1.- Concepto de derivada de una función

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1 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA 7.- FUNCIONES. DERIVADAS Y APLICACIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ Concepto de derivada de una función Tasa de variación media (f b) (f a) Se llama tasa de variación media de una función f en el intervalo [a, b] a la epresión b a La tasa de variación media es la pendiente del segmento AB, siendo A( a, f(a) ) y B( b, f(b) ) La tvm indica la rapidez con que ha aumentado o disminuido la función al pasar de A a B Si la tvm es positiva es porque la función ha aumentado, si es negativa ha disminuido y si es 0 ni ha aumentado ni disminuido Ejercicio 1 Averigüe cuál de las siguientes funciones decrece más rápidamente en el intervalo [1, 4] f() 3 g() 3 Tasa de variación instantánea. Se llama tasa de variación instantánea de una función f en el punto a al valor de f() f(a) lim a a La tvi indica la rapidez con que va aumentando o disminuyendo la función en el punto A Si la tvi es positiva es porque la función va aumentando, si es negativa va disminuyendo y si es 0 ni aumenta ni disminuye Ejercicio Halle la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican y diga si la función va creciendo o decreciendo en dicho punto: a) f() 1, en 3 b) f() 3 en 6 Concepto de derivada de una función en un punto Recordemos que la pendiente de una recta nos indica la mayor o menor inclinación de ésta Cuando la gráfica de una función no es una recta y queremos medir la pendiente de la gráfica se utiliza la derivada. Se le llama derivada en el punto a de una función f a la tvi y se representa por f (a) f() f(a) f (a) lim a a f (a) representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto A(a,f(a)). La recta tangente es la recta que pasa por A y la que más se aproima a la gráfica de la función en las proimidades del punto A. f(a) Y a A rtg f (a) pendiente de la recta tangente X

2 Usando la definición podemos deducir: Si f tiene un etremo relativo en a, entonces f a 0, pues la recta tangente es horizontal Si f ( a ) > 0, entonces f es creciente en a, pues la recta tangente tiene pendiente positiva Si f ( a ) < 0, entonces f es decreciente en a, pues la recta tangente tiene pendiente negativa Cuanto mayor es f (a), en valor absoluto, mayor es la rapidez con que crece o decrece la función en el punto A ( ) Ejercicio 3 Razone cuánto vale f ( 0 ): a) b) Ejercicio 4 La recta tangente de una función f en el punto de su gráfica P(, 3) pasa también por el punto Q(4, 9). Cuánto vale f ()?.- Cálculo de derivadas Se llama función derivada de una función f a la función f( ) (f + h) (f ) lim h 0 h Si no eiste el límite, se dice que la función no es derivable Como el cálculo de límites es bastante laborioso los matemáticos dedujeron, usando el cálculo de límites, unas fórmulas y reglas para obtener la derivada de forma más sencilla y rápida: Función constante: (c) 0. Ejemplo: (6) 0 Tabla de derivadas Función eponencial: (a ) a. ln(a). Función potencia: ( k ) k. k 1. () 1 ( 1 ) -1 Ejemplo: ( 3 ) 3 Casos particulares ( ) ( ) 1 Ejemplo: ( ). ln() Caso particular (e ) e Función logaritmo: [log a ()] Ejemplo: [log 3 ()] Caso particular 1. ln( a ). 1. ln ( 3) [ ln() ] 1 Página

