Fundamentos Físicos de la Ingeniería Segundo Parcial / 5 de abril de 2003

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1 Fundamentos Físicos de la Ingeniería egundo Parcial / 5 de abril de 003. En una mesa de billar, la bola se mueve con una velocidad de 5 m/s y choca con la bola de modo que ésta se introduce en la tronera de la esquina, como se indica en la figura. Determinar la velocidad y la dirección de cada bola después del choque, considerándolo: a) completamente elástico; b) con un coeficiente de restitución de º v v θ v θ v a) Es bien sabido que cuando una partícula incidente colisiona elásticamente contra otra partícula de la misma masa que se encuentra en reposo, las partículas se mueven después de la colisión en direcciones que son perpendiculares entre sí. Así, el esquema de colisión es el que se ilustra en la figura, con θ = 30º y θ = 60º. Puesto que en esta colisión se conservan tanto la cantidad de movimiento como la energía cinética, podemos escribir: 30º mv cos 60º mv v sen 60º v mv cos + = + cos 60º = v mv sen 30º mv sen 60º = 0 v cos 60º v sen 60º = 0 mv + mv = mv v + v = v b) Para resolver este problema de choque oblicuo analizamos por separado sus compo- nentes frontal y transversal (tangencial). Para ello, tomamos una base vectorial apropiada definida por los ejes e y: el eje sobre la recta que une los centros de las esferas en el instante de la colisión (componente frontal) ; el eje y es normal al anterior (componente transversal), como se muestra en la figura. de modo que disponemos de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas (v y v ). A partir de las dos primeras se obtiene fácilmente v sen 60º cos60º v sen 60º v v sen 60º v + = = v sen 60º = 4.33m/s v cos 60º v sen 60ºcos60º = 0 v = v cos 60º v =.50 m/s Componente frontal: Aplicamos el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento y la Regla de Huygens-Newton,... e cos v mv cos cos + mv = mv θ = v θ v + v = v θ v v e( v v) v v evcosθ = = + e v = vcosθ v v y (transversal) θ θ bola (incidente (frontal) bola (blanco) v Componente transversal: uponiendo que las bolas sean lisas, las fuerzas impulsivas que actúan durante la colisión son normales a las superficies en el punto de contacto de modo que no tiene componentes sobre el eje y. En consecuencia, las componentes de las velocidades normales a la línea de los centros no se alteran durante la colisión; i.e., v = v sen θ v = 0 y y Para calcular el ángulo θ bajo el que sale dispersada la esfera incidente, calcularemos primero θ +θ ; esto es, Revisado 6/08/004

2 Fundamentos Físicos de la Ingeniería egundo Parcial / 5 de abril de 003 v v sen θ θ θ θ y tg( + ) = = = tg v e v cosθ e ustituimos los valores dados en el enunciado del problema para obtener los resultados numéricos correspondientes a cada caso: e = (colisión elástica) + v 5cos 60º.5 m/s v 0 = = = v y = 5sen60º = 4.33 m/s v y = 0 v 4.33 m/s = v =.5 m/s tg( θ+ θ) = tgθ = θ+ θ = 90º θ = 30º e = 0.95 (colisión parcialmente elástica) 0.95 v = 5cos 60º = m/s v = 5cos 60º =.44 m/s v y = 5sen 60º = 4.33 m/s v y = 0 v m/ s v.44 m/s = + = = tg( θ+ θ ) = tg 60º = θ + θ = 89.º θ = 9.º 0.95 Revisado 6/08/004

3 Fundamentos Físicos de la Ingeniería egundo Parcial / 5 de abril de 003. Un peso cuelga de un cable de acero de m de longitud mm de sección. e desea sustituir dicho cable por otro de cobre de 3 m de longitud. a) Qué sección deberá tener el cable de cobre para que se alargue lo mismo que el de acero? b) Ídem para que se rompan a la misma tensión? Datos: acero: E =.0 0 N/m σ = 4 0 N/m 8 cobre: E =. 0 N/m σ = 0 N/m 8 Definición del módulo de Young: F / F E = σ l ε = l/ l = l E a) Imponemos la condición de que ambos cables eperimenten el mismo alargamiento: y sustituyendo valores Fl Fl E l l = l = = ac Cu ac Cu ac Cu Cu ac Eacac ECuCu ECu lac l F.0 3 Cu = =.73mm. b) Imponemos la condición de que sean iguales las tensiones de tura en los dos cables: σ F = F = = ac y sustituyendo valores ac Cu σac ac σcu Cu Cu ac σcu 4 Cu = = mm Revisado 6/08/004

