CÁLCULO II, 6 APLICACIONES

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1 CÁLCULO II, HANS SIGRIST UAC 8 infinitus cbna 1 Esta obra está ublicada bajo una Atribución. Chile de Creative Commons. Para ver una coia de esta licencia, visite htt://creativecommons.org/licenses/by/./cl/. Este documento se distribuye con la eseranza de ue sea útil, ero sin ninguna garantía; incluso sin la garantía imlícita de comerciabilidad o atitud ara un roósito articular. Se distribuye gratuitamente a todos los individuos, y su uso, descarga o coia, debe llevarse a cabo con el ermiso del autor.. 1 LA INTEGRAL EN LA ECONOMÍA cbna 1 8 hsigrist@gmail.com / Ingeniería Comercial (PCE) UAC Objetivos de arendizaje Riemann a consulted a doctor about his diet. He was told to reduce the amount of food he ate at each meal but to increase the number of meals. He roceeded to do so and ultimately ate infinitesimal amount infinitely often, and he found that his weight did not change. Shortly after this, he gave a recise definition of a definite integral. b a Georg Friedich Riemann (186-66), matemático alemán. Conocido es su aorte al Cálculo Integral, Fundador de la Geometría Reimaniana, de vital imoratncia tanto ara matemáticos como a físicos. b Riemann consultó un doctor acerca de su dieta. Él le dijo ue redujera la cantidad de alimentos ue comía en cada comida, ero ue aumentara el número de comidas. Procedió de esta forma y últimamente come una cantidad infinitesimal menos, ero infinitas veces. Poco desués de esto, ya tenía una definición recisa de la integral definida. MATHAMATICA NAVIGATOR Al finalizar este caítulo, el alumno estará en condiciones de: Comrender cómo la Integral Definida relaciona el área bajo la curva con el conceto de oferta y demanda en modelos de economía. Hallar el unto de euilibrio y determinar el suerávit de los consumidores y roductores. Índice 1.1. Oferta y demanda Suerávit de consumidores y roductores 1.3. Problemas Soluciones Oferta y demanda Entre las funciones ue se utilizan en economía ara hacer modelos de situaciones de mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda. 1

2 1. Suerávit de consumidores y roductores 1 LA INTEGRAL EN LA ECONOMÍA Definición 1 (Función de oferta). Una emresa ue fabrica y vende un determinado roducto utiliza esta función ara relacionar la cantidad de roductos ue está disuesta a ofrecer en el mercado con el recio unitario al ue se uede vender esa cantidad. Podemos decir ue, en resuesta a distintos recios, existe una cantidad corresondiente de roductos ue los fabricantes están disuestos a ofrecer en el mercado en algún eríodo esecífico. Cuanto mayor es el recio, mayor será la cantidad de roductos ue la emresa está disuesta a ofrecer. Al reducirse el recio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos ermite asegurar ue la función de oferta es una función creciente. Si reresenta el recio or unidad y la cantidad ofrecida corresondiente entonces a la ley (función) ue relaciona y se la denomina función de oferta y a su gráfica se la conoce como gráfica de oferta. Definición (Función de demanda). La emresa utiliza esta función ara relacionar la cantidad de roductos demandada or los consumidores, con el recio unitario al ue se uede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el recio aumenta, se roduce una disminución de la cantidad demandada del artículo orue no todos los consumidores están disuestos a agar un recio mayor or aduirirlo. La demanda disminuye al aumentar el recio or eso esta es una función decreciente como lo observamos en los ejemlos gráficos. Podemos asegurar entonces ue ara cada recio de un roducto existe una cantidad corresondiente de ese roducto ue los consumidores demandan en determinado eríodo. Si el recio or unidad de un roducto está dado or y la cantidad corresondiente en unidades está dada or la ley ue los relaciona se denomina función de demanda. 1. Suerávit de consumidores y roductores El mercado determina el recio al ue un roducto se vende. El unto de intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta ara un roducto da el recio de euilibrio. En el recio de euilibrio, los consumidores comrarán la misma cantidad del roducto ue los fabricantes uieren vender. Sin embargo, algunos consumidores acetarán gastar más en un artículo ue el INGENIERÍA COMERCIAL (PCE) UAC CÁLCULO II,