3 Derivada de la suma y resta (a.u ± b.v) a. u ± b. v Ejemplo: ( ) 3.( ) + 5. (4) Reglas de derivación Dadas u y v dos funciones derivables. Se cumple: Derivada del producto (u. v) u. v + u. v Ejemplo: (. ln ) ( ). ln +.(ln ) ln +. 1 ln + Derivada segunda de una función Derivada del cociente u v e e. e.1 La derivada segunda de una función f es la derivada de f () y se representa por f () u v u v v Ejemplo: (e ). e.( ) e.( 1) Por ejemplo, si f() 6 3 5, entonces la primera derivada es f () y la segunda derivada es: f () [f ()] (18 10) Por el mismo procedimiento se pueden calcular f, f (iv, f (v, etc Ejercicio 5 Calcule la derivada de las siguientes funciones: a) f() b) f() log 5 c) f() e ( 3 + 1) d) f() e) f ( ) + ln ( ) f ) g( ) Ejercicio 6 Dada la función f() 16 +, calcule f (1) Hacer actividades 1 y, de la ficha Derivada de una función compuesta Sea y z(u) una función compuesta de las funciones u y z, siendo u y z funciones derivables. Entonces, y z (u). u Esta regla se llama, regla de la cadena. y ( + 1) 7 u + 1 u z u u z u u ( ) ( ) 7 7( + 1) Ejemplos: y z (u). u 7( + 1) 6. 14( + 1) 6 y (ln ) 1 u ln u z( u) u z ( u) u ln y z (u). u ln. 1 ln y + 1 u + 1 u 1 1 z( u) u z ( u) u + 1 Página 3 y z (u). u

4 u u y 53, y z (u). u 3 7 z( u) u z ( u) u +.ln().ln() ln().(15 + 3) y ln( ) 4 3 u u z( u) ln( u) z ( u) 4 u y z (u). u ( ) Ejercicio 7 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: a) f() (3 + 1). L( + 1) b) h( ).ln(1 ) 3 c) g() L d) g() + L(1 ) ( 5) e) g() e 7. ( 5 ) e f ) f ( ) g) h() ( + 1). ln(e 3 + 4) ( + ) + e Ejercicio 8 Dada la función g( ) + 1, calcule g (0) Ejercicio 9 Un depósito lleno de agua se vacía por un sumidero que tiene en la parte baja. El volumen de agua, en m 3, que hay en cada momento en el depósito, desde que empieza t a vaciarse, viene dado por la función V ( t) 8 t +, donde t es el tiempo en minutos. 3 a) Cuál es la capacidad del depósito? b) Cuánto tiempo tarda en vaciarse? c) Represente gráficamente la función V. d) Calcule la derivada de esa función en t 8 e interprete su significado. Hacer actividades 3 y 4, de la ficha 3.- Derivabilidad de una función Una función f es derivable en un punto a si se cumplen las siguientes condiciones: (C1) f es continua en a (C) Eiste f (a) Las funciones no definidas a trozos son derivables en todos los puntos donde sean continuas Las funciones definidas a trozos pueden ser derivables o no serlo. Para estas funciones usaremos el siguiente criterio: u(), si < a Sea f una función definida a trozos, f (), siendo u, v funciones derivables v(), si a u (), si a y f ɵ < (). Entonces f es derivable en a si se cumple: v (), si > a 1) f es continua en a ) lim u () lim v () L En tal caso, f (a) L + a Si una función f es derivable en un punto a entonces la gráfica en el punto A( a, f(a) ) no tiene roturas (pues es continua) ni pico (pues se puede trazar la recta tangente en A) a Página 4

5 3, si 0 Ejercicio 10 Se considera la función f() , si > 0 a) Estudie su derivabilidad en 0. b) Determine si eisten asíntotas y obtenga sus ecuaciones. Ejercicio 11 Estudie la derivabilidad de la función e, si 0 f ( ) 1, si 0 < si > 6, 3 Ejercicio 1 Sean las funciones f ( ) 3 + si 3 + si < a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f en 0. b) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función h en 0. h( ) + + si + si < c) Si las dos funciones anteriores representan el perfil de un arco puntiagudo de una catedral y el de un arco redondeado (sin picos) de un túnel, indique, razonadamente, la que corresponde a la catedral y la que corresponde al túnel. Hacer actividades de la 5 a la 10, de la ficha a + 1, si < 1 Ejercicio 13 Sea f la función definida por: f() + b + 3, si 1 Determine los valores que deben tener a y b para que f sea derivable. Ejercicio 14 Sea la función f ( ) si a 4 si > a) Halle el valor de a para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de f para ese valor de a. b) Para a 1, eiste alguna asíntota vertical de esa función? Y horizontal? Razone las respuestas y calcule, en caso afirmativo, dichas asíntotas. Hacer actividades de la 11 a la 17, de la ficha 4.- Ecuación de la recta tangente Como la recta tangente a la gráfica de una función f pasa por el punto A(a,f(a)) y su pendiente es m f (a), la ecuación de la recta tangente es: r tg : y f (a). ( a) + f(a) Para poder calcular dicha ecuación es necesario que eistan tanto f(a) como f (a). Una vez calculados, sustituimos en la fórmula anterior los valores: " a ", " f(a) " y " f (a) " y después reducimos la epresión efectuando las operaciones Ejercicio 15 Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g() de abscisa 1. en el punto Ejercicio 16 Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f definida de la forma f() 1 + L( 1) en el punto de abscisa 1. Hacer actividades de la 18 a la 4, de la ficha Página 5

