CAPÍTULO I ÁLGEBRA TENSORIAL

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1 Sección I.1.a) álgebra ectorial intrínseca 10/09/2011 CAPÍTULO I ÁLGEBRA TENSORIAL 1.1 Repaso de álgebra ectorial intrínseca 1.2 Álgebra ectorial en componentes ortonormales y generales: notación indicial. 1.3 Concepto de tensor. Prodcto tensorial de ectores. Operaciones con tensores. Álgebra tensorial intrínseca. 1.4 Bases y componentes tensoriales. Álgebra tensorial en componentes. Algoritmos matriciales. 1.5 Estdio particlar de los tensores de orden 2. Capítlo I : ALGEBRA TENSORIAL 1.1 Algebra ectorial intrínseca Objetios del capítlo: estdiar el álgebra qe se necesita para desarrollar los modelos matemáticos de la Física de medios continos. a) Conceptos preliminares: tipos de magnitdes Magnitdes escalares: son aqéllas cyas cantidades se miden mediante números reales y se representan adecadamente en na escala de medida. Ejemplo: la temperatra y el termómetro; la longitd y el metro; la presión atmosférica y el barómetro; etc Magnitdes ectoriales: son aqéllas cyas cantidades se miden mediante ectores y se representan adecadamente mediante n segmento orientado, dotado de módlo y dirección, es decir, lo qe llamaremos n ector. Ejemplo: la elocidad de na partícla en moimiento es n ector qe tiene por módlo la rapidez ( speed ) y por dirección la tangente a s trayectoria (en el sentido del aance); Magnitdes tensoriales: son aqellas qe se representan mediante tensores, es decir, aplicaciones lineales qe actúan sobre ectores y prodcen n resltado (escalar, ector otro tensor) mediante el qe se les clasifica por el llamado orden tensorial. Ejemplo: la cratra de na sperficie es n tensor de segndo orden en cada pnto, qe actúa sobre las direcciones tangenciales y prodce el ector cratra de la sección normal a la sperficie en el pnto en tal dirección. 1

2 Sección I.1.a) álgebra ectorial intrínseca 10/09/2011 b) Definición matemática de ector libre Se considera como n dato primitio el espacio de pntos, ya sea bidimensional (el plano afín, E 2 ) o tridimensional (el espacio afín, E 3 ). Ss elementos son los pntos del plano o del espacio, representados normalmente con letras mayúsclas: A, B,.., P, Q En adelante nos referiremos con E tanto al plano E 2 como al espacio E 3 cando lo qe se diga alga para ambos. Un ector geométrico en el espacio afín E es n segmento orientado AB, qe ne dos pntos, s origen A y s extremo B. Así, el conjnto de todos los ectores geométricos se pede identificar con el prodcto cartesiano E E. El módlo de n ector geométrico es la longitd del segmento. La dirección es la de la recta qe pasa por A y B; el sentido es de A (origen) a B (extremo). Un ector libre es na clase de eqialencia de ectores geométricos con respecto a la relación de eqialencia qe considera dos ectores geométricos relacionados si se sperponen exactamente cando se trasladan, paralelamente a sí mismos, a n origen común. Para ello basta qe tengan el mismo módlo y qe sean paralelos. El conjnto de todos los ectores libres es el espacio ectorial V 2 ó V 3, qe en Teoría de conjntos se define como el espacio cociente de los tensores geométricos por la relación de eqialencia dicha. O sea: = Tanto para el plano como para el espacio. De este modo, en Física se dispone de los espacios V 3(ó2) para proporcionar ectores a loa modelos qe se san en los problemas qe aborda, del mismo modo qe los conjntos nméricos N, Z, Q, R,.., proporcionan números para las magnitdes escalares. Además de los ectores libres, la Física debe manejar en ocasiones ectores llamados deslizantes, qe por s definición física no son libres sino qe deben permanecer en la recta qe los contiene. c) Operaciones con ectores y estrctra algebráica de V Las operaciones básicas en V son la sma ectorial y el prodcto por escalares y los prodctos entre ectores (escalar, ectorial, mixto y triple prodcto ectorial. Ver cadro-resmen del Álgebra ectorial intrínseca (está en mi web). 2

