Aplicaciones de la Integral.

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1 Seminrio 2 Aplicciones de l Integrl Áre de figurs plns. Definición Se f : [, b] R continu y f(x) 0 x [, b]. El áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} viene dd por l integrl: A = f(x) dx. Est definición se puede extender otros recintos plnos. Definición Si l función fuese negtiv, el áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, f(x) y 0} serí: A = f(x)dx Si l función no tiene signo constnte, el áre serí l sum de ls áres prciles de los recintos donde se conserv el signo. Si se trt del áre del recinto delimitdo por dos curvs {(x, y) R 2 : x b, f(x) y g(x)}, 1

2 Curso 2014/2015 Mtemátics (Grdo en Químic) el áre será: A = [g(x) f(x)] dx Longitud de rcos de curv. Se define l longitud del rco de curv y = f(x) entre los puntos A(, f()) y B(b, f(b)) como l = 1 + (f (x)) 2 dx Volúmenes. Definición Se un conjunto C R 3 con C [, b] R 2. Asimismo, se A(x) el áre de l región pln {(y, z) R 2 : (x, y, z) C}. Si A(x) R[, b], entonces el volumen del sólido C es: V = A(x) dx. El ppel que jueg en l definición el eje OX puede desempeñrlo otro eje culquier, considerndo entonces secciones del sólido perpendiculres dicho eje. L definición nterior expres el principio de Cvlieri de cálculo de volúmenes. Como plicción de est fórmul, clculmos los volúmenes de cuerpos de revolución. Definición Se f : [, b] R cotd. Consideremos el conjunto de R 3 ddo por C = {(x, y, z) R 3 : x [, b], y 2 + z 2 (f(x)) 2 }. Si (f(x)) 2 R[, b], el volumen de C es: V = π (f(x)) 2 dx. 2

3 Grupos A y D Curso 2014/2015 Not Análogmente, si f(x) dmite invers en [, b] y es c = f 1 (), y d = f 1 (b), el volumen del cuerpo generdo l girr l región {(x, y) R 2 : c y d, 0 x f 1 (y)} lrededor del eje de ordends es: V = π d c (f 1 (y)) 2 dy. R 2 Nos proponemos hor definir el volumen del sólido generdo l girr el recinto {(x, y) : x b, 0 y f(x)} lrededor del eje de ordends. Aproximndo dicho volumen por cilindros concéntricos, llegmos l siguiente definición: Definición En ls condiciones de l nterior definición, el volumen del cuerpo generdo l girr l región {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} lrededor del eje de ordends es: V = 2π x f(x) dx Áre de superficies de revolución. Se trt, en est sección, de encontrr l superficie lterl del sólido C = {(x, y, z) R 3 : x [, b], y 2 +z 2 (f(x)) 2 }, generdo l girr lrededor del eje de bsciss l región {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)}. El rzonmiento que nos llev definir el áre será l proximción por superficies de troncos de cono. Definición Si f : [, b] R es continu y derivble, y f (x) integrble en [, b], el áre lterl del sólido C = {(x, y, z) R 3 : x [, b], y 2 + z 2 (f(x)) 2 } 3

4 Curso 2014/2015 Mtemátics (Grdo en Químic) viene dd por l integrl S = 2π f(x) 1 + (f (x)) 2 dx Aplicciones físics. Son muchs ls plicciones de l integrl l cmpo físico, de entre ells destcmos ls siguientes: Momentos estático El momento estático respecto de los ejes de bsciss y de ordends de un curv x = x(s), y = y(s) donde el prámetro s es l longitud del rco es: M x = con L l longitud totl del rco. L y(s) ds, M y = L 0 0 x(s) ds, Los respectivos momentos estáticos de un figur pln (x, y) R 2 b, 0 y f(x), son: con x M x = 1 2 f(x) f(x) dx, M y = x f(x) dx. Momentos de inerci El momento de inerci respecto un eje l de un sistem de n puntos mteriles de n mss m 1, m 2,..., m n es I l = m i d 2 i. Cundo l distribución de l ms se continu, i=1 I l = h 2 (x)m (x) dx donde m(x) es l ms y h(x) l distnci l eje OX, con y b los puntos extremos del cuerpo en cuestión. Centro de grvedd 4

