UNIDAD I CONJUNTOS DE NÚMEROS

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1 NIDD I ONJNTOS DE NÚMEROS

2 occo-sayago. ONJNTOS INTRODIÓN El lenguaje que usamos a diario contiene muchas palabras para designar una colección de objetos; encontraremos en nuestra carrera que en botánica o zoología, por ejemplo, se utilizan categorías tales como orden, familia, etc. para clasificar animales y plantas que tienen ciertas características comunes; en química se trata con el conjunto de elementos químicos; en economía se realiza el balance entre la totalidad de ingresos y la de gastos; en estadística, para estudiar una población muy grande se selecciona una cierta cantidad de individuos que se llama muestra. Todas estas palabras: colección, categoría, clases, grupos, muestra, etc. tienen un significado común, en matemática, para unificarlas, usamos el término conjunto. ONJNTO Y ELEMENTO Sin pretender definir rigurosamente el término conjunto sólo damos expresiones sinónimas como: reunión, colección o agrupación de objetos de cualquier naturaleza. Los objetos del conjunto se denominan elementos. onvencionalmente, para denotar conjuntos usamos letras mayúsculas y para denotar un elemento genérico de un conjunto usamos letras minúsculas. Dado un conjunto y un elemento x puede suceder que x sea o no un elemento del conjunto, usamos el símbolo pertenece ( ) para denotar estas situaciones, así: x se lee: x pertenece al conjunto x se lee: x no pertenece al conjunto Ejemplo 1: Si es el conjunto de las vocales, entonces a y b En el ejemplo hemos definido al conjunto en el lenguaje usual (coloquial) pero podemos usar lenguaje gráfico o diagramas de Venn. En diagramas se representa el conjunto por una línea curva que encierra a todos los elementos. ISN

3 occo-sayago Ejemplo 2: En diagramas de Venn el conjunto de las vocales se representa por:.z.o.i.a.u.e.t.b Podemos usar también el lenguaje simbólico para definir un conjunto, es decir el conjunto se representa mediante letras y/o símbolos matemáticos que definen sus elementos entre dos llaves; esta representación tiene como ventajas ser breve, concisa, clara y universal. Ejemplo 3: El conjunto de las vocales se representa por a, e, i, o, u { } que se lee: es el conjunto formado por a, e, i, o, u o bien { x / x " es una vocal" } que leemos: es el conjunto formado por los elementos x tales que x es una vocal. En el ejemplo anterior se presentan dos formas de referirnos a los elementos que forman el conjunto, éstas son: Nombrar uno a uno todos los elementos, que significa que el conjunto está definido por extensión. Dar una propiedad (enunciada entre comillas) que caracteriza todos los elementos del conjunto, en este caso decimos que el conjunto está definido por comprensión. El usar una forma u otra para definir un conjunto depende de los elementos del mismo, la definición por extensión es útil si los elementos son pocos o no hay una propiedad que los caracterice, o bien, aunque la haya es tan complicada su expresión que no tiene sentido definirlo por comprensión. Observación: Para definir un conjunto por comprensión, la propiedad enunciada para un x genérico debe ser tan específica que la verifiquen sólo los elementos del conjunto, sin dejar duda de cuáles son. Ejemplo 4: onsideremos el conjunto definido por extensión: { 2, 3, 4, 6} ISN

4 occo-sayago Este conjunto definido por comprensión es: { x / x es un número natural, x es mayor que 1 y menor que 7 y x es distinto de 5} O usando símbolos universalmente aceptados, podemos escribir { x N / x > 1 x < 7 x 5} donde la letra N representa los números naturales, los símbolos > y < indican la relación de mayor y menor, respectivamente, el conectivo lógico lee tal que. la conjunción y, y el símbolo / se onviene la definición por comprensión para representar este conjunto? Ejemplo 5: onsideremos el conjunto: { 2, 4, 6, 8,10,..., 20, 22,..., 30, 32,..., 98,100} sí expresado, en el conjunto no es evidente cuáles son todos sus elementos aunque los puntos suspensivos dan idea de los elementos que pertenecen a en este caso denotar: { x / x es un número natural par, menor o igual que 100 }. onviene O en símbolos: { x / x N x es par 100} x Ejemplo 6: onsideremos los conjuntos: { x / x N 15 } x y { x / x x es múltiplo de 3 x es múltiplo de 5 } M donde el conectivo lógico representa la disyunción o. Para expresar el conjunto M por extensión, tenemos que nombrar todos los números, menores o iguales que 15 que son múltiplos de 3 o bien múltiplos de 5, es decir: M { 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15 } En el ejemplo anterior, todos los elementos del conjunto M pertenecen al conjunto tomado como referencia. El conjunto es llamado conjunto universal, o conjunto referencial. Definición: El conjunto universal es el conjunto que incluye o se conforma con todos los elementos que se consideran en el estudio de una situación o problema determinado. ISN