6 Ejercicio 17 Sea la función definida por a) Estudie su continuidad y derivabilidad., si 0 f si 4 1, si > 4 3 ( ) 4, 0 < 4 b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa. Ejercicio 18 Sea la función f(), si < 1, si 1 a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f b) Calcule sus asíntotas. c) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. Ejercicio 19 Sea la función definida de la forma si < 1 f ( ) si 10 a) Halle el dominio de f. b) Estudie la derivabilidad de f en. c) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0. Ejercicio 0 Sea la función dada por Hacer actividades de la 5 a la 30, de la ficha + a, si f ( ) + b, si > 1 a) Determine los valores de a y b, sabiendo que dicha función es derivable. b) Para a y b 3, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa 1 Ejercicio 1 Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f() a b en el punto (1, 5) sea la recta y 3 +. Hacer actividad 31, de la ficha 5.- Monotonía y etremos de una función Estudiar la monotonía de una función f es averiguar los intervalos de la recta donde f es creciente, decreciente o constante. Como la derivada representa la pendiente de la recta tangente: ( ) ( ) ( ) Si f Si f Si f > < 0, en un intervalo, entonces f es creciente en dicho intervalo 0, en un intervalo, entonces f es decreciente en dicho intervalo 0, en un intervalo, entonces f es constante en dicho intervalo Página 6

7 Una vez determinada la monotonía se pueden deducir cuales son los etremos relativos (máimos y mínimos relativos) recordando que: Si la función pasa de ser creciente a decreciente y es continua, entonces hay un máimo relativo Si la función pasa de ser decreciente a creciente y es continua, entonces hay un mínimo relativo Si sólo queremos calcular los etremos relativos de una función f podemos usar el siguiente procedimiento: 1º) Calculamos f () y resolvemos la ecuación f () 0. Si no tuviese solución es porque no hay etremos relativos En otro caso, supongamos que una solución es a ( ) ( ) Si f a > 0, entonces en a se alcanza un mínimo relativo º) Calculamos f (), Si f a < 0, entonces en a se alcanza un máimo relativo Esto mismo hacemos para todas las soluciones de la ecuación f () 0 Si f (a) 0 entonces no podemos deducir si a es o no etremo relativo. En este caso, hay que usar el primer método descrito en este apartado Ojo: El hecho de que sea f (a) 0 no asegura que en a haya un etremo relativo. Por ejemplo, para la función f() 3 f () 3 f (0) 3.0 0, pero en 0 no hay ningún etremo relativo, pues la función y 3 es creciente. Ejercicio La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por f() , 0 a) Determine la inversión que maimiza el beneficio de la empresa y calcule dicho beneficio óptimo. b) Calcule f (7) e interprete el signo del resultado. c) Dibuje la función de beneficios f(). Para qué valor o valores de la inversión,, el beneficio es de 138 mil euros? Ejercicio 3 Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad,, que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente epresión: R() , con 10 a) Calcule la rentabilidad para una inversión de euros. b) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máima rentabilidad. c) Qué rentabilidad máima se obtendría? Página 7

