GEOMETRÍA EN EL PLANO. Dos rectas perpendiculares tienen las pendientes inversas y de signo contrario. Calculamos la pendiente de la recta dada:

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1 GEOMETRÍA EN EL PLANO. La ecuación de la recta que pasa por el punto A(4, 6) y es perpendicular a la recta 4x y + = 0 es: A) x + y + 8 = 0 B) 6x 4y 48 = 0 C) x + y = 0 (Convocatoria junio 00. Examen tipo G) Dos rectas perpendiculares tienen las pendientes inversas y de signo contrario. Calculamos la pendiente de la recta dada: 4x y + = 0 4x + = y Dividiendo por, se obtiene x + = y La pendiente es (coeficiente de la x una vez despejada la y) Ya tenemos un punto A(4, 6) y la pendiente m = La recta que buscamos tiene de pendiente y pasa por el punto A(4, 6) Ecuación punto-pendiente: y y0 = m( x x0 ) Por tanto: y ( 6) = ( x 4) es la recta que buscamos que hemos de pasarla a su forma general ya que en todas las opciones nos aparecen rectas generales. y ( 6) = ( x 4) y + 6 = ( x 4) y + = ( x 4) y + = x + 4 Y ordenando sus términos, x + y + 8 = 0. La distancia entre los puntos P( 5, 6) y Q(,3) vale: A ) 30 B ) 80 C ) 7 (Convocatoria septiembre 00. examen tipo A)

2 La distancia entre los puntos P y Q es la medida del vector PQ PQ = ( ( 5),3 ( 6)) = (7,9) Medida del vector PQ : PQ = + = Una ecuación de la recta que pasa por el punto x = t es: y = 3 + t A) x + 4y 8 = 0 B) x + y + = 0 5 y x 7 C) + = D ) 4 x y + 33 = 0 3 (Convocatoria junio 00. examen tipo H) 5 7, y es paralela a la recta La recta x = t y = 3 + t tiene como vector director a v = (,), los coeficientes de t. Dicho vector director es también vector director de la recta que buscamos porque queremos que sean paralelas. Resumiendo: La recta que buscamos pasa por el punto la misma es v = (,) 5 7, y un vector director de x x0 y y0 Aplicamos la fórmula de la ecuación continua: = v v 5 x + 7 y Por tanto, = y quitando denominadores y ordenado los términos obtenemos: x + 7 = y x + 7 = y +. x y 5 = 0, es decir, 5 5 x + y + = 0 La opción B) es la correcta.

3 x = + t 4. la pendiente de la recta vale: y = t A) 0 B) C) ½ D) (Convocatoria junio 003. Examen tipo A) v Conocido el vector de una recta v = ( v, v), la pendiente es m = v Vector director de la recta: v = (, ) luego La opción B) es la correcta. m = = 5. Sea r la recta de ecuación x + y = 0. Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: A) Pasa por el punto P (0, ) B) Es perpendicular a la recta s x = y + 3 C) Es paralela a la recta x y + = 0 D) Su pendiente es m =. (Convocatoria septiembre 003. Examen tipo G) Comprobamos si se verifica alguna de las opciones: A) Pasa por el punto P (0, ) : Falsa porque al sustituir la x por 0 y la y por, no se verifica la ecuación. B) Es perpendicular a la recta s x = y + 3 : Pendiente de la recta dada: x + y = 0 ; y = x + ; m = Pendiente de la recta x = y + 3; y = x 5; m = Se cumple que las pendientes son inversas y de signo contrario: No hace falta seguir haciendo comprobaciones. m = : m = La opción B) es la correcta.

4 6. Una ecuación de la recta que pasa por el punto A (,) y es perpendicular a la recta x 3y + = 0 es: A) 4x y 3 = 0 B) 3x + y 4 = 0 C) 6x + y 4 = 0 D) x 6y + 4 = 0 (Convocatoria junio 004. Examen tipo A) Pendiente de la recta dada: x + x x 3y + = 0, x + = 3y y = = + = x + ; m = La pendiente de la recta perpendicular es inversa y de signo contrario a m: m = 3 La recta que buscamos tiene de pendiente 3 y pasa por el punto A (,) Fórmula de la ecuación punto pendiente: y y0 = m( x x0 ) Entonces, y = 3( x ) Quitando el paréntesis y ordenando los términos se obtiene: y = 3x + 3 y + 3x 3 = 0, es decir, 3x + y 4 = 0 La opción B) es la correcta. Otra manera: Dada una recta de ecuación general Ax + By + C = 0, el vector ( A, B) es perpendicular a dicha recta. A(,) (, 3) x 3y+ = 0 El vector (, 3) es un vector director de la recta que buscamos, y como esta pasa por el punto (,), si aplicamos la fórmula de la ecuación continua se obtiene: x y = ; 3x + 3 = y y ordenando la ecuación, 3x + y 4 = 0 3