5 occo-sayago En diagramas de Venn el conjunto universal se conviene representar mediante un rectángulo. Ejemplo 7: Los conjuntos { x / x N x 15 } y { 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15 } representan: M se.2.1 M Ejemplo 8: El conjunto { x / x es par y x es impar} está definido por comprensión. Por extensión este conjunto es: { } ya que no hay elementos que verifiquen simultáneamente las dos condiciones (ser par e impar). n tal conjunto se denomina conjunto vacío y se denota con el símbolo. Entonces podemos escribir, indistintamente, ó { } Observación: El conjunto vacío es { } y no { } pues este último conjunto no es vacío (tiene un elemento cuál?). INLSIÓN E IGLDD DE ONJNTOS INLSIÓN entre ONJNTOS M { } P { 2, 3, 4, 5, 7, 9 } Ejemplo 9: Sean 2, 3, 5, 7 y Para estos conjuntos se verifica que todos los elementos del conjunto M pertenecen al conjunto P, en este caso decimos que M es parte de P o bien M es subconjunto de P, o que el conjunto M está incluido en el conjunto P y en símbolos escribimos: M P ISN

6 occo-sayago En el ejemplo existe un elemento de P que no pertenece a M (por ejemplo el 4 P y 4 M ), entonces podemos denotar también: M P que leemos M está incluido estrictamente en P. P.9 M En diagramas de Venn: Definición: El conjunto está incluido en el conjunto, y denotamos, si todos los elementos del conjunto pertenecen al conjunto. Si existe al menos un elemento del conjunto que no pertenezca a, decimos que está incluido estrictamente en, y denotamos. Simbólicamente: ( x x ) donde el símbolo se lee si y sólo si y el símbolo se lee implica o entonces. Y la inclusión estricta ( x ) x (existe y con y ) y Ejemplo 10: Sea N el conjunto universal, y M { x / x es par } P { x / x es múltiplo de 6 } ISN

7 occo-sayago Para verificar que P M, por definición tenemos que analizar si todos los elementos de P pertenecen al conjunto M, o sea cada vez que: x múltiplo de 6 ( x P ) se verifica que x es un número par ( x M ) Este enunciado es siempre verdadero ya que los múltiplos de 6 son los números que se representan por: Y como podemos escribir: x 6.n donde n es un número entero cualquiera. x 6. n 2.3. n 2.(3. n ) entonces x es un número par, pues es un múltiplo de 2: x 2.m donde m ( 3n) es un número entero cualquiera. Entonces P M estrictamente, pues por ejemplo, el número 8 M y 8 P podemos escribir que: P M Se cumple también M P por qué? IGLDD de ONJNTOS Definición: Decimos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Simbólicamente: x x x x o en términos de inclusión de conjuntos: { } IMPORTNTE!! Por definición de pertenencia de un elemento a un conjunto y de inclusión e igualdad entre conjuntos, el símbolo vincula elemento y conjunto, en cambio los símbolos e vinculan conjuntos. ISN

8 occo-sayago OPERIONES ENTRE ONJNTOS INTERSEIÓN de ONJNTOS Definición: Dados dos conjuntos y, el conjunto intersección, que se representa por, está formado por lo elementos comunes de ambos conjunto. En símbolos: { x / x x } donde x verifica la conjunción x y x Ejemplo 11: Sean los conjuntos { 2, 5, 7, 9,11} y { 6, 7, 8, 9} El conjunto intersección es igual a: { 7,9 } en diagrama de Venn se representa por la parte sombreada: NIÓN de ONJNTOS Definición: Dados dos conjuntos y, el conjunto unión, que se representa por, está formado por la totalidad de los elementos de y de (denotando los repetidos sólo una vez). Simbólicamente: { x / x x } donde x verifica la disyunción x o x Ejemplo 12: Para los conjuntos del ejemplo anterior, el conjunto unión es igual a: { 2, 5, 7, 9, 11, 6, 8 } y se representa por la parte sombrada en el gráfico ISN

9 occo-sayago DIFERENI de ONJNTOS Definición: Dados dos conjuntos y, el conjunto diferencia del conjunto menos el conjunto, que se representa por, es el formado por los elementos de que no pertenecen a. Simbólicamente: { x / x x } Ejemplo 13: El conjunto diferencia para los conjuntos anteriores es el conjunto: { 2, 5, 11} y se representa por la parte sombreada en el siguiente diagrama de Venn: Si en cambio realizamos la diferencia obtenemos: { 6,8} Es igual a? OMPLEMENTO de un ONJNTO Definición: Dado un conjunto, el conjunto complemento de, que se representa por, está formado por los elementos del conjunto universal que no pertenecen a. Simbólicamente: O bien: { x / x } x ó también { x / x } ISN

