GUÍA DE APRENDIZAJE. 2. Supone que el número (aproximado) de bacterias en un cultivo en un tiempo (medido en horas) está dado por:

Transcripción

1 GUÍA DE APRENDIZAJE Prof: Víctor Manuel Reyes Feest N 14 Contenido: Aplicación de Derivadas I.-Resuelve los problemas aplicando derivadas. 1. Se hace un cultivo aislado, con esporas de pan en un medio favorable para su proliferación, y el número de esporas en horas esta dado por la siguiente función: a. Qué se puede concluir con respecto a la razón de cambio entre el inicio del cultivo y los 45 minutos siguientes? 2. Supone que el número (aproximado) de bacterias en un cultivo en un tiempo (medido en horas) está dado por: a. Cuál es la razón de cambio al inicio del cultivo y 2 horas después? A partir de estos resultados Qué interpretación se puede efectuar en el contexto del problema? 3. Una población es atacada por un cierto virus que produce gripe. A partir del instante en que se detectó, se tomaron medidas para controlarlo. La ecuación que permite calcular el número de personas enfermas es: 627, en días. a. Se establece que cuando la tasa de contagio es de 2,6 í se puede determinar que la propagación del virus ha sido controlada. en qué instante se produce dicho control de la situación? 4. Suponga que el peso en gramos de un tumor cerebral, en el tiempo, está dado por 0,2 4,8, donde está medido en semanas. a. El control del avance del tumor involucra que el esquema convencional debe modificar el tratamiento por uno no tan invasivo cuando la razón de cambio del tumor sea entre los 2,4 "#$ 0 "#$ En qué rango de tiempo ocurre esta modificación en el esquema? $%& $%& y Guía N 14; Aplicaciones de derivadas. 1

2 5. Al nacer un bebé perderá peso normalmente durante unos pocos días, después comenzará a ganarlos. Un modelo para el peso medio de los bebés durante las 2 primeras semanas de vida es: ' 0,015 0,18 3,3, con medido en días a. Indica los rangos de tiempo donde se pueda observar un incremento negativo del peso y el incremento positivo. b. Cuál es el peso mínimo? 6. En una reacción química la cantidad ) (en gramos) de una sustancia producida en horas viene dada por: ) 16 4 ; 0 * + 2 ( en horas) a. Considerando el rango para lo cual está definida la función En qué instante el incremento o razón de cambio de la sustancia es mayor? 7. En cierta parte de la médula ósea roja, cuando el organismo no posee los suficientes anticuerpos, el crecimiento de población de los elementos figurados que ahí se forman en función del tiempo transcurrido en minutos está calculado por: 3200, 77 donde 0 10 a. Indica los puntos críticos, señala los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función. Pueden ser considerando los intervalos y puntos críticos como explicación de las funciones b. Cómo es la razón de cambio de la producción de anticuerpos al inicio, a los 5 minutos y al final de la reacción? 8. La siguiente ecuación muestra la cantidad de metano producido por descomposición bacteriana en el intestino grueso -.., 4. 3, donde -. mide la cantidad de gas producido en centímetros cúbicos y. las horas desde 0 a 4. a. En qué instante se alcanza la producción máxima de gas? b. Cuál es la cantidad máxima de gas producido? Guía N 14; Aplicaciones de derivadas. 2

3 9. Una epidemia está propagándose a través de una ciudad de un país. Las autoridades sanitarias estiman que el número de personas que contraerán la epidemia es una función del tiempo transcurrido, meses, desde que se descubrió la epidemia. La función está dada por 0,0926, 1,2488 3,901514,282, donde es el número de personas enfermas en miles y a. En qué instante se produce el máximo de contagio? b. Indica los tiempos que se incrementa y desacelera la epidemia c. Cuál es el número máximo de personas que se contagian? 10. En una población se está transmitiendo una infección estomacal por bacterias la que se determina a través de la función: / 01112, la que señala el número de personas infectadas días después del comienzo de la epidemia. a. Cuánto es el número de personas infectadas después de 5 días? b. Después de cuantos días el número de infectados es 50 personas? c. Cómo es la tasa de infección en la población en los puntos calculados en la letra b? Analiza y compara. d. Cuando la infección es máxima? e. En el largo plazo qué número de personas deberían estar infectadas por bacterias? 11. La cantidad de miligramos 6, de cierto producto químico en la sangre, horas después de ser inyectado,2 en el tejido muscular es 7428, donde a. Señala cuando y cuál es la concentración máxima del producto químico en la sangre. Guía N 14; Aplicaciones de derivadas. 3