8 Ejercicio 4 Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes. La epresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el consultorio es N(t) 4t t a) A qué hora el número medio de pacientes es máimo? Cuál es ese máimo? b) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, a qué hora cerrará? c) Represente gráficamente N(t) 4t t, con N(t) 0 Ejercicio 5 El gerente de una empresa sabe que los beneficios de la misma, f(), dependen de la inversión,, según la función f() ( es la cantidad invertida, en millones de euros). a) Determine los valores de la inversión para los que la función beneficio es no negativa. b) Halle el valor de la inversión para el cual el beneficio es máimo. A cuánto asciende éste? c) Entre qué valores ha de estar comprendida la inversión para que el beneficio sea creciente, sabiendo que éste es no negativo? Ejercicio 6 Sea la función Hacer actividades de la 3 a la 38, de la ficha 1 1 f 3 3 ( ) a) Determine sus máimos y mínimos relativos. b) Consideremos la función g() f (). Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g() en el punto de abscisa c) Dibuje la gráfica de g() y de la recta tangente calculada en b). Hacer actividades 39, 40 y 41, de la ficha Ejercicio 7 El porcentaje de personas que sintonizan un programa de radio que se emite entre las 6 y las 1 horas viene dado, según la hora t, mediante la función f(t) t + 7t t 3, 6 t 1 a) Qué porcentaje de personas sintonizan el programa al comenzar la emisión? Y al cierre? b) A qué hora tiene máima y mínima audiencia? Qué porcentaje de personas sintonizan el programa a dichas horas? Hacer actividad 4, de la ficha, si 4 Ejercicio 8 Sea la función f() 8, si > 4 a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de esta función. b) Represéntela gráficamente e indique, a la vista de la gráfica, su monotonía y sus etremos. e Ejercicio 9 Sea la función definida de la forma f ( ) Página 8 si > 0 si a) Es f continua en 0? Es continua en su dominio? b) Es f derivable en 0? Es derivable en su dominio? c) Estudie la monotonía de f.

9 Ejercicio 30 Se considera la función f() 3 a) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa 1. b) Estudie su monotonía. c) Calcule sus asíntotas. Hacer actividades 43, 44, 45 y 46, de la ficha Ejercicio 31 Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses: t si 0 t 5 P ( t). 100t 50 si t > 5 t + 5 a) Estudie la continuidad de la función P. b) Estudie la derivabilidad de P en t 5. c) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas. d) En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50? Hacer actividad 47, de la ficha Ejercicio 3 Sean dos funciones, f y g, tales que las epresiones de sus funciones derivadas son, respectivamente, f ( ) + y g ( ). a) Estudie la monotonía de las funciones f y g. b) De las dos funciones f y g, indique, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su derivada es nula. c) Cuál de las funciones f y g es una función polinómica de primer grado? Por qué? Ejercicio 33 La gráfica de la función derivada, f, de una función f es una parábola que corta al eje OX en los puntos ( 1, 0) y (3, 0) y tiene su vértice en (1, 4). Estudie, a partir de ella, la monotonía de la función f e indique la abscisa de cada etremo relativo. Ejercicio 34 La gráfica de la derivada de una función f es la recta que pasa por los puntos (0, 3) y (4, 0). Estudie la monotonía de la función f. Ejercicio 35 Sabiendo que la gráfica es la de f (), deduzca la monotonía y etremos relativos de la función f Hacer actividades de la 48 a la 51, de la ficha Página 9

10 Ejercicio 36 Sea la función f () a 3 + b + a) Determine el valor de los parámetros a y b sabiendo que la función f tiene un máimo en 1 y que f (1). b) Para a b 1, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0. Ejercicio 37 Sea la función f() 3 + a.e + b 1 a) Halle los valores de a y b sabiendo que la función tiene un mínimo en 0 y que la gráfica de la función pasa por el punto (0, 0). b) Para a 0 y b 1, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 1 + a + b si < 1 Ejercicio 38 Sea la función f definida mediante f ( ) L( ) si 1 a) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en 1 b) Para a 1, b 1 estudie la derivabilidad de f en 1 y en 1 Ejercicio 39 Se sabe que la epresión que representa el número medio de clientes N(t) que acude un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas t que llevan abiertos, es N(t) at + bt, 0 t 8, a, b R Sabiendo que el máimo de clientes que han acudido ese día ha sido de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b. Hacer actividades de la 5 a la 6, de la ficha 6.- Curvatura y puntos de infleión de una función Estudiar la curvatura de una función es averiguar los intervalos de la recta donde es convea (forma de U) ó cóncava (forma de ). La derivada segunda, f (), nos permite averiguarlo: Si f ( ) > 0, en un intervalo, entonces f es convea en dicho intervalo Si f ( ) < 0, en un intervalo, entonces f es cóncava en dicho intervalo Si f ( ) 0, en un intervalo, entonces f es una línea recta en dicho intervalo Una vez determinada la curvatura se puede deducir los puntos de infleión Los puntos de infleión son puntos donde la función es continua y pasa de ser convea a ser cóncava o al revés. Página 10

