Tema 1.b: El espacio euclídeo -dimensional Trabajaremos con el conjunto R ( N) delas -uplas ordenadas de números reales

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1 Tema 1.b: El espacio euclídeo -dimensional Trabajaremos con el conjunto R ( N) delas -uplas ordenadas de números reales R = {( 1 2 ) R para todo =1 2 } A los elementos de este conjunto los llamaremos puntos (Cálculo) o vectores(álgebra). Llamaremos a 1 2 componentes de x en el caso de vectores y coordenadas cuando trabajemos con puntos. Definimos la operación adición en R como x + y =( 1 2 )+( 1 2 )=( ) ylaoperaciónmultiplicación por un escalar (la palabra escalar es un sinónimo de número real) R como x = ( 1 2 )=( 1 2 ) El elemento nulo de R es el 0 R =(0 0 0) yelelemento opuesto de x =( 1 2 ) es x =( 1 2 ) Sean x y R ysean R, severifican las siguientes propiedades: (i) ( ) x = ( x). (ii) ( + ) x = x + y. (iii) (x + y) = x + y. (iv) 0 R = 0 R. (v) 0 x = 0 R. (vi) 1 x = x Generalmente trabajaremos con la recta R, elplano R 2 yelespacio tridimensional R 3. En R 2 y R 3 (geométricamente) un vector será un segmento de recta dirigido (en el plano o en el espacio) con punto inicial en el origen y con dirección y magnitud especificadas. Usando esta definición de vector, asociamos con cada vector x el punto ( ), y recíprocamente, a cada punto ( ) en el espacio le podemos asociar un vector x. Así,identificamos x con ( ) yescribimosx =( ). Por esta razón, los elementos de R 3 (o R 2 )noson sólo puntos, sino ue también son considerados vectores. LoselementosdeR suelen representarse por ysonlosnúmeros reales. Los elementos de R 2 suelen representarse por x =( ) y los llamaremos pares ordenados de números reales. Si denotamos por i =(1 0) y j =(0 1) es claro ue x =( ) = i + j. Los elementos del espacio vectorial R 3 suelen representarse mediante x =( ) y los llamaremos terna. Si denotamos por i =(1 0 0), j =(0 1 0) y k =(0 0 1) es claro ue x =( ) = i + j + zk. 1

2 1. Producto interno, longitud y distancia Sean x =( 1 2 ) y y =( 1 2 ) dos puntos de R.Diremosuex y y son iguales si y sólo si = para todo = Producto escalar o producto interno Definimos el producto escalar o producto interno de x y R como el número real X x y = hx yi = = =1 A R 2 dotado de su producto interior R 2 lo llamaremos plano euclídeo ya R 2 lo llamaremos espacio euclídeo tridimensional. Sean x y R ysea R. Severifica (i) x x 0. Dehechox x = 0 si y sólo si x =0. (ii) x y = y x. (iii) x (y + z) =x y + x z. (iv) ( x) y = (x y) =x ( y). Nota: Más generalmente también se le da el nombre de producto escalar en R a cualuier producto (no únicamente éste visto auí) ue cumpla las 4 condiciones anteriores. Pero eso se verá en la asignatura de Álgebra Lineal y Métodos Numéricos. En nuestro contexto no nos interesa otro producto escalar distinto Longitud Llamaremos longitud o norma de un vector x =( 1 2 ) R, y lo denotaremos por kxk, alnúmeroreal no negativo 1 2 kxk =(x x) = Veamos cuales son las normas en R, R 2 y R 3. Si =1,entonces Si =2,entonces Si =3,entonces k k = 2 = k( )k = p k( )k = p En R la norma de un vector no es más ue el módulo o valor absoluto de un número. Recordar ue el valor absoluto de un número real, ue escribiremos, sedefine como el número real no negativo = si 0 2 = =máx { } si 0. Geométricamente el valor absoluto de un número real representa la longitud del segmento cuyos extremo son y 0. Para el valor absoluto se tienen las siguientes propiedades: Sean R. Entonces: Desigualdades triangulares 2

3 2. = y 1 = con Ejercicios: 1) Resuelve la desigualdad y representa su conjunto solución. 2) Resolver las siguientes desigualdades: a) 2 2. b) ) Resolver las ecuaciones a) 3 =4. b) =2. 4) Resolver las desigualdades a) 5 9. b) Los vectores ue tienen norma 1 se llaman vectores unitarios. Por ejemplo, los vectores i j y k son vectores x unitarios. Observar ue para cualuier vector x (distinto de cero), el vector es un vector unitario. Cuando kxk realizamos esta operación decimos ue hemos normalizado el vector x. Ejercicio: Normalizar el vector v =(3 4). Sean x y R ysea R. Severifica: (i) k xk = kxk. (ii) x y kxk kyk. Desigualdad de Cauchy-Schwarz (iii) kx + yk kxk + kyk. Desigualdad triangular 1.3. Ángulo entre dos vectores Sean x y R ysea, talue0, eselánguloentreellos.entonces, x y = kxkkyk cos De esta identidad deducimos ue si x e y son diferentes de cero, podemos expresar el ángulo entre ellos como µ x y =cos 1 kxkkyk Además se tiene claramente ue x y =0 si y sólo si cos =0.Deestemodoelproductointernodedosvectores diferentes de cero es cero si y sólo si los vectores son perpendiculares. De esta forma el producto interior nos proporciona un buen método para determinar si dos vectores son perpendiculares, también llamados vectores ortogonales. A los vectores ortogonales de norma uno los llamaremos vectores ortonormales. 3