3 1 LA INTEGRAL EN LA ECONOMÍA 1. Suerávit de consumidores y roductores recio de euilibrio. El total de las diferencias entre el recio de euilibrio del artículo y los mayores recios ue todas esas ersonas acetan agar se considera como un ahorro de esas ersonas y se llama el suerávit de los consumidores. El área bajo la curva de demanda es la cantidad total ue los consumidores están disuestos a agar or artículos. El área sombreada bajo la recta y muestra la cantidad total ue los consumidores realmente gastarán en el recio de euilibrio. El área entre la curva y la recta reresenta el suerávit de los consumidores. d Suerávit de los consumidores Curva de demanda El suerávit de los consumidores está dado or el área entre las curvas d y, entonces su valor uede encontrarse con una integral definida de la siguiente manera» rd sd (1) donde d es una función de demanda con recio de euilibrio y demanda de euilibrio. Ejemlo 1. La curva de demanda está dada or la función (ley) dx 5.6x. Encuentre el suerávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a unidades. Demostración. Como la cantidad de unidades es, su recio asciende a d Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta: , 1 1» dx.6x dx 5.6x 8.87, ».6x dx 3» 5.6x 6 dx.6x dx x.x La ganancia de los consumidores asciende a $3, si el nivel de venta asciende a unidades. De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen disuestos a roorcionar un roducto a un menor recio ue el recio de euilibrio, el total de las diferencias entre el recio de euilibrio y los recios más bajos a los ue los fabricantes venderían el roducto se considera como una entrada adicional ara los fabricantes y se llama el suerávit de los roductores. CÁLCULO II, INGENIERÍA COMERCIAL (PCE) UAC 3

4 1. Suerávit de consumidores y roductores 1 LA INTEGRAL EN LA ECONOMÍA suerávit de los roductores s curva de demanda El área total bajo la curva de oferta entre y es la cantidad mínima total ue los fabricantes están disuestos a obtener or la venta de artículos. El área total bajo la recta es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre esas dos áreas, el suerávit de los roductores, también está dada or una integral definida. Si s es una función de oferta con recio de euilibrio y oferta de euilibrio, entonces el suerávit de los roductores viene dado or» r ssd (3) Ejemlo. Se conoce ue la curva de oferta ara un roducto es sx x roductores si la roducción asciende a 1 artículos. 7. Encuentre la ganancia de los 7 $1. La ganancia o sue- Demostración. Si la roducción asciende a 1 artículos el recio es s1 1 rávit de los roductores se calcula mediante la integral: 1» 1 x ,7 6,5 sx x» 1 7 x 5 1, dx » 1» x 7 dx 5 x dx 5x x dx 5 $5 Ejemlo 3. Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda ara las curvas de demanda y oferta siguientes Función de demanda: 1 1. Función de oferta: El exceso de oferta y el de demanda están reresentadas or las áreas ue se muestran a continuación: INGENIERÍA COMERCIAL (PCE) UAC CÁLCULO II,

5 1 LA INTEGRAL EN LA ECONOMÍA 1.3 Problemas Excedente de demanda Curva de oferta Punto de euilibrio Excedente de oferta Curva de demanda La oferta coincide con la demanda en el unto,, es decir: 1 1., 1 ñ 1 15 _ Como los valores de la abscisa corresonden a número de artículos ofrecidos o demandados, descartamos el resultado negativo ( 1 15), en consecuencia y luego, 8. ( Por ué?) El excedente de demanda o suerávit de los consumidores es la región comrendida entre 1 1.x y la recta 8, entre y, es decir:» 1.x 8 d El excedente de demanda asciende a $133, 33.» 16.x d 16.x El excedente de oferta es la región comrendida entra las rectas 8 y, entre y, es decir:» El suerávit de oferta alcanza $ Problemas 8d 8 1 _ Ejercicio 1. Suonemos ue durante los rimeros cinco años ue un roducto se uso a la venta en el mercado la función f x describe la razón de ventas cuando asaron x años desde ue el roducto se resentó en el mercado or rimera vez. Se sabe ue f x 7? x cuatro años. [Ayuda] Plantee la Venta total. 9, si 5. Calcule las ventas totales durante los rimeros Ejercicio. Se esera ue la comra de una nueva máuina genere un ahorro en los costos de oeración. Cuando la máuina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f x esos al año donde f x 1 5x. a) Cuánto se ahorra en costos de oeración durante los rimeros seis años? b) Si la máuina se comró a $675. Cuánto tiemo tardará la máuina en agarse or sí sola? CÁLCULO II, INGENIERÍA COMERCIAL (PCE) UAC 5

6 1. Soluciones 1 LA INTEGRAL EN LA ECONOMÍA Ejercicio 3. La curva de demanda de un roducto está dada or la función 1.x.1x. Calcule el suerávit de los consumidores cuando el número de unidades del roducto vendido es 5. Ejercicio. La curva de demanda de una firma está dada or d 18 los consumidores si el nivel de venta asciende de 3 a? Ejercicio 5. la curva de oferta de un roducto es sx 5 el recio de venta es $1..5. Cuál es el suerávit de? x. Encuentre la ganancia de los roductores cuando 1 Ejercicio 6. Una comañía modela la curva de demanda de un roducto (en dólares) mediante dx 8e x {5 x Use tecnología gráfica ara estimar la demanda a la emresa cuando el recio de venta se fija en U$16. Encuentre de manera aroximada el suerávit de los consumidores ara ese nivel de venta. 1. Soluciones» 1 V T 7? x 9 dx 18 unidades. a) Al cabo de 6 años el ahorro asciende a $96. b) Se tardarán 5 años ara ue la máuina se ague sola , 33 $96 5 $166, , y $37,753 6 INGENIERÍA COMERCIAL (PCE) UAC CÁLCULO II,