Problemas deestadísticaii Cuaderno II: Regresión Multiple

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1 Problemas deestadísticaii Cuaderno II: Regresión Multiple Ingeniería Industrial. Curso 2000/ Se realizanlas regresiones lineales: bx 1 = b 0+ b 1x 2 R 2 =0:99 by= b 0 + b 1 x 1 R 2 =0:8 (a) Indicar si el modelo de regresión by= b ± 0 + b ± 1 x 2 será bueno o no. (b) Qué se espera que ocurra al ajustar un modelo de la forma by=b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2? 2. De una encuesta de presupuestos familiares se han obtenido los siguientes datos mensuales: Gasto en teléfono (G) Renta familiar (R) Tamaño familia (T) (a) Construir e interpretar un modelo para explicar el gasto en teléfono en función de la renta familiar y el tamaño de la familia. (b) Calcular el coe ciente de determinación y la varianza residual. (c) Construir un intervalo de con anza con nivel 0.95 para el efecto de la variable R. (d) Indicar qué coe cientes sonsigni cativos. (e) Si el tamaño de la familia permanece constante, calcular el incremento de gasto esperado para un incremento de renta de ptas. (f) Efectuar el contraste de la regresión. 1

2 3. Sea L= latitud en grados A= altura en metros T = temperatura media anual (a) ExplicarT en función delya: L A T Gijón Vigo Barcelona Valencia Almería Cádiz (b) Prever la temperatura media de Tortosa, sabiendo que la latitud es 40.5 y la altitud 50 m. 4. A partir de una muestra de 21 datos se estima una ecuación de regresión lineal entre el tiempo de duración de un proceso y una variable de controlx 1 : La ecuación que se obtiene es: by=2+x 1 bs 2 R =1 (a) Sabiendo que bs 2 y =5; calcular el coe ciente de correlación. (b) Construir un intervalo de con anza( =0:01) para el parámetro que mide el efecto de x 1 : (c) Prever un valor de by parax 1 =10 construyendo un intervalo de con anza del 99%. (En la muestrax=0). (d) Para mejorar la ecuación anterior se incluyen otras dos variablesx 2 yx 3, obteniendo de nuevo con los 21 datos la ecuación de regresión múltiple: by= b 0+ b 1x 1 + b 2x 2 + b 3x 3 bs 2 R =0:5 donde 0=2; 1=1:5; 2=0:3; var( 1)=(0:1) 2 ; var( 2)=(0:54) 2 ; var( 3)=(0:2) 2 : Calcular el coe ciente de correlación y justi car si esta línea es mejor o no que la anterior.? Qué conclusión podemos extraer respecto a la relación entrex 2 yx 3? 5. Demostrar que en el modelo de regresión: (a) e 0 b Y =0 (b) X 0 Y =X 0 b Y 2

3 6. Explicar en qué condiciones si se introduce una nueva variable explicativa en un modelo de regresión no se modi can los coe cientes de las demás variables. 7. El resultado de la regresión entre las variablesx 1; X 2 ey es el siguiente: Y = 5+ 3 (4) X (3) X 2 bs 2 R = 1 bs 2 y=10 donde entre paréntesis gura el error estándar. Analizar el resultado. 8. En base a una muestra de 30 observaciones anuales se ha estimado la siguiente ecuación e regresión para la demanda de aceite de oliva de un determinado país: logy = 0:05 0:29 (0:05) logx 1+0:23 (0:08) logx 2+0:15 (0:10) logx 3+0:09 (0:09) logx 4 R 2 = 0:75 donde: y= demanda de aceite de oliva x 1 = precio del aceite de oliva x 2 = precio del aceite de girasol x 3 = precio de la mantequilla x 4 = renta de los consumidores Los números entre paréntesis son las estimaciones de las desviaciones estándar de cada parámetro estimado. Se pide: (a) Interpretar los coe cientes (b) Cómo afectaría a la demanda de aceite de oliva un aumento en su propio precio? (c) Obtener un intervalo de con anza al 99% para el coe ciente del precio del aceite de oliva en el modelo. (d) Contrastar la hipótesis nula de que la elasticidad de la renta de la demanda de aceite de oliva es cero. ( 4=0) (e) Contrastar la hipótesis nula de que el precio de la mantequilla no in uye en la demanda de aceite de oliva. (f) En base al modelo estimado,? podemos a rmar que un aumento en el precio del aceite de oliva implicaría un incremento de la demanda de aceite de oliva? (g) Efectuar uncontraste de regresión. 3

4 9. Para estudiar la relación entre la variabley y tres variablesx 1; X 2 yx 3 se toman 20 observaciones observándose unos datos tales que: X X= C A X Y = 138 C A 130 Se pide: (a) Estimar el modelo 0 (X 0 X) 1 = Y 0 Y = 7950 y= 16: :4 0:8 0:2 1 0:8 1:85 0:4 0 0:2 0:4 0:6 y i = 0+ 1x 1i + 2x 2i + 3x 3i +u i Indicar si los efectos estimados son signi cativos mediante el contrastetycalcularr 2 : (b) Estimar el modelo y i = 0+ 1x 1i + 2x 2i +u i Indicar si los efectos estimados son signi cativos mediante el contastetycalcularr 2 : (c) A la vista de los resultados de los apartados anteriores, indicar qué modelo es mejor y cómo son las variablesx 1 ;X 2 yx Se realiza un experimento para determinar la duración de vida de un producto(y) en función de dos variables de fabricación(x 1 ;x 2 ) con los resultados siguientes: y x 1 x (a) Calcular la ecuación de regresión. (b) Calcular bs 2 R yr2 : (c) Construir un intervalo de con anza para la predicción en el punto(0;0): 1 C A 4

