DIBUJO TÉCNICO. UNIDAD DIDÁCTICA VII: Geometría 2D (IV)

Transcripción

1 UNIDAD DIDÁCTICA VII: Geometría 2D (IV) 1 ÍNDICE Página: 1 INTRODUCCIÓN. 2 2 ÁNGULOS VINCULADOS A LA CIRCUNFERENCIA TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR RECTAS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS. 3 4 TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIAS DE RADIO DADO TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS. 4 5 CONCLUSIÓN Y EXTENSIÓN DEL MÉTODO DE DILATACIÓN CONTRACCIÓN ENLACES ÓVALOS ÓVALO ÓPTIMO ARCO DE CARPANEL. 7 8 OVOIDES OVOIDE DE ALCANTARILLADO 7 9 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD EJERCICIOS PROPUESTOS Francisco Irles Mas.

2 1 INTRODUCCIÓN Ya se ha introducido el concepto de circunferencia como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de uno fijo. En esta unidad vamos a estudiar los ángulos vinculados a ella así como uno de los tres métodos de resolución de tangencias que son clásicos en la geometría plana, dejando los basados en potencia e inversión por ser conceptos más complejos no incluidos en el temario. 2 ÁNGULOS VINCULADOS A LA CIRCUNFERENCIA. Se consideran los distintos ángulos que presentan diferentes posiciones relativas respecto la circunferencia. Así pues cabe distinguir: interior, inscrito, semi-inscrito y exterior, siendo el central un caso particular de los interiores. Figura 1: Ángulos: interior, inscrito, semi-inscrito, exterior y central. Arco capaz y arco capaz de 90º. Conviene recordar el concepto de arco capaz y en especial el de 90º por la importancia que va a tener en la resolución de problemas de tangencias. Cuando un ángulo central y uno inscrito abarcan el mismo arco de la circunferencia el valor del inscrito es la mitad del central. 3 TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS. La tangencia entre dos líneas es una posición límite relativa entre ambas. Las posiciones de la recta respecto de la circunferencia pueden ser: exterior, tangente y secante. Antes de abordar casos concretos de problemas de tangencias conviene dejar claro un concepto elemental. Cuando una recta y una circunferencia son tangentes el punto de tangencia siempre es el vértice de un ángulo semi-inscrito de 90º de forma que un lado es la tangente y el otro el radio vector del punto de tangencia. Figura 2: Posiciones relativas de circunferencia y recta: exteriores, tangentes y secantes. Figura 3. 2 Francisco Irles Mas.

3 3.1 RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR. T Aplicando el concepto que acabamos de ver y mediante un arco capaz de 90º para el segmento OP obtenemos el punto de tangencia T. Se obtienen dos soluciones PT y PT. 3.2 RECTAS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS. O T' Figura 4: Rectas tangentes a una circunferencia dada de centro O desde un punto exterior P. P Introducimos en este punto un nuevo concepto que nos permite transformar este problema en el del punto anterior, es lo que llamaremos el proceso de dilatación contracción. Consiste en restar el radio de la circunferencia más pequeña a ambas convirtiéndose la pequeña en un punto, para una vez Figura 5: Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias dadas. resuelto volver al estado inicial. De esta forma solo obtenemos las tangentes exteriores, para determinar las interiores debemos contraer la pequeña y dilatar la grande. 4 TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS. A nivel general tenemos que tener en Figura 6: Rectas tangentes interiores a dos circunferencias dadas. cuenta que los puntos de tangencia se producen sobre la recta que une los centros de los arcos tangentes y que por ese punto siempre existe una recta tangente común a ambos arcos. 3 Francisco Irles Mas.

4 4.1 CIRCUNFERENCIAS DE RADIO DADO TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS. Pueden llegar a haber ocho soluciones, dos tangentes exteriores a las dadas y dos interiores y cuatro con combinaciones exterior interior. La solución de nuevo vamos a verla mediante el método de dilatación contracción Figura 7: Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas conocido el radio R3, para obtener las soluciones exteriores sumamos R3 de la buscada a R1 y R2. Figura 8: Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas conocido el radio R3. Para obtener las soluciones interiores restamos R3 de la buscada, a R1 y R2. Considerando R1-R3 y R2-R3 diferencias de vectores y no escalares de forma que pueda dar radios negativos. 4 Francisco Irles Mas.