3 CUADRO: 1.1 a) REPASO DE ÁLGEBRA VECTORIAL INTRÍNSECA Concepto Definiciones: Álgebra ectorial intrínseca Interpretación geométrica Propiedades DEFINICION Un par de pntos (A,B) determinan n ec. D ector nlo o ector 0 ó 0 en : es el Pnto, elemento geométrico = segmento orientado AB. representante de todos los pares (X, X) cyo B de n espacio Espacio ectorial se define como conj. origen y extremo coinciden. Carece de dirección pntal o afín cociente V = E E, donde (A,B) ~ (C,D) C porqe s módlo se anla. E n, donde la dim. AB = CD en módlo y dirección A ector posición de n pnto P E 3ó2 respecto de n = 2 (plano (sentido inclido). Los ectores geométricos tienen pnto de pntal) ó n = 3 Las clases de eqi. se llaman ec. libres y (espacio pntal) se denotan V o aplicación, módlo y dirección. n pnto fijo O E 3 elegido como origen:, y se determinan por s r(p) := OP = OP E 2ó3 son na Los ectores libres sólo tienen módlo y módlo y s dirección (nitario direccional) dirección, pes se han abstraído los representación = e = e sentido y orientación: los ectores geométricos pntos. matemática del (A,B) = AB y (B,A) = BA tienen igal módlo, espacio o plano Forman n espacio ectorial V n, de dim. n = Cando se representa V 3ó2 (las clases) se son paralelos, pero s sentido es opesto. geométricos 2 ó n = 3 aplican todos los ectores en el mismo Las clases correspondientes se dicen ectores ordinarios (se "pnto", qe es en realidad el ector nlo consideran como 0 ó 0 opestos.. datos primitios) Cando se tilizan los ectores en E 3 se peden aplicar en pntos arbitrarios, según conenga al modelo en qe se sen., V SUMA 2ó3 : la sma + se define + Propiedades de la sma ectorial mediante la ley del paralelogramo (los Uniforme: resltado sige en V ectores geométricos deben aplicarse en n 2ó3. mismo pnto para smarlos). Conmtatia: resltado indep. del orden Asociatia : es posible agrpar smandos (cando hay más de dos) sin afectar el resltado. - el ector sma y los dos smandos son elem. netro de la sma: el ector nlo 0 ó 0 coplanarios. elem. simétrico de V 2ó3 : es s ector opesto, o sea, En conclsión: V 2ó3 es n grpo abeliano con la operación de la sma ectorial.

