todos los lados de mayor longitud? b) Qué característica tienen en común los lados del triángulo que no corresponden al de mayor medida 5. Completa la siguiente frase de acuerdo con lo visto en el recurso interactivo. Luego, resalta con verde la hipotenusa y con rojo los catetos de cada triángulo. El lado al ángulo recto en un triángulo se denomina hipotenusa y los que forman el ángulo se llaman catetos. Figura 7. hipotenusa-catetos 4

5 A B Figura 8. Triángulo 1 Figura 9. Triángulo 2 C D Figura 10. Triángulo 3 Figura 11. Triángulo 4 E F Figura 12. Triángulo 5 Figura 13. Triángulo 6 5

6 Actividad 2 Desbaratando el tablero de ajedrez Ejercicio 1 1. Recorta las piezas del rompecabezas del tablero de ajedrez (Ver anexo), ármalo y pégalo en el siguiente recuadro. Luego, completa la frase, de acuerdo con lo visto en el recurso interactivo. Cada una de las del rompecabezas tiene un y al unirlas forman el tablero de completo, es decir, que al todas las áreas, obtenemos el del tablero de ajedrez. 6

7 2. Observa los siguientes triángulos rectángulos y los cuadrados que se construyeron sobre sus lados. Figura 14. Composición triángulos rectángulos y cuadrados Compara los cuadrados que se construyeron sobre las hipotenusas, con los cuadrados construidos sobre los catetos de cada triángulo. Ten en cuenta sus áreas. Escribe una conclusión sobre la comparación. Nota: no olvides comparar tu conclusión con la propuesta en el recurso interactivo. 7

8 3. Completa la conclusión propuesta en el recurso interactivo. Figura 15. Triángulos rectángulos y cuadrados 1 Figura 16. Triángulos rectángulos y cuadrados 2 Figura 17. Triángulos rectángulos y cuadrados 3 La suma del de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del construido sobre la. Escribe la conclusión como una expresión matemática y teniendo en cuenta el siguiente triángulo rectángulo. Luego, compárala con la propuesta en el recurso interactivo. 8

9 a h Expresión matemática b Figura 18. Gráfico teorema pitágoras Esta expresión se conoce como el Teorema de Pitágoras. Observa su aplicación para hallar la medida de uno de los catetos. La suma del área de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. a 2 + b 2 = h 2 Observa un ejemplo de la aplicación del Teorema de Pitágoras. a = 5 cm h =? b = 12 cm a 2 + b 2 = h = h = h = h = h 2 13 = h Aplicando el Teorema de Pitágoras encontramos que la hipotenusa del triángulo rectángulo Figura 19. Gráfico teorema pitágoras-ejercicio 1 mide 13 cm. 4. Aplica el Teorema de Pitágoras para hallar la medida de cada hipotenusa. a = 12 m b = 5m a = 8m h =? h =? a b = 15m b Figura 20. Gráfico teorema pitágoras-ejercicio 2 Figura 21. Gráfico teorema pitágoras-ejercicio 3 9

10 a = 3m h =? b = 4m c Figura 22. Gráfico teorema pitágoras-ejercicio 4 h =? b = 2m a = 1m d Figura 23. Gráfico teorema pitágoras-ejercicio 5 a = 1m b = 1m h =? e Figura 24. Gráfico teorema pitágoras-ejercicio 6 Qué pasaría si lo que desconoces es uno de los catetos? 5. Aplica el Teorema de Pitágoras para hallar, expresiones matemáticas, que te permitan hallar el valor del cateto a, desconocido en el siguiente triángulo. Luego, compáralas con las expresiones propuestas en el recurso interactivo. a h b Figura 25. Gráfico teorema pitágoras-catetos 10

11 6. De acuerdo con lo visto en el recurso interactivo, completa las expresiones matemáticas que te permiten hallar directamente el valor de un cateto. 7. Relaciona cada triángulo con la expresión que te permite hallar directamente el valor de su incógnita. m 2 = h 2 - b 2 a = 2 - b 2 b 2 = 2 - a 2 = h 2-2 m m m m m h 2 = a 2 + b 2 b 2 = h 2 - a 2 a 2 = h 2 - b 2 8. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, aplicando el Teorema de Pitágoras x 20 a a 15 b Figura 26. Teorema pitágoras - Ejercicio 1 Figura 27. Teorema pitágoras - Ejercicio 2 12 x y 9 20 c 40 d Figura 28. Teorema pitágoras - Ejercicio 3 Figura 29. Teorema pitágoras - Ejercicio 4 11

12 6 5 b 8 7 r e f Figura 30. Teorema pitágoras - Ejercicio 5 Figura 31. Teorema pitágoras - Ejercicio 6 Actividad 3 Triángulos rectángulos en la vida real Ejercicio 1 1. Observa tres maneras diferentes de construir un triángulo rectángulo. Practícalas siguiendo los pasos indicados. A) Construcción # 1 B 1. Utilizando la escuadra, se traza el ángulo recto ABC aprovechando el ángulo recto de la escuadra. 2. Y con la regla se completa el triángulo, trazando AC. A B C A C Práctica: Figura 32. Ejercicio escuadra 12