5 03 03' Figura 9: Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas conocido el radio R3. Para obtener las soluciones interior-exterior sumamos en una y restamos en la otra. 5 CONCLUSIÓN Y EXTENSIÓN DEL MÉTODO DE DILATACIÓN CONTRACCIÓN. Como se ha visto en los casos expuestos, se obtienen los centros deseados mediante equidistantes a las circunferencias dadas. Incluso podemos extender este concepto a las rectas que se pueden considerar circunferencias de radio infinito y que el proceso de dilatación-contracción se plasma en paralelas a un lado y otro a una distancia R. Figura 10: Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas y a dos rectas conocido su radio R. Para obtener los centro hemos de trazar circunferencias o rectas equidistantes a los/las dadas, el radio R. 5 Francisco Irles Mas.

6 6 ENLACES. Definimos como enlace la concatenación de segmentos rectos y arcos de forma tangente entre sí. Por tanto la resolución de este tipo de ejercicios se basa en los mismos métodos que los problemas de tangencias. Conviene recordar que la bisectriz de dos rectas nos define el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a las dos rectas dadas, como consecuencia de ser el lugar geométrico de los puntos que equidistan del par de rectas. Veamos algunos ejemplos de enlaces: Figura 11: Unir una serie de puntos mediante arcos de circunferencia enlazados. Existen múltiples soluciones. Una es empezar con una circunferencia que pase por los tres primeros puntos para luego exigir la tangencia y que pase por el siguiente punto. Figura 12: Enlace de las rectas r y s dadas, conocido el punto de tangencia y que el radio de ambas curvas vale R dado. 6 Francisco Irles Mas.

7 7 ÓVALOS. Son curvas cerradas convexas formadas por arcos circulares tangentes entre si de forma que mantienen dos ejes de simetría ortogonales donde están ubicados los centros. Su construcción se resuelve igual que cualquier problema de tangencias. Sin embargo vamos a ver algunas definiciones: 7.1 ÓVALO ÓPTIMO. Es aquel cuya relación de radios es máxima, es decir el cambio de curvatura es mínimo. Se demuestra que, para el óvalo de cuatro centros pasa por el incentro I del triángulo ABC, siendo además el punto de tangencia. 7.2 ARCO DE CARPANEL. Esta compuesto por medio óvalo óptimo y se utiliza frecuentemente en arquitectura. Los arcos obtenidos de esta forma pero a partir de óvalos no óptimos se llaman arcos tranquilos o rampantes. 8 OVOIDES. Al igual que los están formados por arcos cuyos centros se sitúan sobre dos ejes ortogonales, pero en este caso sólo hay un eje de simetría. Esto conlleva a que uno de los arcos ha de ser media circunferencia. 8.1 OVOIDE DE ALCANTARILLADO. Figura 13: Óvalo óptimo. Se denomina así por su amplia aplicación como sección en conducciones de alcantarillado dada su peculiar propiedad de que el perímetro mojado es prácticamente proporcional al caudal evacuado, lo que le confiere ventajas hidráulicas. Sus radios son 2/6, 1/6 y 6/6 de su eje mayor. Figura 14: Arco de Carpanel. Figura 15: Ovoide de alcantarillado. 7 Francisco Irles Mas.

8 9 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 5. 1/ Dibujar las proyecciones de de un triángulo equilátero que esté contenido en α sabiendo que el vértice A esta sobre α2, B sobre α1, el lado mide 25 mm. y uno de los lados es frontal de plano. Dibuja solo la solución del primer diedro. 2/ Determina la distancia en VM entre las rectas r y s, que son paralelas. 3/ Determina las trazas de un plano β que diste 20 mm. del punto A y sea paralelo a α, quedando por encima de él. 4/ Determina el ángulo en VM formado por R y S sabiendo que se cortan. 8 Francisco Irles Mas.

9 5/ Determina el ángulo en VM que forman α y β. 6/ Sobre el plano α apoya sobre una cara un cubo de forma que se cuelga por un vértice del punto A. Es decir por acción de la gravedad una diagonal de la cara que apoya estará sobre la recta de máxima pendiente que pasa por A. Lado del cubo = 20 mm. 10 EJERCICIOS PROPUESTOS. Recuerda que en todos los ejercicios de tangencias se deben dejar las líneas auxiliares en fina, los datos en semi-gruesa y el resultado en gruesa. También debes obtener todos los puntos de tangencia de forma exacta. 1/ Dadas dos rectas paralelas a una distancia de 40 mm. y un punto A sobre una de ellas, obtén el enlace de las mismas mediante una curva en S que arranque de A y que sus dos arcos tengan un radio de 15 mm. Figura de ejercicio 2 (todos los ejes están a 90º). 2/ Obtén el dibujo de la figura resolviendo los problemas de tangencias que se te presenten. 9 Francisco Irles Mas.