Hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I

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1 Hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(xy) (x-y) b) f(xy) (x y).- Sea la aplicación f:p(x) P(x) tal que f(a+ bx+ cx ) (a + bx + cx ) + (c + bx + ax ). a) Demostrar que f es una aplicación lineal. b) Hallar la matriz de la aplicación lineal al tomar B { x x } como base de P (x). c) Determinar el núcleo de esta aplicación. (P (x) es el espacio vectorial de polinomios de grado ). - Se considera la aplicación f: R R definida por: f(x y z t) (x + y + a z -x + y + t a x +y t a z + t) a) Escribir su ecuación matricial de f y probar que f es lineal para a real. b) Hallar los valores de a para los que f es biyectiva. c) Para a hallar los subespacios Núcleo e Imagen de f y dar una base de cada uno de ellos d) Estudiar si f es una aplicación inyectiva para a. e) () N(f)? (-) Im(f)? f) Dado el subespacio S {(x y z t) R tales que x + y z y + z t } hallar una base la dimensión y unas ecuaciones implícitas de f(s) para a..- a) Hallar respecto de la base canónica la ecuación de la transformación lineal f (endomorfismo) de R que verifica que: f( ) (7 ) f(- ) ( 7 ) f( 7) ( ) b) Es f biyectiva? c) Hallar N(f) e Im(f). d) Qué condición debe satisfacer la matriz A asociada a un endomorfismo para que las imágenes de vectores linealmente independientes sean linealmente independientes?.- Sean B { eee} y B { uuu} dos bases de R y f un endomorfismo que respecto de la base B tiene por ecuación f(x y z) (x +y y + z x + z). Se pide hallar la ecuación de f respecto de la base B siendo u e + e + e u e + e u e..- Sea f la transformación lineal de R tal que: N(f) ()( ) y f()(-). Se pide: U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía Geodesia y Cartografía

2 Hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 8-9 a) La matriz A asociada a f respecto de la base canónica. b) Sin hacer cálculos razona porqué es un valor propio doble de A y cuál es su mínimo orden de multiplicidad. c) Hallar todos los valores propios de A y los subespacios de vectores propios asociados. d) Razonar si A es diagonalizable. En caso afirmativo escribir una matriz diagonal D semejante a A y la matriz de paso correspondiente. e) Hallar A n. 7.- Sea f un endomorfismo de R cuya matriz asociada A respecto de la base canónica verifica que tiene valores propios distintos λ doble y λ simple y que los subespacios de vectores propios asociados respectivamente son V ( ) () y V (). a) Escribir una matriz D diagonal semejante a A así como la matriz de paso que permite dicha diagonalización. b) Hallar A. c) Dar sendas bases de N(f) e Im(f). 8.- Sea f la transformación lineal de R cuya matriz en la base canónica es: a b A a) Estudiar para qué valores de a y b es A diagonalizable. b) Cuál es el subespacio de vectores invariantes por f para a? 9.- Demostrar que si Q es una matriz ortogonal que permite la diagonalización de A entonces A es simétrica.- En caso de existir encontrar la diagonalización ortogonal de la siguiente matriz: A.- Encontrar una matriz real y simétrica que cumpla siguientes condiciones: { }.- Sus vectores propios son ( ) ( ) ( ).- Es semejante a la siguiente matriz B U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía Geodesia y Cartografía

3 Hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 8-9 U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía Geodesia y Cartografía PROBLEMAS PROPUESTOS: P.- Sea f:r R el endomorfismo definido por: y x. / / / / y' x' a) Demostrar que el conjunto de los vectores invariantes por f es de dimensión y calcular una base. b) Comprobar que el conjunto de los vectores transformados por f en sus opuestos es de dimensión y calcular una base. c) Demostrar que el conjunto formado por estos vectores es una base de R y determinar la matriz de f respecto de esta base. P.- Estudiar para qué valores de los parámetros a y b la matriz b a es diagonalizable. Obtener los valores propios y vectores propios. P.- Sea R R : f el endomorfismo cuya expresión analítica respecto de la base { } e e e B es.x Y. a) Calcular los valores propios de f. b) Calcular los subespacios propios asociados a estos valores propios. c) Se puede encontrar otra base { } u u u B' tal que respecto a ella la matriz asociada a f sea diagonal. En caso afirmativo calcular B dicha matriz diagonal y el cambio de base de B a B. P.- Dada la aplicación lineal f:r -->R que tiene por matriz asociada respecto de la base canónica a A. Hallar: a) Los subespacios Núcleo e Imagen de f. b) Los valores propios de A y el subespacio propio asociado a uno cualquiera de ellos. c) Una matriz diagonal D semejante a la matriz A en el caso de que la matriz A sea diagonalizable. P.- Se considera la matriz k A. a) Determinar los autovalores de A. b) Qué valor o valores puede tomar k para que A sea diagonalizable? P.- Se consideran las matrices: A B C D. Se pide para cada una de ellas: a) Hallar sus valores y vectores propios. b) Decir si es o no diagonalizable y en caso afirmativo dar la matriz diagonal y la matriz que permite la diagonalización. c) Para las matrices que son diagonalizables comprobar que su determinante y su traza coinciden con los de su expresión diagonal. d) Considerando las transformaciones lineales definidas por las anteriores matrices indicar sus respectivos subespacios de vectores invariantes y algún subespacio invariante.

4 Hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 8-9 P7.- Dado el endomorfismo f de R definido por f (xe e e) ( x )e + (x x + α x )e + ( x ) e siendo B { e e e } una base de R. a) Hallar la dimensión del subespacio imagen en función de α. b) Hallar el núcleo y la imagen. c) Bajo qué condiciones es diagonalizable la matriz de f respecto de esa base? En los casos en que sea diagonalizable indicar la matriz diagonal. Soluciones a los PROBLEMAS PROPUESTOS: P.- a) {(-)}. b) {()} c) Una base de vectores propios {(-) ()} y la matriz P.- Valores propios: - a Para a Para a- No es diagonalizable Para a No es diagonalizable es diagonalizable Vectores propios {( )( a b )(ba + ) } P.- a) Valores propios y doble b) Vectores propios V <(-)> V <()()> c) Sí B {(-)()()} la matriz diagonal es cambio de base de B a B. P.- a) Im(f)R y N(f){ }. b) - ± 7 c) V - <(--)> d) P.- a) + k+ k+ b) distintos de y -/ P.- A) a) - -; V <()> V - <(-)> V - <()> b) Sí D P c) det(a) Traza(A)- d) Vectores invariantes los correspondientes al valor propio. Subespacios invariantes:{ } Im(f) N(f) los subespacios propios y R U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía Geodesia y Cartografía

5 Hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 8-9 B) a) doble y ; V <(-)()> V <(-)> b) Sí D P c) det(a) Traza(A) d) Vectores invariantes los correspondientes al valor propio. Subespacios invariantes:{ } Im(f) N(f) los subespacios propios y R C) a) doble y - doble; V <()> V - <()> b) No D) a) doble y ; V <()()> V <(-)> b) Sí D P c) det(a) Traza(A) d) No hay Vectores invariantes. Subespacios invariantes:{ } Im(f) N(f) los subespacios propios y R P7.- a) y b) si α dim(im(f)) Im(f)< ( - )( ) N(f ) ( ) si α dim(im(f)) Im(f)R N(f ) {} { } { } 8 7 c) Para a α 7 es diagonalizable y D + α 8 8α7 U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía Geodesia y Cartografía

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