5 7. La distancia entre A(,3) y B( 5, 6) vale: A) 30 B) 8 C) 30 D ) 80 (Convocatoria junio 004. Examen tipo J) Vector que une los puntos: AB = ( 7, 9) La distancia entre A y B es la medida del vector AB : Distancia( A, B) = AB = ( 7) + ( 9) = = 30 x y 8. La pendiente de la recta + = es: A) B) C) D) 5 5 Quitamos denominadores y despejamos la y: 5x + y = 0 y = 5x + 0 5x + 0 5x 0 5 y = = + = x + 5 La pendiente es el coeficiente de la x una vez despejada la y, es decir, 5 9. Una ecuación implícita de la recta que pasa por el punto P(, ) y es paralela a la recta r x + 3y + = 0 es: A) 5 y = x ; B) x 3y + = 0 ; C) x 3y 5 = 0 ; D) x + 3y + = 0 3

6 Pendiente de la recta r: x + 3y + = 0; 3y = x ; La pendiente es 3 x x y = = = x La paralela tiene la misma pendiente y como pasa por el punto P(, ) tenemos: Fórmula de la ecuación punto pendiente: y y0 = m( x x0 ) y + = ( x ) ; 3y + 3 = x + ; x + 3y + = 0 3 La opción D) es la correcta. Otra manera: La recta paralela a x + 3y + = 0 es x + 3y + λ = 0 y como pasa por el punto (, ), podemos sustituir la x por y la y por, es decir,.+ 3( ) + λ = 0 ; 3 + λ = 0; λ = La recta buscada es x + 3y + = 0 x+ 3y + λ = 0 x+ 3y+ = 0 (, ) 0. Una ecuación de la recta que es perpendicular a la recta por el punto P(/, ) es: A) 6x y 7 = 0 x = 3t r y = + t y pasa B) x = + 3 t y = t C) 3 0 x y + = D) 3x + y = 0

7 v Vector director de la recta r: v = ( v, v) = ( 3,). Pendiente: m = = v 3 La recta perpendicular tiene la pendiente inversa y de signo contrario, es decir, m = 3 y pasa por el punto P(/, ) Fórmula de la ecuación punto pendiente: y y0 = m( x x0 ) y + = 3 x Quitamos paréntesis y después denominadores, 3 y + = 3x ; y + 4 = 6x 3; 6x + y + 7 = 0; 6x y 7 = 0. Halla la distancia del punto P(, 3) a la recta r de ecuación y x 5 = 0 Puesta la ecuación de una recta en su forma general, la distancia de un punto P( x0, y0) a la recta r : Ax + By + C = 0, se obtiene aplicando la siguiente fórmula: d( P, r) = Ax + By + C 0 0 A + B En el caso que nos ocupa, la recta y x 5 = 0, no está puesta en su forma general, hay que ordenarla: x + y 5 = d( P, r) = = ( ) + 5. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A (,3) y B( 4,5) mediatriz La mediatriz es la perpendicular en el punto medio del segmento. A (,3) B( 4,5) M n

8 ( 4) 3 5 Coordenadas del punto medio: M +, +, es decir, M (,4) Vector que une los puntos A y B: AB = ( 4,5 3) = ( 6,) Un vector perpendicular a AB será vector director de la mediatriz. Dicho vector lo podemos obtener cambiando el orden de las coordenadas de AB y el signo de una de ellas; es decir, n = (,6) La ecuación de la mediatriz será: x + y 4 = 6 x ( ) y 4 =, que queda en la forma siguiente: 6 3. Halla el área del triángulo que tiene por vértices los puntos A(, ), B (,4) y C (4,) C(4,) A(, ) B(,4) Una forma rápida de obtener el área del triángulo consiste en proceder de la forma siguiente: AB = ( ( ), 4 ( )) = (3,5) AC = (4 ( ), ( )) = (5, ) Determinante de los vectores obtenidos: = = ; 9 9 Área = = u Otra manera: 4 = = 9 ; Área = = u