5 Grupos A y D Curso 2014/2015 Ls coordends (x, y) del centro de grvedd de un rco de curv pln y = f(x) ( x b) son: x = 1 L x 1 + (f (x)) 2 dx, donde L es l longitud del rco de curv. y = 1 L f(x) 1 + (f (x)) 2 dx, Ls coordends (x, y) del centro de grvedd de un región pln {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} son: x = 1 S donde S es el áre de l figur. xf(x) dx, y = 1 2S (f(x)) 2 dx, Trbjo Si un fuerz vrible F = F (x) ctú en l dirección del eje de bsciss, el trbjo efectudo por l mism desde x 1 hst x 2 viene ddo por W = x2 x 1 F (x) dx Ejercicios 1.- Hllr el áre de ls siguientes figurs: ) y = x 2, x + y = 2. c) y = x, y = x + sen 2 x en [0, π]. d) x 2 + y 2 = 3, x 2 = 2y, y 2 = 2x en el primer cudrnte. e) y 2 9x, x 2 + y f) x 2 = 4y, y = 1 x g) x 2 + y 2 9, (x 3) 2 + y 2 9. h) y = 2 x y = 2 (2x ) ( > 0) 2.- Hll > 0 tl que l curv y = cos x, x igul áre por l curv y = sen x. [ 0, π ] quede dividid en dos prtes con 2 5

6 Curso 2014/2015 Mtemátics (Grdo en Químic) 3.- Hllr ls longitudes de los rcos de curv: ) y = e x en [0, ]. b) y = log(cos x), 0 x < π Hllr el volumen del cuerpo engendrdo l girr lrededor del eje OX ls curvs siguientes, entre los límites que se indicn: ) y2 b 2 x2 = 1, x =, x = (, b > 0). 2 b) x 2 + (y 2R) 2 = R 2, R x R (R > 0). c) x = 1 y 2, 0 x Hllr el volumen del cuerpo engendrdo l girr lrededor del eje OY ls curvs siguientes, entre los límites que se indicn: ) x2 2 y2 = 1, y = b, y = b (, b > 0). b2 b) y = 1 x 2, 0 < y < 1. c) y = R x, 0 < y < R (R > 0). 6.- Hllr el áre de ls superficies engendrds l girr ls curvs siguientes lrededor del eje OX, entre los límites que se indicn: ) y 2 = 2px, 0 < x < 1 (p > 0). b) x 2 + (y 2R) 2 = R 2, R x R (R > 0). 7.- ) Hll el áre de l región del plno limitd por l curv y = tn x, el eje de ordends y l rect y = 1. b) Hllr el volumen del sólido engendrdo l girr l región nterior lrededor del eje de bsciss. 8.- Se l figur limitd por l curv y = e x2, el eje de bsciss y ls rects x = 0, x = 1. Hllr el volumen del cuerpo engendrdo por dich figur l girr lrededor del EJE DE ORDENADAS. 9.- Clculr el re de l región del plno limitd por ls curvs: 6

7 Grupos A y D Curso 2014/2015 y = x 2 e x, y = x 2 1 x y l rect x = Dd l prábol y 2 = 4x, se pide: ) Hll m pr que el áre de l figur limitd por l prábol y l rect y = mx, se 1 3. b) Hll l longitud del rco de prábol delimitdo por los puntos A(1, 2) B(4, 4) Clculr el áre del sector circulr determindo por l circunferenci x 2 + y 2 = 25 y los rdios trzdos desde los puntos A(3, 4), B(4, 3) l origen ) Hllr el áre de l región de plno limitd por l curvs y = e x, y = e x, x = 1. b) Clculr el volumen del cuerpo de revolución engendrdo por l rotción de l región nterior lrededor del eje de ordends Dd l función y = log x se pide: ) Áre del recinto limitdo por l curv, el eje de bsciss y ls verticles x = e 1, x = e. b) Volumen del cuerpo de revolución engendrdo l girr l región nterior lrededor del eje de bsciss. c) Idem lrededor del eje de ordends. c) Longitud del rco de curv comprendido entre los puntos A(1, 0) y B(2, log 2). 7

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