4 12. El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por la función: : 2 que representa la cantidad de personas que adquieren la enfermedad en un tiempo medido en semanas. a. Cuántas personas están contagiadas al comienzo de la epidemia? b. Qué nos indica el valor lim 2>? con respecto a la cantidad de personas contagiadas? c. Compara el incremento de personas que adquieren la epidemia al tiempo 1 semana y luego de 3 meses. 13. El incremento de la población de una bacteria en el oído se determina según la función ,1 2, donde representa el tiempo en horas. a. Determina la cantidad de bacterias en el oído al inicio de la observación y despues de 1 día b. Usando derivadas compara la razón de cambio o incremento de la población por unidad de tiempo en los tiempos analizados en el punto anterior (al inicio y 1 después de un día). Interpreta. c. En el largo plazo Qué cantidad de bacterias sería posible de encontrar? 14. Un biólogo realizó un experimento sobre la cantidad de individuos en una población de paramecium en un medio nutritivo y obtuvo el modelo: ln 25 donde se mide en días y es el número de individuos en el cultivo en miles. a. Indica e interpreta en el contexto del problema el punto crítico de la función. b. Qué cantidad es la población de paramecium es posible de encontrar en el largo plazo? Guía N 14; Aplicaciones de derivadas. 4

5 RESPUESTAS Prof: Víctor Manuel Reyes Feest 1. a. La razón de cambio al inicio es de 900 esporas/hr y a los 45 minutos es 0 esporas/hr. Lo que se puede interpretar que hasta el minuto 45 la población deja de su tendencia de incremento y la población empieza a decrecer. 3. a. La situación se considera controlada al tiempo 1,7 días 5. a. Tiempo en que el crecimiento es negativo de los 0 a los 6 días, a partir de ese momento el peso del bebe comienza a crecer. b. 2,76 kilos 7. a. Dos son los puntos críticos, cuando t =-0,016 y cuando t=0.solo se puede considerar a 0 pues la función está definida solo como 0 10 y en este caso -0,016 no es válido. Averiguando valor de la pendiente >0 podemos concluir que esta función es creciente para sus condiciones. b. La razón de cambio al inicio es de 0 EF (elementos figurados)/hr. A los 5 minutos es de EF/hr y a los 10 minutos es de EF/hr 9. a. Aproximadamente al 7 mes. b. de 0 a 2 meses decrece, de 2 a 7 crece y de 7 a 11meses decrece. c. Aproximadamente personas 11. a. Se produce al tiempo 2,38 horas y una cantidad de 0,17 miligramos. 13. a. Al inicio la población es de 120 bacterias y después de 1 día 193. b. Al inicio el incremento de la población es a razón de 2,45 bacterias/hr y después de 24 horas el incremento es a razón de 3,88 bacterias/hr. c. La población a largo plazo tiende al infinito 2. a. Razón de cambio al inicio es de 300 bact./hr. Mientras a 2 horas después la población está en pleno decrecimiento a razón de bact./hr, lo que implica que ya ha pasado el instante que la población fue máxima. 4. a. Entre la semana 6 y la 12 semana del tratamiento (en la décima semana el tamaño del tumor empieza a decrecer). 6. a. Al inicio de la reacción con una velocidad de 16 grs/hr. 8. a. 2,667 horas b. 12,48 centímetros cúbicos. 10. a. 200 personas. b. La infección alcanza las 50 personas en los días 1,02 y 98,98. c. Al día 1,02 la tasa de incremento se da a una razón de 50 personas/día y al día 98,98 la razón es de -0,49 (lo anterior indica que cerca del día 100 se produce un decrecimiento. d. A los 10 días y el máximo de personas infectadas es de 250. e. Tiende a ser 0 personas contagiadas. 12. a. 125 personas. b. 250 personas. c. La primera semana el incremento es de 52,5 personas/día y a los 3 meses (12 semanas) el incremento es de 7,6x10-6, lo que señala que a ese plazo el incremento es marginal. 14. a. El punto crítico se determina calculando la derivada de la función e igualándola a 0, de esta forma se concluye que esto sucede al cabo de 1 día y que la población es de 1386 individuos. b. Matemáticamente la función puede tender al infinito, sin embargo dentro del contexto del problema es evidente que un cultivo con fines de investigación no se puede desarrollar infinitamente, por lo tanto el límite esta dado por la cantidad de dias que puede tenderse el cultivo, 1 año? puede parecer razonable asi como también 6 meses por ejemplo por señalar un plazo. Guía N 14; Aplicaciones de derivadas. 5