11 Si sólo queremos calcular los puntos de infleión de una función f, podemos usar el siguiente procedimiento: 1º) Calculamos f () y f () y resolvemos la ecuación f () 0. Si la ecuación no tuviese solución entonces no hay puntos de infleión En otro caso, supongamos que una solución es a º) Calculamos f (). Si f (a) 0, entonces en a hay un punto de infleión Esto mismo hacemos para todas las soluciones de la ecuación f () 0 Si f (a) 0 entonces no podemos decidir si es o no punto de infleión. En este caso, hay que usar el primer método descrito en este apartado Ejercicio 40 Para la función f : R R definida de la forma f () , determine: a) Su monotonía y sus etremos relativos. b) Su curvatura y su punto de infleión. Ejercicio 41 Sea la función f() 3 1. a) Calcule los puntos de corte de la gráfica con los ejes, su monotonía y etremos relativos, si los tuviese. b) Determine su curvatura y punto de infleión. c) Halle los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene de pendiente 3. Ejercicio 4 Se considera la función f ( ) 3 1, si < 1 + si 4 3, 1 a) Determine el dominio y estudie la continuidad de la función. b) Obtenga los etremos de la función. c) Estudie su curvatura. Hacer actividades de la 63 a la 67, de la ficha Ejercicio 43 De la función f se sabe que su función derivada es f ( ) a) Estudie la monotonía y la curvatura de f. b) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (1, 1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto. Hacer actividad 68, de la ficha Ejercicio 44 La función f () 3 + a + b tiene un etremo relativo en y un punto de infleión en 3. Calcule los coeficientes a y b y determine si el citado etremo es un máimo o un mínimo relativo. Hacer actividades 69, 70 y 71, de la ficha Página 11

12 7.- Representación gráfica de funciones Como la derivada nos permite determinar la monotonía, etremos, curvatura y puntos de infleión de una función, esta herramienta junto con el cálculo de límites nos va a servir para dibujar la gráfica, de forma aproimada, de una función. Para representar gráficamente una función es conveniente analizar: 1) El dominio de definición ) La continuidad y las asíntotas verticales (posición de la gráfica respecto de las asíntotas) 3) Las asíntotas horizontales y oblicuas (posición de la gráfica respecto de las asíntotas) 4) La monotonía y los etremos relativos. 5) La curvatura y los puntos de infleión Si además, calculamos los puntos de corte con los ejes de coordenadas tendremos más elementos para su representación. Ejercicio 45 Represente gráficamente la función f() , estudiando previamente su dominio, puntos de corte con los ejes, intervalos de monotonía, etremos, intervalos de concavidad y conveidad y puntos de infleión Hacer actividades de la 7 a la 77, de la ficha Ejercicio 46 Sea la función f definida mediante + 1 f ( ) 1 a) Determine los puntos de corte con los ejes. b) Estudie su curvatura. c) Determine sus asíntotas. d) Represente la función. Ejercicio 47 En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un 11t + 17 trabajador depende de los días trabajados según la función M ( t), t 1, donde t t + 1 es el número de días trabajados. a) Cuántos montajes realiza el primer día? Cuántos días necesitará para realizar cinco montajes diarios? b) Qué ocurriría con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente? c) El dueño de la empresa cree que el número de montajes diarios aumenta con los días de trabajo. Estudiando la función, justifique si es cierta dicha creencia. d) Dibuje la gráfica de la función. Hacer actividades de la 78 a la 81, de la ficha Página 1