4 1.4. Distancia Llamaremos distancia entre x e y al número real no negativo (x y) =kx yk Veamos cuales son las distancias en R, R 2 y R 3. Si =1,entonces Si =2,entonces Si =3,entonces ( ) = (( 1 1 ) ( 2 2 )) = (( ) ( )) = ( ) 2 =. ( 1 2 ) 2 +( 1 2 ) 2. ( 1 2 ) 2 +( 1 2 ) 2 +( 1 2 ) 2. Sean x,y z R.Severifica: (i) (x y) =0si y sólo si = (ii) (x y) = (y x). (iii) (x y) (x z)+ (z y). (iv) (x y) (x z) (y z) 2. Producto vectorial Sean x = e y = dos vectores de R 3.Elproducto vectorial desedefine como i j k x y = Dirección y sentido Si los vectores x y y no son paralelos, determinan un plano. Elvectorx y es perpendicular a y su sentido es tal ue (como sucede con i, j y k) los vectores x y y x y forman una terna orientada positivamente. Si el dedo índice de la mano derecha apunta en el sentido de x y el dedo medio en el sentido de y el pulgar apuntará en el sentido de x y Módulo Si x y y no son paralelos, definen un paralelogramo. El módulo de x y es el área de dicho paralelogramo, es decir kx yk = kxkkyk donde es el ángulo formado por x y y, con0 Ejemplo: Hallar el área del paralelogramo generado por los vectores v =(1 1 2) y w = i + j + k. 4

5 2.3. Propiedades 1. x y = 0 si y sólo si x y y son paralelos (o bien ue alguno de los dos sea nulo). 2. x y = y x. 3. x (y + z) =(x y)+(x z). 4. (x + y) z = x z + y z. 5. ( x) y = (x y)=x αy. 6. i j = k j k = i y k i = j. 3. Rectas Los vectores ue se usan para determinar la posición de un punto se llaman vectores de posición. Los vectores de posición ue parten del origen se conocen con el nombre de radios vectores Parametrización vectorial Sean y dos puntos del espacio (plano) y determinemos la ecuación de la recta r ue pasa por dichos puntos. Para ello tomemos los vectores a =0 y v =. Tomamos ahora un vector suplementario x (el objetivo es formar un triángulo, es decir, la suma de los tres ángulos es de 180 ) El vector ue empieza en el extremos de a y termina en el extremo de x es x a. Luego el extremo de x estará en la recta r sii x a y v son paralelos, es decir, x a = v o, euivalentemente, x = a+ v Si denotamos x =( ), a =( ) y v =( ), entonces = = = La ecuación vectorial x ( )=a+ v parametrizalarectacuando varia en R Si varía en un intervalo cerrado [ ] la ecuación parametriza a un segmento de origen yextremo. Ejemplos: (i) Encontrar la ecuación de la recta en el espacio ue pasa por el punto (2 1 2) en la dirección 2i j +4k. (ii) Encontrar la ecuación de la recta en el plano ue pasa por el punto (1 4) en la dirección v =( 1). (iii) Qué dirección tiene la recta =, = 2 3 ( 1) y =2+ 2? (iv) Verificar si se cortan las rectas 1 ( ) =( 4) y 2 ( ) =( ) (v) Determinar la ecuación del segmento de recta ue tiene como punto inicial (1 1 3) y como punto final (3 2 5). 5

6 3.2. Ecuaciones cartesianas Si 1 2 y 3 son distintos de cero, entonces se puede despejar de cada una de las ecuaciones paramétricas obteniendo = 0 1, = 0 2 y = 0 3 eliminando ahora el parámetro obtenemos tres ecuaciones, una de ellas redundante, pudiendo escribir 0 = 0 = ue es la expresión para las ecuaciones cartesianas de una recta. Ejemplo: Determinar las ecuaciones cartesianas de la recta ue pasa por los puntos (1 1 3) y (3 2 5). 4. Planos Existen varias formas de especificar un plano: 1. Dando tres puntos (no alineados) del mismo, siempre ue no estén alineados. 2. Dando dos rectas del plano. 3. Dando una recta del plano y un punto del plano (ue no esté en la recta) 4. Dando un punto del plano y vector no nulo perpendicular a dicho plano Ecuación escalar Vamos a obtener la ecuación de un plano en función de las coordenadas de a =( ) y, partiendo de este punto, de las componentes de un vector n = i+ j+ k no nulo perpendicular al plano, ue llamaremos vector normal. Para hallar la ecuación del plano tomemos un punto x =( ) del espacio y formemos el vector v = x a =( ). El punto x estará en el plano sii es decir, o, euivalentemente, n v =0 ( 0 )+ ( 0 )+ ( 0 )= =0 donde = Ejemplo: Determinar la ecuación de un plano ue es perpendicular al vector i +2j k y ue contiene al punto (1 1 1). Ejemplo: Hallar la ecuación del plano ue pasa por P =( 3 1 2) y es perpendicular a la recta cuyas ecuaciones paramétricas escalares son = 2+2, =1+ y =4. 6

7 5. Ejercicios propuestos 1. Resuelve la desigualdad y representa su conjunto solución. 2. Resolver las siguientes desigualdades: (i) (ii) Resolver las ecuaciones: (i) = (ii) 1 +1 =1 4. Resolver las desigualdades: (i) (ii) Identificar el conjunto = { R }. 6. Determinar la ecuación de la recta ue pasa por los puntos ( 1 2 0) y (2 0 1). 7. Determinar la ecuación del segmento de recta ue tiene como punto inicial ( 1 1 1) y como punto final (2 1 2). 8. Determinar la ecuación paramétrica de la recta ue pasa por el origen y tiene vector director d. 9. Hallar un vector unitario ortogonal a i + j y j + k. 10. Hallar una ecuación de un plano ue contenga a los tres puntos (1 1 1), (2 0 0) y (1 1 0). 7