4 Fundamentos Físicos de la Ingeniería egundo Parcial / 5 de abril de Un objeto de kg cuelga del etremo de un muelle de constante elástica 300 N/m. Iniciamos las oscilaciones libres del sistema comunicando al objeto una velocidad inicial hacia abajo de 50 cm/s. a) Calcular la frecuencia y el periodo de las oscilaciones. b) Determinar la amplitud de las oscilaciones. c) Epresar la elongación en función del tiempo. d) i inicialmente hubiéramos comunicado al objeto una velocidad mayor, indíquense cuales de las magnitudes anteriores se modificarán y de que forma, justificando las respuestas. a) La frecuencia de las oscilaciones del sistema masa-muelle está definida por la magnitud de la masa y el valor de la constante elástica del muelle: m k v 0 de modo que =0 k 300 ω = = = 5 = 5rad/s m ω 5 ν = = = 0.80 Hz T = =.6 s π π ν b) De conformidad con el enunciado de este problema, al instante inicial (t = 0) le corresponde una elongación nula, por lo que la fase inicial también será nula. De la epresión de la elongación se obtiene por derivación la de la velocidad En el instante inicial (t = 0) serán: c) Elongación en función del tiempo: = Asen ωt v= ωacos ωt t= 0 = 0 v = ωa v0 50 A = = = 0 cm ω 5 = 0.0sen 5 t 0 0 d) La frecuencia de las oscilaciones es una propiedad intrínseca del sistema masamuelle, por lo que no depende de las condiciones iniciales, de modo que no se modificaría en el supuesto del enunciado. La amplitud de las oscilaciones depende de las condiciones iniciales, de tal modo que, si la velocidad inicial impuesta aumenta, también lo hace la amplitud. Aunque la fase inicial depende de las condiciones iniciales, en este caso continuará siendo nula, ya que tan solo cambia el módulo de la velocidad inicial, pero no su dirección. (I) Revisado 6/08/004

5 Fundamentos Físicos de la Ingeniería egundo Parcial / 5 de abril de Un depósito de grandes dimensiones abierto a la atmósfera desagua por una tubería troncocónica que lleva incorporado un tubo en U invertida cuyo etremo inferior está sumergido en otro depósito que contiene el mismo líquido. Determinar la altura h a la que asciende el líquido en función de la distancia. Calculamos la velocidad de salida en mediante el teorema de Torricelli: v = gh H L A h B Aplicamos la ecuación de Bernoulli y la condición de continuidad entre los puntos y : p + ρv = p + ρv v = v v = v atm de modo que, sustituyendo v y v en la primera ecuación, tenemos p patm ρ v v v gh ρ = = = ρ > 0 Aplicamos la ecuación fundamental de la Estática de Fluidos entre B y A, teniendo en cuenta que la presión en A es igual a la presión en : p = p + ρgh p p = ρgh atm atm Igualando las dos ecuaciones anteriores, obtenemos ρgh = gh + h = H = H < 0 ρ h ya que <, por lo que realmente el agua no asciende por el tubo, sino que desciende, como se ilustra en la figura. B A h Tan solo nos queda epresar en función de la distancia indicada en la figura. El radio de la tubería en función de la distancia es R R R = R con R = R = L π π de modo que, después de un laborioso desarrollo, obtenemos + = π R = + + L L Revisado 6/08/004

6 Fundamentos Físicos de la Ingeniería egundo Parcial / 5 de abril de Un mol de agua a 5 ºC se calienta en recipiente abierto a la atmósfera hasta 00 ºC. Los valores medios del coeficiente de dilatación y del calor específico del agua en ese intervalo de temperaturas son K - y.0 cal/g K, respectivamente. Calcular las variaciones de la energía interna, entalpía y entropía en el proceso. Durante el proceso a presión constante, el agua absorbe una cantidad de calor y realiza un trabajo de epansión Q= mc T = 8 (00 5) = 350 cal = 5643 J W = patm V siendo V el incremento de volumen que eperimenta el agua al incrementarse su temperatura. De la definición del coeficiente de dilatación, se sigue: α y tomando ρ 0 g/cm 3, de modo que V / V m V V T T 0 = = 0α = α T ρ cm L V = = = 4 W = = = 4 4 atm L = atm L 0.03 cal J que es despreciable en comparación con el calor absorbido. Las variaciones de energía interna y de entropía son: U = Q W = cal = 5643 J H = Q = 350 cal = 5643 J p La variación de entropía se calcula imaginando un proceso isobárico reversible entre los estados inicial y final; esto es, T cal J = = mc = mc = = 4.04 = 6.9 K K đq Tf dt f 373 ln 8 ln T Ti T Ti 98 Revisado 6/08/004

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