13 B) Construcción # 2 C C 1. Se traza una circunferencia. 2. Se traza el diámetro de la circunferencia CE. 3. Se escoge un punto D en la circunferencia. 4. Se traza DC. 5. Se traza DE. C D E C D E D E E Práctica: Figura 33. Ejercicio circunferencia C) Construcción # 3 1. Se traza un segmento FG. 2. Se traza con ayuda del transportador un ángulo de 90 EFG. 3. Se traza el segmento EG. F G F F E E G G Figura 34. Ejercicio Ángulo 90 13

14 Práctica: 2. Identifica y subraya todos los triángulos rectángulos en cada imagen. Luego, compara tu conteo con el propuesto en el recurso interactivo. Figura 35. Ventana 1 Figura 36. Ventana 2 3. Encierra la imagen que crees que modela la siguiente situación y justifica tu respuesta. Luego, resuelve el problema aplicando el Teorema de Pitágoras. A qué distancia de la pared habrá que colocar el pie de una escalera de 65 dm de longitud, para que la parte superior se apoye en la pared a una altura de 52 dm? 14

15 h 65 dm 52 dm 65 dm 52 dm l Figura 37. Escaleras 25 dm d 25 dm 15

16 Anexo actividad 2, ejercicio 1, página 6. 16

17 1. Escribe los componentes del triángulo rectángulo. Luego, completa sus características, de acuerdo con lo visto en el recurso interactivo. Figura 38. Componentes del triángulo rectángulo Catetos: que forman el ángulo en un triángulo. Hipotenusa: lado al recto en un rectángulo. 2. Completa las diferentes expresiones matemáticas del Teorema de Pitágoras aplicado al siguiente triángulo rectángulo. a h b 17

18 a) = + b) = - b 2 c) a = - d) b 2 = h 2 - e) b = - 18

19 1. Construye de acuerdo a lo aprendido tres triángulos rectángulos, marca con colores diferentes: el ángulo recto, los catetos y la hipotenusa. Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3 19

20 2. Recorta las partes en las que quedó dividido el área de los cuadrados construidos sobre los catetos del triángulo rectángulo, luego, cubre con estas partes el cuadrado construido sobre la hipotenusa, cuando no hayan espacios ni estén sobrepuestas las partes, pégalas. A) B) 20

21 C) 3. Utilizando la relación pitagórica, identifica cuáles de las siguientes ternas corresponden a medidas de triángulos rectángulos. Realiza los dibujos de cada uno. (3,5,7) 21

22 (9,40,41) (10,50,51) (3,4,5) 22

23 4. Identifica en la figura cuántos triángulos rectángulos ves. Verifica el ángulo recto con la escuadra o el transportador. Figura 39. Cuántos ves? 23

24 5. De acuerdo a la siguiente figura marca el triángulo rectángulo que ves, y aplica el Teorema de Pitágoras para hallar la longitud de la escalera Figura 40. Arból - Escalera 24

25 Lista de figuras Figura 1. Tablero ajedrez con Reina Figura 2. Tablero ajedrez - trasado 1 Figura 3. Tablero ajedrez - trasado 2 Figura 4. Tablero ajedrez - trasado 3 Figura 5. Tablero ajedrez - trasado 4 Figura 6. Tablero ajedrez - trasado 5 Figura 7. hipotenusa-catetos Figura 8. Triángulo 1 Figura 9. Triángulo 2 Figura 10. Triángulo 3 Figura 11. Triángulo 4 Figura 12. Triángulo 5 Figura 13. Triángulo 6 Figura 14. Composición triángulos rectángulos y cuadrados Figura 15. Triángulos rectángulos y cuadrados 1 Figura 16. Triángulos rectángulos y cuadrados 2 Figura 17. Triángulos rectángulos y cuadrados 3 Figura 18. Gráfico teorema pitágoras Figura 19. Gráfico teorema pitágoras-ejercicio 1 Figura 20. Gráfico teorema pitágoras-ejercicio 2 Figura 21. Gráfico teorema pitágoras-ejercicio 3 Figura 22. Gráfico teorema pitágoras-ejercicio 4 Figura 23. Gráfico teorema pitágoras-ejercicio 5 Figura 24. Gráfico teorema pitágoras-ejercicio 6 Figura 25. Gráfico teorema pitágoras-catetos 25

26 Figura 26. Teorema pitágoras - Ejercicio 1 Figura 27. Teorema pitágoras - Ejercicio 2 Figura 28. Teorema pitágoras - Ejercicio 3 Figura 29. Teorema pitágoras - Ejercicio 4 Figura 30. Teorema pitágoras - Ejercicio 5 Figura 31. Teorema pitágoras - Ejercicio 6 Figura 32. Ejercicio escuadra Figura 33. Ejercicio circunferencia Figura 34. Ejercicio Ángulo 90 Figura 35. Ventana 1 Figura 36. Ventana 2 Figura 37. Escaleras Figura 38. Componentes del triángulo rectángulo Figura 39. Cuántos ves? Figura 40. Arból - Escalera 26