4.2 Tasas de Variación. Sea la función f: Se llama tasa de variación media de la función f en el intervalo [a, b] al cociente:

Transcripción

1 U.D.4: DERIVADAS 4.1 Ecuaciones de una recta. Pendiente de una recta La pendiente de una recta es una medida de la inclinación de la recta. Es el cociente del crecimiento en vertical entre el crecimiento horizontal. Si tomamos dos puntos cualesquiera de una recta (, la pendiente de la recta es el cociente de la diferencia de las coordenadas de los puntos en el eje de la y entre la diferencia de las coordenadas de los puntos en el eje de las x. Se representa por m y es igual a: La pendiente de una recta puede ser positiva (recta creciente), negativa (recta decreciente) o nula (recta horizontal): Crece la X decrece la Y Crece la X se mantiene la Y Crece la X crece la Y Ecuaciones de una recta. o donde es la pendiente de la recta. o o donde m es la pendiente de la recta. donde m es la pendiente de la recta y Ejercicio 1: a) Halla la pendiente de la recta y la ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y B(3,7). b) Halla la ecuación de la recta que pasa por A(2, 3) y tiene como pendiente m2 c) Halla la pendiente de la recta 4.2 Tasas de Variación. Sea la función f: Se llama tasa de variación media de la función f en el intervalo [a, b] al cociente: La TVM coincide con la pendiente de la recta que une los puntos A y B Si estudiamos la TVM de una función en un intervalo cada vez más pequeño, es decir, cuando b se va aproximando a a, tendremos la pendiente de la recta tangente a la curva f. Definimos la tasa de variación instantánea de f en x a como: y si en lugar de b escribimos a+h, con h

2 4.3 Derivada de una función en un punto. La derivada de una función y f(x) en un punto xa, es un número real, que representa la pendiente (m) de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. La derivada en un punto se representa por y coincide con m. a Se dice que una función es derivable en un punto, si en ese punto la función es continua y existe el siguiente límite: Ejemplo: Hallar la derivada de la función en La función es continua en todo, y por lo tanto continua en 4.4 Función derivada Se llama función derivada a la función que a cada valor de X le hace corresponder un valor. La función derivada se representa por o. Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(x) Continuación: 4.5 Tabla de derivadas y reglas de derivación REGLAS DE DERIVACIÓN La derivada de una suma es la suma de las derivadas de Suma estas funciones. La derivada de una diferencia es la diferencia de las Resta derivadas de estas funciones. La derivada del producto de un número real por una Producto por un nº función es igual al número real por la derivada de la función La derivada de la división de una función entre un División por un nº número real es igual a la derivada de la función entre el número real La derivada del producto de dos funciones es igual a la Producto derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda. La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar Cociente menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador y, todo ello, dividido por el denominador sin derivar al cuadrado. Composición Regla de la cadena

3 4.5 Tabla de derivadas y reglas de derivación Tipo Función Simple Función Compuesta Constante f(x) k f (x) 0 Identidad f(x) x f (x) 1 Potencial f(x) f (x) Irracional f(x) f(x) f(x) f (x) f(x) f (x) f(x) f (x) f(x) f (x) Exponencial f(x) f (x) f(x) f (x) lna Logarítmica f(x) ln x f (x) f(x) f (x) Trigonométricas

4 Ejemplos de derivadas simples. Derivadas de la función constante: ; ; Derivadas de la función potencial: ; ; Derivadas de la función irracional: ; ; Derivadas de la función exponencial: ln2; ln8 ; Derivadas de la función logarítmica: ; ; Derivadas de las funciones trigonométricas: Ejemplos de derivadas de operaciones. Derivada de la suma y resta de funciones: Derivada del producto o de la división de una función por o entre un número Derivada del producto de funciones: Derivada del cociente de funciones: ; ; ; Ejemplos de derivadas compuestas (Regla de la cadena). a) Ejercicio 2 Halla las derivadas de las siguientes funciones simples: b) c) d) e) f) g) h) i) j)

5 a) b) c) d) e) Ejercicio 3 Halla las derivadas de las siguientes funciones compuestas (Regla de la cadena): f) l) g) m) h) n) i) o) j) p) k) q) 4.6 Derivabilidad Decíamos que una función es derivable en un punto, si en ese punto la función es continua y existe el siguiente límite: o sea, las derivadas laterales y son iguales: Si una función es derivable en un punto, es continua en dicho punto. Si la función es continua no tiene por qué ser derivable. Si una función no es continua en un punto, tampoco es derivable. Si nos preguntan la derivabilidad de una función: o Estudiaremos la continuidad, y en los puntos en los que no sea continua, no será derivable. o Después estudiaremos si existe el siguiente límite:. En los puntos en los que no coincidan las derivadas laterales, no será derivable mi función. o En el resto de puntos será derivable mi función. Si nos preguntan la derivabilidad de una función a trozos: o Primero estudiaré la continuidad de cada rama, y en los puntos en los que no sea continua, no será derivable (los que no pertenezcan al dominio). o Después estudiaremos los puntos en los que cambia la rama: Estudiaremos la continuidad en esos puntos, y en los puntos en los que no sea continua, no será derivable: Cuando no será continua y no será derivable en Ejemplo: Si es continua en esos puntos, entonces hallaremos las derivadas laterales en esos puntos, y, y veremos si son iguales. Cuando no será derivable en, aunque sea continua en ese punto. En el resto de puntos será derivable mi función. Estudia la derivabilidad de f(x) El dominio de la rama es: y el dominio de la rama es: El dominio de toda la función es, o sea, todos los Reales. Continuidad en f(0)1 Como coinciden los tres: es continua en x0. Es Continua en todos los Reales. f (x) Como no son iguales, no es derivable en x0. Es derivable en todos los reales menos en x0

6 Gráficamente: Funciones no derivables en un punto Ejercicio 4: Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones: a) f(x) c) h(x) e) j(x) b) g(x) d) i(x) f) k(x) g) 4.7 Ecuaciones de la recta tangente a una curva Una de las ecuaciones de la recta tangente a una curva en un punto es: donde es la pendiente de la recta, que coincide con, siendo ésta la derivada de mi función en, punto en el que corta tangencialmente la recta a mi función: quedando la fórmula: donde Se dice que una recta es normal a otra cuando son perpendiculares. Las pendientes de dos rectas perpendiculares serán: Por ejemplo: ó ó Ejemplos: o Sea la función y Halla la ecuación de la recta tangente a la función en o Halle los puntos de la función f(x) + 1 en los que la recta tangente tiene de pendiente 12 f (x)3 m x x ) y Q(-2,f(-2)) f(2) f(-2) ) y Q(-2,-7) Ejercicio 5: Hallar las ecuaciones de la rectas tangentes a la funciones en los puntos propuestos: a) en b) en Ejercicio 6: Halla el punto de la gráfica en la que la pendiente de la recta tangente a la función es 4, siendo la función:

7 Ejercicio 7: Sea la función a) Halla la tangente a la función en b) Halla la normal a la función en Ejercicio 8: Sea definida por a) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica f en el punto de abscisa. b) Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta Ejercicio 9: Dada la función definida por, prueba que las rectas e son tangentes a su gráfica. Ejercicio 10: Sea la función definida por a) Determina, si existen, los puntos de la gráfica f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa Ejercicio 11: Dada la función definida por comprueba que la ecuación es la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa