Generalidades del Estado Sólido

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1 Universidad de Antioquia Instituto de Física Primer Taller de Estado Sólido, CNF-422 Este taller tiene como objetivo que el estudiante haga un recorrido por los diferentes conceptos para preparar el primer parcial Generalidades del Estado Sólido Responder a cada una de las siguientes preguntas y conceptos: 1. ¾Que es el estado sólido? 2. ¾Que es la Física del Estado Sólido y por qué se estudia? 3. ¾Que tipos de arreglos atómicos de los sólidos hay y como es el sistema físico que se estudia en el curso? 4. ¾ Cual es el marco de conceptos y teorías que son básicas para el entendimiento de los materiales? 5. ¾ Cual es la Metodología de la Física del Estado Sólido que se utilizará durante el curso. Con el n de complementar el tema, debe consultar acerca de: Los cristales como arreglos de mínima energía. Los sólidos reales y los defectos e imperfecciones, plásticos, cristales líquidos, gomas, geles, polímeros, plásticos que conducen la electricidad, los etc. Los cuasicristales y los fractales. Las propiedades y fenómenos de los sólidos En que consisten y que aplicaciones tecnológicas de presentan en los materiales de acuerdo a sus propiedades eléctricas, magnéticas, térmicas, termoeléctricas, mecánicas de los materiales y de fenómenos como la ferroelectricidad, el magnetismo, las superconductividad, entre otros; y los últimos desarrollos de los llamados nanomateriales. ¾Que implicaciones

2 2 Doris Giratá Universidad de Antioquia sobre las propiedades físicas de los materiales tiene el hecho de que un sólido real se estudie basado en un cristal cristal con imperfecciones y defectos? Con el n de complementar el tema, por favor consulte acerca de: Los metamateriales, poseen un índice de refracción negativo, que implicaciones tiene este hallazgo? Estructura Cristalina 1. En cada uno de los casos siguientes indique si la estructura es una red de Bravais. Si lo es, proponga tres vectores fundamentales primitivos; si no lo es, descríbala como una red de Bravais con una base atómica tan pequeña como sea posible. - Un cubo: con puntos en los vértices, adicionando puntos en: (a) el centro de todas las caras, (b) el centro de las dos caras horizontales y (c) la mitad de cada arista. - Un hexágono: (a) con puntos en los vértices y (b) con puntos en los vértices, adicionando puntos en el centro. 2. Para las siguientes redes de Bravais: En una dimensión, en dos dimensiones: rectangular y rectangular cuadrada y en tres dimensiones: simple cúbica, cúbica centrada en el cuerpo y centrada en las caras y para las siguientes estructuras cristalográcas: hexagonal compacta, diamante y grato: - Halle los vectores de traslación de las redes cristalina y recíproca primitivas y el número coordinación de las redes, la distancia entre primeros vecinos y segundos vecinos. - Calcule las fracciones de empaquetamiento. La fracción de empaquetamiento es la máxima proporción del volumen disponible que puede ser llenado con esferas duras, suponga que esferas sólidas idénticas están distribuidas en el espacio tridimensional de tal manera de que sus centros están en los puntos de red de cada una de estas cuatro estructuras. Analice cual de ella es la más y menos densa densa. 3. Para la estructura hexagonal compacta halle la relación ideal entre la magnitud del vector fundamental de la red recíproca perpendicular al plano del hexágono de lado a. 4. En la gura se representan dos cristales en una dimensión, los átomos se representan por círculos verdes o azules. Escribir los vectores fundamentales de la red cristalina y de la base atómica. Dibujar la celdilla de Wigner-Seitz.

3 Segundo Parcial Estado Sólido 3 5. Explicar porque estas tres estructuras cristalinas (muy importantes): hexagonal compacta, de diamante y el grato, no son redes de Bravais. Simetría de traslación Para un cristal, cuyo Hamiltoniano es invariante ante las operaciones de traslación de la red cristalina ˆT R, y usando condiciones de frontera son periódicas o de Born von-karman para resolver su ecuación de autovalores: 1. Muestre que los vectores R generan la red cristalina, que ésta a su vez genera el cristal y las operaciones de traslación de la red cristalina, cumplen las condiciones para ser un grupo abeliano. 2. A toda red cristalina se le asocia una red recíproca tal que los vectores de traslación de la red recíproca K, cumplen la condición de que K R = 2π (nmeroentero) y sus vectores fundamentales cumplen que a i b j = 2πδ ij, donde δ ij es el delta de Kronecker. 3. Explique que relación hay entre los vectores K y los planos cristalinos (hkl), con relación a : su dirección, la proyección de un vector R en la dirección de K, la distancia entre dos planos cristalinos paralelos adyacentes. 4. Explique en que consiste la construcción de de la celdilla de Wigner-Seitz W-S. Halle las relaciones entre las longitud, área y volumen en el espacio cristalino y sus correspondientes en la primera zona de Brillouin para cristales en una, dos y tres dimensiones respectivamente. 5. Demuestre que [Ĥ, ˆT R ] = 0 por lo tanto las autofunciones de ˆT R (ya que este operador no depende implícitamente del tiempo) pueden ser las del Hamiltoniano.

4 4 Doris Giratá Universidad de Antioquia 6. Halle la ecuación de autovalores del operador de traslación que es conocida como la condición de Bloch, que dene los estados de Bloch. 7. Halle los valores del vector de onda q permitidos en términos de los vectores fundamentales de traslación de la red recíproca y explique como cambian los autovalores y autofunciones de la energía cuando se cambia el vector de onda por otro q K. 8. Explique porque es necesario denir el índice de la banda. 9. Muestre que los valores de q permitidos linealmente independientes están en la primera zona de Brillouin (que se llamarán vectores de onda de Bloch k), tal que un estado cuántico de un electron de Bloch queda determinado por k, n, s, en donde s es el espín. 10. El Hamiltoniano de un electrón libre dentro de un cristal es invariante ante trasformación ˆT R, el tener esta consideración se conoce como aproximación de la red vacía. 11. Para una dimensión, calcule el número de valores de k permitidos en una longitud dk, en el espacio recíproco. 12. Para una dimensión, halle la primera zona de Brillouin, y haga un gráco de la relación de dispersión Energía vs. el vector de onda E(k) teniendo en cuenta los resultados anteriores y muestre que para una banda n se tiene que E n (k) = E n (k+k) en donde K = hb, h Z y b = 2π, donde a es la constante de la red cristalina. a Gas de electrones 1. En la aproximación de esferas duras, el volumen por electrón de conducción se dene como el volumen del metal dividido por el número de electrones de conducción que es una esfera de radio r s, llamado radio de Seitz: V N = 1 n = 4πr3 s 3 ; r s = 3 3 4πn (1) r s en unidades del radio de Bohr a 0 = 2 /me 2 = 0,529Å que da la medida del radio del hidrógeno en el estado fundamental, teniendo en cuenta que la concentración de electrones es del orden de n /cm 3 entonces r s /a 0 varia entre 2 y 6, por lo tanto r s es del orden de Å. 2. Mostrar que en un gas de electrones en el nivel de Fermi el vector de onda depende de la concentración n como k F = 3 3π 3 n

5 Segundo Parcial Estado Sólido 5 dar las expresiones de la velocidad v F, la longitud de onda λ F y la energía E F en función de la concentración. Difracción de Rayos X, aproximación clásica Al incidir Rayos X sobre un cristal de tres dimensiones con una base atómica formada por p átomos inciden, considere los electrones del cristal como centros dispersores, para movimientos no relativísticos, que radian como ondas esféricas que se dispensan una vez con la misma frecuencia de la fuente y estas ondas se superponen. Si las distancias cristalfuente y cristal-detector son muy grandes con respecto a la distancia entre cualquiera de los electrones, las ondas que salen de la fuente y las que llegan al detector se pueden considerar como ondas planas. k y k son los vectores de onda incidente y difractada. 1. Explique claramente un procedimiento que permita estudiar el patrón de dispersión de las estructuras cristalinas, teniendo en cuenta que la densidad electrónica tiene la periodicidad del cristal. 2. Para el caso de un cristal conformado por N átomos, con un átomo por punto de la red cristalina primitiva, demostrar que si hay interferencia constructiva, si k k = K, conocida como condición de Laue y además esta condición es equivalente a la condición de Bragg. 3. Dena el factor de forma atómico y dé la expresión para la intensidad de la onda en función de ella. 4. Para el caso de un cristal conformado por N átomos, con p átomos asociados a un punto de la red cristalina primitiva, demostrar que cuando hay interferencia constructiva, algunos planos (hkl) producen interferencia destructiva. 5. Dena el factor de estructura, en función de los factores de forma de los átomos que componen la base atómica y dé la expresión para la intensidad de la onda que llega al detector, en función del factor de estructura. 6. Calcule el factor de estructura de cristales para las redes simple cúbica, sc, cúbica centrada en el cuerpo y centrada en las caras usando los vectores fundamentales los de la red cristalina primitiva del sistema cúbica, cuya celdilla primitiva es un cubo. Halle los valores de los indices de Miller en los cuales se extingue el factor Geométrico de estructura. 7. La estructura del cloruro de sodio, NaCl, puede considerarse como una red de Bravais cúbica centrada en las caras de constante de red a, con una base atómica que consiste

6 6 Doris Giratá Universidad de Antioquia de un ion positivo ubicado en el origen y un ion negativo en a x. Mostrar que la red 2 recíproca es una red centrada en el cuerpo. Si los factores atómicos de los iones se denotan como f + y f +, hallar cuando el factor de estructura S K es: (a) f + + f, (b) f + f y (c) ¾Es posible que S K = 0? Estados cuánticos de un cristal Con respecto al estudio de los estados cuánticos de un cristal: 1. Resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el Hamiltoniano, no relativistico y sin considerar efectos de espín, de un sistema de átomos, incluya las interacciones coulombianas, entre los iones y electrones (considere cada átomo formado por un ion y electrones (dena que es un ion). Para el caso de un cristal ubique los iones en la posición de equilibrio en los punto de la red cristalina y muestre que la ecuación de autovalores de la energía del cristal se puede separar en dos ecuaciones una para los electrones y otra para los iones cuando se usa la Aproximación de Born-Oppenheimer. Explique que coordenadas escogió para los electrones y para los iones. 2. Explique los conceptos básicos para estudiar sistemas de muchas partículas indistinguibles por medio de la Teoría de Muchos Cuerpos y que consecuencias se obtienen cuando el Hamiltoniano Ĥ del sistema se expresa en términos de las variables de posición y de espín de las partículas. 3. Explique porqué la ecuación de Schrödinger es un buen punto de partida para describir un cristal, en el que los operadores asociados a las variables dinámicas cumplen ciertas reglas de conmutación. Doris Giratá Profesora Instituto de Fisica Febrero de 2010

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