GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO

Transcripción

1 GEOMETRÍ NLÍTIC DEL PLNO.-Dependencia e independencia lineal de vectores. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes cuando uno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los restantes vectores. En caso contrario se dice que son independientes. Ejemplo: Estudiar la dependencia lineal del conjunto de vectores (3,), (4,-) Probamos si un vector es combinación lineal del otro. (3,) k (4,-) 3 4k k 3/4 - k k - El vector (3,) no es combinación lineal del vector (4,-), porque no se ha obtenido el mismo valor de k, por lo tanto estos vectores son linealmente independientes..- Coordenadas de un vector libre determinado por dos puntos. Dados los puntos (a,a ) y B (b, b ) el vector B B - (b -a, b -a ) Ej.: Dados los puntos (3,) y B(5,4) hallar las coordenadas del vector B B - (5,4) -(3,) (,3) 3.- Coordenadas del punto medio de un segmento. Considerando el segmento determinado por los puntos y B, entonces para sacar un punto medio M, hacemos: M B M + B Ej.: Sean (3,) y B(5,) dos puntos hallar las coordenadas del punto medio del segmento B. M + B ( 3, ) + ( 5, ) 8 3, 4, 3 Visita: academiadiego.es

2 4.- Ecuaciones de la recta: (Obtenidas con el PUNTO (x, y ) y un VECTOR (v, v ) Ecuación vectorial: y x, y + t ( x, ) ( ) ( v, ) v Ecuación general o implícita: x + By + C NOT: En la ecuación general: Cuando nos den el vector m v v Ecuaciones paramétricas: x x + tv y y + tv Ecuación explícita: x C y B B v B v Ecuación continua: x x y y v v Ecuación punto pendiente: y-y m(x-x ) (v, v ) o (-B,) es el vector director. Hay TRES maneras de hallar la pendiente (m): Cuando nos den la recta m B Cuando nos den el ángulo que la recta forma con el eje positivo de las x: mtagx Nota importante: Si la pendiente de una recta es m la pendiente de una recta paralela también es m y la de una recta perpendicular es: m Ej/ m m m -/ Visita: academiadiego.es

3 5.- Posiciones relativas de dos rectas en el plano Dadas dos rectas x + By + C y x + B y + C Diríamos que las dos rectas son COINCIDENTES si se cumple: Ejemplo: 4x + 6y + x + 3y Diríamos que las dos rectas son PRLELS si se cumple: Ejemplo: x + 3y + 7 x +3y B C B C B C B C Dos rectas son paralelas cuando tienen la y la B iguales o proporcionales, es decir, cuando tienen igual pendiente. Dos rectas son SECNTES cuando se cumple: Ejemplo: 3x - y + 5 4x - 5y B B NOT: Para calcular el punto de corte P de dos rectas se hace el sistema de ecuaciones. P Nota resumen importante: Para determinar la ecuación de una recta es necesario tener un punto y el vector director, o también dos puntos, entonces con los dos puntos sacamos el vector director (apartado ). DOS RECTS PRLELS TIENEN EL MISMO VECTOR DIRECTOR, (L MISM PENDIENTE). Visita: academiadiego.es 3

4 6.- Distancia entre dos puntos del plano. ( ) ( ) + ( ) d,b b a b a d ( a, a ) B( b, b ) 7.- Distancia de un punto a una recta. d ( x, y ) ( ) d P,r x + By + B + C x + By + C 8.- Distancia entre dos rectas paralelas. ( ) d r,r C C + B 9.- Ecuación de la bisectriz: x + By + C + B x + B y + C + B x + By + C + B x + B y + C + B El punto de corte de las tres bisectrices de un triángulo se llama INCENTRO. r ª bisectriz.- Ángulo de dos rectas: s ª bisectriz tgα m m + m m α NOT: El ángulo menor se obtiene tomando la tg positiva ; y el mayor tomándola negativa. Visita: academiadiego.es 4

5 .- Elementos fundamentales de un triángulo. a) MEDIN: Es la recta que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Pasos para hallar la ecuación de la mediana del vértice, por ejemplo..- Se halla el Punto Medio de BC, al que llamaremos K..- Se halla el vector K y obtendremos la pendiente m. 3.- Con el punto K y con m utilizando la ecuación Punto Pendiente hallaremos la ecuación de la Mediana de. B Las tres Medianas se cortan en un punto llamado BRICENTRO. b) MEDITRIZ: Es la recta que pasa por el punto medio de cada lado de forma perpendicular. Pasos para hallar la ecuación de la mediatriz del lado BC, por ejemplo..- Se halla el Punto Medio de BC, al que llamaremos K..- Se halla el vector BC, obtendremos la pendiente m y la pendiente perpendicular m -/m. 3.- Con el punto K y con m utilizando la ecuación B C Punto Pendiente hallaremos la ecuación de la Mediatriz BC. K Las tres Mediatrices se cortan en un punto llamado CIRCUNCENTRO c) LTUR: Es la recta que pasa por un vértice y va al lado opuesto de forma perpendicular. Pasos para hallar la ecuación de la altura del vértice, por ejemplo..- Se halla el vector BC, obtendremos la pendiente m y la pendiente perpendicular m -/m..- Con el punto y con m utilizando la ecuación Punto Pendiente hallaremos la ecuación de la ltura de. B K C C Las tres lturas se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO d) Cálculo del área de un triángulo. Pasos: Base: Se halla la distancia del punto B al punto C ltura con la fórmula de la distancia entre dos puntos. B C ltura: Se halla la ecuación de la recta BC y luego Base la distancia de esa recta al punto, con la fórmula de la distancia de un punto a una recta. Por último se aplica la fórmula del ÁRE del triángulo. b a Visita: academiadiego.es 5