10 occo-sayago En diagramas de Venn representamos por lo sombreado PROPIEDDES de las OPERIONES entre ONJNTOS a) onmutatividad: ( ) b) sociatividad: ( ) ( ) ( ) ( ) c) Distributividad: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) Leyes de De Morgan: ISN

11 occo-sayago Ejercicios y Problemas de plicación Ejercicio Nº 1: Observar el diagrama y completar luego las líneas de puntos en los siguientes enunciados con los signos:,, y. M.t.w.h.k N P a) w... M e) h... N b) {w}... M f) {k}... N c) P... N g) w... P d) P... M h) {h}... N Ejercicio Nº 2: Decidir si son verdaderos o falsos cada uno de los siguientes enunciados y justificar cada respuesta. { } { } { 8,7} { 6,7,8} } { 4,6} { 4,8} } { 15,10} { 10,15} d) {} g g h) { j, k} { k, j} a) p p, q e) b) m { k, m f) c) q { p, q g) ISN

12 occo-sayago Ejercicio Nº 3: Observar el diagrama de Venn y luego definir por extensión los siguientes conjuntos: a),, b),,, c) /,,, ( ) Ejercicio Nº 4: Sombrear en cada diagrama de Venn la operación indicada: ( ) ( ) ISN

13 occo-sayago Ejercicio Nº 5: onsideremos el conjunto formado por los múltiplos de 3 menores que 25; el conjunto formado por los múltiplos de 2 menores que 25. Decir si son verdaderas o falsas cada una de las afirmaciones y justificar cada respuesta. a) Hay un conjunto de múltiplos de 4 que está incluido en. b) El conjunto de los múltiplos de 5 menores que 25 está incluido en. c) El conjunto de los múltiplos de 6 menores que 25 está incluido en. Ejercicio Nº 6: Entre las plantas que figuran en el cuadro siguiente hay algunas que son árboles, otras que tienen fruto comestible y algunas que cumplen las dos condiciones. Indicar con un tilde ( ) la pertenencia a cada una de las columnas y con una cruz ( x ) la no pertenencia. Plantas Jazmín onjunto {rboles} onjunto {Frutos omestibles} Duraznero Sauce Frutilla Álamo Maíz Ejercicio Nº 7: En una parcela del ampo Experimental que se dedica a siembra de plantas de maíz, se tiene el conjunto de las plantas cuya producción será dedicada para la investigación y está formado por 40 plantas, a su vez se considera el conjunto de plantas reservadas para semillas dedicadas a la venta, formado por 60 plantas. Se conoce que en la parcela hay 25 plantas que podrían dedicarse a ambos objetivos. Qué significa y cuántos elementos forman el conjunto -? y el conjunto? Ejercicio Nº 8: De un grupo de 200 productores entrevistados durante el enso Nacional gropecuario se conoció que en cierta zona del sur de la provincia: 56 productores sembraron maíz 60 productores sembraron soja 84 productores sembraron maní 22 productores sembraron soja y maíz 12 productores sembraron maní y maíz 26 productores sembraron soja y maní 5 productores sembraron maní, soja y maíz ontestar las siguientes preguntas, realizando primero el gráfico de la situación en un diagrama de Venn. ISN

14 occo-sayago a) uántos productores no sembraron ninguno de los tres cultivos? b) uántos productores sembraron sólo maíz? c) uántos productores sembraron maní y soja pero no maíz? Ejercicio Nº 9: no de los censistas del enso Nacional gropecuario acerca de 100 productores de la zona sudoeste presentó el siguiente informe: 20 productores sembraron maíz 30 productores sembraron soja 40 productores sembraron sorgo 10 productores sembraron soja y maíz 16 productores sembraron sorgo y maíz 8 productores sembraron soja y sorgo 5 productores sembraron sorgo, soja y maíz dicho censista se le pidió rehacerlo. Por qué? Ejercicio Nº 10: n productor posee 200 cabezas de ganado. Se sabe que del total, 75 animales podrían destinarse para el tambo, 52 del total para reproducción, 90 para carne y 10 del total por estar enfermos no están destinados para ningún fin. demás 20 animales podrían servir tanto para tambo cuanto para reproducción y ninguno simultáneamente para tambo y carne. Realizar un diagrama de Venn y responder: a) Qué operación define el conjunto de animales cuyo único fin será la reproducción? Podría haber 40 animales en dicho conjunto? b) En caso que hubiera 17 animales sólo para reproducción uántos habría exclusivamente para carne? c) En la situación del punto anterior, uántos animales no están considerados? ISN