5 11. Un investigador se plantea analizar el efecto de los años de estudio y los años de experiencia laboral sobre la renta salarial de los trabajadores jóvenes. Para ello dispone de una muestra de 20 individuos (entre 27 y 32 años) en la que observa: y= Renta salarial (enmillones de pesetas alaño) x 1 = Años de estudios x 2 = Años de experiencia laboral Además, el investigador cuenta con los datos que se adjuntan. En principio, se plantea un modelo de regresión lineal que explique el nivel de renta en función del nivel de estudios y los años de experiencia, y= 0+ 1x 1 + 2x 2 +u (a) Construye una tabla en la que aparezcan: i. Los valores estimados para 0; 1; y 2: ii. Sus desviaciones típicas (o estándar) estimadas. iii. Los tres estadísticostpara las tres hipótesis nulas 0=0; 1=0 y 2=0: iv. El coe ciente de determinación. (b) Contrasta las hipótesis nulas: i. H 0 : 1=0 H 1 : 1 6=0 ii. H 0 : 2=0 H 1 : 2 6=0 iii. H 0 : 1=0 y 2=0 iv. H 1 : 1 6=0 o 2 6=0 (c)? Se puede a rmar que el nivel de estudios y los años de experiencia no tienen efecto sobre el nivel de renta salarial? (d) Alternativamente, el investigador se plantea el modelo de regresión y= 0+ 1x 1 +u Para este modelo: i. Estima los parámetros. ii. Contrasta la hipótesis nula: H 0 : 1=0 H 1 : 1 6=0 iii.? Cómo explicarías el resultado de este constraste y los del modelo de regresión múltiple anterior? 5

6 iv.? Puede existir algún problema de sesgo en la anterior estimación de 1 en este modelo de regresión simple? Razona tu respuesta. 12. Conociendo los siguientes datos: cor(x 1 ;Y) = 0:4; cor(x 2 ;Y) = 0:3; cor(x 1 ;X 2 ) = 0; s X1 =3;s X2 =5;s Y =10; las medias dex 1 ;X 2 ey son cero yn=100; se pide: (a) Calcular la recta de regresión. (b) CalcularR 2 : (c) Contrastar si los coe cientes son signi cativos y construir un intervalo de con anza para los mismos( =0:05): (d) Indicar en qué se hubiera diferenciado el problema si cor(x 1 ;X 2 ) 6=0: 13. Se quiere estudiar si existe relación entre la velocidad(v); la cilindrada(c) y la potencia(p) de las motos. para ello, se toma una muestra de 32 motos y se ajusta una serie de modelos de regresión, quedando los siguientes resultados: v=89 (5:8) + 1:5 (0:1) p R2 adj=0:85 (1) v= :1 c (7:4) (0:01) R2 adj =0:72 (2) v=88:7 + 1:3 p+ 0:01 c (5:9) (0:26) (0:019) R2 adj=0:85 (3) Indicar a la vista de las ecuaciones, qué relación tienen las variablespyc:? Qué ecuación eligiría usted? 14. Demostrar que el vector de valores previstos, segúnla estimaciónmínimo cuadrática, enun modelo de regresión es la proyección ortogonal del vectory(variable dependiente) sobre el subespacio vectorial generado por las variables independientes1;x 1 ;:::;X k. 15. Demostrar que los residuos de una recta de regresión satisfacenlas siguientes ecuaciones: nx e i =0 i=1 nx e i x i =0 i=1 16. Dados los siguientes modelos de regresión by = b 0+ b 1x R 2 1 bx = b 0 + b 1 x R 2 2 Indicar la relación que existe entre b 1 y b 1 ;? y entrer 2 1 yr2 2? Demostrar que b 1 se(b 1) = b 1 se(b 1 ) 6

7 17. Para estudiar la variable Edad de Jubilación de los trabajadores, se toma una muestra de 532 hombres que se jubilaronen 1987 obteniéndose EJ=63:1+0:047 (0:04) AES 0:75 (0:33) ASAL 0:09 (0:48) CAS 1:94 (0:65) PAR donde los valores entre paréntesis correspondenalerror estándar y EJ= Edad de jubilación AES= Años de Estudio 8 < 1 si el trabajador es asalariado ASAL= : 0 en otro caso 8 < 1 si el trabajador está casado CAS= : 0 en otro caso 8 < 1 si el trabajador estaba en paro el año anterior PAR= : 0 en otro caso Los residuos del modelo indican la conveniencia de introducir la variableaes 2 obteniéndose: EJ=63:9 0:25AES+ 0:02 (0:12) (0:007) AES2 0:76 ASAL 0:09CAS 2:12PAR (0:32) (0:48) (0:65) cuyos residuos no parecenmostrar estructura. Se pide: (a) Discutir qué variables sonsigni cativas y por qué en el primer modelo. (b) Hacer lo mismo con el segundo modelo. (c)? A qué se deben las diferencias? (d) Indicar qué efecto tiene la educación sobre la edad de jubilación y calcualr la edad de jubialción prevista de un hombre con pocos estudios (2 años), estudios medios (6 años) o superiores (18 años) y comentar a qué podrían deberse las diferencias. (e) Calcular la edad mínima de jubilación e indicar en qué valores de las variables explicativas se obtendría. 18. Se pretende estudiar la relación entre la velocidad punta que alcanza un automóvil y su peso y potencia. Se realizan tres regresiones con los resultados siguientes (los valores entre paréntesis correspondenal error estándar): Comentar los resultados. V = 137:95+ 0:46 (0:028) POT R2 =0:8724 V = 125:75+ 0:07 (0:0098) PESO R2 =0:5509 V = 145:01+0:52POT 0:01 PESO (0:05) (0:0097) R2 =0:8759 7