4 Métodos matemáticas Repaso de álgebra ectorial: a) Álgebra ectorial intrínseca CUADRO RESUMEN 2 Concepto Definiciones: Álgebra ectorial intrínseca Interpretación geométrica Propiedades MÚLTIPLO ESCALAR α R, V 2ó3 : α se define por: s módlo: α, s dirección: sg(α)e. Dados n conj. de n ectores {,, w,...} y otro de igal núm. de escalares {α, β, γ,..}, el ector x = α + β + γw +... se llama combinación lineal de los ect. dados con los coeficientes escalares dados. 2 3 Propiedades del múltiplo escalar de ectores es operación R V V asociatia respe. esc.: (αβ) = α(β) = (α)β distribtias tanto resp. sma esc. como ect.: (α+β) = α + β ; α( + ) = α + α casos especiales: : 1 =, 0 = 0 ; α : α 0 = 0 ESCALAR DE DOS VECTORES, V se define el escalar = cosα donde α [0, π] es el ánglo entre y (el mínimo posible) Si = e es n ector nitario (dirección): e Propiedades del prodcto escalar de dos ectores es ley de comp. externa (resltado escalar) Conmtatia: = Asociatia resp. múltiplo esc.: (α) = (α) = α( ) Distribtia: ( + w) = + w casos especiales: ect. ortogonales α e es la proyección ortogonal de sobre la dirección e = 0 (ánglo α = 2 π ) = 2 = 2 : = VECTORIAL DE DOS VECT., 2ó3 : := senα n 3, donde n ó e está definido por la ley de la mano derecha. El módlo es el área del paralelogramo determinado por y α ley del plgar extendido de la mano derecha, cando el resto de dedos se cierran desde el prefactor hacia el posfactor por el ánglo menor. Propdes. del prodcto ectorial de dos ectores Uniforme :prodce neos ectores No conmtatia, sino Antisimétrica: = No asociatia: ( w) ( ) w (el primero, se llama triple prod. ectorial) No existe elemento nidad. No existe netro ni simétrico (o inerso) Distribtia respecto de la sma: ( + w) = + w Asociatia resp. múltiplo escalar : (α) = (α) = α ( ) = α Casos especiales: 0 = 0 = 0, = 0 (ect. Paralelos: α = 0,π)

5 Métodos matemáticas Repaso de álgebra ectorial: a) Álgebra ectorial intrínseca CUADRO RESUMEN 3 Concepto Definiciones: Álgebra ectorial intrínseca Interpretación geométrica Propiedades TRIPLE PROD ESCALAR o MIXTO (en V 3 ),,w 3, definimos [,,w] := w = w s alor absolto representa el olmen del paralelepípedo determinado por,, w. s signo representa la orientación de la terna (ley de la mano derecha) w Propiedades del prodcto mixto o triple prodcto escalar de tres ectores en el espacio V 3 (las mismas qe el determinante): -No niforme: resltado escalar -No conmtatia, sino -Alternada : si π(a, b, c) es na reordenación (permtación) de la terna (a, b, c) de signatra ε, entonces el prodcto mixto de π(a, b, c) es ε [a, b, c] con ε = ±1 si la permtación es par/impar (se admite qe ε = 0 si π no es na permtación, y repite algún factor) - Prodcto de prodctos mixtos: [a, b, c] [,, w] = a a aw det b b bw c c cw -Casos especiales: [a, b, c] = 0 {a, b, c} son coplanarios o linealmente dependientes a = 0 [0, b, c] = 0 (análogo con b o c) TRIPLE VECTORIAL El prodcto ectorial no es asociatio, pes a (b c) (a b) c y se llama triple prodcto ectorial al 1º: a b c := a (b c) (la figra mestra qe el triple prodcto es na combinación lineal de b y c (pes pertenece al plano qe éstos engendran, al ser perpendiclar a b c ) a b c c a (b c) b Se preba (en componentes) la fórmla del "baccab" o fórmla de explsión): a (b c) = b(a c) c(a b) Otras propiedades se dedcen de las del prodcto ectorial. Ejercicio: Si a y b son dos ectores dados de V 3, de módlos a y b y ánglo a, b = θ, se consideran los sistemas B 1 = {a, a b, b (a b)} y B 2 = {a, b, a b}. Se pide: 1º) Disctir si son linealmente independientes y calclar el prodcto mixto de cada sistema. 2º) Expresar la 2ª base en la 1ª. (Se spone 0 < θ < π 2 ).

6 Métodos matemáticas Repaso de álgebra ectorial: a) Álgebra ectorial intrínseca CUADRO RESUMEN 4 OTROS CONCEPTOS IMPORTANTES DE VECTORES SUBESPACIOS VECTORLES. APLICACION ES LINEALES Son conjntos de ectores cerrados resp. a las combinac. lineales de ectores. Son s.. impropios {0} y V. Además de ellos, según la dim.: - Rectas ectoriales : Comb. lineales de n solo ector, generador {a} del s.. Se denota L({a}) = {todos los múlt. esc. de a} - Planos ectoriales : C. l. de n par de ectores, generadores {a, b}, lin. indeptes.. Se denota L({a, b}) = {todas las c. l. de a y b} - Sbespacio ortogonal a n a dado: el conj. {a} := {x V t.q.: a x = 0} es n plano ectorial en V 3, y es na recta ectorial en V 2. - Sbespacio generado por n sistema de p ectores : L{a 1,, a p } es el conj. de todas las c.l. de los ectores del sistema (sma. de generadores). Un sma. generador se dice completo si L{a 1,, a p } = ; y se dice libre si [λ 1 a λ p a p = 0 λ 1 =... = λ p = 0], en este caso los coeficientes de calqier comb. lin. de los ectores del sma. son únicos para cada ector del s.. generado. Una base de es n sma. generador completo y libre. Se obsera qe todos los s.. de V 2ó3 contienen al ector 0, lego todos pasan por el "origen" 0 de V 2ó3. Interesan los endomorfismos f : 2ó3 2ó3, qe son las aplicaciones qe conseran las c. l., es decir: f(α + β) = α f() + β f() (así: "la imagen de na c.l. de ectores es la c.l. de las imágenes"), α,β,, Además interesan las formas lineales qe son apl. lineales f : 2ó3, qe cmplen la relación anterior, pero con resltado escalar. - Se llama núcleo (en alemán kern) de na aplicación lineal f al s.. ker f = {x V 2ó3 : f(x) = 0 (ó 0, para formas lin.)}. El núcleo es siempre n s.. de 2ó3 si f es lineal. - Además, si f es n endomorfismo de V 2ó3, el conjnto imagen de f, denotado Im(f), es también n s.. Las ecaciones lineales (ligadas a na apl. lin.) se clasifican en dos grandes tipos: homogéneas y afines o completas, y son de la forma: f (x) = 0 ec. homogénea ; f (x) = a 0 (ec. afín o completa: x se considera incógnita y a, dato). - las solciones de la ec. homogéneas son los ectores del ker f - las solciones de la ec. completa son de la forma x = x p + h, donde h ker f y x p es na solción particlar de la ec. completa (o sea: si se tiene na sol. part. de la ec. completa, se tienen todas las demás mediante el núcleo de la apl. lin. f qe define la ecación. EJERCICIOS: 1) Expresar el ánglo θ = a, b, qe forman los ectores dados a y b, en términos intrínsecos de a, b y a + b 2) Descomponer n ector dado a en sma de dos componentes, a 1 +a 2, na según na dirección, dada por n nitario, e, y la otra perpendiclar a e. 3) Probar qe el conjnto de ectores ortogonales a n ector dado, a, denotado {a}, es n sbespacio ectorial de dimensión n 1, siendo n = 2 ó 3, la dimensión del espacio. Ahora peden hacerse de la PRÁCTICA 1: ejercicios nn. 1 a 3.

7 Sección I.1.a) álgebra ectorial intrínseca 10/09/2011 Ejemplos y ejercicios de álgebra ectorial intrínseca [los marcados con (*), para resoler personalmente y entregar para la ealación contina] a) Usando hasta el prodcto escalar 1. Expresar el a + b en términos de los ectores dados, a y b, y del ánglo qe sbtienden entre sí. (*) 2. Expresar el cos siendo el ánglo qe forma el ector + con el ector siendo y ectores dados qe sbtienden n ánglo conocido,. (*) 3. Calclar el ánglo qe forma la diagonal de n cbo de lado a con ss aristas. b) Usando hasta el resto de prodctos 4. Si a y b son ectores no nlos qe forman entre sí n ánglo agdo, escribir la matriz de Gram de la base de 3 dada por {a, b, a b}. Misma cestión para la base {a, a b, b (a b)}, razonando antes qe es na base. Práctica 1, ejercicios 1 a 3. (*) 3